广东省肇庆市怀集县2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析
广东省肇庆市怀集县2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是()
A. 2，2，4
B. 12，5，6
C. 8，6，4
D. 2，3，6
2.如图是由“O”和“□”组成的轴对称图形，该图形的对称轴是直线
()
A. l1
B. l2
C. l3
D. l4
3.在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，则这块三角板的另一个角的
度数是()
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
5.计算(?x2y)3的结果是()
A. ?x6y3
B. x6y3
C. ?x5y3
D. x2y3
6.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式(x?2)的是()
A. x2?4
B. x2?4x+4
C. x2+2x+1
D. x2?2x
7.如图，△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，
CE⊥AB于点E，则∠ECD的度数是()
A. 25°
B. 20°
C. 30°
D. 15°
8.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作
出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上(如图)，可以证明≌，得ED=AB.
因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定≌的条件是()．
A. ASA
B. SAS
C. SSS
D. HL
9.化简ab?b
a2?2a+1
的结果是()
A. a
a+1B. a
a?1
C. b
a+1
D. b
a?1
10.某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因
此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为()
A. 210
x ?210
1.5x
=5 B. 210
x
?210
x?1.5
=5
C. 210
1.5+x ?210
x
=5 D. 210
5
=1.5+210
x
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.计算：20+2?2=______．
12.十边形的外角和是______°.
13.分解因式：9x2?6x+1=______ ．
14.要使分式x
x?2
有意义，则x应满足的条件是____．
15.将一副三角尺按图示叠在一起，则图中∠α等于_______．
16.如图，已知△ABD≌△CDB，且∠ABD=40°，∠CBD=20°，则∠A
的度数为______ ．
17.如图，已知点P是高为2的等边△ABC的中线AD上的动点，E是
AC边的中点，则PC+PE的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
18.先化简，再求值：(x?2y)2?x(x+3y)?4y2，其中x=?4，y=1
2
．
19.先化简，再求值：a2?4a+4
a2?4÷a?2
a2+2a
?3，其中a=7
2
．
20.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC=AB．
21.如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)用尺规作图法作∠ABC的平分线BD，交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)若BD=AD=2，求BC．
22.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，请根据图所示，解答下列问题：
(1)写出△ABC的各顶点坐标；
(2)并画出△ABC关于y轴的对称图形；
(3)写出△ABC关于x轴对称的三角形的各顶点坐标．
23.某超市销售甲乙两种商品，3月份该超市同时一次购进甲乙两种商品共100件，购进甲种商品用
去300元，购进乙种商品用去1200元．
(1)若购进甲乙两种商品的进价相同，求两种商品的数量分别是多少？
(2)由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲乙两种商品共100件，但甲乙两种商品
进价在原基础上分别降20%，涨20%，甲种商品售价20元，乙种商品售价35元，若这次全部售出甲乙两种商品后获得的总利润是1160元，该超市购进甲种商品多少件？
24.如图，已知△ABC是等边三角形，且AE=CD，AD、BE相交于P，
BQ⊥AD于Q．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠PBQ的度数；
(2)求证：BP=2PQ．
25.如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以1cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C
向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明
理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与
△CQP全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针
沿△ABC三边运动，求经过几秒，点P与点Q第一次相遇？相遇在△ABC的哪条边上？
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．解：A.2+2=4，不能组成三角形，故本选项错误；
B.5+6=11<12，不能组成三角形，故本选项错误；
C.4+6=10>8，能够组成三角形，故本选项正确；
D.2+3=5<6，不能组成三角形，故本选项错误．
故选C．
2.答案：C
解析：
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：该图形的对称轴是直线l3，
故选C．
3.答案：D
解析：解：点P(2,3)满足点在第一象限的条件．
关于x轴的对称点的横坐标与P点的横坐标相同，是2；纵坐标互为相反数，是?3，
则P关于x轴的对称点是(2,?3)在第四象限．
故选：D．
应先判断出所求的点的横纵坐标，进而判断所在的象限．
本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
4.答案：B
解析：
此题考查的是三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°.直接根据三角形内角和定理解答即可．解：令三角形木板为△ABC，
∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?100°?40°=40°．
故选B．
5.答案：A
解析：
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
解：(?x2y)3=?x6y3．
故选：A．
6.答案：C
解析：解：A、原式=(x+2)(x?2)，不符合题意；
B、原式=(x?2)2，不符合题意；
C、原式=(x+1)2，符合题意；
D、原式=x(x?2)，不符合题意，
故选C
各项分解因式，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7.答案：B
解析：
本题考查的是三角形内角和定理，熟知“三角形内角和是180°”是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD平分∠ACB可得出∠ACD的度数，因为CE⊥AB于D所以∠AEC=90°，故可得出∠ACE的度数，根据∠ECD=∠ACE?∠ACD即可得出结论．
解：∵△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，∴∠ACB=180°?25°?65°=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=1
2∠ACB=1
2
×90°=45°；
∵CE⊥AB于E，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACE=90°?∠A=90°?25°=65°，
∴∠ECD=∠ACE?∠ACD=65°?45°=20°．
故选B．
8.答案：A
解析：
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选A．
9.答案：D
解析：解：ab?b
a2?2a+1=b(a?1)
(a?1)2
=b
a?1
；
故选D．
先把分式的分子与分母分别进行因式分解，然后约分即可．
此题考查了约分，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．
10.答案：A
解析：
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意得，210
x ?210
1.5x
=5．
故选：A．
11.答案：5
4
解析：解：原式=1+1
4=5
4
．
故答案为5
4
．
根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答．
本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1，比较简单．
12.答案：360
解析：解：十边形的外角和是360°．
故答案为：360．
根据多边形的外角和等于360°解答．
本题主要考查了多边形的外角和等于360°，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
13.答案：(3x?1)2
解析：解：原式=(3x?1)2，
故答案为：(3x?1)2
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解?运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.答案：x≠2
解析：
本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义，分母不为0解答即可．
有意义，
解：要使分式x
x?2
则x?2≠0，
∴x≠2，
故答案为x≠2．
15.答案：15°
解析：
此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．
根据性质计算求得结果．本题主要考查了三角形外角等于不相邻两个内角和．
解：依题可知∠α=∠EFA=45°?30°=15°．
故答案为：15°．
16.答案：120°
解析：
【分析】根据全等三角形的性质可得∠ADB=∠CBD=20°，再根据三角形内角和定理可得∠A= 180°?40°?20°=120°．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
【解答】解：∵△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD=20°，
∵∠ABD=40°，
∴∠A=180°?40°?20°=120°，
故答案为：120°．
17.答案：2
解析：解：如图所示，连接BP，
∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC，高AD=2，
∴BP=CP，
∴PC+PE=BP+PE，
当B，P，E三点共线时，BE的长即为PC+PE的最小值，
∵E是AC边的中点，
∴BE是等边三角形的中线，
∴BE=AD=2，
即PC+PE的最小值为2，
故答案为：2．
连接BP，根据AD垂直平分BC，即可得出BP=CP，当B，P，E三点共线时，BE的长即为PC+PE 的最小值，依据BE是等边三角形的中线，即可得到PC+PE的最小值为2．
本题主要考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18.答案：14
解析：
根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．
【详解】
解：原式=x2?4xy+4y2?x2?3xy?4y2=?7xy
当x=?4，y=1
2
时
原式=?7×(?4)×1
2
=14
本题考查了完全平方公式和单项式与多项式相乘法则，解题关键是熟练掌握整式混合运算的化简．
19.答案：解：a2?4a+4
a2?4÷a?2
a2+2a
?3
=
(a?2)2
(a+2)(a?2)
?
a(a+2)
a?2
?3
=a?3，
当a=7
2时，原式=7
2
?3=1
2
．
解析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.答案：⑴解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∵∠C+∠BAC+∠B=180°
∴∠BAC=180°?30°?30°=120°
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC?∠DAB=120°?45°=75°;
⑴证明：∵∠DAB=45°
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°
∴∠DAC=∠ADC
∴DC=AC
∴DC=AB
解析：见答案．
(1)由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可
计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC?∠DAB=120°?45°；
(2)根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由(1)得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
21.答案：解：(1)射线BD如图所示．
(2)∵DA=DB=2，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠C=90°，
∴∠A=∠ABD=∠DBC=30°，
∴BC=BD?cos30°=√3．
解析：(1)利用尺规作出∠ABC的平分线即可；
(1)只要证明∠A=∠ABD=∠DBC=30°，即可解决问题．
本题考查作图?基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22.答案：解：(1)A(?3,2)、B(?4,?3)、C(?1,?1)；
(2)如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于y轴的对称图形．
(3)△ABC关于x轴对称的三角形的各顶点坐标为(?3,?2)、(?4,3)、(?1,1)．
解析：本题主要考查了作图--轴对称变换，坐标与图形变化--对称，以及关于x 轴对称的点的坐标特点，关键是正确找出关键点的对称点，再画出图形．
(1)根据图形可直接写出各点坐标；
(2)分别找出A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可；
(3)根据关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变、纵坐标变相反数可得答案．
23.答案：解：(1)设购进甲种商品x 件，则购进乙种商品(100?x)件，
根据题意得：300x =1200100?x ，
解得：x =20，
经检验：x =20是方程300x =1200100?x 的解， ∴100?x =100?20=80．
答：该超市购进甲种商品20件，购进乙种商品80件．
(2)设该超市购进甲种商品y 件，则购进乙种商品(100?y)件，
根据题意得：[20?
30020×(1?20%)]y +[35?30020×(1+20%)](100?y)=1160，
解得：y =60．
答：该超市购进甲种商品60件．
解析：本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：
(1)根据单价=总价÷数量列出关于x 的分式方程；(2)根据总利润=单件利润×销售数量列出关于y 的一元一次方程．
(1)设购进甲种商品x 件，则购进乙种商品(100?x)件，根据单价=总价÷数量结合甲、乙两种商品的进价相同即可列出关于x 的分式方程，解之即可得出结论；
(2)设该超市购进甲种商品y 件，则购进乙种商品(100?y)件，根据总利润=单件利润×销售数量即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论．
24.答案：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴AB =CA ，∠BAE =∠C =60°，
∴在△AEB 与△CDA 中，{AB =CA ∠BAE =∠C AE =CD
，
∴△AEB≌△CDA(SAS)；
(2)解：由(1)知，△AEB≌△CDA ，
∴∠ABE =∠CAD ，
∴∠BAD +∠ABE =∠BAD +∠CAD =∠BAC =60°，
∴∠BPQ =∠BAD +∠ABE =60°，
∵BQ ⊥AD ，
∴∠PBQ =90°?∠BPQ =30°．
(3)证明：由(2)知，∠PBQ =30°，
∴在Rt △BPQ 中，PQ =12BP ，
∴BP =2PQ ．
解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半．全等三角形的判定与性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题是一道比较典型的题目，需记住这种题型的解决方法．
(1)根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS 证得结论；
(2)利用(1)中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠PBQ =30°；
(3)利用(2)的结果∠PBQ =30°，由“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ =BP ．
25.答案：解：(1)①△BPD ≌△CQP ，理由如下：
∵t =1s ，∴BP =CQ =1×1=1cm ，
∵AB =6cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD =3cm ，
又∵PC =BC ?BP ，BC =4cm ，
∴PC =4?1=3cm ，
∴PC =BD ，
又∵AB =AC ，
∴∠B =∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
{PC =BD
∠B =∠C BP =CQ
，
∴△BPD≌△CQP(SAS)．
②假设△BPD≌△CQP，
∵v P≠v Q，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，
则BP=CP=2，BD=CQ=3，
∴点P，点Q运动的时间t=BP
1
=2秒，
∴v Q=CQ
t =3
2
=1.5cm/s；
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得1.5x=x+2×6，
解得x=24，
∴点P共运动了24s×1cm/s=24cm．
∵24×1.5=36，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．
解析：本题考查的是一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质有关知识．
(1)①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等；
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
(2)根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．