高中数学 数列递推与放缩问题专题训练试题

数列递推与放缩问题专题训练试题

一、递推公式为n S 与n a 的关系式（或()n n S f a =）

例1． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2112121,

,.33

n n S a a n n n N n *+==---∈ （1） 求2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； (3)证明： 1211174

n a a a +++<

二、递推公式为1()n n a a f n +=+ 例2． 已知数列{}n a 满足1221,1,220n n n a p a p a a a n ++==+-+=-，其中p 是给定的实数，n 是正整

数，试求n 的值，使得n a 的最小。

三、递推公式为1()n n a f n a +=

例3． 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，211,n n a S n a ==，求数列{}n a 的通项公式

四、递推公式为1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，(1)0)pq p -≠） 例4． 已知数列{}n a 满足111,21()n n a a a n N *+==+∈

（1） 求数列{}n a 的通项公式；

（2） 若数列{}n b 满足12111

444(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列 （3） 证明：

122311()232n n a a a n n n N a a a *+-<+++<∈

五：拆项放缩（和拆项，积拆项）

例题5：求证

（1）

.（2） ,求证：

高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导

高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*

高中数学-递推数列的通项的求法练习

高中数学-递推数列的通项的求法练习 1．(·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( ) A ．16 B ．24 C ．26 D ．28 答案 C 解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C. 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2 ＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( ) A ．2 017×2 018 B ．2 016×2 017 C ．2 015×2 016 D ．2 017×2 017 答案 B 解析 累加法易知选B. 4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2 x n (n≥2)，则x n 等于( ) A ．(23)n －1 B ．(23)n C.n ＋12 D.2 n ＋1 答案 D 解析 由关系式易知?????? 1x n 为首项为1 x 1＝1，d ＝12的等差数列，1 x n ＝n ＋12，所以x n ＝2 n ＋1 . 5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( ) A ．2－(12)n －1 B ．(12)n －1 －2 C ．2－2n －1 D ．2n －1 答案 A 解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1 ，所以选A. 6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( ) A ．2(n 2＋n ＋1) B ．2·3n C ．3·2n D ．3n ＋1

(推荐)高中数学数列知识点精华总结

数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形

3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)

高中数学递推数列通项的常用求法

递推数列通项的常用求法 数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考查的重点，而递推数列的通项公式又是数列这一章的一个重点，也是难点，很多同学在这方面都存在着很大的问题。 下面就常见的几种递推数列，谈谈此类数列的通项公式的求法。 类型1 递推关系式形如 )(1n f a a n n +=+或)(1n f a a n n ?=+ (其中)(n f 不是常量函数) 例1 设数列{}n a 中21=a ，11++=+n a a n n ，求通项n a . （2008.四川.文16） 解：根据题意得 11+=-+n a a n n 令 ,3,2,1=n ，得 1112+=-a a 1223+=-a a 1334+=-a a ······ 1)1(1+-=--n a a n n （2≥n ） （注：此处只能到1-n 项） 等式两边同时相加得 )1()1321(1-+-++++=-n n a a n = )1(2)1)(11(-+--+n n n =2 2 2-+n n 所以 2 2 2++=n n a n （检验当1=n 时也成立） *)(N n ∈ 练习1 在数列{}n a 中21=a ，)1 1ln(1n a a n n ++=+*)(N n ∈，求n a . （2008.江西.5） 2 已知数列{}n a 中11=a ，113 1 ++=-n n n a a *)(N n ∈，求n a . （2008.天津.理15改编） 例2．设{}n a 是首项为1的正项数列,且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n ),3,2,1( =n ， 求n a . (2000.全国.15) 解：根据题意 0)1(12 21=+-+++n n n n a a na a n 化简得n n na a n =++1)1(. 即 1 1+= +n n a a n n (且0>n a ) 令 ,3,2,1=n ，得：2112=a a 3223=a a 4334=a a · ····· n n a a n n 1 1-=- 等式两边同时相乘得： 即 n n a a a a a a a a n n 1 4332211342312-? ????=?????- （2≥n ）

!!!经典数学-递推数列经典题型全面解析

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 {}n a 满足211=a ，n n a a n n ++ =+2 11 ，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 1 11- =- 211= a ，n n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列 {}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 。 解：由条件知1 1+= +n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n a a n 1 1=?又321=a ，

n a n 32= ∴ 例:已知31 =a ，n n a n n a 2 31 31+-= + )1(≥n ，求n a 。 1 23132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=3437526331348531n n n n n --=????=--- 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -= 1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 {}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 解：设递推公式321 +=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n . 故递推公式为 )3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且 23 3 11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1 n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得： q q a q p q a n n n n 1 11+?=++引入辅助数列 {}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1 += +再待定系数法解决。 例:已知数列 {}n a 中，6 51=a ,11)2 1(3 1+++=n n n a a ，求n a 。

高中数学：递推式求数列通项公式常见类型及解法

高中数学：递推式求数列通项公式常见类型及解法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。 一、型 例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。 解：已知递推式化为，即， 所以。将以上个式子相加，得 ， 所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。

解：当， 即 当， 所以。 三、型 例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比 ，得。于是，得 ，以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2：又已知递推式，得 上述两式相减，得，因此，数列 是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，所以。 四、型 例4. 设数列，求通项公式。

解：设，则， ， 所以， 即 。 设 这时，所以。 由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。 由此得：。 说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。 五、型 例5. 已知b≠0，b≠±1， ，写出用n和b表示a n的通项公式。

解：将已知递推式两边乘以，得 ，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得 ，故。 说明：对于递推式，可两边除以，得 ，引入辅助数列，然后可归结为类型三。 六、型 例6. 已知数列，求。解：在两边减去 。 所以为首项，以。 所以 令上式，再把这个等式累加，得 。 所以。

说明：可以变形为，就是 ，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，也是考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。 ▍ ▍ ▍ ▍

高中数学数列知识点总结教学提纲

高中数学数列知识点 总结

数列基础知识点 《考纲》要求： 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项； 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题； 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。 数列的概念 N * 或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为： =n a ?? ?? ?≥==2 1n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ － 3 12?，534?，－758?，9716?…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ a n ＝(－1) n ) 12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)673(2 12+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

高中数学概率(递推数列应用)

概 率 从原点出发的某质点M ，按向量a ＝（0，1）移动的概率为23 ，按向量b ＝（0，2）移动的概率为13 ，设M 可到达点（0，n ）(n=1,2,3,…)的概率为n P 。 （1）求1P 和2P 的值； （2）求证：2111()3 n n n n P P P P +++-=-- （3）求n P 的表达式. 解: (1)1227,39 P P == (2) (0,n+2)=(0,n+1)+(0,1)=(0,1)+(0,2), ∴2121 33 n n n P P P ++=+,2111133n n n n P P P P +++-=-+111()33 n n P P +=--. (3)311()443n n P =+- 在一个边长为1m 的正四面体的3个顶点上，3个粒子同时以1m/s 的速度沿着棱向另一个顶点运动，若每一个粒子运动时，向3个顶点运动的概率一样，且任意2个或3个粒子相遇即合为一个（若在棱上相遇，则粒子间无任何影响），设P （n,k ）为经过n s 后剩下k 个粒子的概率，求： （1）P(1,1), P(1,2), P(1,3); (2) P(n,3) 解答：（1）要1s 后剩1个粒子，即要1s 后3个粒子都运动到0s 时无粒子的顶点处，从而合三为一，故P(1,1)= 10 111112101 01910112152112())()223663223111022 5331010n n n n n n i i P P P P P P P P PPPPPP ----=-=?-+-?-?????????∑ ＝＋＝＋＋＋222（－）＋（－）＋＋（－）＋3332－（－）3 31()3=127 . 要1s 后剩2个粒子，即3个粒子中有两个粒子都运动到0s 时无粒子的顶点处，从而要1s 后剩2个粒子，即3个粒子中有两个粒子在1s 后合二为一。 有两种情况： ○ 1能合二为一的两个粒子都运动到0s 时无粒子的顶点处，合二为一，同时另一粒子不运动到此； ○ 2能合二为一的两个粒子都运动到0s 时无粒子的第三个粒子处，合二为一，同时第三个

高中数学必修5数列专题一---递推数列

专题一 递推数列 1．运用???≥-==-)2()1(11n S S n a a n n n 求数列通项公式 例1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，)(31++∈=N n S a n n ，求n a 。 例2．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且)0,2(221>≥+=+-t n ta S S n n n ， 11=a 。求数列{}n a 的通公式。 2．运用叠加法或叠积法求数列通项公式 例3．数列{}n a 中，11=a ，n n n a a )3 1 (1+=+，求n a 。 例4．数列{}n a 中，11=a ，)2()1(1≥=+-n na a n n n ，求n a 。

3．运用辅助数列法求递推数列的通项公式 例6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)2(222≥-=n a S a S n n n n ，11=a ，求n S 及n a 。 例7．数列{}n a 中，11=a ，32 11+=+n n a a ，求n a 。 例8．数列{}n a 中，31=a ，)2(1221≥+-=-n n a a n n ，求n a 。 例9．数列{}n a 中，31=a ，)2(1)3 2 (21≥++=-n a a n n n ，求n a 。

专题一 递推数列 1．若数列}{n a 满足???????<<-≤≤=+121,12210,21 n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为 （ ） A ．76 B ．75 C ．73 D ．7 1 2．数列{a n }中，21=a ，)(2)1(1*+∈++=N n a n na n n ，则10a 为 （ ） A ．34 B ．36 C ．38 D ．40 3．各项全不为零的数列{n a }的前n 项和为n S ，且121+= n n n a a S ∈n (N *)，且a 1=1，则=n a （ ） A ．12-n B ．12-n C ．n D ．23-n 4．设}{n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(1221+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，则=n a （ ） A ． n 1 B ．12+n C ．12+n n D ．1 1+n 5．数列}{n a 中，11=a ，n n n a a 21=+，+∈N n ，则=n a ． 6．数列}{n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，+∈N n ，则=n a ． 7．数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则n a = 。 8．已知正项数列}{n a ,其前n 项和n S 满足65102++=n n n a a S ,且1531,,a a a 成等比数列，求数列 }{n a 的通项n a .

高中数学数列专题递推数列典型题型

高中数学数列专题递推数列典型题型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211 = a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ 变式:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分） 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5； （II ）求{ a n }的通项公式. 解： k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ， 2235)1(3-+=-a a …… …… k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得 1)1(2 1 321112--+?=++k k k a ， 1)1(2 1 321)1(122--+?=-+=-k k k k k a a 。 经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132 1)(1)1(21321222 1 21为偶数为奇数n n a n n n n n 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 。

高中数学数列专题递推数列典型题型

高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211 = a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令 ) 1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得 ) 1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 1 11-=- 211=a Θ，n n a n 1231121-=-+=∴ 变式:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分） 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5； （II ）求{ a n }的通项公式. 解：Θk k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ， 2235)1(3-+=-a a …… …… k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得 1)1(2 1 321112--+?=++k k k a ， 1)1(2 1 321)1(122--+?=-+=-k k k k k a a 。 经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132 1)(1)1(21321222 1 21为偶数为奇数n n a n n n n n 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

高中数学 递推数列的单调有界性

递推数列的单调有界性 1 例:已知数列{a n }中 ，设1a >3，且n a =2111233(2) n n n a a a -----(23)n =,,。求证：3<1n a +3), 则f （x ）?=2(x?1)(x?3）3（x?2）2 当23时f (x )?>0 所以x=3时有f （x ）min =f (3)=3 又f (x )?x =?x (x?3)3(x?2)，当x >3时，f (x )3，所以32)，则f(x)?=3x 2?6x+14(x?1)2>0(x >2) f (x )?x =?x(x?3)4(x?1)>0(2x ，又f (x )?3= (x ?3)(3x ?4)4(x—1)<0(2

高中数学竞赛讲义-递推数列

§12递推数列 1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型： 类型Ⅰ：???=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(1 1（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ：???==≠≠+=++为常数） b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。 类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。 解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。 例题讲解 1．已知数列}{n a 满足以下递归关系?? ?=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。 2．已知数列}{n a 满足?? ?=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。 3．已知数列}{n a 满足?? ?=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。 4．已知数列}{n a 满足? ? ?==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。 5．由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。

高中数学常见递推数列通项的求解方法

常见递推数列通项的九种类型 高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。 类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）???? →解决方法 累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。 解析： 121(2)n n a a n n --=-≥ ∴21324311 3 521 n n a a a a a a a a n --=??-=?? -=???-=-? ? 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴= 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。 类型二：1()n n a f n a +=? （()f n 可以求积）???? →解决方法 累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。 解析：12 32 112321 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----= ???? 123211143n n n n n n --= ?? ??+-2 1 n = + 又 1a 也满足上式；21 n a n ∴= + * ()n N ∈ 评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。 类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）???? →解决方法 待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1 B t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。 例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。 解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+