高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练

班级 姓名

1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1

|()|()2

f x

g x >+；

2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：

()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知

2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）．

(1)求()()()F x h x x ?=-的极值；

(2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012

=--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1

2)(2+-=

x m

x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),(

),(βμ

λμβ

λααf f f ++的大小；

②证明.|||)()(|βαμ

λλβ

μαμλμβλα-<++-++f f

4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值.

（I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；

（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -<

21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．

5．若函数()()2

ln ,f x x g x x x

==-

（1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间；

（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

6、已知函数.2

3)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值；

（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3

1

,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围

7.已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式

ln 1ln 21?+≤- ?．

8.已知函数2

1()ln 2

f x x x =

+. （1）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；

（2）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数3

2()3

g x x =的图象的下方； （3）求证：[()]()n

n

f x f x ''-≥22(n

n -∈N *）.

9.已知函数)0()(,ln )(<==a x

a

x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。 （Ⅰ）求F （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2

1≤

k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)1

2(

2

-++=m x a g y 的图象与)1(2

x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。

10.已知函数2

1()2,()l o g 2

a f x x x g x x

=

=－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）．

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1

021

()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．

参考答案

1．解：（Ⅰ）当[,0)x e ∈-时，(0,]x e -∈，故有()ln()f x ax x -=-+-，由此及()f x 是奇函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-?=--，因此，函数()f x 的解析式为

ln()

(0)

()ln (0)

ax x e x f x ax x

x e ---≤

+<≤?；

（Ⅱ）当[,0)x e ∈-时，11

()ln()()ax f x ax x f x a x x

-'=--?=-=

： ①若10a e

-≤<，则11111

()0f x a x e x e e

'=-

≥--≥-+=?()f x 在区间[,0)e -上是增函数，故此时函数()f x 在区间[,0)e -上最小值为()()ln 3f e a e e -=--=，得4

a e

=-，不符合

10a e -≤<，舍去。②若1a e <-，则令1()0(,0)f x x e a '=?=∈-，且()f x 在区间1,e a ?

?-???

?上

是减函数，而在区间1,0a ??????上是增函数，故当1x a =时，min 11[()]1ln f x f a a ????

==-- ? ?????

．

令21131ln 3f a e a a ????

=?--=?=- ? ?????

．

综上所述，当2a e =-时，函数()f x 在区间[,0)e -上的最小值是3．

（Ⅲ）证明：令1

()|()|()2

F x f x g x =--

。当0x e <≤时，注意到ln x x >（设h(x)=x-lnx ，利用导数求h(x)在0x e <≤的最小值为1，从而证得x-lnx >1），故有

ln 1ln 1

()|ln |ln 22

x x F x x x x x x x =--

-=---．

①当02x <<时，注意到1ln x x -≥，故

1111112()1ln 1(1)02222x F x x x x x x x x x -????

=-+->-+--=-=> ? ????

?；

②当2x e ≤≤时，有2222

11ln 1ln 421ln 2

()10x x x x F x x x x x ---+--+'=--

=≥>，故函数()F x 在区间[2,]e 上是增函数，从而有

ln213

()2ln2(1ln2)0222F x ≥--

-=->。 因此，当0x e <≤时，有1

|()|()2

f x

g x >+。

又因为()F x 是偶函数，故当0e x -≤<时，同样有()0F x >，即1|()|()2

f x

g x >+．

综上所述，当1a =-时，有1|()|()2

f x

g x >+；

2. 【解】(Ⅰ) ()()()F x h x x ?=-= 22ln (0)x e x x ->，

2

()2e F x x x '∴=-

=

． 当x =()0F x '=．

当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；

当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增；

∴当x =

()F x 取极小值，其极小值为0．

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数)(x h 和)(x ?的图象在e x =

处有公共点，因此若存在)

(x h 和)(x ?的隔离直线，则该直线过这个公共点． 设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -=-，即

e k e kx y -+=． 由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立．

2)2(e k -=? ，

∴由0≤?，

得e k 2=． 下面证明e x e x -≤2)(?当0>x 时恒成立．

令()()G x x e ?=-+e x e x e +-=2ln 2，则

2

()e G x x '=

-= 当x =()0G x '=．

当0x <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；

当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减；

∴当x =

()G x 取极大值，其极大值为0．

从而()2ln 0G x e x e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ?恒成立．

∴函数()h x 和()x ?存在唯一的隔离直线y e =-．

解法二： 由(Ⅰ)可知当0x >时，()()h x x ?≥ (当且当x =) ．……7分

若存在()h x 和()x ?的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得

()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ?≤+>恒成立，

令x =

e b ≥+

且e b ≤+

b e ∴+=，即e k e b -=． 后面解题步骤同解法一．

3. （I ）解：01,2=--mx x 是方程βα 的两个实根，

??

?-=?=+∴.

1,

βαβαm .1

)()(212)(2

2αβααβααβ

αβααααα=--=-+-=+-=

∴m f .1)(=∴ααf

…………3分

（II ）1

2)(2

+-=

x m

x x f ， .)1()

1(2)1(2)2()1(2)(2

2222+---=+?--+='∴x mx x x x m x x x f

…………4分

当.0))((1,),(2<--=--∈βαβαx x mx x x 时 …………5分

而0)(>'x f ，

),()(βα在x f ∴上为增函数。

…………7分

（III ）①βαμλ<>>且,0,0

.

.0)

()(,

0)()(βμ

λμβλααμ

λβαλμλβμλμβλαβμλμβλαμλαβμμλαμλμβλααμλμβλα<++<∴<+-=++-+=-++>+-=++-+=-++∴

…………9分

由（II ），可知).()(

)(βμ

λμβ

λααf f f <++<

…………10分

②同理，可得).()(

)(βμ

λλβ

μααf f f <++<

).()()()(

)()(αβμ

λλβ

μαμλμβλαβαf f f f f f -<++-++<-∴

.|)()(||)()(

|βαμ

λλβμαμλμβλαf f f f -<++-++∴

…………12分

又由（I ），知.1,1

)(,1)(-===

αββ

βα

αf f

.||||

|1

1

|

|)()(|βααβ

α

ββ

αβα-=-=-

=-∴f f 所以.|||)()(

|βαμ

λλβ

μαμλμβλα-<++-++f f

…………14分

4. 解：（I ）22()[(2)]x f x x a x a b e -'=++++，由条件得：(1)0f '=.

230a b ∴++=，32b a ∴=--.

（1分）

22()[(2)3]0x f x x a x a e -'=++-->得：(1)[(3)]0x x a ---->.

当4a =-时，1x =不是极值点，4a ∴≠-. （2分） 当4a >-时，得1x >或3x a <--；当4a <-时，得3x a >--或1x <. （4分） 综上得：当4a >-时，()f x 的单调递增区间为(,3)a -∞--及(1,)+∞ 单调递减区间为(3,1)a --. （5分） 当4a <-时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞及(3,)a --+∞ 单调递减区间为(1,3)a --. （6分） （II ）(0,1)a ∈时，由(I)知()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增. ∴当[0,2]x ∈时，11min ()(1)(1)(2)f x f a b e a e --==++=--. 又2(0)(32)f a e -=--，(2)421f a b =++=，则(2)(0)f f >.

∴当[0,2]x ∈时，1()[(2),1]f x a e -∈--.

（8分）

∴由条件有：

2112max min max [(2)]1()()()()m a m e f x f x f x f x -+++>-=-11(2)a e -=++.

2(2)2m a m a ++>+.即2(1)20m a m ++->对(0,1)a ∈恒成立.

令2

()(1)2g a m a m =++-，则有：2

2

(0)20

.(10)(1)10

g m g m m ?=-≥??=+-≥??分

解得：m 或m （14分）

5. 【解】:(1)由题意知:

()x ?的定义域为()0,+∞,

()22

2

x kx x x ?++'=

令()22p x x kx =++

28k ?=-

当2

80k ?=-≤时,即k -≤≤时,

()0x ?'≥

当2

80k ?=->时,即k k ><-

方程2

20x kx ++=有两个不等实根, 1222

k k x x --+==

若k >120x x <<,则在()0,+∞上()0x ?'>

若k <-则120x x <<,

()()()()()()11220,,0,,,0,,,0x x x x x x x x x x ???'''∈>∈<∈+∞>当当当

所以:综上可得:

当k <-时, ()x ?的单调递增区间为,??

+∞ ? ?????,单调递减

区间为??

;

当k >()x ?的单调递增区间为()0,+∞

(2)解法一：因为[),x e ∈+∞，所以ln ln 1

x x

x x ax a a x ≥-?≤- 令()[)ln ,,1x x h x x e x =

∈+∞-，则()()

2

ln 1

1x x h x x --'=- 当[),x e ∈+∞时，()1

ln 110x x x

'--=->，故ln 1ln 120x x e e e --≥--=-> 所以：()()

()()2

min ln 1

01

1x x e h x h x h e e x --'=

>∴==

-- 1

e a e ∴≤

- 解法二：()ln 0xf x ax a x x ax a ≥-?-+≥ 令()ln h x x x ax a =-+ 当[),x e ∈+∞时()min 0h x ≥

()()1ln 1,0a h x x a h x x e -''=+-==由得：

()()()()110,,0,,,0a a x e h x x e h x --''∈<∈+∞>当时当时

所以()h x ()10,a e -上单调递减，在()

1

,a e -+∞单调递增

①当2a ≤时，()1,a e e h x -≤在[),x e ∈+∞上单调递增，()()min 0h x h e e ae a ==-+≥

1

e

a e ∴≤

- ②当2a >时，()0h e e a ae ≥?+≥

若2a e <<，则2e a e ae +<<；若a e ≥，则2e a a ae +≤< 故2a >不成立， 综上所得：1

e a e ≤

- 6.解：（I ）2

3)

13)(1(33323)(+-+-=-+=

'x x x x x x f ，

令131

0)(-==='x x x f 或得（舍去）

)(,0)(,3

1

0x f x f x >'<≤∴时当单调递增；

当)(,0)(,131

x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(6

1

3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值

（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得

x

x a x x a 323

ln ln 323ln

ln ++<+->或， …………① 设3

32ln 323ln ln )(2

x x x x x h +=+-=，

x

x

x x x g 323ln 323ln

ln )(+=++=，

依题意知]31

,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，

0)32(2

)

32(33)32(3332)(2

>+=+?-+?+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2

2>++=+?+=

'x x x

x x x x h ，

]3

1

,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，

当且仅当.51ln 31ln ),6

1()31(<><>a a g a h a 或即或

（III ）由.022

3)32ln(2)(2

=-+-+?+-=b x x x b x x f

令x

x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2

2+-=+-+='-+-+=??则，

当]3

7

,0[)(,0)(,]37,

0[在于是时x x x ??>'∈上递增； 当]1,3

7[)(,0)(,]1,37[

在于是时x x x ??<'∈上递减 而)1()3

7

(),0()37(

????>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于 ??

??

?

?

???

≤-+=>-+

-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3

7(02ln )0(b b b ??? .3

7

267)72ln(215ln +-+<≤+

∴b 7. 解：（1）()1a a b ax

f x ax b ax b

--'=

-=

++. 0,0,0x a b >> ≥, ()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤.

当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>-- ≥≤, 即()0f x '≤. ()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a ≥. ………（4分） （2）由（1）知，当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；

当b a <时，()a b ax f x ax b --'=+ ，∴当0a b x a -<

≤时，()0f x '>，当a b

x a

->时()0f x '<， 即在[0,

)a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，a b

x a

-=

时()f x 取最大值，

最大值为max ()()ln a b a b

f x f a a a --==-， 即max ln (),

()ln ().b b a f x a b

a b a a ??=?--

?

≥ ……（13

分）

（3）在（1）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+-, 由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数.

ln(1ln 21-

，即(1)f f ≤，

1

0x <

或x . 故所求不等式的解集为

)+∞ ……………（8分） 8.解：（1）∵f ' (x )=1

x x +

∴当x ∈[1,e]时，f ' (x )>0， ∴()f x 在[1,e]上是增函数 故min 1()(1)2f x f ==，2

max 1()(e)e 12

f x f ==+. ……………………4分

（2）设2312()ln 23F x x x x =+-，则22

1(1)(12)()2x x x F x x x x x

-++'=+-=，

∵1x >时，∴()0F x '<，故()F x 在[1,)+∞上是减函数.

又1(1)06F =-<，故在[1,)+∞上，()0F x <，即23

12ln 23

x x x +<，

∴函数()f x 的图象在函数3

2()3

g x x =的图象的下方. ……………………8分

（3）∵x >0，∴11[()]()n

n

n

n n f x f x x x x x ?

???''-=+-+ ? ??

???，当1n =时，不等式显然成

立；

当n ≥2时，有11

22121111[()]()n n n n n n n n n f x f x C x C x C x x x x

----''-=?

+?++? 12241

2

1224122421101111[()()()]2n n n n n n

n n n n n n n n n n n C x C x C x

C x C x C x x x x -----------=+++?????????????=++++++ 分

≥()1

-n n 2n 1n 2C 2C 2C 21+++ 22n -= ∴[()]()n n f x f x ''-≥22(n

n -∈N *）

9解.(Ⅰ) F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('2

2>-=-=x x

a

x x a x x F ）上单调递增。在（由+∞∴+∞∈?>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a 由）上单调递减在（

a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈?<'。 ）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F

（Ⅱ）恒成立)30(21)(),30()(02

002≤<≤-='=≤<-=

'x x a x x F k x x a

x x F

min 020)21(x x a +-

≥ 当212110200取得最大值时，x x x +-= 2

1

,21=∴≥∴nmn a a …………………………………………4分

（Ⅲ）若21

211)1

2(22

-+=-++=m x m x a g y 的图象与 )1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点，

即

)1ln(2

1

2122+=-+x m x 有四个不同的根，亦即 2

1

21)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。

令2

121)1ln()(22

+-+=x x x G ，

则1

)1)(1(1212)(2232+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。 当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：

由表格知：02ln )1()1()(,2

)0()(>=-===

=G G x G G x G 最大值最小值。 画出草图和验证212125ln )2()2(<+-=-=G G 可知，当)2ln ,2

1

(∈m 时，

恰有四个不同的交点，与m y x G y ==)(

的图象与时，当21

211)1

2()2ln ,21(22-+=-++=∈∴m x m x a g y m

交点。的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y ………………12分 10.解：（Ⅰ）因为2

1()2log 2

a h x x x x =

-+(0)x >， 所

以

21

l

(

)

l

n x h x x a

-+

'=-+

=

． …………………………………………3分

因为h （x ）在区间(0,)+∞上是增函数，

所以2ln 2ln 10ln x a x a x a

-+≥在区间(0,)+∞上恒成立．

若0

又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2－4ln a ＝0，ln a ＝0，或ln a ＝1与ln a <0矛

盾．

所以a >1．

由2ln 2ln 10x a x a -+≥恒成立，又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2

－4ln a ＝0，

所以ln a ＝1，即a ＝

e ． ……………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），001()g x x '=，于是21

0211y y x x x -=-，21021ln ln x x x x x -=-．…………………………

9分

以下证明21

121

ln ln x x x x x -<

-． （※）

（※）等价于121121ln ln 0x x x x x x --+<． ……………………………………………

11分

令r （x ）＝x ln x 2－x ln x －x 2＋x ，…………………………………………………………

13分

r ′（x ）＝ln x 2－ln x ，在（0，x 2］上，r ′（x ）>0，所以r （x ）在（0，x 2］上为增函

数．

当x 1

而

01

x x >得到证

明．……………………………………………………………………15分

对于21

221ln ln x x x x x ->-同

理可

证……………………………………………………………16分

所以102x x x <<．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：

要证明21121ln ln x x x x x -<-，只要证明2

121

1

ln x x x x ->1，令21x

t x =，作函数h （x ）＝t －1－ln t ，下略．

分