第二章 圆锥曲线 章末复习
第二章 圆锥曲线 章末复习
学习目标
1.梳理本章知识，构建知识网络.
2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.
3.掌握圆锥曲线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.
4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数
(大于|F 1F 2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F 1，F 2的
距离的差的绝对值等于非零
常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹
标准方程 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)
关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2
图形 封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心 两条对称轴
一条对称轴
顶点 四个 两个 一个 离心率 0
x ＝－p 2
决定形状的
因素
e 决定扁平程度
e 决定开口大小
2p 决定开口大小
2.待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，将双曲线方程设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． (2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的大小．当焦点位置不确定时，
要分情况讨论，也可将方程设为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)，然后建立方程求出参数p 的值． 3．直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，
通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0等价于直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0等价于直线与圆锥曲线无交点．
(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或
???
?1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
4．方法、规律归纳
(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系； ②设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )； ③列式——列出动点P 所满足的关系式；
④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简； ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的． 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程： ①一个动点P (x ，y )在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点随P (x ，y )的变化而变化； ③变化过程中P (x ，y )满足一定的规律．
(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不能改变方程的解集． (4)求圆锥曲线的标准方程，主要利用定义法及待定系数法．
1．设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，|P A |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线．( ) 2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．( )
3．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1
5．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是???
?0，1
16a .( )
题型一 圆锥曲线定义的应用
例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2
＝1与C 1的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．
反思感悟
(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决． (2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题． (3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解． 跟踪训练1
(1)(2018·江西师大附中高二检测)设F 1，F 2分别是椭圆
E ：x 2＋
y 2
b 2
＝1(0
A.23 B ．1 C.43 D.53
(2)抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )
A ．x 1，x 2，x 3成等差数列
B ．y 1，y 2，y 3成等差数列
C ．x 1，x 3，x 2成等差数列
D ．y 1，y 3，y 2成等差数列
题型二 圆锥曲线方程与性质的应用 例2
(1)如图，椭圆C 1，C 2与双曲线C 3，C 4的离心率分别为e 1，e 2与e 3，e 4，则e 1，e 2，e 3，e 4的大小关系是( )
A ．e 2 B ．e 2 C ．e 1 D ．e 1 (2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若 四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6 2 反思感悟 求解离心率有三种方法：(1)定义法；(2)建立参数a 与c 之间的齐次关系式；(3)几何法． 跟踪训练2 (1)(2018·潍坊高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率 为( ) A. 3 B ．2 C. 5 D. 6 (2)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的标准方程为________________． 题型三 直线与圆锥曲线 例3 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． 反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题． 跟踪训练3 已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|＋|PF 2| ＝4，离心率为 22 . (1)求椭圆的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y ＝1 2x 上，O 为坐标原点，当 △OAB 的面积等于2时，求直线l 的方程． 题型四 圆锥曲线中参数范围和最值问题 例4 (1)已知P 为抛物线y ＝1 4x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是 ________． (2)若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( ) A ．a >0