(完整版)上海高中数学-复数讲义
复数
一、知识点梳理： 1、 i 的周期性：
4 4n+1 4n+2 4n+3 4n
i =1 ，所以， i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z
4n 4n 1 4n 2 4n 3
i i i i
C a bi |a,b R 叫做复数集。 N Z Q R C.
3、复数相等： a bi c di a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0
实数 (b=0)
4、复数的分类： 复数 Z a bi 一般虚数 (b 0,a 0) 虚数 (b 0)
纯虚数 (b 0,a 0)
虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 3 i,6 2i 也没有大小。
uur uur
5、复数的模：若向量 OZ 表示复数 z ，则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模， z |a bi| a 2 b 2
；
8、复数代数形式的加减运算 复数 z 1与 z 2的和：
z 1+z 2=( a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d )i . a, b, c, d R
复数 z 1与 z 2的差： z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b -d )i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义： 复数 z 1=a +bi ，z 2=c +di a, b,c, d R ；OZ = OZ 1 +OZ 2 =( a ，b )+( c ， d )=( a +c ，b +d ) ＝( a +c )+( b +d )i
uurur uuuur uuuur
复数减法的几何意义：复数 z 1- z 2的差( a － c )+( b －d )i 对应 由于 Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2 ，两个 复数的差 z －z 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 .
9. 特别地， z u A u B ur
z B － z A. ， z u A u B ur
AB z B z A 为两点间的距离。
|z z 1 | |z z 2 |z 对应的点的轨迹是线段 Z 1Z 2的垂直平分线； |z z 0| r ， z 对应
的点的
2 、复数的代数形式： a bi a,b R ， a 叫实部，
b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 积或商的模可利用模的性质( 1) z 1 L z n z 1
z
2
L
z
n
，(2)
z 1
z 1
z
2
z
2
z
2
6、复数的几何意义：
复数 z a bi a,b R
一一对应
复平面内的点 Z(a,b)
一一对应
uur
复数 Z a bi a,b R
平面向量 OZ ，
7、复平面： 这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫其中 x 轴叫做实轴，
y 轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数； 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数
轨迹是一个圆；
|z z 1| |z z 2 | 2a Z 1Z 2 2a ， z 对应的点的轨迹是一个椭
圆；
11、复数的乘除法运算： 复数的乘法： z 1z 2= ( a +bi )( c +di )=( ac －bd )+( bc +ad ) i . a, b,c, d R
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集 R 中正整数指数的运算律 ,在复数集 C 中仍然成立 .即对 z ,z ,z ∈C 及
m,n ∈N 有: 123 m n m+n mn mn n nn
z z =z , (z ) =z , (z z ) =z 1 2 1 z.
2
复数的除法： z 1
(a+bi) a bi ac bd bc ad a,b, c, d R ，分母实
(c+di)= =2 2 2 i
z
2 c
di c
2
d
2 c
d
2
数化是常规方法
12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复
数；特别地，虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
R ， 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实
轴 对 称 。
z |z| a
2
b 2
15、实系数一元二次方程的根问题：
(1)当 b 2
4ac 0时，方程有两个实根 x 1,x 2。 (2)当 b 2
4ac 0 时，方程有两个共轭虚根，其中 x 1 x 2
|z z
1 | |z z
2 | 2a Z 1Z 2 2a ， z 对应的点的轨迹是双曲线。
10、显然有公式： z
1
z
1
z
2
2 z 2
z
1
z
1
z
2 2
z 2
z
1
z
2 2
2 z 1 2
2 z 2
z a bi,z a bi a,b 22
2
2
z z a b R,z z z
z ， z 1 z 2
z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1
z 2
z 1 z 2
1
13、熟记常用算式： i ，(1 i)2
2i ， (1 i)2
2i ，11 i
1i i ，
22
1)①
(1 i)2 2i ② (1 i)2
1 i
i 1 i
2i
③
1 i ④ 1 i
2)“1”的立方根
13
i 2 2 的性质：
32
① 3
1 ② 2
③1
0④
11
1
⑤
z 2
二、典例分析：
（1+i ） 2
例 1．（1）复数 等于 （
1－i
解：已知 Z iZ 2i Z 2i
1i
(3)设 a 、b 、c 、d ∈R ，则复数 ( a +b i)( c +d i) 为实数的充要条件是
A. ad －bc =0
B. ac － bd =0
C. ac +bd =0
D. ad +bc =0
此时有
x 1 x 2
x 1x 2 c
且 x 1,2
a
bi 2a
注意两种题型： （1） x 1 x 2 (2) x 1 x 2 虚系数一元二次方程有实根问题： 韦达定理。 不能用判别式法， 般用两个复数相等求解。 但仍然适用
已知 x 2 x
1
是实系数一元二次方程 ax 2
bx c
0 的两个根，求 x 2 x 1
的方法：
1）
b 2
4ac 0时，
x 2 x 1
2
(x 1 x 2 )
4x 1x 2
b 2
4ac
(2)当 2
b 2
4ac 0
x
2
x
1
(x 1 x 2 )2
4x 1x 2
4ac b 2
2
ax
bx c 0 的两个根，求 x 2 x 1 的方法：
（1） 当 b
2 4
ac 0时 ①
x 1
x 2 0,即 c
0 ， a 则 ②
x 1
x 2
0,即 c 0， a 则 （2）
当 b
2 4ac
时，
x 1 x 1 x 1 x 2
x 1 x 2 (x 1 x 2)2
4x 1x 2
b 2
4ac
2 x 1 A.1 － i B.1+i (1+i) 2
2i
解析
: 复数
1－i =
i(1 i) 1i
C.
－ 1+ i D. － 1－ i i ，选 C ． 2）若复数 z 同时满足 z － z ＝2i ， z ＝ iz （ i 为虚数单位） ，则 z ＝ x 2 x 2 x
2
x
1
已知 x 1,x 2 是实系数一元二次方程
2 x 1 x 2
轨迹是一个圆；|z z1| |z z2 | 2a Z1Z2 2a ， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；
解析：(1)a,b,c R,复数(a bi)(c di)=(ac bd) (ad bc)i 为实数，∴ ad bc 0，
x
2
选 D ；
（4）
已知 m
1i 1 ni ，其中 m ， n 是实数， i 是虚数单位，则 m ni （
）
(A)1+2i (B) 1
－ 2i
(C)2+i
(D)2 －i
解析
m
1
ni m 1 n 1 n
i ，由 m
、 n 是实数，得 1 n
0，
1i
1n m
∴
n 1
m ni 2i ，故选择 C 。
m2
（5） 设 x, y 为实
数，
且x
y5
，则
x y
。
1 i1 2i 1 3i
解
析
x y x(1 i) y(1 2i) (x y) (x 2y )i ，
1 i 1 2i 2
5 25 2 5
而 5 5(1 3i) 13 i 所以 x y
1且x 2y 3 ，解得 x ＝－ y ＝5，
1 3i 10 22
25 22 5 2
所以 x ＋ y ＝ 4。
点评本题考查复数的运算及性质，
基础题。
例 2： （1）计算
2 3 i
1996 2
1 2 3i
1i
答案： 1 i
（2
） 设复数 z 满足关系 z |z | 2 i ，求 z ；
解：设 z=a+bi （ a,b 为实数）
，由已知可得
a bi
a 2
b 2
2 i
由复数相等可得： a a 22
2 b 2 2
，解得 a
3 ,b 1，所以 z 3
i
b 1
4 4
设 z=a+bi-x+yi （ a,b 为实数）复数问题实
数化。
（3） 若 x C ，解方程 | x| 1 3i x
解：设x=a+bi （a,b ∈R ）代入条件得 : a 2 b 2 1 a （3 b ）i ,由复数相等的
定义可得：
22
a b 1 a
, ∴a=－ 4， b=3，∴ x=－ 4+3i 。
3 b 0
22
例 3：（1） 复数 z 满足|z i|2
|z i|2
1，则 z 对应的点在复平面内表示的图形为（ A ）
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线 解：令 z=x+yi （ x ，y ∈R ），则 x 2
+（y+1） 2
－[x 2+（y －1） 2]=1 ，∴ y=1/4 。故选 A 。
（2）设复数 z满足：|z 3 3i | 3 ，求|z| 的最大值与最小值；
x
2
解： |z| 的最大值为 3 3 ，最小值为 3 ；
－ 2|=1 且复数 z － 2 对应的点落在直线 y=x 上，求 z 。
3）已知 z ∈ C ，|z 解：设 z －2=a+ai ， ∵|z －2|=1 ，∴ a 2
，
2
，
2
i 或 z 2 2
2
2 i 。
【思维点拨】 从整体出发利用条件， 复杂。
可简化运算，本题也可设 z=a+bi 再利用条件，但运算 (4) 设z C,1 |z| 2 ，则复数 u z （1 i ） ，在复平面内对应的图形面积为
解：∵ |u|=| z | ?|1+i|= 2 |z| ，∴ 2 ≤|u| ≤ 2，故面积 S=
[22 ( 2) 2
] 2 。 思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例 4： 已知 z=1+i ， a ， b 为实数， (1) 若ω =z 2
+3 z －4,求| ω|;
2
(2) 若 z
2
az b
1 i ，求 a ，b 的值。
z 2 z 1
解：( 1)ω =(1+i) 2
+3(1 － i) －4=―1―i ，∴| | 2 。
2)由条件
(a b) (a 2)i
1
i ，∴ (a b) (a 2)i 1
i ，∴
思维点拨】利用复数的充要条件解题。
例5：设z C,且 z z
1是纯虚数， 求 |z i |的最大值。 解：令 z=x+yi （ x ，y∈ R），则 z
x 2 y 2 x
z1
(x 1)
2
y 2
y
(x 1)2
y 2
z
是纯虚数，
z1
，即（x 1 1
2)
14
(y
合可知本题是求圆 (x 1
2)2
y
2 1
4(y
0） 上的点到 A （0, －1）
0） ，由数