第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
1.不等关系
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础:在小学,学生已经学过一些关于不等关系的相关知识,知道生活大量存在着不等关系的量,了解“大于”、“小于”等符号的用法和意义,能比较两数的大小,并能用数学的语言表达。
学生活动经验基础:在相关的知识学习过程中,经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的数学化过程,初步具备了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,并在学习过程中形成了一定的合作交流能力,为进一步展开不等式的学习奠定了基础。
二、教学任务分析
(一)教学目标:
1、知识与技能目标
①理解不等式的意义。
②能根据条件列出不等式。
③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
2、过程与方法目标
经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
3、情感与态度目标
感受生活中存在着的大量不等关系,通过用不等式解决实际问题,使学生进一步认识数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的信心和兴趣。
(二)教学重点:
①通过探寻实际问题中的不等式关系,认识不等式。
②根据实际问题建立合理的不等关系。
三、教学过程分析
本节分为七个教学环节:第一环节引入新课、第二环节问题提出、第三环节活动探究、第四环节猜想归纳、第五环节运用巩固、第六环节课时小结、第七环节课后作业。
第一环节:创设情景,引入新课
活动内容:寻找相等的量和不等的量
师:我们学过等式,等式的定义是什么?
生:表示相等关系的式子叫等式。
师:我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。同时,我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。
师:比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分。请同学们也举一些不等关系的例子。
生1:每天我都比他早起5分钟。
生2:我的年龄不小于13岁。
生3:我的体重不低于30公斤
(同学们各抒己见)
活动目的:通过这一活动,希望学生体会不等关系如相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐于探究的品质。
活动效果:学生举出了许多反映不等关系的例子,不仅能从数字上,还能从实际生活中去体会不等关系。
第二环节:问题提出
师:如何用式子来表示不等关系呢?
师:展示投影片A
(1)某厂今年的产值是a元,预计明年年产值增长率高于20%,如果明年的产值是b元,那么b和a满足的关系式是。
(2)如果某等腰三角形的底边用a cm 表示,这边上的高为4 cm ,如果这
个三角形的面积不大于8 cm 2,那么a 应该满足的关系式为 。(注意:不大于的含义)
(3)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高
三边之和不得超过160cm 。设行李的长、宽、高分别为 a cm 、b cm 、c cm , 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 。
活动目的:在总结前面学生举例的基础上,提出问题,引起学生进一步思考,
初步尝试运用不等式表示不等关系。
活动效果:学生尝试运用不等式表示不等关系。
第三环节:活动探究
活动内容:
投影B
某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为xm(x ≤5)的装潢条镶嵌
(不计接缝),现有两种设计方案。如下图:
师:下面请大家讨论,按题意进行解答。(学生讨论、解答后,教师根据情
况进行点评)
(1)问 题:
(2)探 究:
方案一
圆的面积不小于1.5m 2 正方形面积不大于1m 2 X 满足的关系式 通风口规格 a 12
8
S 正与S 圆的关系 圆的面积/m 2 正方形的面积/m 2
x/m
投影C
通过测量一棵树围(树干的周长)可以计算出它的树龄。通常规定以树干离
地面1.5米的地方作为测量部位,某树栽种时的树围为5㎝,以后树围每年增加约为3㎝,这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m ?(只列关系式)
师:请大家互相讨论后列出关系式
生:设这棵树至少生长x 年其树围才能超过2.4m ,得
3x+5>240
活动目的:通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等
式表示实际问题中的不等关系。
活动效果:初步掌握运用不等式表示不等关系。
第四环节:归纳定义
活动内容:
师:投影D 观察由上述问题得到的关系式,比如:162l ≤1,π42l >1.5,π42l >16
2
l , 3x+5>240, 它们的共同特点:都是用 连接的式子。
生:不等号
师:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不
等式。
(特别的,不等号还包含“≠”)
活动目的:通过学生自己总结出不等式的概念,培养学生总结归纳的能力。
活动效果:通过学生自己观察式子特点,理解不等式的定义。
第五环节:运用巩固
活动内容:练习设计
投影E
1、用适当的符号表示下列关系:
(1)a 是非负数;
(2)直角三角形斜边 c 比它的两直角边a、b 都长;
(3)x 与17 的和比它的5倍小;
(4)两数的平方和不小于这两数积的2倍。
2、表达式①x2≥0;②2a+4b≠3;③5m+2n;④x+y<0;⑤3x+2=9中的不等式有(填序号)。
3、801班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品,奖品有两种:钢笔和笔记本。已知钢笔每支5元,笔记本每本3元,如果买x支钢笔,则列出关于x的不等式是。
4、某厂今年的产值为100万元,预计明后两年平均每年增长率为x%,如果按此速度发展,后年该厂产值将超过a万元,请用不等式表示a与x的关系式活动目的:对本节知识进行巩固练习,及时反馈。
活动效果:学生会运用适当的不等号表示不等关系。
第六环节:课时小结
活动内容:师生相互交流,总结本节重难点。
投影E
本课我主要学会了。
引导学生回答:能根据题意列出不等式,特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解。通过不等关系的式子归纳出不等式的概念。
活动目的:归纳本课内容,培养学生的归纳意识及能力。
活动效果:学生能归纳自己的感受与收获。
第七环节:课后作业
习题2.1: 第1、2、3、4题
四、教学反思
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础。
本节课充分通过学生举例和老师的选例,让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外,更多的是不等关系的存在,并通过感受生活中的大量不等关系,初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型。经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
在教学中,要充分相信学生的潜力,让学生真正成为学习的主体,让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋,老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者,与学生平等地进行交流与学习。
不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120分钟 满分:150分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40分) 1.函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B . 3 C . 4 D .23 2.不等式0)31(>-x x 的解集是( ) A .)31,(-∞ B . )31,0()0,( -∞ C . ),31(+∞ D .)3 1,0( 3.已知,R b a ∈、且0>ab ,则下列不等式不正确的是( ) A .b a b a ->+ B .b a b a +<+ C .b a ab +≤2 D . 2≥+b a a b 4.已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. 8 6 64a a a a ≤ B. 8664a a a a < C.8664a a a a > D.8664a a a a ≥ 5.已知01,0<<-> B.a ab ab >>2 C.2 ab a ab >> D.a ab ab >>2 6.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是( ) A.??? ??-- 92,43 B.??? ??-0,43 C.??? ??-0,21 D.??? ??-0,43 7.若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知,,d c b a >>则( ) A. d b c a ->- B. c b d a > C.a d b c ->- D.bd ac >
第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程. 二、教学重点: 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点: 使用不等式(组)正确表示出不等关系. 四、教学过程: (一)导入课题 现实世界和生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系我们知道,两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,大与小,不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系.
提问: 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系?(大于、等于、小于). 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢?(用不等式描述) 引入知识点: 1.不等式的定义:用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”,其含义是指“或者a >b ,或者a =b ”,等价于“a 不小于b ,即若a >b 或a =b 之中有一个正确,则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. (1)如果a b -是正数,那么a b >;如果a b -等于零,那么a b =;如果a b -是负数,那么a b <.反之也成立,就是(a b ->0?a >b ;a b -=0?a =b ;a b -<0?a 必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案
§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售
不等关系与不等式 【学习目标】 1.了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握比较两个实数大小的方法. 3.掌握不等式的八条性质. 【学法指导】 1.不等关系广泛存在于现实生活中,应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”,是用不等式知识解决实际问题的第一步.只需根据题意建立相应模型,把模型中的量具体化即可. 2.作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一,可简单概括为“三步一结论”,其中关键步骤“变形”要彻底,当不能“定号”时注意分类讨论. 3.不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据,应用时每步都要做到等价变形. 一、知识温故 a-b>0?; a-b=0?; a-b<0?. 3.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性); (2)a>b,b>c?a c(传递性); (3)a>b?a+c b+c(可加性); (4)a>b,c>0?ac bc;a>b,c<0?ac bc; (5)a>b,c>d?a+c b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac bd; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?a n b n; (8)a>b>0,n∈N,n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左 边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a,b之间具有以下性质:
如果a-b是正数,那么; 如果a-b是负数,那么; 如果a-b等于零,那么. 以上结论反过来也成立,即a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖,糖水变得更甜了.你能把这一现象用一个不等式表示出来吗?并证明你的结论. 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上,可以给出不等式八条基本性质的严格证明.证明时,可以利用前面的性质推证后续的性质. 请同学们借助前面的性质证明性质6: 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
§7.1不等关系与不等式 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a 1,则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)a >b >0,c >d >0?a d >b c .( √ ) (5)若ab >0,则a >b ?1a <1 b .( √ ) 题组二 教材改编 2.若01且2a <1, ∴a <2b ·a =2a (1-a )=-2a 2+2a =-2????a -122+12<12. 即a <2ab <1 2 , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-12=1 2 ,
即a 2+b 2>1 2 , a 2+ b 2-b =(1-b )2+b 2-b =(2b -1)(b -1), 又2b -1>0,b -1<0,∴a 2+b 2-b <0, ∴a 2+b 2b >0,c
高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点 1.不等关系 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a-?>b a b a ;0<-?, a b b a >?< (2)传递性:,a b b c >>?,a c > (3)可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论:同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ (4)可乘性:bc ac c b a >?>>0,,,0a b c >>>>?ac bd > 推论2:可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n *∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 之间的关系:
3.一元二次不等式恒成立情况小结: 2 0ax bx c ++>(0a ≠)恒成立?00a >???. 20ax bx c ++<(0a ≠)恒成立?00 a ??. 4. 一般地,直线y kx b =+把平面分成两个区域(如图): y kx b >+表示直线上方的平面区域;y kx b <+表示直线下方的平面区域. 说明:(1)y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域; y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域. (2)对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 5.基本不等式: (1).如果R b a ∈,,那么ab b a 22 2≥+. (2). ≤2 a b +(0,0)a b >>. (当且仅当b a =时取“=”)
不等关系与不等式(第一课时) 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境,让学生学习如何利用不等式(组)研究及表示不等关系,进一步理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 三、教学基本流程
四、教学情景设计
1、引入:章头图及古诗《题西林壁》引入,介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用,也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图:使学生体会不等关系的普遍存在,了解学习不等式的意义。 2、创设情境,让学生感受生活中的不等关系。 师:多媒体出示情景:(1)交通标志(限速、限高、限宽);(2)商家打折海报(一折起、低至几折);(3)产品含量指标。问:表示什么含义?怎么表示其中的不等关系? 生:分析各种不等关系,口答并尝试用不等式(组)表示。 师:引导学生准确表述,给出不等式定义,板书学生口答的各问题中不等式(组)。 设计意图:进一步让学生感受生活中的不等关系,知道用不等式(组)表示这种不等关系。 3、知识探究一:具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师:多媒体出示问题1(销售收入问题)、2(实际安排生产问题)。 学生:独立思考后,与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示,小组代表板书结果,并说明式子的含义。 师:点评学生结果,找有不同结果的小组讲解不同方法或补充,引导学生分析比较。 设计意图:问题方式给出,强化学生的问题意识,使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究,使学生交流对于问题的认识。展示不同结果,使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决,是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望,体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二:比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生:结合学案上知识探究二中所填结果,与同组学生交流结论。 师:提问引导学生表述:要比较两数或代数式大小,可以让两数或两式相减,比较结果和0的大小。若结果大于0,则前者大于后者;若……。 设计意图:让学生分析作差法具体做法,明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习:作差法比较代数式的大小。 生:可独立完成,也可与同组同学交流,在规定时间完成。 师:巡视,指导学生疑难处,找完成好的两生板演结果,并让板演学生讲解。点评学生思路,进一步总结作差法中变形结果的形式:
不等式与不等关系 考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 1.从高考内容上来看,不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点. 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用,有时与充要性的判断交汇命题,体现了化归转化思想,难度中、 低档. 3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程 基础梳理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a - b >0? ;a -b =0? ; a -b <0? . 二、不等式的基本性质 1.对称性a >b ? 2.传递性a >b ,b >c ? 3.可加性a >b ? 4.可乘性 a >b c >0? , ? ?? a > b c <0? 5.同向可加性 ? ?? a > b c > d ? 6.同向同正可乘性 ? ?? a > b >0 c > d >0? 7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 8.可开方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 两条常用性质
① a >b ,ab >0?1a <1 b ② 若a >b >0,m >0,则b a <b +m a +m ; 双基自测 1.若x +y >0,a <0,ay >0,x -y 的值为 ( ) A .大于0 B .等于0 C .小于0 D .不确定 2.(教材习题改编)已知a ,b ,c 满足c ac B .c (b -a )<0 C .cb 2
a 6 B. C. D. 6.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是( ) A. -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? B. - ,0 C. - ,0 D. - ,0 ? ??A. a - c > b - d B. a 不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120 分钟 满分:150 分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40 分) 1.函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B . 3 C . 4 D . 3 2 2.不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是( ) 1 1 1 1 A . (-∞, ) B . (-∞,0) (0, ) C . ( ,+∞) D . (0, ) 3 3 3 3 3.已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ,则下列不等式不正确的是( ) A . a + b > a - b B . a + b < a + b C . 2 ab ≤ a + b D . b a + ≥ 2 a b 4.已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. a 4 ≤ a 6 a a 5.已知 a < 0,-1 < b < 0 ,则 a, ab, ab 2 的大小关系是( ) A. a > ab > ab 2 B. ab 2 > ab > a C. ab > a > ab 2 D. ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? 7.若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知 a > b , c > d , 则( ) b > C. c - b > d - a D. ac > bd d c
第一课时:不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40 km /h ,用不等式如何表示? 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系: (1)a 大于b a >b (2)a 小于ba b ?a -b >0;a =b ?a -b =0; a b ?b b ,b >c ?a >c (传递性); 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式
(3)a >b ?a +c >b +c (可加性); (4)a >b ,c >0?ac >bc ;a >b ,c <0?ac
《不等关系与不等式》教案 【教学目标】 1.掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法,理解不等关系的传递性,能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2.通过对具体问题的分析,培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力,提高学生解决实际问题的能力 3.通过问题情境,激发学生的学习动机和好奇心理,使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度 【重点难点】 重点:比较实数大小的方法. 难点:1.比较实数大小方法中的代数变形; 2.比较实数大小方法的实际应用 【教学方法】体验法、合作讨论法 【教学过程】 (一)创设情境 泰山旺季门票原价为180元,现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠; 优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元. 为了使门票花费最少,请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案? 教师:5-7人,由学生先对多种情况进行讨论。 合作交流:同桌讨论合作完成下列表格(作业纸)
(学生思考演算并请学生回答结果) 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题,这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小(板书课题同时幻灯片出示课题)继续就上述情境提问:对于人数确定的情况,两个具体的实数我们很容易比较大小,如果人数不确定呢,又该如何比较大小? 若设人数为n,记采用方案A的费用为) f,采用方案B的费用 (n 为) n g150 (= n ) f,n g,则36 =n 144 (n ) (+ 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小,我们该怎么办呢?(学生思考) 对于这两个式子来说,它们有以下的三种大小关系: g n n >n ? n - f g n f ) ( ) > 6 ( ? ) ) (< ( n g n =n ? g - f n n f ( ( ) = ) 6 ) (= ? ( ) g n
第二章数列 第三章不等式 不等式与不等关系 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之
间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解:设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --? 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所
不等关系与不等式 课题:不等关系与不等式(二) 课型:新授课 1.知识与技能 (1)使学生掌握常用不等式的基本性质; (2)会将一些基本性质结合起来应用. (3)学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系; 教学目标 2.过程与方法 以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等 式的有关基本性质研究不等关系; 3.情感、态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情 境、实际背景的的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学 生学习方式,提高学习质量。 教学重点理解不等式的性质及其证明 教学难点利用不等式的基本性质证明不等式 批注教学过程: 一、复习提问 1.比较两实数大小的理论依据是什么? 2.“作差法”比较两实数的大小的一般步骤. 3.初中我们学过的不等式的基本性质是什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的 方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 其数学含义: (1)若a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c;
(2)若a >b ,c >0,则ac >bc , c a >c b ;(3)若a >b , c <0,则ac <bc ,c a <c b ..二、新授 常用的不等式的基本性质 (1)a b b a >, (对称性) (2)c a c b b a >?>>, (传递性) (3)c b c a b a +>+?>, (可加性) (4),0a b c ac bc >>?>;,0a b c ac bc >< (可乘性) (5)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式的可乘性) (6)n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 (可乘方性、可开方性)例1:已知0,0,a b c >><求证:c c a b >例2:如果30<x <42,16<y <24,求x +y ,x -2y 及 y x 的取值范围.∵30<x <42,16<y <24 ∴-48<-2y <-32, ∴30+16<x +y <42+24 即46<x +y <66; ∴30-48<x -2y <42-32 即-18<x -2y <10; .8 2145,16 422430<<<