2020届高三数学模拟考试(理科)含答案
(满分150分,用时120分钟)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的. 1.设集合{}0652
<--=
x x
x A ,{}02<-=x x B ,则=B A I ( )
A .
{}23<<-x x B .{}22<<-x x C .{}26<<-x x D .{}21<<-x x
2.设i z i -=?+1)1(,则复数z 的模等于( )
A .2
B .2
C .1
D .3 3.已知α是第二象限的角,4
3
)tan(-
=+απ,则=α2sin ( ) A .2512 B .2512- C .2524 D .25
24-
4.设5.0log 3=a ,3.0log 2.0=b ,3.02=c ,则c b a ,,的大小关系是( )
A .c b a <<
B .b c a <<
C .b a c <<
D .a b c <<
5.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的
墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的3
2
,
并且球的表面积也是圆柱表面积的3
2
”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积
为π24,则该圆柱的内切球体积为( )
A .
π3
4 B .π16 C .π
316 D .
π3
32
6.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市1月至8月的空气
质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是空气 质量合格,下面四种说法不.正确..
的是( )
A .1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个
B .第二季度与第一季度相比,空气质量合格天数的比重下降了
C .8月是空气质量最好的一个月
D .6月的空气质量最差
7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S , 则“2312a a a <+”是“012<-n S ”的( )
A .充分不必要
B .必要不充分
C .充要
D .既不充分也不必要
8.设x ,y 满足??
?
??≤--≥-≥+22142y x y x y x ,则y x z +=的取值范围是( )
A .[]3,5-
B .[]3,2
C .[)+∞,2
D . (]3,∞-
9.设函数1sin )(22+=x x
x x
f
,则
)(x f y =,[]ππ,-∈x 的大致图象大致是的( )
A
B
C
D
10.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若1a =,23c =,sin sin 3b A a B π??=-
???
,则sin C =( ) A .
3
7
B .
217
C .
2112
D .
19
57
11.如图示,三棱椎ABC P -的底面ABC 是等腰直角三角形,?
=∠90ACB ,且2===AB PB PA ,
3=PC ,则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于( )
A .
31
B .36
C .3
3 D .
3
2 12.在ABC ?中,2=AB ,3=AC ,?=∠60A ,O 为ABC ?的外心,若AC y AB x AO +
=,R y x ∈,,
则=+y x 32( )
A .2
B .35
C .
34 D .2
3
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在6)(a x +的展开式中的3x 系数为160,则=a _______.
14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且0>x 时,x x x f 2)(2
-=,则不等式x x f >)(的
解集为__________.
15.若对任意R x ∈,不等式0≥-kx e x 恒成立,则实数k 的取值范围是 .
16.已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为A ,延长2AF
交椭圆C 于点B ,若△1ABF 为等腰三角形,则椭圆的离心率=e ______.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题 考生都必须作答.第22、23为选考题,考生仅选一个作答.
17.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列,其前n 项和为n S ,11=a ,若1a ,2a ,5a 成等比数列.
(Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)设*)(1
1
21N n a b n n ∈-=
+,设数列{}n b 的前n 项和n T ,证明:4
1
<
n T . 18.2019年6月,国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ,我们国家的移动通信业务用了不到20年 的时间,完成了技术上的飞跃,跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿,2019年8月, 从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查,样本中各类用户分布情况如下:
中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人
后期用户2022年1月及以后200人
我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较,可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).
(Ⅰ)从该地高校大学生中随机抽取1人,估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率;(Ⅱ)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人,以X表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)2019年底,从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G套餐,能否认为样本中早期体验用户的人数有变化?说明理由.
19.如图示,在三棱锥BCD
A-中,2
=
=
=BD
BC
AB,3
2
=
AD,
2
π
=
∠
=
∠CBD
CBA,点E为AD的中点.
(Ⅰ)求证:平面ACD⊥平面BCE;
(Ⅱ)若点F为BD的中点,求平面BCE与平面ACF
所成锐二面角的余弦值.
20.已知椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
(0
>
>b
a)经过点)1,0(,离心率为
2
3
,A、B、C为椭圆上不同的三点,且满足=
+
+,O为坐标原点.
(Ⅰ)若直线AB、OC的斜率都存在,求证:OC
AB
k
k?为定值;
(Ⅱ)求AB的取值范围.
21.设函数ax
x
e
x
f x-
-
=2
2
1
)
(,R
a∈.
(Ⅰ)讨论)
(x
f的单调性;
(Ⅱ)1
≤
a时,若
2
1
x
x≠,2
)
(
)
(
2
1
=
+x
f
x
f,求证:0
2
1
<
+x
x.
E
F
C
B
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为32t x y ?
=-+??
??=??
,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=. (Ⅰ)求l 的普通方程及C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围. 23.已知
a x x x f ++-=1)(,R a ∈.
(Ⅰ) 若1=a ,求不等式4)(>x f 的解集; (Ⅱ))1,0(∈?m ,R x ∈?0,不等式)(1410x f m
m >-+成立,求实数a 的取值范围.
理科参考解答
13.2 14.()),3(0,3+∞-Y
15.[]e ,0 1 6.33
三、填空题
17.解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意有
????==512211a a a a ()0)4(1112
1
1≠???+?=+=?d d a a d a a 且???==?211d a ………………4分 所以()12121-=-+=n n a n
()212
n a a n S n n =+=
…………6分
(Ⅱ)因为()
??
? ??+-=
+=
-=
+11141141
1
1
21n n n n a b n n ………8分 所以????????? ??+-++??? ??-+??? ?
?-=
111
...312121141n n T n …10分
()4
1
1414111141<+-
=??? ??+-=
n n T n ……12分
18.解:(Ⅰ)由题意可知,从高校大学生中随机抽取1人,该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率,即
270530
0.81000
+=.……2分
(Ⅱ)由题意X 的所有可能值为0,1,2,……3分
记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”, 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”, 由题意可知,事件A ,B 相互独立,且()140%0.6P A =-=,()145%0.55P B =-=, 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=,
(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-
0.6(10.55)(10.6)0.55=?-+-?0.49=,
(2)()0.60.550.33P X P AB ===?=, ……6分
所以X 的分布列为
故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =?+?+?=.……8分
(Ⅲ)设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G 套餐”,
则3270
31000
()0.02C P D C =≈.……10分
回答一:事件D 虽然发生概率小,但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二:事件D 发生概率小,所以可以认为早期体验用户人数增加. ……12分 19.(Ⅰ)证明:(第一问6分,证明了AD BC ⊥给4分)
ACD BCE ACD AD BCE AD E BD BC AD
BE AD BC ABD AD ED AE BD AB ABD BC CBD CBA 面面面面面面⊥???
??????
?
?????????⊥???
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
=⊥⊥???
?
?
???
?????
==⊥?=
∠=∠I 2π
(Ⅱ)解:以点B 为坐标原点,直线BC ,BD 分别为 x 轴,y 轴,过点B 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,
建立空间直角坐标系,则()0,0,2=→
BC ,???
? ??=→
23,21,0BE ,()0,1,2-=→
CF ,()
3,2,0=→BF
设面BCE 的一个法向量()
1111,,z y x n =→
,?????⊥⊥BE n BC n 11?????=+
=?02
32
10
2111z y x ()
1,3,011
1-=??→?→
=n z 令…9分
同理可得平面ACF 的一个法向量???
?
??--=2,3,232n …10分
31
315,,cos 2
22222=
?=
> 故平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为3131 5.……12分 20.(Ⅰ)证明:依题有??? ????+===2 22231 c b a a c b ?????==?1422b a , 所以椭圆方程为1422=+y x .…2分 设()11,y x A ,()11,y x B ,()11,y x C , 由O 为ABC ?的重心123123,;x x x y y y ?+=-+=- 又因为()()()()2222 11221212121244,4440+=+=?+-++-=x y x y x x x x y y y y ,……4分 ()312121212123121 ;.44 -++?= =-==?=--++AB OC AB OC y y y x x y y k k k k x x y y x x x ……6分 (Ⅱ)解 ①当AB 的斜率不存在时:1212313,02,0=+=?=-=x x y y x x y 113 1,||3;2 ?=±=± ?=x y AB 代入椭圆得……7分 ②当AB 的斜率存在时,设直线为t kx y +=,这里0≠t 由????=++=4 42 2 y x t kx y () 22 222418440041;,?>=>++-?++k x kt t t k x ……8分 222228211,44,;4141-???? ??≥+-+? =k t t kt t C k k 代入椭圆方程: () () ( 2222 122 22 16419||=1||1 33,23;441-+?+-=+=+ ∈?+k t AB k x x k t k ……11分 综上,AB 的范围是 [ ] 32,3. ……12分 21. 解:(Ⅰ)a x e x f x --=')(,令)()(x f x g '=.……1分 则1)(-='x e x g ,令01)(=-='x e x g 得0=x . 当)0,(-∞∈x 时, ,0)(<'x g 则)(x g 在)0,(-∞单调递减; 当),0(+∞∈x 时, ,0)(>'x g 则)(x g 在),0(+∞单调递增. 所以a g x g -==1)0()(min .……3分 当1≤a 时,01)(min ≥-=a x g , 即0)()(≥'=x f x g ,则f(x)在R 上单调递增; ……4分 当1>a 时,01)(min <-=a x g , 易知当-∞→x 时,+∞→)(x g ;当+∞→x 时,+∞→)(x g , 由零点存在性定理知,21,x x ?,不妨设21x x <,使得.0)()(21==x g x g 当),(1x x -∞∈时,0)(>x g ,即 0)(>'x f ; 当),(21x x x ∈时,0)( 所以)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增,在),(21x x 单调递减. ……6分 (Ⅱ)证明:构造函数2)()()(--+=x f x f x F ,0≥x . 22121)(22-?? ? ???+-+-- =-ax x e ax x e x F x x ,0≥x . 22--+=-x e e x x x e e x F x x 2)(--='- 0222)(=-?≥-+=''--x x x x e e e e x F (当0=x 时取=). 所以)(x F '在[)+∞,0上单调递增,则0)0()(='≥'F x F , 所以)(x F 在[)+∞,0上单调递增,0)0()(=≥F x F .……9分 这里不妨设02>x ,欲证021<+x x , 即证21x x -< 由(Ⅰ)知1≤a 时,)(x f 在R 上单调递增, 则有)()(21x f x f -<, 由已知2)()(21=+x f x f 有)(2)(21x f x f -=, 只需证)()(2)(221x f x f x f -<-= , 即证2)()(22>-+x f x f ……11分 由2)()()(--+=x f x f x F 在[)+∞,0上单调递增,且02>x 时, 有02)()()(222>--+=x f x f x F , 故2)()(22>-+x f x f 成立,从而021<+x x 得证. ……12分 22.【解】(Ⅰ )直线l 的参数方程为32t x y ? =-+?? ? ?=?? ,(t 为参数), 消去参数t 可得l 0y -+=; 曲线C 的极坐标方程为2 4cos 30ρρθ-+=, 可得C 的直角坐标方程为22 430x y x +-+=.…………5分 (2)C 的标准方程为()2 221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,所以,圆心C 到l 的距离为 d = = 所以点P 到l 的距离的取值范围是1? ??? .………………10分 23、解: (Ⅰ)当1=a 时,?? ???-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2, 1,211)(x x x x x x x x f …………2分 ???>≥?>4214)(x x x f ,或???><<-4211x ,或???>--≤421 x x ……4分 2>?x ,或2- 故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞Y ; (5) (Ⅱ)因为 1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f )1,0(∈?m ,[]m m m m m m m m m m -+-+=-+-+=-+ 1145)1()141(141 911425=-?-+≥m m m m (当3 1=m 时等号成立)……8分 依题意,)1,0(∈?m ,R x ∈?0,有)(14 10x f m m >-+ 则有91<+a 解之得8 10<<-a 故实数a 的取值范围是)8,10(-…………10分 高三数学一模考试总结3篇 高三数学一模考试总结篇一: 一、试卷分析 作为高三开学后的第一次一模考试,本试卷整体结构及难度分布合理,贴近全国卷试题,着重考查基础知识、基本技能、基本方法(包括基本运算)和数学基本思想,对重点知识作了重点考查,主要检测学生对基本知识的掌握以及解题的一些通性通法。试题力求创新。理科和文科试题中有不少新题。这些题目,虽然素材大都源于教材,但并不是对教材的原题照搬,而是通过提炼、综合、改编新创为另一个全新的题目出现,使考生感到似曾相似但又必须经过自己的独立分析思考才能解答。 二、答卷分析 通过本次阅卷的探讨和本人对试卷的分析,学生在答卷中存在的主要问题有一下几点: 1、客观题本次考试在考查基础知识的同时,注重考查能力,着重加强对分析分问题和解决问题能力的考查,送分题几乎没有,加大了对知识综合能力与理性思维能力的考察,对于我们这类学生答题比较吃力,客观题得分较低,导致总分低。 2. 基础知识不扎实,基本技能和方法掌握不熟练. 3. 审题不到位,运算能力差,书写不规范. 审题不到位在的第18题表现的较为明显。这是一道概率题,由于审题不到位致使将概率模型搞错、在(Ⅰ)问中学生出现结果重复与遗漏的现象严重导致后面全错,还有不会应用数学语言,表达五花八门。在考生的试卷中,因审题不到位、运算能力差等原因导致的书写不规范问题到处可见. 4. 综合能力不够,运用能力欠佳. 第21题为例,这道题是导数问题(Ⅰ)求单调区间,(Ⅱ)求 恒成立问题(Ⅲ)最值问题由于学生综合运用能力较弱,致使考生不知如何分类讨论,或考虑问题不全面,导致解题思路受阻。绝大部分学生几乎白卷。 5. 心态不好,应变能力较弱. 考试本身的巨大压力,考生信心不足,造成考生情绪紧张,缺乏冷静,不能灵活应变,会而不对、对而不全,甚至会而不得分的情形常可见到 三、教学建议 后阶段的复习,特别是第二轮复习具有承上启下,知识系统化、条理化的作用,是促进学生素质、能力发展的关键时期,因而对讲练、检测等要求较高,如何才能在最后阶段充分利用有限的时间,取得满意的效果?从这次的检测结果来看: 1、研读考纲和说明,明确复习方向 认真研读考试大纲和考试说明,关注考试的最新动向,不做无用功,弄清了不考什么后,还要弄清考什么,做到有备无患。 2、把所学知识和方法系统化、网络化 (1)注重基础知识,整合主干内容,建构知识网络体系。专题训练和综合训练相结合,课本例习题和模拟试题都重视,继续查漏补缺,归纳总结,巩固和深化一轮复习成果。 (2)多思考感悟,养成良好的做题习惯。分析题目时,由原来的注重知识点,渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。做到审题三读:一读明结构,二读抓关键,三读查缺漏;答题三思:一思找通法,二思找巧法,三思最优解;题后三变:一变同类题,二变出拓展,三变出规律。以此总结通性通法,形成思维模块,提高模式识别的能力,领悟数学思想方法,从而提高解题能力 3、合理定位,量体裁衣 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图 高三数学一模质量分析 淄博十七中高三数学组 一、试卷分析 1、试卷质量高 这次一模试卷质量很高,试题设计相对平稳,没有十分难的试题,整卷区分度较好。选择题有新颖、填空题有创新,解答题入口宽,方法多,在解题流程中设置关卡,试卷保持了和2008年山东高考数学试题的相对一致。 2、试题知识点分布 试卷涵盖高中数学五本书的所有章节的主干知识,符合山东卷的特点,不仅考查了学生的基础知识和运用知识解决问题的能力,而且对培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力有一定的指导和促进作用。 二、得分分析 我校实际参加考试人数理科107人,文科420,其中最高分105分,平均分33.8分,及格人数为7人。 高三数学一卷(满分60)均分25.8 , 得分率0.43 二卷填空题(满分16) 均分4分,得分率0.25, 解答题17是三角题(满分12分), 18题是概率题(满分12分),19题(满分12分)是立体几何题均分4分, 得分率只有0.11,后面20、21、22题得分很低,得分率约0.02。 三、存在问题 1、备课组层面 从目前的教学情况看,“学案导学”教学模式虽然有了很好的推广,但艺术学生(十七中大部分是艺术生)大部分都专注于艺术课,用于数学学习的时间太少,致使他们没有及时完成课后练习及课前预习;学生的情绪不稳定,很多人的心思还在艺术上;学生自主学习的能力没有得到进一步的提高;高三复习时间紧张,教学内容较多,相对化在课本上的时间较少,本来他们的基础就比较薄弱,因此,一定要高度重视教材,针对教学大纲所要求的内容和方法,把主要精力放在教材的落实上。 2、教师层面 教学中应关注每一位学生,尤其是中下游学生,对中下游学生的关注度不够;对艺术生的关注和了解还不够;课堂教学中应落实双基,以基础为主;课堂教学和课后反思不到位;教师之间的相互听评课还有代于进一步提高。在高三数学复习中,对概念、公式、定理等基础知识落实不够,对推理、运算、画图等基本技能的训练落实不够,对数学思想方法的总结、归纳、形成“模块”不够,考生在考试中反映出的问题,不少是与基本训练不足与解题后的反思不够有关。在高三数学复习中,大部分复习工作是由教师完成的,复习中,在学生的解题思路还末真正形成的情况下,教师匆匆讲解,留给学生独立思考的时间和动手、动脑的空间太少.数学高考中,学生的思维跟不上,解题速度跟不上,与我们在平时的复习中,不够注意发挥学生的主体作用,留给学生思考的空间,自已动脑、动手的时间太少有较大的关系。 3、学生方面 1、基础知识不扎实,对公式、定理、概念、方法的记忆、理解模糊。 2、计算能力薄弱,知识的迁移能力差,综合运用知识的能力差。 3、审题不清,答题不全面、不完整、不规范。 高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<<高三数学一模考试归纳3篇.doc
2018年高三数学模拟试题理科
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2020-2021高考理科数学模拟试题
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