专题25 三角函数模型及应用(检测)-2019年高考数学名师揭秘之

本专题特别注意：

1.方向角与方位角

2. 三角形与三角函数的综合

3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用

4.三角形与立体几何的练习

5.圆锥曲线中的焦点三角形问题

6.三角形与向量的综合

【学习目标】

能够运用正、余弦定理等知识解决一些测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题、方向问题等．

【方法总结】

利用正弦定理或余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.

1.在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时不可将正弦定理和余弦定理割裂开来，有时需要综合运用两个定理才能使题目获得解决.

2.在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.

3.在画图与识图过程中，要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角、方向角，以防出错. 高考模拟：

一、单选题

1．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，

，后，就可以计算出，两点的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．

点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求

解三角形应用题的一般步骤：①分析：分析题意，弄清已知和所求；②建模：将实际问题转

化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；③求解：正确运用正、余弦定理求解；

④检验：检验上述所求是否符合实际意义.

2．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所

对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，

，则用“三斜求积公式”求得的（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由可得，

由可得，

整理计算有：，

结合三角形面积公式可得：.

本题选择D选项.

3．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,,解得x=3,y=4,故得到.

故答案为：D.

4．已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则( )

A. B. 80 C. 100 D. 125

【答案】C

【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在点东西向和是平行的，内错角相等，将已知角都转移到中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形.

5．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”

若把以上这段文字写成公式，即S=.现有周长为且

))

?，则其面积为（）

A B C=的ABC

sin:sin:sin11

A. B. C. D.

【答案】A

6．某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为：29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60BDC ∠=?， 75BCD ∠=?， 40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且1CE =米，则发射塔高AB =（ ）

A. ()1米

B. ()1米

C. ()1米

D. ()

1米 【答案】A

【解析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，则BC,BF CE 1EF ===米，

30AEF ∠=?，在BDC 中，由正弦定理得： sin 40sin 60

sin 45

CD BDC BC SIN CBD ?∠?=

==∠米.

在Rt AEF 中，tan AF EF AEF =?∠==.

所以 1AB AF BF =+=+（米），符合设计要求.

故选A.

7．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）

米 B. 2米 米 )米 【答案】D

【解析】设BC 的长度为x 米,AC 的长度为y 米,则AB 的长度为(y ?0.5)米，

当且仅当()()

3

141x x -=

-时，取“=”号，

即1x =时,y 有最小值2. 本题选择D 选项.

8．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为75,30??，此时气球距地面的高度是60m ，则

河流的宽度BC 等于（ ）

A. )2401m

B. )180

1m

C. )1201m

D. )301m

【答案】

C

9．如图，为测量河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，在点C 处测得A 点的仰角为60? ，再由点C 沿北偏东15? 方向走20m 到位置D ，测得30BDC ∠=? ，则塔AB 的高是（ ）

A. 10m

B.

C.

D. 【答案】D

【解析】设BC=x ，AC=2x ，在三角形BCD 中， 0

105,45,BCD CBD ∠=∠=由正弦定理得

到

sin302

x x =?=在直角三角形ABC 中，角BCA=0

60，进而得到

AB= . 故答案为：D.

10．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北

偏东

方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西

方向，则，两

处岛屿间的距离为（ ）

A.

海里 B.

海里 C.

海里 D. 40海里

【答案】A

11．如图，在Rt ABC ?中， 1AC =， BC x =， D 是斜边AB 的中点，将BCD ?沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是 （ ）

A. (

B. 2?

???

C. D. (]2,4

【答案】A

考点：1.空间异面直线位置关系；2. 空间想象能力.

12．已知在海中一孤岛D 的周围有两个观察站A C 、，且观察站A 在岛D 的正北5海里处，观察站C 在岛D 的正西方.现在海面上有一船B ，在A 点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在C 点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站A 与C 的距离为（ ）

A.

2

B. C. D. 【答案】D

【解析】画出如下示意图．

由题意可得， 120BCD ∠=?，又60BAD ∠=?， 所以A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径、90ABC ∠=?． 在BAD ?中， 4,5,60AB AD BAD ==∠=?,

由余弦定理得222221

2cos 45245212

BD AB AD AB AD BAD =+-??∠=+-???=，

∴BD =

．

∴2BD

AC R sin BAD

==

=∠R 为圆的半径）

． 选D ． 13．如图，海中有一小岛C ，一小船从A 地出发由西向东航行，望见小岛C 在北偏东060，航行8海里到达B 处，

望见小岛C 在北偏东015，若此小船不改变航行的方向继续前行)

2

1海里，则离小岛C 的距离为（ ）

A. )8

2海里 B. )2

1海里 C. )2

1海里 D. )

4

1海里

【答案】C

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.

14．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测

得水柱顶端的仰角为45，沿A 向北偏东30方向前进100m 后到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度试（ ）

A. 50m

B. 100m

C. 120m

D. 150m 【答案】A

【解析】

15．海洋中有,,A B C 三座灯塔.其中,A B 之间距高为a ，在A 处观察B ,其方向是南偏东40，观察C ,其方向是南偏东70,在B 处現察C ,其方向是北偏东65, ,B C 之的距离是（ ）

A. a

B.

C.

1

2

a D. 2a

【答案】D

【解析】依题意可知， ABC 中，A =30°

,B =105°,C =45°,且AB a =， 由正弦定理：

sin sin BC AB

A C

=

可得： 2sin sin30sin sin452AB a BC A a C =?=?=. 本题选择D 选项.

16．《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步? ” 请问乙．走的步数是（ ） A.

92 B. 152 C. 212 D. 49

2

【答案】C

17．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ?三个内角A B C

、、

所对的边分别为a b c 、、，面积为S ，则 “三斜求积”公式为S =.若()2

22sin 4sin 12a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ?的面积为（ ）

A.

B. 2

C. 3

D.

【答案】A

【解析】由正弦定理得2

4,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-==点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论. 18．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A.

B. 15

C.

D. 14

【答案】A

【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:

点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴a 的值,需要先利用切线性质求出AOB ∠,再利用相似求出OC 长,即为a ,短轴长为底面半径,故b 比较容易求出,根据椭圆中的关系式222a b c =+,得出c 值,进而求出离心率. 19．如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为

、山脚处的俯角为

,已知

，则

山的高度

为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：由已知得∠ACB＝45°，从而在ΔABC中求得AC，再在ΔACM中求得MC，最后在ΔMNC中求得MC.

点睛：本题考查解三角形的实际应用，首先要掌握测量中的俯角、仰角等概念，其次掌握解三角形的常用定理，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识，特别要能够通过分析已知条件、隐含条件选用正确的公式求解.

20．甲船在岛的正南方处，千米，甲船以每小时千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）

A. 分钟

B. 分钟

C. 分钟

D. 分钟

【答案】A

【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．

详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示

可知BC=10﹣4x，BD=6X，∠CBD=120°

CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x）2+36x2+2×（10﹣4x）×6x×

=28x2﹣20x+100

当x=小时即分钟时距离最小

故选：A．

点睛：解决测量角度问题的注意事项

(1)明确方位角的含义；

(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．

二、填空题

21．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．

【答案】

【解析】分析：根据三角形内角和定理，求得；再正弦定理，可直接求得AB的长度。

点睛：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于简单题。

22．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地问题:今有竹高二丈,末折抵地,去本六尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高二丈(1丈=10尺),现被风折断尖端落在地上,竹尖与竹根的距离六尺,折断处离地面的高为多少尺__________．

【答案】1

【解析】分析：根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.

详解：如图，已知（尺），（尺），，

∴，解得，

因此，解得，

故折断后的竹干高为尺.

点睛：本题属于解三角形中的简单题型，主要考察解三角形的实际应用问题，关键在于读懂题意，根据题设做出图形.

23．如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟.在甲出发分钟后，乙从乘缆车

到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.已知缆车从到要分钟，长为米，若，.为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是__________．

【答案】

【解析】分析：由题意结合正弦定理余弦定理首先解三角形，然后结合实际问题得到关于速度的不等式，求解不等式即可求得最终结果.

详解：在△ABC中解三角形：

已知，，，则：，

由正弦定理可得：，

由余弦定理有：，

解得：，

点睛：解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

24．如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A，B测得山顶的仰角分别为α，β，且该

两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α， β， l 的式子表达）．

【答案】()

sin sin sin h l αβ

βα?=

-

【解析】如图在ABC ?中有

()()sin sin AC l πββα=--，则()

sin sin AC l β

βα=

-．

在ACD ?中， sin h

AC

α=

，则 ()

sin sin sin sin h AC l αβ

αβα?=?=

-

故高度： ()sin sin sin h l αβ

βα?=

- ．

故答案为： ()

sin sin sin h l αβ

βα?=

-

点睛：解决测量角度问题的注意事项

(1)明确仰角、俯角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．

25．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里， 14里， 15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为___________米. 【答案】4062.5

【解析】

点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题。本题关键是阅读理解，在题目中找出对解答本题有用的信息来。

26．某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是__________小时．

【答案】3.5

【解析】

27．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以S，

a ，

b ，

c 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； a h ， b h ， c h 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的

高；则S = 1122a b ah bh == 1

2c ch =.若在ABC ?中a h =， 2b h =，

3c h =，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．

【答案】

143

【解析】根据题意可知：

::3:2a b c =，故设.3.2a x b x c x ===，由

S =1122a b ah bh == 1

2c ch =代入,,a b c 可得x =，由余弦定理可得

cosA=

1sin 12A ?=，所以由正弦定理得三角形外接圆半径为2sin a A == 28．如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点可以观察到点B 、C ；

并测量得到一些数据： 2CD =，

CE = 45D ∠=?， 105ACD ∠=?， 48.19ACB ∠=?， 75BCE ∠=?， 60E ∠=?，则A 、B 两

点之间的距离为__________．（其中cos48.19?取近似值

2

3

）

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

高考数学解题技巧三角函数

2018高考数学解题技巧 解答题模板2：三角函数 高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型 二、典型例题 弦切互化 例1．已知2tan =θ，求（1） θ θθ θsin cos sin cos -+； 解：（1）2232 121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+ = -+θθθ θθθ θθθθ； 函数的定义域问题 例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期?? ????-23,2ππ上符合①的角为??? ???-67,6ππ,由此可 得到函数的定义域为????? ? +-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>=a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例3、求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

(完整版)高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

2020高考数学专项复习《三角函数大题压轴题练习》

3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

锐角三角函数的解题技巧

锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度

已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

高考全国卷三角函数大题训练

三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。

7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P

高中数学三角函数解题方法与技巧分析

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/356396547.html, 高中数学三角函数解题方法与技巧分析 作者：王元蕾 来源：《文理导航》2017年第29期 【摘要】在高中学习期间，三角函数是相对独立又颇为重要的一块内容。分析历年来的高考试题可以发现，全国卷中涉及的三角函数的内容一般为选择题（或填空题）和一道大题。选择题的型多变，不易解答。而大题一般出现在第一道大题的位置上，较为简单。另外，数理不分家，三角函数在高中物理的叠加场大题中也发挥着关键作用。总之，加强对于高中数学三角函数内容的学习，十分必要。在本文中，我将介绍自己在高中学习过程中，对三角函数这块内容的理解以及一些解题方法、答题技巧。 【关键词】三角函数；答题技巧；高考 引言 三角函数，顾名思义，与角度和函数有关，数学上对函数的定义为：给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），因此，角度也就是函数定义中A了。据专家、老师以及我的分析，在全国卷中，三角函数题属于低档题，而且三 角函数知识属于高中阶段的工具性知识，因此必须熟练掌握。下面我根据个人经验，从三个方面介绍三角函数的答题技巧。 1.解题时要注意灵活运用基础知识 如例2：如右图所示，在三角形ABC中，已知：tan∠B=3/4，sin∠ADC=4/5，AD长度为5米。求：AB的长度。 解析：由sina/cosa=tana、tan∠B=3/4两个条件可以得出，sina=3/4cosa，再由 sina+cosa=1，联立方程组，再观察图一三角形，可以判断正弦值为正数，可以计算出 sin∠B=3/5。又因为知道sin∠ADC=4/5，则sin∠ADB=sin（180°-∠ADC）=sin∠ADC=4/5。由正弦定理得AD/sin∠B=AB/sin∠ADB，代入数值，解得AB的长度为20/3米。 2.解题时要注重题目的隐含条件 我们都知道三角函数隶属于函数，笔者根据高一学函数时总结的经验可以发现，三角函数题（特别是给出图的题，对图中标注的条件观察不仔细而导致题做不出来）有时候会含有隐含条件，例如：奇偶性、极值、锐角三角形等。 如例3：在銳角三角形ABC中，如果tan∠B=2+√3，sin∠C=√3 /2。求∠A的余弦值。

(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析).doc

2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道 )c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1 cos sin cos sin sin cos cos sin 22= +=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 22= D ．22 m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 1 21)cos (sin 22-=-+m θθ

高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

高三数学三角函数经典练习题及答案精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ）

A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =

于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．

高中数学三角函数的解题技巧

209 二○一九年一月（下旬） 高 考 ·考试研究· 高中数学三角函数的解题技巧 山东省济宁市实验中学　薛丁方 摘　要：三角函数是高中数学学习中的主要内容，不仅在高中阶段的数学学习中具有重要地位，而且据了解，历年高考数学题中约15%的考察内容与三角函数有关。想要掌握三角函数的解题技巧，首先需要对三角函数概念、性质、公式具备足够的了解，奠定抓实基础，进而在三角函数的解题过程中总结规律，掌握灵活多变的解题方法，做到活学活用，以此提升三角函数的学习质量。本文在三角函数学习的过程中总结了以下几点经验，以供参考与批评。 关键词：高中数学；三角函数；解题技巧 一、掌握基本概念、性质定理，打好基础 三角函数的内容较为复杂，其中涉及到大量的公式与定理，而每一个三角函数公式的使用条件与定理的使用范围受到题目内容的限制，若是在三角函数学习中没有充分的掌握三角函数的概念、公式、性质，理解程度不够，记忆量不足，缺乏知识的灵活运用能力，就会在三角函数解题过程中盲目性解答，出现错用、错套等问题。基于此，笔者认为提升高中生三角函数解题能力，掌握解题技巧的关键在于打好基础。 1.概念与性质的学习是学生三角函数学习中的基础，只有真正吃透三角函数概念，掌握三角函数的性质，才能具有三角函数概念的灵活运用能力，在三角函数的解题过程中灵活应对,周期性与图像性质是我们在高中阶段三角函数学习中的常见性质，在解题中学生应具备三角函数性质的正确判断能力，通过对其性质的判断降低解题难度。如该题目为三角函数周期性类型，学生在该类问题解答中实现利用角度转换的方式，减少解题过程中的计算难度，利用该问题的类型得出解集，利用周期性三角函数在某一特定区间内的奇偶性和单调性，建立图像，利用其特性，迅速找出问题解决的方法。 2.需要重点学习三角函数公式，公式的学习效果以及应用能力的提升，可以让高中生的三角函数解题更加快速、准确。但是，高中阶段的三角函数公式涉及的内容角度，在强行记忆与三角函数有关的公式下，虽然记忆量增加，众多公式也进入的脑袋里，但是，在面对实际问题解答中如何灵活运用，成为了高中生三角函数学习过程中的又一难题。因为用一类型的三角函数公式具有一定的相似度，很多同学会容易记混、错用，因此，我们可以使用口诀记忆的方式，如“一全正，二正弦，三正切，四余弦”、“函数名不变，符号看象限”等，快速记忆，同时需要通过实际的联系，掌握不同公式之间的差异，区分其具体用法，通过总结与分析，掌握不同公式的应该规律。 二、三角函数解题技巧探究 1.利用转化法，灵活多变，解答问题 在充分了解三角函数概念、性质、定理的基础上，需要我们具有清晰的解题思路，掌握科学、简便的解题方法，以求在有限的时间内快速解答出正确的答案。转化法是我们在高中阶段三角函数学习中常用的一种方法，通过转化法在解题中的应用，可以将原本看似复杂的问题转化为简单易懂的形式，在求解，降低了三角函数问题的解答难度。举例说明： 例1已知sinα+cosα=m2，tgα+ctgα=n，求m 2与n 的关系． 此题看似较为复杂，但只要对tgα+ctgα进行适当转换，并找出sinα+cosα与sinαcosα的关系，就可以快 速解出答案．由于tgα+ctgα=1/sinαcosα，根据题目已知条件，可以得出sinαcosα=1/n，又由于sinαcosα=［(sinα+cosα)2－1］/2=m 2－1/2，因此，可以推导出m2与n 的关系式，即m 2=2/n+1． 2.利用托底法简化表达式 上述中的例题属于容易转化的类型，而在面对不易转化的题目类型时，可以采取托底法简化求解，还是结合一道例题进行具体说明． 例2已知tgα=3，求解sinα－3cosα2sinα+cosα的值． 在该题中，只有把求解表达式化简为包含tgα的形式，才能利用已知条件进行求解．根据求解表达式特点，可以将其分子和分母同时除以cosα，将其转化为tgα－3/2tgα+1，代入已知条件后，可以快速求解出， sinα－3cosα/2sinα+cosα=0．3.总结方法规律 首先，在练习的过程中应选择具有典型特征的题型，盲目性的练习不仅不会提升解题能力，还会增加学习负担。其次，针对性练习，每一种三角函数题型都有其自身的一套解题方法，学生可以采取逐个类型练习的方法，从中总结方法与规律，掌握该类型的解题技巧，再次面对此类型题的时候，就能够轻松应对。三角函数的解题方法分为很多种，除了上述提到的转化法、简化法外，还包括排除法、特殊值法、数形结合法等。通过平时练习中的总结经验、积累和归纳，有助于提升解题速度与准确率。 结语：结合上文可知，三角函数的知识内容繁杂，涉及到的公式较多，对于高中生而言具有一定的学习难度。想要掌握三角函数的解题技巧，要一步一步脚印，扎实基础，吃透三角函数的概念，充分了解不同类型公式的使用条件，具有公式的灵活运用能力，能够根据题目的类型及时判断解题方法，通过对条件以及表达式的转化、简化，梳理清晰的解题思路，避免错误理解题目内容、错用公式，总结规律与经验，以此提升高中生的三角函数解题能力，掌握符合自身学习特点的三角函数解题技巧。 参考文献 [1]例析三角函数求值题的解题技巧[J].彭万雷.华夏教师.2016(12) [2]分析高中数学三角函数解题常见误区及正确解题方案[J].宗位勇.数学大世界(下旬).2016(07)

2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)

4 2 ) 三角函数 1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x + （Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期； ) -1. 6 （Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 6 4 2、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3 + sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R . （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 4 4 3、已知函数 f (x ) = tan(2x + ), 4 （Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期； ? ? （II ）设∈ 0, ? ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小 ? ? 4、已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) sin 2x . sin x （1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期； （2） 求 f (x ) 的单调递减区间. 5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2 x . 2 4 （I ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （ II ） 设 函 数 1 g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有 g (x + 2 = g (x ) ， 且 当 x ∈[0, ] 时 ， 2 g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式. 2 2 ) )

3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x - 称轴之间的距离为 ， 2 ) +1（ A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6 （1）求函数 f (x ) 的解析式； （2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值. 2 2 7、设 f ( x ) = 4cos( ωx - π )sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0. 6 （Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域 （Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间?- 3π , π? 上为增函数，求 的最大值. ?? 2 2 ?? 8、函数 f (x ) = 6 cos 2 x + 2 3 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且?ABC 为正三角形. （Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域； 8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5 ，且 x 0 ∈(- 10 2 , ) ，求 f (x 0 1) 的值. 3 3 9、已知 a , b , c 分别为?ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0 （1）求 A ； （2）若 a = 2 ， ?ABC 的面积为 ；求b , c . 10、在 ? ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ． ＝ 2 ，sin B ＝ 5 3 (Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求? ABC 的面积．

三角函数变换的方法总结

三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。 解析：已知 显然有： 由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜ 点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。 （2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。 解析：设θ＋15°＝α，则 原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝ 证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） 所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ