解析几何求轨迹基本方法
解析几何中轨迹问题的求解策略
求曲线方程的常用思路和方法
1.直译法
例1 求与y 轴相切，并且和圆2240x y x +-=外切的圆的圆心的轨迹方程. 解 由2240x y x +-=，有()2
2222x y -+=.
设动圆的圆心P 的坐标为(x ，y).根据题意设点A 的坐标为(2，0)，则有2PA x =+，即
2x =+.化简整理得2
44y x x =+.当0x ≥时，28;y x =当x ﹤0时，
y=0.
综上可知，所求圆心的轨迹方程为28y x =(x ≥0)或y=0(x <0).
小结 直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x 、y ，所得方程即为所求动点的轨迹方程.用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论.
2.定义法
例2 已知圆C ：()2
2
125x y ++=内一点A(1，0)，Q 点为圆C 上任意一点，线段AQ
的垂直平分线与线段CQ 连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.
解 连接AM ，点M 在线段AQ 的垂直平分线上，则AM=MQ. 5=+MQ CM ，∴5=+MA CM .
故点M(x ，y)到点C(-1，0)和点A(1，0)的距离之和是常数5，且5>2.所以点P 的轨迹是一个以A 、C 为焦点的椭圆.
∵2a=5，2c=2，∴2
2
2
214
b a
c =-=
.∴点M 的轨迹方程为
2
2
125214
4
x
y
+
=.
小结 若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程.用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，然后用待定系数法求解. 3.代入法
例3 抛物线x 2
=4y 的焦点为F ，过点M(0，-1)作直线l 交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程.
解 设点R 的坐标为(x ，y)，平行四边形FARB 的对角线的点为P(x 0，y 0)，F(0，1)，由中点坐标公式可得001,22
x y x y +=
=
.
设A 点的坐标为(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则可知x 1≠x 2, 且x 12=4y 1，x 22
=4y 2.上述两式对应相减得x 12-x 22=4(y 1-y 2).从而有02
A B x k =
.
又A 、P 、B 、M 四点共线，且00
1PM y k x +=，由K AB = K PM 可得x 02=2(y 0+1).把001,2
2
x y x y +=
=
代入上式并整理得x 2=4y+12.
小结 动点是直线被圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程.事实上这就是中点弦问题的处理方法. 4.参数法
例4 已知点P 在直线x=2上移动，直线l
垂直，通过点A(1，0)及点P 的直线m 和直线l 相交于点Q Q 的轨迹方程.
解 如图1所示，设OP 所在直线的斜率为k ，则点 P 的坐标为(2，2k).
由l O P ⊥，得直线的方程为x+ky=0. ① 易得直线m 的方程为y=2k(x-1). ②
由于点Q(x ，y)是直线l 和直线m 的交点，所以将①②
联立，消去k ，得点Q 的轨迹方程为02222=-+x y x (x 小结 当动点坐标满足的等量关系不容易直接找到时，我们可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k 、比值等)作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法.
圆与圆锥曲线的轨迹问题
例5 如图2所示，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边所在直线的方程为360x y --=，点
(11)T -，在A D 边所在的直线上.
(1)求A D 边所在直线的方程. (2)求矩形A B C D 外接圆的方程.
(3)若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形A B C D 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.
解 (1)A D 边所在直线的方程为320x y ++=. (2)矩形A B C D 外接圆的方程为2
2
(2)8x y -+=.
(3)因为动圆P过点N，所以
P N是该圆的半径.又动圆P与圆M外切，
所以PM PN
=+
PM PN
-=
故点P的轨迹是以M
N
，为焦点，实轴长为的双曲线的左支.
因为实半轴长a=
半焦距2
c=，所以虚半轴长b==从而动圆P的圆心的轨迹方程为
22
1(
22
x y
x
-=≤.
小结根据题设条件，分析矩形图形的有关性质，通过解由两个直线方程组成的方程组求得圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，从而得出“矩形ABCD的外接圆”的标准方程.本题的第(1)问和第(2)问，将平面几何中的一个重要而基本的图形——矩形与圆结合起来，难度不大，但考查的基础知识却不少.
立体几何与解析几何的轨迹问题
1.轨迹为椭圆
例6如图3所示，AB是平面a的斜线段，A
在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线
解根据△ABP的面积为定值，线段AB是定值，则动点P到线
段AB的距离也是定值，设此定值为d，所以点P在平面a的轨迹是一个以d为半径且与线段AB垂直的圆在平面a上的投影，即为椭圆.选B.
小结涉及面积、点到直线的距离等多个知识点的综合，实质利用投影，考查对椭圆图像的理解.
2.轨迹为抛物线
例7如图4所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，
P是侧面BB
1
C
1
C内一个动点，若P到直线BC与直线C
1
D
1
的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
解由C
1
D
1
⊥平面BB
1
C
1
C，得PC
1
⊥C
1
D
1
，所以PC
1
就是点P到直线C
1
D
1
的距离.因此已知条件转化为点P
到BC的距离等于点P到点C
1
的距离.根据抛物线的定
义，可知点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.
小结例6和例7均巧妙地利用了题中某些定值定量条件，从而转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨迹问题常用的方法之一.
3.轨迹为双曲线
例8已知α
α?
e,，过点P引与直线e成45°角的直线交平面α于Q，则Q点
?p
的轨迹是
A.两个点
B.双曲线
C.椭圆
D.抛物线
解如图5所示，过点P作PO⊥α于O点，
以过O点与e平行的直线为y轴，以OP为z轴，
建立空间直角坐标系.过点Q作OA⊥x轴于A.设Q
点的坐标为(x，y，0)，则A点的坐标为(x，0，0).
由于P点固定，我们不妨设P(0，0，h)，由OA=PA，
可知y2=x2+h2.故Q点的轨迹是双曲线.选B.
小结解答本题时，首先建立空间直角坐标系，然后把立体几何与解析几何知识直接联
系起来，根据圆锥曲线的定义作出判断.
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐 标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0), B (a,0)。 设动点C为(x, y), ??? | AC |2 |BC |2 |AB|2, a)2y2]2h(x a)2y2]24a2, 即x2 由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点, 故所求方程为x2y2a2( x a )。 2?代入法(或利用相关点法)： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。 解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y), 一方面，. 另一方面, 36 , M分AB的比为 1 , 2
评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3.几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。 求动点P 的轨迹方程。 解：设P (x, y)，由题 APO BPO ，由三角形角平分线定理有 L P A | ^A 0-1 |PB| |BO| ..(x 6)2 y 2 3 3 , (x 2)2 y 2 整理得x 2 y 2 6x 0,当x 0时，y 0, P 和O 重合，无 意义，??? x 0, 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有 APO BPO 00 , ? y 0 ( x 6或x 2)也满足要求。 综上，轨迹方程为 x 2 y 2 6x 0 ( x 0)或y 0 (x 6或x 2 )。 评注：本例利用平面几何的知识(三角形的角平分线定理进行解题) ，方便了求轨迹的方程。 4.参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数) 联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。 0 -b _2_ 1 - -b 3 a x 2 b 3y ②代入①得: 3 2 2 (評(3y) 2 36，即一 16 例3 :如图，已知两定点 A ( 6,0 ), B ( 2,0 ), O 为原点，动点 P 与线段AO 、BO 所张的角相等, ，使(x, y)之间的关系建立起
高三解析几何：动点轨迹方程
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型 T （动点轨迹方程） C （求解轨迹方法） T （轨迹求解提高） 授课日期及时段 教学内容 一、同步知识梳理 知识点1： 曲线的方程和方程的曲线： 一般地，如果某曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ① 曲线C 上的点的坐标都方程(,)0F x y =的解； ② 以(,)0F x y =方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点，此时，把方程(,)0F x y =； 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线. 知识点2：求轨迹方程的一般步骤：（以提问为主，让学生回答） ① 建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)； ② 设曲线上任意一点的坐标为(),x y ； ③ 根据曲线上点所适合的条件，写出等式； ④ 用坐标,x y 表示这个等式(方程)，并化简； ⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在沪教版中，这一步不作要求). 【上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明。】 知识点3：求曲线的方程的常用方法：（老师引导，让学生回答） ① 直接法：直接根据动点满足的几何条件或等量关系列出等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，
是轨迹上任意一点，则有 （通过典型例题的讲解，让学生总结和掌握利用直接法求解曲线的轨迹方程的5个步骤，同时强调那一步最重要， 强调求解曲线的轨迹方程时，一定要结合实际意义和题目的已知条件写出自变量的取值范围.) 题型3：代入法求曲线方程
通过练习让学生理解和掌握什么条件下用代入法求轨迹方程，及用代入法求曲线的轨迹方程的方法和步骤 ()( +- 22 x y y
高中数学解析几何中的基本公式
解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比 为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
求轨迹方程的常用方法(例题及变式)
求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12 0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜 率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2 2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。 ∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112 42 2=-y x 变式2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39， 求ABC △的重心的轨迹方程．
解析几何中的基本公式
解析几何中的基本公式 解析几何学（analytic geometry ）是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费马等人创建，其思想来源可上溯到公元前两千年。 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2 12212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为： 2 2B A C By Ax d +++= οο 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则： 2 122))(1(x x k AB -+= 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222121y y y x x x 变形后： y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或
若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k1，k2都存在且k1k2≠－1 ， 21121tan k k k k +-= α 若l1与l2的夹角为θ，则=θtan 2 12 11k k k k +-，]2,0(π∈θ 注意：（1）l1到l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围),0(π l1到l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。 （2）l1⊥l2时，夹角、到角=2π 。 （3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面 ] 20[π ∈ββα，，的夹角； （4）l1与l2的夹角为θ，∈ θ] 20[π ，，其中l1//l2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l1到l2的角)0(π∈θθ，， 直线的倾斜角α与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 直线l1与直线l2的的平行与垂直
高考解析几何中的基本公式(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为 λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x
变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、 C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动 圆圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中
解析几何公式大全
平行线间距离：若l i : Ax By C i 0, 12 : Ax By C20 则：d C i C2I J A2B2 注意点：x, y对应项系数应相等。 点到直线的距离：P(x , y ),I:Ax By C 0 则P到1的距离为: |Ax d By C 解析几何中的基本公式 .A2B2 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：y kx b F(x,y) 0 2 消y：ax bx c 0，务必注意0. 若I与曲线交于A(x1, y1), B(x2, y2) 则：AB v'(1 k2)(X2 X i)2 若A(x i, y i), B(X2, y2)，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为 i y i y2 i ，特别 地: x =1时，P为AB中点且 y x-i x2 2 y i y2 2 变形后：—i或」 X2 x y2 y 若直线l i的斜率为k i，直线|2的斜率为k2,则l i到|2的角为， （0, ） 适用范围：k i，k2都存在且k i k2 —i , tan k2 k i i k i k2
I i 到I 2的夹角：指 11、 12相交所成的锐角或直角。 (2) l 1 I 2时，夹角、到角=—。 2 (3) 当11与I 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 直线的倾斜角 与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角 ，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ,而倾斜角为 ，则k=tan 。 直线I 1与直线I 2的的平行与垂直 (1)若I 1， I 2均存在斜率且不重合：①I 1//I 2 k 1=k 2 ② I 1 I 2 k 1k 2=— 1 (2)若 I 1 : A 1x B 1 y C 1 0, I 2 : A 2X B 2y C 2 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 I 1//I 2 △邑 C !； A 2 B 2 C 2 若i i 与12的夹角为，则tan 注意：(1 ) I i 到12的角，指从 k i k 2 1 kk 11按逆时针方向旋转到 I 2所成的 角, (0,) (1) 倾斜角 ， (0,)； (2) a, b 夹角, [0, ］； (3) 直线I 与平面 的夹角 ,[0，,] (4) I 1与I 2的夹角为 ［0,—］，其 中 2 (5) 二面角， (0,]； (6) I 1到I 2的角, (0, ) I 1//I 2时夹角 =0； I 1 I 2 A 1A 2+B 1B 2=0；
20 解析几何专题3： 轨迹方程
第二十讲 轨迹方程 1．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为（ ） A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线 变式：已知定圆1622=+y x ，定点A ()0,2,动圆过点A 且与定圆相切，那么动圆圆心P 的轨迹方程是 （ ） A.()134122=--y x B. ()134122 =+-y x C.()4122=+-y x D. 422=+y x 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 3． F 1、F 2为椭圆两个焦点，Q 为椭圆上任一点，以任一焦点作∠（ ） A 、圆 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线 4．已知点F 1 (,0)4,直线l :14 x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是（ ） A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 5．在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 的距离是P 到直线C D 11的距离的一半，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6．设A 1、A 2是椭圆4 92 2y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 （ ） A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y x D.14 92 2=-x y 7．设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1 ,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 8．★★★以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -= ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2 OP OA OB =+ 则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线135********=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
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解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。
解析几何求轨迹方程的常用方法讲解
解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、 C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆 圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？
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解析几何中的基本公 式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= οο 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：???=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x
变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π ，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、直线的倾斜角α与斜率k 的关系
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解析几何中的基本公式 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α
若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 直线的倾斜角α与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2? k 1=k 2 ②l 1⊥l 2? k 1k 2=－1 （2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 l 1//l 2? 2 1 2121C C B B A A ≠ =； l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0；
解析几何求圆的轨迹方程专题一师用
专题一求圆的轨迹方程 教学目标： 1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的 形式求圆的方程； 2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点： 1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆 的方程； 2、会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程： 第一部分知识点回顾 一、圆的方程 : 1 .圆的标准方程：x a? y b 2 r2o 2 ?圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0） 特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆 2 2 2 思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？ 答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；
3 .圆的参数方程：y a r s°s (为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为 r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元: (3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，0 2 )上的点，则圆的 普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是 (答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)； 3 (4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_ (答: [0 , 2]); (5) 方程x 22 - 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0 )}， N (x, y) | y x b , 若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& ) 二、点与圆的位置关系：已知点M x 0 ,y 0 及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 , (1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (2) 点 M 在圆 C 内 CM| r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (3) 点 M 在圆 C 上 CM r x 0 a $ y 0 r 2。女口 点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2 + y 2=1的内部，则a 的取值范围是(答: 2 ^22, r x r cos , y r sin ； x y t x r cos ,y r sin (0 r .,t)。 X i ,y i ,B X 2,y 2为直径端点的圆方程 x x 1 x X 2 y y 1 y y 2 0 如 (1) 圆C 与圆(X 1)2 y 2 1关于直线y x 对称， 则圆 C 的方程为 (答: x 2 (y 1)2 1); (2) 圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答: (x 3)2 (y 3)2 9或(x 1)2 (y 1)2 1 )；
求轨迹方程的常用方法例题及变式
求轨迹方程的常用方法: 题型一直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法， 根据所满足的几何条件， 将几何条件｛M | P(M )｝直接翻 译成x, y 的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯 粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线上所有的点适合这个条件 而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。 例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM 和AN ，分别交x,y 轴于点M , N ，求线段 MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N 在轴上得M (0,2y)， AM AN k AM k AN 所以中点P 的轨迹方程为4x 6y 13 0。 变式1 已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点 (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点。若A 是PB 的中点，求直线 m 的斜 率。 题型二定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定 义法求轨迹方程。 2 2 例2 动圆M 过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。 解：根据题意|| MC | |MP || 4，说明点M 到定点C 、P 的距离之差的绝对值为定值, N(2x,0)(x,y R) 0 3 2y 2x 2 0 2 3 1 (x 1)，化简得 4x 6y 13 0 (x 1) 当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN 的中点 P(1,|)它也满足方程4x 6y 13 0， N (1,0)的距离的2倍。
解析几何常用公式
1. AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点。线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB → |.数轴上同向且 相等的向量叫做相等的向量．．．．．。零向量的方向任意。．．．．．．．．．．在数轴上任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC → 、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC . .． AC →＝AB →＋ 2.设 AB → 是数轴上的任一个向量，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|. 4.． A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则两点A 、B 的距离公式d (A ，B )＝?x 2－x 1?2＋?y 2－y 1?2 若B 点为原点，则d (A ，B )＝d (O ，A )＝x 21＋y 21； 5. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M( x 1＋x 22， y 1＋y 2 2 ). A (x ，y )关于M (a ，b )的对称点B(2x 0－x ，2y 0－y )． 6. 直线倾斜角：:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°. 7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系 ①k ＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x 轴或与x 轴重合． ②k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限． ③k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限． ④垂直于x 轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°. 8. 若直线l 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 9.直线方程的五种形式 （1）点斜式:经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线方程为 y －y 0＝k (x －x 0)；斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0. (2)斜截式：已知点（0，b ）,斜率为k 的直线y ＝kx ＋b 中，截距b 可为正数、零、负数． （3）两点式： y －y 1y 2－y 1＝x －x 1 x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2 ) (4) 截距式:当直线过(a,0)和(0，b )(a ≠0，b ≠0)时，直线方程可以写为x a ＋y b ＝1，当直线斜率 不 存在(a ＝0)或斜率为0(b ＝0)时或直线过原点时，不能用截距式方程表示直线. (5)一般式:Ax ＋By ＋C ＝0的形式．(220A B +≠)
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() ()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ???=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、5 3622y x + 【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15 4922=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是
高中解析几何秒杀公式及解题套路
高中解析几何秒杀公式及解题套路 高中解析几何秒杀公式是什幺，解析几何解题套路有哪些，怎幺能 用一套完整的思路做所有类似的题目？把所有类型题都搞定？下面是高中解 析几何秒杀公式及解题套路，希望你看完能上岸。 1高考解析几何的统一解题套路以高考解析几何为例1、问题都是以平 面上的点、直线、曲线如圆、椭圆、抛物线、双曲线这三大类几何元素为基础构成的图形的问题2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方 程、解方程的规则。当然，能用代数规则处理的问题必须是代数形式的，比如，平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理，前提是构成 这些图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。有了以上两点认识，我们可 以毫不犹豫地下这幺一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项 工作1、几何问题代数化。2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。至此，我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路步骤1：把题目中 的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化）步骤 2：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代）说明：这里的“从属关系”指的是什幺？实际上，在解析几何中，“点”是比直线、曲线 更基础的几何元素——任何几何图形，包括直线和曲线，都被视为是由一个 个的“点”构成的（用数学语言来表达：任何几何图形，包括直线和曲线，都 是由点构成的集合）。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明。 我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以，这里的“从属关系”是点与直线、曲线的属于关系问题——如果某个点在某条直线或 曲线上，那幺这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。步骤3：图形