2020-2021学年物理人教版必修2学案：5.7 生活中的圆周运动

7生活中的圆周运动

知识点一铁路的弯道

1．火车在弯道上的运动特点

火车在弯道上运动时做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．

2．转弯处内外轨一样高的缺点

如果转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损．

3．铁路弯道的特点

(1)转弯处外轨略高于内轨．

(2)铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道内侧．

(3)铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的圆心，它提供了火车做圆周运动的向心力．

除了火车弯道具有内低外高的特点外，你还了解哪些道路具有这样的特点？

提示：有些道路具有外高内低的特点是为了增加车辆做圆周运动所需的向心力，进而提高了车辆的运动速度，因此一些赛车项目的赛道的弯道要做的外高内低，比如汽车、摩托车、自行车赛道的弯道，

高速公路的拐弯处等． 知识点二 拱形桥 1．运动特点 汽车做圆周运动，支持力和重力提供向心力．

2．动力学关系

(1)如图甲所示，汽车在凸形桥的最高点时，满足的关系为mg －F N ＝m v 2r ，F N ＝mg －m v 2

r ， 由牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力大小等于支持力，因此汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于重力．当v ＝gr 时，其压力为零．

(2)如图乙所示，汽车经过凹形桥的最低点时，满足的关系为F N －mg ＝m v 2r ，F N ＝mg ＋m v 2

r ，汽车对桥的压力大小F N ′＝F N .汽车过凹形桥时，对桥的压力大于重力．

(3)汽车运动在拱形桥的任一位置时，如图丙所示，满足的关系为

mg cos θ－F N ＝m v 2r ，则F N ＝mg cos θ－m v 2

r .

若桥上经常有车辆经过，凹形桥和凸形桥相比哪种桥更耐用？请用圆周运动知识加以解释．

提示：两种桥相比，凸形桥更耐用，因为车辆经过凸形桥时对桥的压力小于车的重力，而经过凹形桥时对桥的压力大于车的重力，所以凸形桥更耐用．

知识点三航天器中的失重现象

1．对航天器，重力充当向心力，满足的关系为mg＝m v2 r.

2．对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为

mg－F N＝m v2

r，由此可得F N＝0，航天员处于完全失重状态，对座椅

的压力为零．

3．航天器内的任何物体之间均没有压力．

4．航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受重力．正因为受到重力作用才使航天器连同其中的乘员做匀速圆周运动．

神舟七号航天员翟志刚进行了出舱活动，他的行动实现了中国人的第一次太空行走，观察直播时发现，翟志刚在出舱实验时是飘浮在空中的，想一想这是为什么？

提示：航天员翟志刚处于完全失重状态，他的重力全部提供

了向心力．因此重力引起的现象比如物体自然下落不再发生，所以我们看到的航天员是飘浮在空中的．

知识点四离心运动

1．定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．

2．原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需向心力．

做离心运动的物体是否受到离心力的作用？

提示：不受．物体做离心运动的原因是它受到的合外力突然为零或比所需要的向心力小．离心力是一个人们在离心运动中以个人的主观意念增添的力，实际中离心力并不存在．

考点一火车转弯问题

(1)火车车轮的结构特点：火车车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道的内侧，这种结构有助于固定火车运动的轨迹．

(2)铁路的弯道

①如果铁路弯道的内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，如图甲所示．但是火车的质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用太大，铁轨和车轮极易受损．

②如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示)，火车转弯时铁轨对火车的支持力F N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，与重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，减小了轮缘与外轨的挤压．

(3)火车转弯时的规定速度如图丙所示，若火车内、外轨间的距离为L，两轨高度差为h，转弯半径为R，火车的质量为m.

根据三角形边角关系知，sinθ＝h

L，由图丙火车的受力情况：tanθ

＝F合

mg，当θ很小时，近似认为sinθ＝tanθ，即

h

L＝

F合

mg，所以F合＝mg

h

L，

由向心力公式知F合＝m v20

R，所以mg

h

L＝m

v20

R，即v0＝

ghR

L.

由于铁轨建成后，h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，即规定速度．

①当火车转弯速度v＝v0时，轮缘对内、外轨均无侧压力．

②当火车转弯速度v>v0时，外轨道对轮缘有向里的侧压力．

③当火车转弯速度v

④向心力是水平的．

(4)其他弯道特点：高速公路、赛车的弯道处也是外高内低，使重力和支持力的合力能提供车辆转弯时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏．

【例1】随着我国综合国力的提升，近几年来我国的公路网发展迅猛．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时，不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tanθ＝0.4，取g＝10 m/s2.

(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度；

(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．

解答本题时应注意以下三点：

(1)汽车转弯时的运动是水平面内的圆周运动．

(2)当不出现侧向摩擦力时汽车转弯所需的向心力由重力和路面的支持力的合力提供．

(3)汽车以最大速度行驶时，侧向摩擦力达到最大静摩擦力．

【解析】 (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G 和路面的支持力N ′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力．则有mg tan θ

＝m v 20r

所以v 0＝gr tan θ＝10×100×0.4 m/s ＝20 m/s.

(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示．将支持力N 和摩擦力f 进行正交分解，有

N 1＝N cos θ，N 2＝N sin θ，f 1＝f sin θ，f 2＝f cos θ

所以有G ＋f 1＝N 1，N 2＋f 2＝F 向，且f ＝μN

由以上各式可解得向心力为

F向＝sinθ＋μcosθ

cosθ－μsinθ

mg＝

tanθ＋μ

1－μtanθ

mg

根据F向＝m v2

r可得v＝

tanθ＋μ

1－μtanθ

gr

＝

0.4＋0.5

1－0.5×0.4

×10×100 m/s＝15 5 m/s.

【★★★★答案★★★★】(1)20 m/s(2)15 5 m/s

总结提能在分析车辆转弯问题时，首先要确定出车辆转弯所做圆周运动的轨道平面、圆心和半径，然后分析车辆的受力，找到向心力的来源．在找向心力时，通常在受力分析的基础上，按力的正交分解法将力沿半径方向和垂直于半径方向分解，其中沿半径方向的合力即为向心力．

如图所示，有些地区的铁路由于弯多、弯急，路况复杂，依靠现有车型提速的难度较大，铁路部门通过引进摆式列车来解决转弯半径过小造成的离心问题，摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，使得车厢受到的弹力F N与车厢底板垂直，F N与车厢重力的合力恰好提供向心力，车厢没有离心侧翻的趋势，当列车行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．它的优点是能够在现有线路上运行，无需对线路等设施进行较大的改造．运行实践表明：摆式列车通过弯道的速度相比普通列车可提高20%～40%，最高可达50%，摆式列车不愧为“曲线冲刺能手”．假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度转弯，转弯半径为2 km，则质量为50 kg 的乘客在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力约为(B)

A．500 N B．559 N

C ．707 N

D ．0

解析：乘客随列车做圆周运动的速率为v ＝100 m/s ，圆周运动半

径为r ＝2 000 m ，故所需向心力为F 向＝m v 2

r ＝250 N ，方向水平，乘客所受重力G ＝mg ＝500 N ，方向竖直向下，列车对乘客的作用力一方面需平衡重力，另一方面需提供向心力，故列车对乘客的作用力为F ＝

F 2向＋

G 2≈559 N ，B 正确．

考点二 汽车过拱桥问题

(1)汽车在过拱形桥时，受到的支持力是变力，因此，汽车受到的合力也是变力，且大小、方向均变化．

(2)汽车在拱形桥的最高点和最低点时，支持力和重力在同一竖直线上，故合力也在此竖直线上．

①汽车过拱形桥的最高点时，汽车对桥的压力小于其重力．

A ．如图所示，此时重力mg 和支持力F N 的合力提供汽车在该点

的向心力．由牛顿第二定律得F ＝mg －F N ＝m v 2

R ，桥面对其支持力F N

＝mg －m v 2

R

－m v 2

R

B ．由F ′N ＝mg －m v 2

R 可知，汽车的行驶速率越大，汽车对桥面的压力越小；当汽车的速率等于gR 时，汽车对桥面的压力为零，这是汽车在桥顶运动的最大临界速度，超过这个速度，汽车将飞越桥顶．

②汽车通过凹形桥的最低点时，汽车对桥面的压力大于自身重力． 如右图所示，重力mg 和支持力F N 的合力提供汽车在该点的向心

力，由牛顿第二定律得F ＝F N －mg ＝m v 2

R ，桥面对其支持力F N ＝mg

＋m v 2

R >mg .由牛顿第三定律知汽车对桥面的压力F ′N ＝F N ＝mg ＋m v 2

R >mg ，方向竖直向下．可见，此位置汽车对桥面的压力大于自身重力，且汽车行驶的速率越大，汽车对桥面的压力就越大．

【例2】 一辆质量为800 kg 的汽车在圆弧半径为50 m 的拱桥上行驶(g 取10 m/s 2)．

(1)若汽车到达桥顶时速度为v 1＝5 m/s ，汽车对桥面的压力是多大？

(2)汽车以多大速度经过桥顶时，恰好对桥面没有压力？

(3)汽车对桥面的压力过小是不安全的，因此汽车过桥时的速度不能过大．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？

(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为多大？(已知地球半径为6 400 km)．

解答本题时应把握以下两点：

(1)汽车在拱桥上的运动是竖直面内的圆周运动．

(2)汽车在桥顶时受到重力和桥面的支持力作用，这两个力的合力提供向心力．

【解析】 如图所示，汽车到达桥顶时，受到重力mg 和桥面对它的支持力N 的作用．

(1)汽车对桥面的压力大小等于桥面对汽车的支持力N .汽车过桥时做圆周运动，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有

mg －N ＝m v 21R ，所以N ＝mg －m v 21R ＝7 600 N ．故汽车对桥面的压力为7

600 N.

(2)当汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供时，汽车

经过桥顶恰好对桥面没有压力，则N ＝0，所以有mg ＝m v 2

R ，解得v ＝gR ≈22.4 m/s.

(3)由(2)问可知，当N ＝0时，汽车会发生类似平抛的运动，这是不安全的，所以对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全．

(4)由(2)问可知，若拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为

v ′＝gR ′＝10×6.4×106 m/s ＝8 000 m/s.

【★★★★答案★★★★】 (1)7 600 N (2)22.4 m/s (3)同样的车速，半径大些比较安全 (4)8 000 m/s

总结提能 对于汽车过桥问题，明确汽车的运动情况，抓住“切向平衡、法向有向心加速度”是解题的关键．具体的解题步骤是：(1)选

取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；(2)正确分析研究对象的受力情况(切记：向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出)，明确向心力的来源；(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解．

如图所示，质量m ＝2.0×104 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m ．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N ，则：

(1)汽车允许的最大速度是多少？

(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g 取10 m/s 2)

解析：(1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得

F N －mg ＝m v 2

r ，代入数据解得v ＝10 m/s.

(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得

mg －F ′N ＝m v 2

r .代入数据解得F ′N ＝105 N ，

由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.

★★★★答案★★★★：(1)10 m/s (2)105 N

考点三 航天器中的失重现象和离心现象

1．航天器中的失重现象

人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后可近似认为

绕地球做匀速圆周运动，此时重力提供了卫星做圆周运动的向心力．航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力也是由重力提供的，此时重力全部用来提供向心力，不对其他物体产生压力，即里面的人和物处于完全失重状态．

2．离心运动

(1)做圆周运动的质点，当合力消失时，它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞出去．如图所示．

(2)做离心运动的质点是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去．

(3)做离心运动的质点不存在所谓的“离心力”作用，因为没有任何物体提供这种力．

(4)离心运动的运动学特征是逐渐远离圆心，动力学特征是合外力突然消失或不足以提供所需的向心力．

3．离心运动的应用和防止

(1)应用：离心干燥器、无缝钢管的生产、离心水泵等．

(2)防止：为防止汽车转弯、砂轮转动时发生离心现象，都要对它们的速度加以限制．

【例3】下列关于离心现象的说法中正确的是()

A．当物体所受的离心力大于向心力时将产生离心现象

B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失时，它将做背离圆心的运动

C ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失时，它将沿切线方向飞出

D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失时，它将做曲线运动

解答本题时应把握以下两点：

(1)离心运动的定义和产生离心现象的原因．

(2)物体做离心运动时的可能运动轨迹．

【解析】 当物体所受的合外力突然消失或不足以提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体将做离心运动，因此产生离心现象的原因是F 合

体提供这种力，没有施力物体，离心力是不存在的，故选项A 错误；物体做匀速圆周运动时，若它所受的一切力突然消失，物体将沿切线方向飞出，选项C 正确，B 、D 错误．

【★★★★答案★★★★】 C

总结提能 物体做匀速圆周运动时，如果m 、r 、v 已确定，那么它

所需要的向心力F 向＝m v 2

r 就确定．当外界不能满足它所需的向心力时，物体必将偏离原轨迹，其中有两种情况：

(1)F 合＝0时，物体将沿切线方向飞出，做匀速直线运动，轨迹为

直线；

(2)0

r 时，物体将沿切线和圆周之间的某一曲线做逐渐远离圆心的曲线运动，轨迹是曲线．

宇宙飞船中的宇航员需要在航天飞行之前进行多种训练，其中右图是离心试验器的原理图．可以用离心试验器来研究过荷对人体的影

响，测试人的抗荷能力．离心试验器转动时，被测试者做匀速圆周运动，这时，被测试者会造成大脑贫血，四肢沉重，过荷过大，被测试者还会暂时失明，甚至晕厥．

(1)分析被测试者为什么会造成大脑贫血，甚至暂时失明；

(2)现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角，被测试者对座位的压力是他所受重力的多少倍？

解析：(1)当被测试者在离心试验器上做圆周运动时，人体内的血液也要做圆周运动，这样血液由于需要向心力，使得流向大脑的血液受到的压力减小，造成血压降低，大脑贫血，由于血液循环减慢，使氧气供应不上，导致暂时失明或晕厥．

(2)对被测试者进行受力分析可知，他受到自身的重力和座位对他的支持力，由于他做匀速圆周运动，所以合力等于向心力，如右图所

示．由图可知F N＝

mg

sin30°＝2mg，由牛顿第二定律可知，被测试者对

座位的压力等于他所受重力的2倍．

★★★★答案★★★★：(1)见解析(2)2倍

1．如图所示事例利用了离心现象的是( D )

解析：自行车赛道倾斜，就是应用了支持力与重力的合力提供向

心力，防止产生离心运动，故A 错误．因为F 向心＝m v 2

r ，所以速度越快所需的向心力就越大，汽车转弯时要限制速度，来减小汽车所需的向心力，防止离心运动，故B 错误．汽车上坡前加速，与离心运动无关，故C 错误．拖把利用旋转脱水，就是利用离心运动，故D 正确． 2.半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上(如图所示)，顶部有一小物体A ，今给它一个水平初速度v 0＝Rg ，则物体将( D )

A ．沿球面下滑至M 点

B ．沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动

C ．沿半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动

D ．立即离开半圆球做平抛运动

解析：当v 0＝gR 时，所需向心力F ＝m v 20R ＝mg ，此时，物体与

半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动，

选项D正确．

3．(多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是(AC)

A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力

B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力

C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨

D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨

解析：当以v的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，选项A正确，B错误；当速度大于v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，选项C正确，D错误．

4．无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是(C)

A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的

B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同

C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力

D．管状模型转动的角速度ω最大为g R

解析：铁水做圆周运动，重力和弹力的合力提供向心力，没有离

心力，故A错误；铁水做圆周运动的向心力由重力和弹力的径向分力提供，不是匀速圆周运动，故模型各个方向上受到的铁水的作用力不一定相同，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，则是重力恰好提供向心力，故C正确；为了使铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，管状模型转动的角速度不能小于临界角速度，故D错误．5．(多选)人们常见的以下现象中，属于离心现象的是(ABC) A．舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开

B．在雨中转动一下伞柄，伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将沿切线方向飞出

C．满载黄沙或石子的卡车，在急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出

D．守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动

解析：裙子张开属于离心现象，伞上的雨水受到的力由于不足以提供向心力导致水滴做离心运动，黄沙或石子也是因为受到的力不足以提供向心力而做离心运动，守门员踢出足球，球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下运动，不是离心现象．选项A，B，C正确．

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——思想方法系列(七)

竖直平面内圆周运动的临界问题

[方法解读]

1．细绳系着的小球在竖直平面内做圆周运动，过最高点的临界条件是绳子对小球恰无弹力的作用．若小球做圆周运动的半径为r，它在最高点的临界条件是v0＝rg.

(1)当v>rg时，小球能通过最高点且绳子有拉力．

(2)当v＝rg时，小球恰能通过最高点且绳子无拉力．

(3)当0

点就脱离了轨道．

2．对有物体支撑的小球，如小球固定在轻质杆的一端，在竖直平面内做圆周运动，过最高点的临界条件是杆对小球的弹力恰好为重力G ，若小球做圆周运动的半径为r ，它在最高点的临界速度为v 0＝0，杆对小球的支持力大小等于小球重力mg .

(1)当0

(2)当v ＝rg 时，小球只受重力．

(3)当v >rg 时，小球受向下的拉力且随v 的增大而增大．

3．沿竖直圆形轨道内侧运动的物体，类似于轻绳拉物体．

(1)当v ≥rg 时，物体能通过最高点．

(2)当v

【例】 绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m ＝0.5 kg ，绳长L ＝60 cm ，求：

(1)在最高点时水不流出的最小速率；

(2)水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对桶底的压力．

[解析] (1)设在最高点时的临界速度为v ，则有mg ＝m v 2L

得v ＝gL ＝9.8×0.6 m/s ≈2.42 m/s.

(2)设桶底对水的压力为F N ，则有mg ＋F N ＝m v 2L

得F N ＝m v 2L －mg ＝0.5×? ??

??320.6－9.8N ＝2.6 N 由牛顿第三定律，水对桶底的压力

F ′N ＝F N ＝2.6 N ，方向竖直向上．

[★★★★答案★★★★] (1)2.42 m/s (2)2.6 N ，方向竖直向上 总结提能 解答竖直平面内圆周运动问题时，首先要分清是绳模型

还是杆模型，在最高点时，绳模型的临界条件是F 向＝mg ＝m v 2R ，即v ＝gR 是临界速度；杆模型的临界条件是v ＝0.另外，对于杆约束物体运动到最高点时的弹力方向可先假定，然后根据计算结果的正负来确

定．

[变式训练] 如图所示，一光滑的半径为R 的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m 的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，轨道的压力恰好为零，则小球落地点C 距A 处多远？

解析：小球在B 点飞出时，轨道压力为零

mg ＝m v 2B R ，得v B ＝gR

小球从B 点飞出后做平抛运动t ＝

2h g ＝4R g 水平方向的位移x ＝v B t ＝gR ·

4R g ＝2R .

★★★★答案★★★★：2R

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