必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习
教学
重点
基本不等式
教学
难点
基本不等式的应用
教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
1．如果,a b R+
∈2
a b ab
+≥那么当且仅当时取“=”号）.
2．如果,a b R+
∈
2
2
a b
ab
+
??
≤ ?
??
那么（当且仅当时取“=”号）
3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
见讲义
管理人员签字：日期：年月日
基本不等式复习
知识要点梳理
知识点：基本不等式
1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当时取“=”号）.
2．如果,a b R +∈2
2a b ab +??≤ ???（ 当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
类型一：利用（配凑法）求最值
1．求下列函数的最大（或最小）值.
（1）求11
x x +
≥+（x 0）的最小值；
（2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值
（3）已知
,，且. 求的最大值及相应的的值
变式1：已知51,y=42445
x x x <
-+-求函数的最大值
类型二：含“1”的式子求最值
2．已知且，求的最小值.
变式1：若230,0,=1x y x y x y >>++，求的最小值
变式2：230,0,=2x y x y x y >>++，求
的最小值
变式3：求函数2214y=(0)sin cos 2
x x x π+<<的最小值
类型三：求分式的最值问题
3. 已知0x >，求21x x x
++的最小值
变式1：求函数231()12x y x x +=≥+的值域
变式2：求函数2
24y x =+的最小值
类型四：求负数范围的最值问题
4. 1
0,x x x <+求的最大值
变式1：求4
()(0)f x x x x =+≠的值域
2
21
2()x x f x x -+=变式：求的值域
类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值
例5.若正数a,b 满足3,ab a b =++则
（1）ab 的取值范围是
（2）a+b 的取值范围是
变式1：若x ，y>0满足2x+y+6,xy xy =则的最小值是
变式2：已知x ，y>0满足x+2y+2xy 8,x+2y =则的最小值是
课堂练习：
1：已知a,b R ∈,下列不等式中不正确的是（ ）
（A ）2ab b a 22≥+ （B ）
ab 2b a ≥+ （C ）4a 4a 2≥+ （D ）4b b
422≥+ 2：在下列函数中最小值为2的函数是（ ） ()A 1y x x
=+ ()B 33x x y -=+ ()C 1lg (110)lg y x x x =+<< ()D 1sin (0)sin 2
y x x x π=+<< 3：若0x >，求123y x x =+
的最小值。
4：若3x >，求13y x x =+
-的最小值。
5：若102
x <<
，求(12)y x x =-的最大值。
6：0x >,0y >, x+3y=1 求
y
x 11+的最小值
作业（共80分，限时40分钟）
1、（5分）设x,y 为正数, 则14
()()x y x y ++的最小值为( )
A. 6
B.9
C.12
D.15
2、（5分）若b a ,为实数，且2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ）
（A ）18 （B ）6 （C ）32 （D ）432
3. （5分）设正数x 、y 满足220x y +=，则lg lg x y +的最大值是（ ）
()A 50 ()B 20 ()C 1lg5+ ()D 1
4. （5分）已知a,b 为正实数，且b a b a 1
1
,12+=+则的最小值为（ ）
A ．24
B ．6
C ．3－22
D ．3+22
5. （5分）设,a b R ∈、且,2,a b a b ≠+=则必有( ) (A)2b a ab 122+≤≤ (B)22
12a b ab +<< (C)2212a b ab +<< (D)22
12a b ab +<<
6．（5分）下列结论正确的是 ( )
A.当0x >且1x ≠时，1
lg
lg x x +2≥ B.0x >当2≥
C ．当2x ≥时，1
x x +的最小值为2 D.02x <≤时，1
x x -无最大值
7. （5分）若1a b >>，P =1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a b
R +
=，则下列不等式成立的是（
） ()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q <<
8. （5分）函数1
1y x x =++(1)x >-的最小值是 ．
9. （5分）已知两个正实数x y 、满足关系式440x y +=, 则lg lg x y +的最大值是_____________.
高中数学必修五基本不等式题型(精编)
高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a .
变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3. 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注： 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果（当且仅当时取“=”号）. 2．如果（当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求的最小值； （2）若 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知 类型二：含“1”的式子求最值 2．已知且，求的最小值. 变式1：若 变式2： 变式3：求函数 类型三：求分式的最值问题 3. 已知，求的最小值 变式1：求函数 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则133y x x =--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ．1 1 1 a b c ++≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ． 22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤+ Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 基本不等式的应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a,，则ab b a 22 2 (2)若R b a,，则2 2 2 b a ab （当且仅当b a 时取“=”）2. (1) 若* ,R b a ，则 ab b a 2 (2) 若 * ,R b a ，则a b b a 2（当且仅当 b a 时取“=”） (3)若 * ,R b a ，则2 2 b a ab (当且仅当b a 时取“=”） 3.若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”） 若0x ，则11122-2x x x x x x 即或 (当且仅当b a 时取“=”） 4.若0ab ，则2a b b a (当且仅当b a 时取“=”）若0ab ，则 22-2a b a b a b b a b a b a 即 或 (当且仅当b a 时取“=”） 5.若R b a,，则2 ) 2 (2 2 2 b a b a （当且仅当b a 时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、 证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋ 1 x 解：（1）y ＝3x 2 ＋ 1 2x 2≥23x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x · 1x ＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋ 1x = －（－x －1 x ）≤－2x · 1x =－2 ∴值域为（－∞，－ 2]∪[2，+∞） 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54 x ，求函数142 45 y x x 的最大值。 解：因45 0x ，所以首先要“调整”符号，又1(42) 45 x x 不是常数，所以对42x 要进行拆、凑项， 5,5 404 x x ， 1142 5 43 45 5 4y x x x x 231 当且仅当15454x x ，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max 1y 。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 高中数学必修五典题精讲 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜ 31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜ 3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=6 1时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1?=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ )(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+ x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0. 必修五第三章 不等式 一．不等关系与不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >． 例1 对于实数判断下列命题真假：,,,c b a （1）若;,bc ac b a <>则 (2);,2 2b a bc ac >>则若 (3)22,0b ab a b a >><<则若 (4) .0,0,1 1, <>>>b a b a b a 则若 例2（1）.已知x ∈R,则22+x 与2的大小关系是?( ). A.22 +x >2 B.222 ≥+x C.22 +x <2 D.222≤+x （2）.2)2(-≥n m 等价的是( ). A.2)2(-≤n m B.m n ≥-2)2( C.m n ≤-2)2( D.2)2(-n 基本不等式练习题 一、单项选择 1. 已知0x >，函数4y x x =+的最小值是（ ） A ． 4 B ．5 C ． 6 D ．8 3. 在下列函数中，最小值为2的是（ ） A x x y 1+= B x x y -+=33 C )101(lg 1lg <<+=x x x y D )2 0(sin 1sin π<<+=x x x y 4. 已知)0,0(135>>=+y x y x ，则xy 的最小值是 （ ） A ．15 B ．6 C ．60 D ．1 5. 已知 1,1x y >> 且16xy =，则22log log x y ?（ ） A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3 D ．有最大值4 6. 若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．ab b a 222>+ B ．ab b a 2≥+ C ．ab b a 211>+ D ．2≥+b a a b 7. 若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（ ） A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0( 8. 已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+.若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，则 19m n +的最小值为( ) A 83 B 114 C 145 D 176 9.设0=+b a b a ,则ab 的最大值为( ) ① b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+ab ab 恒成立的序号为 23.(,)x y 在直线23x y +=上移动，则24x y +的最小值为 24.知0,0,8x y x y xy >>++=，则x y +的最小值是__________． 25.)21(,2 10x x x -<<则的最大值是_________. 26.＞0，则= y 24x x +的最大值是___________. 27.实数,x y 满足2244x y x y +=+,则88x y +的取值范围是________ 28.知b a ,都是正实数，函数b ae y x +=2的图像过点（0,1），则b a 11+的最小值是 . 29.实数,a b 满足221a b +=且 c a b <+，恒成立，则c 的取值范围是____________． 30.若x 、y 为正整数，且满足4161x y +=，则x y +的最小值为_________； 31.)0,0(1>>=+b a b a ，则 b a 11+的最小值为 32.y x ,均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 ． 三、解答题 33.知,a b 是不相等的正常数，实数,(0,)x y ∈+∞. （Ⅰ）求证：222 ()a b a b x y x y ++≥+，并指出等号成立的条件； （Ⅱ）求函数211(),(0,)122 f x x x x =+∈-的最小值，并指出此时x 的值． 34.制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米． 高考基本不等式专题 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜ 31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1?=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+) (1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+ 11+x =x+1+11+x -1≥2) 1(1)1(+?+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1. 变式训练2求函数y=1 33224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1. ∴y=1 33224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2t t 1?=2,当且仅当t=t 1,即t=1时，等号成立. 不等式与基本不等式 【知识点梳理】 1. 不等式的基本性质： （1）a b b a >?<（对称性）. （2）,a b b c a c >>?>（传递性）. （3）a b a c b c >?+>+；,a b c d a c b d >>?+>+. （4）,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>>>?>. （5）11,0a b ab a b >>? <；0,0a b a b c d c d >><>?>∈>且. （7 ）01)a b n Z n >>? >∈>且. 2.基本不等式： （1）若,a b R ∈，则2 2222 ()2,2a b a b ab a b ++≥+≥，当且仅当a b =时取“等号”. （2）若,a b R +∈ ，则2 a b +≥，当且仅当a b =时取“等号”. “和定积最大，积定和最小” （3）若,,a b c R ∈，则2222222,3()()a b c ab bc ca a b c a b c ++≥++++≥++. （4）若0a b c ++≥，则3333a b c abc ++≥. （5）若,,a b c R +∈ ，则3 a b c ++≥a b c ==时取“等号”. （6）若,,a b c R + ∈， 则31113a b c a b c ++≤≤≤++. 【例题讲解】 例1. 求函数1()(,0)f x x x R x x =+ ∈≠的值域. 例2. 若x y ∈+R ，，且14=+y x ，求xy 的最大值. 高中数学必修五基本不等式题型(精编) 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D ．若a b >，则a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{}32< 3. 如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________，a+b 的取值范围是_________. 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1）2232x y x += +的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2） , 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 高中数学必修5 第三章 不等式复习 一、不等式的主要性质： (1)对称性： a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈> ? >>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02 >++c bx ax 和)0(02 ≠<++a c bx ax 及其解法 有两相等实根 １.一元二次不等式先化标准形式（a 化正）２.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：“大鱼”吃两边，“小鱼”吃中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥ +b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：（a 、b 为正数），即 b a a b b a b a 1122 2 2 2 +≥ ≥+≥ +（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 代数意义：?? ? ??<-=>=0a 0 00 ||a a a a a 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 0)()(0) ()(>?>x g x f x g x f ； ?? ?≠≥?≥0)(0 )()(0)() (x g x g x f x g x f ②指数不等式：转化为代数不等式 )()()1() () (x g x f a a a x g x f >?>>；)()()10() () (x g x f a a a x g x f ③对数不等式：转化为代数不等式 ?? ? ??>>>?>>)()(0 )(0 )()1)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ?? ? ??<>>?<<>)()(0 )(0)()10)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ④高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿 例题：不等式 03 ) 4)(23(2 2 ≤+-+-x x x x 的解为（ ） A ．－1 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3）405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{}32< （2）设2a >，12p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1）2232x y x += +的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则y x 11+的最小值为______ 高中数学——基本不等式培优专题 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k 法 培优（6） 消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题培优（11）不等式综合应用 培优（ 1） 常规配凑法 1. （2018届温州 9月模拟）已知 2a 4b 2（a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为 _______________________ 2 2. 已知实数 x,y 满足 x 2 y 1，则 x 2 y 2 的最大值为 _____________________________ 16 5. （2018江苏一模）已知 a ﹥0,b ﹥0,且 2 3 ab 6. （诸暨市 2016届高三 5月教学质量检测）已知 a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 4 1 的最小值是 __________________________ a b 2b 7. （2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知 a ﹥0,b ﹥0, 1 1 1，则 a+2b 的最小值 a1b1 是（ ） A. 3 2 B. 2 2 C.3 D.2 11 3. （2018 春湖州模拟）已知不等式 （x my ）（1 1） xy 9 对任意正实数 x,y 恒成立，则正实数 m 的最小值 4. 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 2017 浙江模拟）已知 a,b ∈ R,且a ≠1,则 a 1 a1 b 的最小值是 ____________ ab ，则 ab 的最小值是 ____________ 最新必修五基本不等式题型分类(绝对经典) 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当 时取“=”号）. 2．如果,a b R +∈2 2a b ab +??≤ ???（ 当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求11 x x +≥+（x 0）的最小值； （2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值 （3）已知 ,，且. 求的最大值及相应的的值 变式1：已知51,y=42445 x x x <-+-求函数的最大值 类型二：含“1”的式子求最值 2．已知且，求的最小值. 变式1：若230,0,=1x y x y x y >>++，求的最小值 变式2：230,0,=2x y x y x y >>++，求的最小值 变式3：求函数2214y=(0)sin cos 2 x x x π+<<的最小值 类型三：求分式的最值问题 3. 已知0x >，求21x x x ++的最小值 变式1：求函数 231 () 12 x y x x + =≥ + 的值域 变式2：求函数 2 24 y x = + 的最小值 类型四：求负数范围的最值问题 4. 1 0, x x x <+ 求的最大值 变式1：求 4 ()(0) f x x x x =+≠的值域 一对一个性化辅导教案 时取“ 当且仅当时取“ 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果,a b R +∈a b +≥（当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R +∈22a b ab +??≤ ???（ 当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求11 x x + ≥+（x 0）的最小值； （2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值 变式1：已知51,y=42445 x x x < -+-求函数的最大值 类型二：含“1”的式子求最值 2．已知且，求的最小值. 变式1：若230,0,=1 x y x y x y >>++，求的最小值 变式2：230,0,=2x y x y x y >>++，求 的最小值 变式3：求函数2214y=(0)sin cos 2 x x x π+<<的最小值 类型三：求分式的最值问题 3. 已知0x >，求21x x x ++的最小值 变式1：求函数231()12 x y x x +=≥+的值域 变式2：求函数2 y = 类型四：求负数范围的最值问题 4. 10,x x x <+求的最大值 变式1：求4()(0)f x x x x =+ ≠的值域 2212()x x f x x -+=变式：求的值域 类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值 基本不等式练习题一、单项选择 1. 已知 x 0 ，函数y 4 x 的最小值是（）x A． 4 B ．5 C ． 6 D ．8 3. 在下列函数中，最小值为 2 的是（） A y x 1 B y 3x 3 x x C y lg x 1 (1 x 10) D y sin x 1 (0 x) lg x sin x 2 4. 已知5 3 1( x 0, y 0) ，则xy的最小值是（）x y A．15 B．6C．60D．1 5. 已知 x 1,y 1 且 xy 16 ，则 log 2 x log 2 y （） A．有最大值 2 B ．等于 4 C．有最小值 3 D ．有最大值 4 6. 若 a, b R ，且ab 0 ，则下列不等式中恒成立的是（） A ．a2 b2 2ab B ．a b 2 ab C ．1 1 2 D ． b a 2 a b ab a b 7. 若正数 a、b 满足 ab a b 3 ，则 a b 的取值范围是（）A．[ 9, ) Ｂ． [6, ) C ． (0,9] D ．(0,6) 8. 已知正项等比数列{a n } 满足 a7 a6 2a5.若存在两项 a m , a n使得a m a n 4a1 1 9 ，则的最小值为 ( ) m n A 8 B 11 C 14 D 17 3 4 5 6 9. 设 0 A.1 B. 2 C. 3 D. 1 2 3 11. 若 0＜a＜ 1，0＜b＜ 1，a b ，则a+b，2ab ， a2+b2，2ab 中最大一个是（）A．a+b B．2ab C．a2+b2D．2ab 12. 知x1, y 1 ，且1 ln x, 1 ,ln y 成等比数列，则xy 有() 4 4 A、最小值e B、最小值e C、最大值e D、最大值 e 13. 3 a a 6 6 a 3 的最大值为（） A．9 B ．9 C ． 3 D． 3 2 2 2 14. x 0, y 0, xy 9 ，则 s x 2 y 2 取最小值时 x 的值为（） y x A．1 B ． 2 C．3 D．6 15. 知 a,b R ，且ab 0 ，则下列不等式中不正确的是（） A．b a 2B．2 a b a b C ．a b a b D ．a b a b a b 二、填空题 16. 知 x 0, y 0，且2 1 1 ，若 x 2 y m 2 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围____ . x y 17. 正实数 x, y, z 满足x2 3xy 4 y2 z 0 ，则当z 取得最大值时， x 2 y z 的最大值为xy 18. 知 a 0, b 0 ，函数 f ( x) x2 (ab a 4b)x ab 是偶函数，则 f ( x) 的图象与y轴交点纵坐标的最小值为__________． 19. f ( x) x 1 2) 在 x n 处取得最小值，则 n ( x x 2 20. 知 x 0, y 0,lg 2x lg8 y lg 2 ，则1 1 的最小值是. x 3y 21. 知正实数 x, y 满足x2 y2 xy 1，则x+y 的最大值是__________． 22.a、b 是正实数，以下不等式最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
高中数学必修五教案-基本不等式
必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
高中数学必修五 第3章 不等式 同步练习 3.4基本不等式(含答案)
基本不等式的应用(适合高二必修五)
《基本不等式》典型例题
高中数学必修五第三章复习知识点及题型
(完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题
必修五基本不等式的题型与易错点
必修五 不等式与基本不等式知识点总结及经典题型
高中数学必修五基本不等式题型(精编)复习过程
必修五-不等式知识点总结
高中数学必修五基本不等式题型精编
必修五基本不等式题型归纳
最新必修五基本不等式题型分类(绝对经典)学习资料
最新必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
(完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题.doc
- 高中数学必修五第三章复习知识点及题型
- 必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
- 最新必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
- 最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
- 必修五-不等式知识点总结
- 基本不等式的应用(适合高二 必修五)
- 必修五基本不等式的题型与易错点
- 必修五基本不等式题型归纳
- 必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
- 必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
- 《基本不等式》典型例题
- 必修五-不等式知识点总结
- 必修五基本不等式的题型与易错点
- 高中数学必修五基本不等式题型(精编)
- 数学必修五基本不等式精品课件(不好你不要)
- 基本不等式的应用(适合高二必修五)
- 高一数学必修五基本不等式PPT 课件
- 高中数学必修五基本不等式题型
- 高中数学必修五基本不等式题型(精编)(精选.)
- 必修五基本不等式题型分类(绝对经典)