等差数列、等比数列同步练习题
等差数列
李卫
一、选择题
1、等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为()
A、89
B、 -101
C、101
D、-89
2.等差数列{a
n }中,a
15
=33, a
45
=153,则217是这个数列的()
A、第60项
B、第61项
C、第62项
D、不在这个数列中
3、在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n为
A、 4
B、 5
C、 6
D、不存在
4、等差数列{a
n }中,a
1
+a
7
=42, a
10
-a
3
=21,则前10项的S
10
等于()
A、 720
B、257
C、255
D、不确定
5、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么 a :b 等于()
A、B、 C、或 1 D、
6、已知数列{a
n }的前n项和S
n
=2n2-3n,而a
1
,a
3
,a
5
,a
7
,……组成一新数
列{C
n
},其通项公式为()
A、 C
n =4n-3 B、 C
n
=8n-1 C、C
n
=4n-5 D、C
n
=8n-9
7、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10,则这个数列共有()
A、 6项
B、8项
C、10项
D、12项
8、设数列{a
n }和{b
n
}都是等差数列,其中a
1
=25, b
1
=75,且a
100
+b
100
=100,
则数列{a
n +b
n
}的前100项和为()
A、 0
B、 100
C、10000
D、505000
[高二数学答案]
1. A 2、 B 3、B 4、C 5、B
6、 D 7 、 A 8、 C
二、填空题
9、在等差数列{a
n }中,a
n
=m,a
n+m
=0,则a
m
= ______。
10、在等差数列{a
n }中,a
4
+a
7
+a
10
+a
13
=20,则S
16
= ______ 。
11.在等差数列{a
n }中,a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=68,a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10
=30,则从a
15
到
a
30
的和是 ______ 。
12.已知等差数列 110, 116, 122,……,则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。
三、解答题
13.已知等差数列{a
n }的公差d=,前100项的和S
100
=145
求: a
1+a
3
+a
5
+……+a
99
的值
14.已知等差数列{a
n
}的首项为a,记
(1)求证:{b
n
}是等差数列
(2)已知{a
n }的前13项的和与{b
n
}的前13的和之比为 3 :2,求{b
n
}
的
公差。
15.在等差数列{a
n }中,a
1
=25, S
17
=S
9
(1)求{a
n
}的通项公式
(2)这个数列的前多少项的和最大?并求出这个最大值。
16、等差数列{a
n }的前n项的和为S
n
,且已知S
n
的最大值为S
99
,且|a
99
|〈|a
100
|
求使Sn大于0的n的最大值。[高二数学答案] 1. A 2、 B 3、B 4、C 5、B
6、 D 7 、 A 8、 C
二、填空题
9、 n
10、 80
11、-368
12、13702
13、∵{a
n
}为等差数列
∴ a
n+1-a
n
=d
∴ a
1+a
3
+a
5
+…+a
99
=a
2
+a
4
+a
6
+…+a
100
-50d
又(a
1+a
3
+a
5
+…+a
99
)+(a
2
+a
4
+a
6
+…+a
100
)=S
100
=145
∴ a
1+a
3
+a
5
+…+a
99
=
=60
14、
(1)证:设{a
n
}的公差为d
则a
n
=a+(n-1)d
当n≥0时 b
n -b
n-1
= d 为常数
∴ {b
n
}为等差数列
(2)记{a
n },{b
n
}的前n项和分别为A
13
, B
13
则
,,
∴{b
n
}的公差为
15、
S 17=S
9
即 a
10+a
11
+…+a
17
=
∴ a
n
=27-2n
=169-(n-13)2
当n=13时, S
n 最大, S
n
的最大值为169
16、
S 198=(a 1+a 198)=99(a 99+a 100)<0
S197=(a 1+a 197)= ( a 99+ a 99)>0
又 a 99>0 ,a 100<0 则 d<0
∴当n<197时, S n >0
∴ 使 S n >0 的最大的n 为197
等比数列
一、选择题
1、若等比数列的前3项依次为
,……,则第四项为 ( )
A 、1
B 、
C 、
D 、
2、公比为的等比数列一定是 ( )
A 、递增数列
B 、摆动数列
C 、递减数列
D 、都不对
3、在等比数列{a n }中,若a 4·a 7=-512,a 2+a 9=254,且公比为整数,则a 12= ( )
A、-1024
B、-2048
C、1024
D、2048
4、已知等比数列的公比为2,前4项的和为1,则前8项的和等于()
A、15
B、17
C、19
D、21
5、设A、G分别是正数a、b的等差中项和等比中项,则有()
A、ab≥AG
B、ab C、ab≤AG D、AG与ab的大小无法确定 6、{a n }为等比数列,下列结论中不正确的是() A、{a n 2}为等比数列 B、为等比数列 C、{lga n }为等差数列 D、{a n a n+1 }为等比数列 7、一个等比数列前几项和S n =ab n+c,a≠0,b≠0且b≠1,a、b、c为常数,那么a、 b、c必须满足() A、a+b=0 B、c+b=0 C、c+a=0 D、a+b+c=0 8、若a、b、c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy≠0,则 的值为() A、1 B、2 C、3 D、4 高二数学答案 一、 1、A 2、D 3、B 4、B 5、D 6、C 7、C 8、B 一、填空题 1、在等比数列{a n }中,若S 4 =240,a 2 +a 4 =180,则a 7 = ______,q= ______。 2、数列{a n }满足a 1 =3,a n+1 =-,则a n = ______,S n = ______。 3、等比数列a,-6,m,-54,……的通项a n = ___________。 4、{a n }为等差数列,a 1 =1,公差d=z,从数列{a n }中,依次选出第 1, 3,32……3n-1项,组成数列{b n },则数列{b n }的通项公式是 __________,它的前几项之和是__________。 二、计算题 1、有四个数,前三个数成等差数列,后三个成等比数列,并且第 一个 数与第四个数的和为37,第二个数与第三个数的和为36,求这四 个数。 2、等比数列{a n }的公比q>1,其第17项的平方等于第24项,求: 使a 1 +a 2+a 3 +……+a n >成立的自然数n的取值范围。 3、已知等比数列{a n },公比q>0,求证:S n S n+2 n+1 2 4、数列{a n }的前几项和记为A n ,数列{b n }的前几项和为B n ,已知 ,求B n 及数列{|b n |}的前几项和S n 。 高二数学答案 一、 1、6;3 2、 =2(-3)n-1 3、-2·3n-1或a n 4、2·3n-1-1;3n-n-1 二、 1、解:由题意,设立四个数为a-d,a,a+d, 则 由(2) d=36-2a (3) 把(3)代入(1)得 4a2-73a+36×36=0 (4a-81)(a-16)=0 ∴所求四数为或12,16,20,25。 2、解:设{a n }的前几项和S n ,的前几项的和为T n a n =a 1 q n-1 ∵S n >T n ∴即>0 又 ∴a 1 2q n-1>1 (1) 又a 172=a 24 即a 1 2q32>a1q23 ∴a 1 =q-9(2) 由(1)(2)∴n≥0且n∈N 3、证一:(1)q=1 S n =na 1 S n S n+2 -S n+1 2=(na 1 )[(n+2)a 1 ]-[(n+1)a 1 ]2=-a 1 2 (2)q≠1 =-a 1 2q n<0 ∴S n S n+2 n+1 2 证二:S n+1=a 1 +qS n S n S n+2 -S n+1 2=S n (a 1 +qS n+1 )-S n+1 (a 1 +qS n ) =a 1(S n -S n+1 ) = -a 1a n+1 = -a 1 2q n<0 ∴S n S n+2 n+1 2 4、解:n=1 n≥2时, ∴ b n =log 2 a n =7-2n ∴{b n }为首项为5,公比为(-2)的等比数列 令b n >0,n≤3 ∴当n≥4时,b n 〈0 1≤n≤3时,b n 〉0 ∴当n≤3时,S n =B n =n(6-n),B 3 =9 当n≥4时,S n =b 1 +b 2 +b 3 -(b 4 +b 5 +…+b n )=2B 3 -B n =18-n(6-n)=n2-6n+18 高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. 用放缩法处理数列和不等问题(教师版) 一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理) 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n,已知a1030, a2050 . ( 1)求通项a n; ( 2)若S n242 ,求 n ; ( 3)若b n a n20 ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中,S n为前n项和,已知S77, S1575 . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)若b n S n,求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ,记 b n 1 , a n . 1 2a n 1 a n (1)求证 : 数列{ b n}为等差数列; (2)求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中, a n 0 , a1 1 ,且当 n 2 时,a n 2S n S n 1 0 . 2 ( 1)求证数列1 为等差数列;S n ( 2)求数列a n的通项 a n; ( 3)当n 2时,设b n n 1 a n,求证: 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中,a18, a4 2 . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)设S n| a1 | | a2 || a n |,求 S n; 1 (n N *) , T n b1 b2 b n (n N *) ,是否存在最大的整数m 使得对任( 3)设b n n(12 a n ) 意 n N * ,均有T n m m 的值,若不存在,请说明理由. 成立,若存在,求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列,且a13, a39 . ( 1)求{ a n}的通项公式; ( 2)证明: 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)设b n a n,则 n 为何值时, { b n } 的项取得最小值,最小值为多少?n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 ( 1)求数列{ a n} , { b n}的通项公式; ( 2)记c n a n b n,求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . (1)求数列{ a n}的通项公式a n; (2)数列{ a n}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n,设a n是S n与 2 的等差中项,数列{ b n} 中, b1 1,点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. ( 1)求数列{ a n} , { b n}的通项公式 【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法,是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面,就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板:第一步 结合所求结论,寻找已知与未知的关系; 第二步 根据已知条件列方程求出未知量; 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列,n S 为数列}{n a 的前n 项和,已知77=S ,7515=S ,n T 为数列}{n S n 的前n 项和,求n T . 【评析】直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.常用的数列求和公式有: 等差数列前n 项和公式: 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+. 等比数列前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? . 自然数方幂和公式:1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列,a 1+a 2=4,a 7+a 8=28,则该数列前10项和S 10等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析:a 1+a 2=4,a 7+a 8=28,解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点:等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板:第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧拆分:即根据通项公式特征,将其分解为几个可以直接求和的数列; 第三步 分别求和:即分别求出各个数列的和; 第四步 组合:即把拆分后每个数列的求和进行组合,可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,…,写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n . ——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word 版 ______年______月______日 ____________________部门 ———综合训练篇 一、选择题: 1. 在等差数列中,,则的值为 ( D ){}n a 120 31581=++a a a 1092a a - A .18 B .20 C .22 D .24 2.等差数列满足:,若等比数列满足则为( B ) A .16 B .32 C .64 D .27{}n a 30,8531==+S a a {} n b ,,4311a b a b ==5b 3.等差数列中,则数列的前9项之和S9等于{} n a 1 a {a ( C )A .66 B .144 C .99 D .297 4.各项都是正数的等比数列的公比q ≠1,且,,成等差数列,则为(A ) A . B . C . D .或{} n a 2a 321a 1 a 5 443a a a a ++2 15-215+2 51-2 1 5+215- 5.设等比数列的前项和为,若则( B ){}n a n n S ,33 6=S S = 69S S A. 2 B. C. D.3738 3 6.已知等差数列的前项的和为,且,,则过点和的直线的一个方向向 量的坐标是 ( B ){}n a n n S 210S =555S =(,) n P n a 2(2,)()n Q n a n N *++∈ A. B. C. D.1(2,)2 1(,2)2--1(,1) 2--(1,1)-- 7.设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且、、成等差数列,则 的值为( C ) A . B . C . D .a 1b 1c 1a c c a +15941594±15341534 ± 8. 已知数列的通项则下列表述正确的是 ( A ){} n a ,1323211 ????????-??? ??? ? ? ??=--n n n a A .最大项为最小项为 B .最大项为最小项不存在,1a 3 a ,1a C .最大项不存在,最小项为 D .最大项为最小项为3 a ,1a 4a 9.已知为等差数列,++=105,=99.以表示的前项和,则使得达到最大 值的是(B ){}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n a n n S n A .21 B .20 C .19 D .18 9.一系列椭圆都以一定直线l 为准线,所有椭圆的中心都在定点M , 且点M 到l 的距离为2,若这一系列椭圆的离心率组成以为首项,为公比的等比数列,而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1,2,…,n),设bn=2(2n+1)·3n -2·an ,且Cn=,Tn=C1+C2+…+Cn ,若 数列求和例题精讲 1. 公式法求和 (1)等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 (2)等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q (3)前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 ( 1)弄准求和项数 n 的值; 2 公式法求和注意事项 ( 2)等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类。 例 1.求数列 1,4,7, ,3n 1 的所有项的和 例 2.求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 ) 2.分组法求和 例 3.求数列 1, 1 2,1 2 3,,1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4.已知数列a n中,a n ,求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3.并项法求和 例 5.数列a n 中, a n ( 1) n 1 n2,求 S100。 例 6.数列a n中,,a n( 1) n 4n ,求 S20及 S35。 4.错位相减法求和 若a n 为等差数列,b n 为等比数列,求数列a n b n(差比数列)前n项 b n 的公比。 和,可由S n qS n求 S n,其中q 为 例 7.求和12x 3x 2nx n 1(x0 )。 5.裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 例 8.求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9.求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n [练习] 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1 高三数列专题训练二 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.在公差不为零的等差数列{}n a 中,已知23a =,且137a a a 、、成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,记,求数列{}n b 的前n 项和n T . 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; 1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T . 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,,2S ,3S 成等差数列,数列{}n b 满足2n b n =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设n n n c a b =?,若对任意*n N ∈,求λ的取值范围. 4.已知等差数列{n a }的公差2d =,其前n 项和为n S ,且等比数列{n b }满足11b a =, 24b a =,313b a =. (Ⅰ)求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ; (Ⅱ)记数列的前n 项和为n T ,求n T . 5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()21,2,3,n n S a n =-=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b 满足11b =,且1n n n b b a +=+,求数列{}n b 的通项公式; (3)设()3n n c n b =-,求数列{}n c 的前n 项和n T . 第4讲数列求和 一、选择题 1.设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n=( ) A.n[1n-1] 2 B. 1n-1+1 2 C.1n+1 2 D. 1n-1 2 解析∵数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列, ∴S n=11n1 11 = 1n-1 2 . 答案 D 2.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=( ) A.66 B.65 C.61 D.56 解析当n=1时,a1=S1=-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-4n+2-[(n -1)2-4(n -1)+2]=2n-5.∴a2=-1,a3=1,a4=3,…,a10=15,∴|a1| +|a2|+…+|a10|=1+1+81+15 2 =2+64=66. 答案 A 3.在数列{a n}中,a n= 1 n n +1 ,若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ,则项数n为( ). A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014 解析∵a n=1 n n +1= 1 n - 1 n+1 ,∴S n=1- 1 n+1 = n n+1 = 2 013 2 014 ,解得n=2 013. 答案 C 4.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( ).A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 解析当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1, 当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3, ∴a 2k +1+a 2k -1=2,∴a 2k +1+a 2k +3=2, ∴a 2k -1=a 2k +3,∴a 1=a 5=…=a 61. ∴a 1+a 2+a 3+…+a 60=(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 60+a 61)=3+7+11+…+(4×30-1)=30 3+119 2 =30×61=1 830. 答案 D 5.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”,则 1~100 这100个数中,能称为“和平数”的所有数的和是( ) A .130 B .325 C .676 D .1 300 解析 设两个连续偶数为2k +2和2k (k ∈N +),则(2k +2)2-(2k )2=4(2k +1),故和平数 是4的倍数,但不是8的倍数,故在1~100之间,能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7,…,4×25,共计13个,其和为4×1+252 ×13=676. 答案 C 6.数列{a n }满足a n +a n +1=1 2(n ∈N *),且a 1=1,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21 = ( ). A.21 2 B .6 C .10 D .11 解析 依题意得a n +a n +1=a n +1+a n +2=1 2,则a n +2=a n ,即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等,则a 21=a 1=1,S 21=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 19+a 20)+a 21=10(a 1+a 2)+a 21=10×1 2+1=6,故选B. 答案 B 二、填空题 7.在等比数列{a n }中,若a 1=1 2,a 4=-4,则公比q =________;|a 1|+|a 2|+… +|a n |=________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以 高中数学《数列》专题练习 1.n S 与n a 的关系:1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=? ->?? ,已知n S 求n a ,应分1=n 时1a =1S ; 2≥n 时,n a =1--n n S S 两步,最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2.等差等比数列 3.数列通项公式求法:(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法;(3)累乘法( n n n c a a =+1 型);(4)利用公式1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=?->??;(5)构造法(b ka a n n +=+1型);(6)倒数法等 4.数列求和 (1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。 5. n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当0,01<>d a 时,满足?? ?≤≥+001 m m a a 的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01> 数列求和例题精讲 1. 公式法求和 (1)等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2 ) 1(2)(2)(111-+=+=+= -+ (2)等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n = 1≠q 时 q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11 (3)前n 个正整数的和 2 )1(321+= ++++n n n 前n 个正整数的平方和 6) 12)(1(3212222++= ++++n n n n 前n 个正整数的立方和 2 3333]2 )1([321+=++++n n n 公式法求和注意事项 (1)弄准求和项数n 的值; (2)等比数列公比q 未知时,运用前n 项和公式要分类。 例1.求数列13741+n ,,,, 的所有项的和 例2.求和221-++++n x x x (0,2≠≥x n ) 2.分组法求和 例3.求数列112,124,138,…,1 2 n n +,…的所有项的和。 例4.在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (1) 设n n a b n =,求数列{}n b 的通项公式 (2) 求数列{}n a 的前n 项和n S 3.错位相减法求和 {}{}{}若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项a b a b n n n n n {}和,可由求,其中为的公比。S qS S q b n n n n - 例7.求和12321-++++n nx x x (0≠x )。 4.裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 例8.求和) 12)(12(1 751531311+-++?+?+?n n 。 例9.求和n n +++ +++ ++ +113 212 311 21 。 5 . 倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。 S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++??? ? ?--121121…………相加 ()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… [ 练 习 ] 已知,则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ? ??= 22 11212313414 高中数学数列专题练习(精编版) 1. 已知数列{}()n a n N * ∈是等比数列,且1 3 0,2,8.n a a a >== (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证: 11111321<++++n a a a a Λ; (3)设1log 22+=n n a b ,求数列{}n b 的前100项和. 2.数列(1)(2)设 (3) n T 3. ? 4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且 11=a . (1) 求证: 数列? ?? ????-n n a 231是等比数列; (2) 求数列{}n b 的前n 项和n S . 5. 6. 划,万元,(1)b n 的表达式; (2) 7. 在等比数列{a n }(n ∈N*)中,已知a 1>1,q >0.设b n =log 2a n ,且b 1+b 3+b 5=6,b 1b 3b 5=0. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ; (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ,试比较S n 与a n 的大小. 8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 是S n 与2的等差中项,数列{b n }中,b 1=1, 点P (b n ,b n+1)在直线x -y +2=0上。 (1)求a 1和a 2的值; (2)求数列{a n },{b n }的通项a n 和b n ; (3)设c n =a n ·b n ,求数列{c n }的前n 项和T n 。 9. 已知119 4-且 13n n b b -- 10. 已知等差数列{}a n 的前9项和为153. (1)求5a ; (2)若,82=a ,从数列{}a n 中,依次取出第二项、第四项、第八项,……,第2n 项,按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ,求数列{}c n 的前n 项和S n . 高中数学数列求和专题复习 1.公式法求和 ( 1 )等差数列前项和公式 ( 2 )等比数列前项和公式时 时 ( 3 )前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项( 1 )弄准求和项数的值; ( 2 )等比数列公比未知时,运用前项和公式要分类。 例 1 .求数列的所有项的和 例 2 .求和 ( ) 2 .分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.形如: 的形式,其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和:,… 例 2.求数列 1 ,,,…,的所有项的和。 例 3 .已知数列中,,求。 练习 1 、求和: 练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知: .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 (Ⅰ)求; (Ⅱ)设,求数列 3 .并项法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中,若 的值 . 例 3 .数列中,,求。 例 64.数列中,,,求及。 4 .错位相减法求和 例 1 、 练习 1 、已知数列 练习 2 、已知数列,求数列的前 n 项和。 练习 3.求和()。 5 .裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有: 若是公差为的等差数列,则; ; ; ; * ; 例 1 .求和。 例 2 .求和。 练习1、数列 { } 的前 n 项和为,且满足 ( I )求与的关系式,并求 { } 的通项公式; ( II )求和 数列 数列的求和(裂项相消法求和) 一、具体目标:1.掌握等差、等比数列的求和方法; 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读:会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和,非等差、等比数列的求和是高考的热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述: 求数列前n 项和的基本方法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求和; 等差:11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+; 等比:11(1)(1) (1)1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时, (2)掌握一些常见的数列的前n 项和公式: ()2 1321+= ++++n n n Λ; n n n +=++++22642Λ; 2531n n =++++Λ; ()()61213212222++=++++n n n n Λ;()2 3 33321321?? ????+=++++n n n Λ (3)倒序相加法求和:如果一个数列 {}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, q a S -= 11 【考点讲解】 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. (4)错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法:若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?,其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫q 倍错位相减法. 温馨提示:1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. (5)分组求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,先分别求和,再合并.通项公式为a n =,,n n b n c n ?????为奇数 为偶数 的数列, 其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 形如:n n b a +其中???? ?是等比数列 是等差数列n n b a ,()()???∈=∈-==** N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, (6)合并求和:如求2 2222212979899100-++-+-Λ的和. (7)裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项: 111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ?? =- ?-+-+?? 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=-??+++++?? ;n n n n -+=++11 1. 1.【2019年优选题】 +?411+?741Λ+?10 71=+-+)13)(23(1n n ( ) 【真题分析】 高中数学竞赛专题之数列 一、数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的主要性质及容对照讨论如下: 性质1:若K K ,,,,21n a a a 是等差(等比)数列,那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差(等比)数列。 性质2:若}{n a 为等差数列,且 ∑∑===k l l k l l j i 11 ,那么 ∑∑===k l j k l i l l a a 1 1 (脚标和相同则对应的 项的和相同);若}{n a 为等比数列,且∑∑===k l l k l l j i 1 1 ,那么l l j k l i k l a a 1 1 ===ππ(脚标和相同则对 应的项的积相同)。 性质3:若}{n a 为等差数列,记K K ,,,,1 )1(1 2 1 1∑∑∑=-+=+==== k i k m i m k i k i k i i a S a S a S ,那么 }{m S 仍为等差数列,}{n a 为等比数列,记K K ,,,,)1(1 1 21 1k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ, 那么}{m P 仍为等比数列。 性质4:若}{n a 为等比数列,公比为q ,且|q|〈1,则q a S n n -= ∞ →1lim 1 。 例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若 1 32+=n n T S n n , 则=∞→n n n b a lim ( )A.1 B. 36 C. 32 D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项的和为( ) A.130 B. 170 C. 210 D.260 例3、}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若 3 3131 3++=n n T S n n (1)求2828a b 的值, (2)求使n n a b 为整数的所有正整数n 。 专题:数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨 一、基本知识 1.定义: (1) .数列:按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数,则这个数列叫做等比数列 2. 通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列: d n a a n )1(1-+= 2 ) (2 )1(11n n a a n d n n na S += -+ = }{n b 为等比数列: )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --= --= 11)1(11(q )1≠ 3. 常用性质 }{n a 为等差数列,则有 (1) 从第二项起,每项是前一项与后一项的等差中项,2 1 1-++=n n n a a a (n>1) (2) ),()(* N n m d m n a a m n ∈-+= (3) 若m+n = p+q , 则:q p n m a a a a +=+,特殊的:若m+n=2r ,则有:r n m a a a 2=+ (4) 若,,m a n a n m ==则有:0=+n m a (5) 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有: (6) }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+= (7) m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列 (8)}{},{n n b a 为等差数列,则}{n n qb pa +为等差数列(p ,q 为常数) (9)若项数为偶数2n ,nd =-奇偶S S , 1 +n n a a S S = 偶 奇 若项数奇数2n -1,n a S S =偶奇-,1 -n n S S = 偶 奇 (10)???=≥-=-1 11)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列,则有 (1) 只有同号的两数才存在等比中项 (2) ),(* N n m q a a m n m n ∈=- (3) 若m+n = p+q , 则:q p n m a a a a ?=?,特殊的:若m+n=2r ,则有:2 r n m a a a =? (4) }{},{n n b a 为等比数列,则}{n n b a ?,}{ n n b a ,{n ca }为等比数列(0≠c ) (5) 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列,当1≠q 时,连续项之和仍为 等比数列 (6) )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题: 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数,)(1d a dn a n -+=(定义域为正整数集),一次项的系数为公差;等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数, n d a n d s n )2 (2 12 - += 二次项系数为公差的一半,常数项为0. 证明某数列是等差(比) 数列,通常利用等差(比)数列的定义加以证明,即证: 常数)常数,(==-++n n n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列),前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确 定n 值,即可求得s n 的最大值(也可以用二次函数的性质或图象解)。 数列专题复习(1) 一、等差数列和等比数列的性质 1、已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a = (A ) 172 (B )19 2 (C )10 (D )12 2、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和,若126n S =,则n = 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A 5 B 7 C 9 D 11 4、已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a = A.2 B.1 1C.2 1 D. 8 5、等比数列{a n }满足a 1=3, 135a a a ++ =21,则357a a a ++= A21 B42 C63 D84 6、等差数列{}n a 的公差为2,若2a ,4a ,8a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S = (A ) ()1n n + (B )()1n n - (C ) ()12 n n + (D) ()12 n n - 7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m = A .3 B .4 C .5 D .6 8、等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3 = a 2 +10a 1 ,a 5 = 9,则a 1= (A ) 13 (B )13 - (C ) 19 (D )1 9 - 9、已知{n a }为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += A7 B5 C -5 D -7 10、已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = (A) 11、如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++= (A )14 (B )21 (C )28 (D )35 12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15 =25,则nS n 的最小值为________. 13、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =___________。 14、设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k = (A)8 (B)7 (C) 6 (D) 5 15、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n =1,2,3,….若b 1>c 1, b 1+ c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1= 2n n c a +,c n +1=2 n n b a +,则( ). 数列专项之求和-4 (一)等差等比数列前n 项求和 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n (二)非等差等比数列前n 项求和 ② 数列n a 为等差数列,数列{}n b 为等比数列,则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列 {}n n a b ?的前n 项和. 此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法. 例23. 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S )0(≠x 例24.求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 一般地,当数列的通项12()() n c a an b an b = ++ 12(,,,a b b c 为常数)时,往往可将n a 变成两项的差,采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设1 2 n a an b an b λ λ = - ++,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得 21 c b b λ= -,从而可得 122112 11 =().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++ 常见的拆项公式有: ① 111(1)1n n n n =-++; ② 1111 ();(21)(21)22121 n n n n =--+-+ ③ 1a b =-- ④11; m m m n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ?=+- ⑥]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例26. 在数列{a n }中,1 1211++ ???++++=n n n n a n ,又12+?=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和:231 ,,71,41,1112-+???+++-n a a a n 如果一个数列{}n a ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征: 121...n n a a a a -+=+= 例29.求证:n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值高中数学数列专题大题训练
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