18版高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念学案新人教A版必修1

1.2.1 函数的概念

学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点)．

预习教材P15－P17，完成下面问题： 知识点1 函数的概念 (1)函数的概念

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )

(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x 可以对应着值域中不同的y .( ) (3)在函数的定义中，集合B 是函数的值域．( )

提示 (1)× 函数的定义域和值域也可能是有限集，如f (x )＝1；

(2)× 根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x ，在值域中都有唯一确定的y 与之对应；

(3)× 在函数的定义中，函数的值域是集合B

的子集． 知识点2 区间及有关概念 (1)一般区间的表示．

设a ，b ∈R ，且a

(2)

已知全集U ＝R ，A ＝{x |13}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞)． 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)

题型一 函数关系的判定

【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1

x

；④r ：把x 对应到x .

(1)解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系．

答案 D

(2)解 ①是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应．

同理，②也是实数集R 上的一个函数．

③不是实数集R 上的函数．因为当x ＝0时，1

x

的值不存在．

④不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．

规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；

(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

2．判断一个对应是否是函数的方法

【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性．②对，同时满足任意性与唯一性．③错，x ＝2时，对应元素y ＝3?N ，不满足任意性．④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性．

答案 B

题型二 相等函数

【例2】 (1)下列各组函数：

①f (x )＝x 2－x

x

，g (x )＝x －1；

②f (x )＝x x ，g (x )＝x x ； ③f (x )＝

x ＋

2

，g (x )＝x ＋3；

④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0

；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．

其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)． (2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝x ＋x －是否相等，并说明理

由．

(1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是同一函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是同一函数；④f (x )与g (x )的

定义域不同，不是同一函数；⑤f (x )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是同一函数．

答案 ⑤

(2)解 不相等．对于函数y ＝x －1·x ＋1，由?

??

??

x －1≥0，

x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域

为{x |x ≥1}，对于函数y ＝x ＋x －，由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，

故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数．

规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点

(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数．

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．

(3)在化简解析式时，必须是等价变形．

【训练2】 判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f (x )＝(x )2

；g (x )＝x 2

.

(2)f (x )＝x 2

－2x －1；g (t )＝t 2

－2t －1.

解 (1)由于函数f (x )＝(x )2

的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2

的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．

(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． 题型三 求函数值

【例3】 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2

＋2(x ∈R )．

(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值． 解 (1)∵f (x )＝1

1＋x ，

∴f (2)＝11＋2＝1

3

.

又∵g (x )＝x 2

＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝

11＋11＝112

. 规律方法 求函数值的方法及关注点

(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求

f (

g (a ))的值应遵循由里往外的原则．

(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【训练3】 已知函数f (x )＝

x ＋1

x ＋2

. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)]． 解 (1)∵f (x )＝

x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝3

4

. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f [f (1)]＝f ? ????23＝2

3＋12

3

＋2＝58.

方向1 【例4－1】 求下列函数的定义域：

(1)y ＝

x ＋

2

x ＋1

－1－x ；(2)y ＝5－x

|x |－3

.

解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足?

??

??

x ＋1≠0，

1－x ≥0.

解得x ≤1，且x ≠－1，

即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．

(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足?

??

??

5－x ≥0，

|x |－3≠0，

解得x ≤5，且x ≠±3，

即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}． 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求

(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．

(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． 方向2 求抽象函数的定义域

【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．

(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝

f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．

【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的

“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数

y ＝f (x )的定义域是什么？

解 这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．

【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域． (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域． 解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得1

2

≤x ≤3，

所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为????

??12，3. (2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]． 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法

(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域．

(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的值域即为f (x )的定义域．

课堂达标

1．下列图象中表示函数图象的是( )

解析 根据函数的定义，对任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都是一对多，只有C 是多对一．故选C ．

答案 C

2．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2

B ．f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)

C ．f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *

)

D ．f (x )＝x 2－1x －1

与g (x )＝x ＋1(x ≠1)

解析 选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D ．

答案 D

3．函数f (x )＝x －4＋

1

x －5

的定义域是________． 解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1

x －5，∴?

??

??

x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )

的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．

答案 [4,5)∪(5，＋∞)

4．已知函数f (x )的定义域为(0,2)，则f (x －1)的定义域为________． 解析 由题意知0

5．已知函数f (x )＝x 2

＋x －1.

(1)求f (2)，f ? ??

??1x

；

(2)若f (x )＝5，求x 的值． 解 (1)f (2)＝22

＋2－1＝5， f ? ????1x ＝1x 2＋1

x

－1＝1＋x －x 2

x 2.

(2)∵f (x )＝x 2

＋x －1＝5，∴x 2

＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.

课堂小结

1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可．

2．f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不同的函数中f 的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示．