第一讲因式分解(一)

第一讲因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；

(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；

(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；

(2)x3-8y3-z3-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

(4)a7-a5b2+a2b5-b7．

解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)

=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2x n-1y n(x2n-y2)2

=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

＝(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

=(a2-b2)(a5+b5)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

分析我们已经知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a3+b3+c3-3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．

解因为

x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中

添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x3-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法4 添加两项-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例5 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

解 (1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．

原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2

=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．

说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7 分解因式：

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．

令y=2x2+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8 分解因式：

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

解设x2+4x+8=y，则

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2

=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2

=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2

=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2

=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

解法2

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u4-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2．

练习一

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：

(1)x3+3x2-4；

(2)x4-11x2y2+y2；

(3)x3+9x2+26x+24；

(4)x4-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；

(2)x4+7x3+14x2+7x+1；

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．

恒等证明-第一讲因式分解与分式综合复习学生版

第一讲 因式分解与分式综合复习 一、基础知识 因式分解和分式均是大家比较熟悉的内容，本次复习以综合提高为主. （一）因式分解综合复习 1．因式分解的基本方法： （1）提取公因式； （2）运用公式法； （3）分组分解法； （4）十字相乘法. 2．因式分解的其它常用方法： （5）拆项、添项； （6）换元法； （7）双十字相乘法； （8）待定系数法； （9）利用因式定理分解. 3．对称式、交代式和轮换式 （1）对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式. 如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母b a ,的对称式. （2）交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个负号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式. 例如a b -，22a b -. （3）轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式. 如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等. 显然，对称式都是轮换对称式，但反之不成立. 4．对称式、交代式和轮换式的因式分解 由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法.因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解. （二）分式综合复习 1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.这一性质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础. 2．比例的重要性质 若 a c b d = ，则ad bc = 若a c b d =，则 a b c d b d ++= （合比性质） 若a c b d =，则a b c d b d --= （分比性质） 若a c =，则a b c d ++= （合分比性质）

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ） A ．± B ． C ．± D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形，3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】 解：∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选：C ． 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．

初中数学竞赛专题辅导因式分解(一)

初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

人教版初中数学因式分解知识点训练及答案

人教版初中数学因式分解知识点训练及答案 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．m （a +b ）＝ma +mb B ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21 C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1） D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 不符合题意； B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意； C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意； D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意； 故选C ． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大. 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222 111x y x x y -+=-++

一对一辅导方案_初中数学

初中数学一对一辅导方案 一、学生情况概括 由于每个学生的特点、学习能力和对课本知识掌握程度等各个方面都不尽相同，所以针对不同的学生要根据具体情况设计不同的辅导方案。可以通过谈话交流的方式了解学生是不是能够主动学习、学习态度等方面的问题；可以通过让其做一套综合测试试卷的方式了解其对课本知识掌握情况以及各个章节的掌握情况，以便在制定具体的辅导计划中做到查缺补漏、区别对待，节约时间。 二、按课程标准达到相应的程度（包括了解、理解、掌握、学会、形成等等） 课本中的知识点对学生的学习要求是不同的，我们在做辅导时要根据具体的要求使学生做到理解并掌握课本中所涉及的相关知识点，形成自己的学习方式和习惯，激发学习兴趣，提升学习自信心，形成良好的解题思路和解题技巧，变被动学习为主动学习。 三、具体辅导过程中采用的方法 初中数学是一个环环相扣的整体，，每一次的课程学习不好都有可能会影响到接下来的学习。根据“初一的基础知识点多，初二的难点多，初三的考点多”的情况以及学生具体的特点，先从基础知识开始学习，让学生感觉到学习数学不是那么的困难，从而对数学感兴趣，进而能够使其成绩得到提升。主要分为以下三个阶段： 第一阶段，复习初一知识点，在此过程中构建学生的学习框架，激发学习兴趣，提升学习的主动性和积极性，培养解题思路和解题技巧，熟悉中考难度的题型，进行强化训练等。 第二阶段，对初二知识进行详细认真的复习指导，掌握解题规律和技巧，各个击破知识点，达到举一反三的效果，从而对学习数学充满信心。 第三阶段，由于初三知识中考考点较多，对初三内容要进行重点辅导，使其能够全面把握所考知识点。全部学习完之后对其进行大规模的中考模拟测试，中考内容难易分明，重点突出，最后的大题讲究数行结合，是难点中的难点。通过模拟测试再一次做到查缺补漏。 教学过程中遵循循序渐进的规律，并适时灵活改变教学思路，结合以点带面的方法，进行系统性和总结性的复习指导。 四、学目标与课时分配 章节内容 （包括阶段检测）课时 数 教学目标 1、有理数的运算1、数轴； 2、相反数、倒数、绝对值； 3、有理数的加减乘除； 4、有理数的乘方； 5、有理数的混合运算； 6、科学计数法、有效数字。 １、理解有理数的意义； 2、能用数轴上的点表示有理数； 3、借助数轴理解相反数和绝对值的意 义； 4、掌握有理数的运算法则； 5、理解有理数的运算律，并能灵活使 用运算律简化运算。 2、整式的运算1、认识整式，单项式，多项式 2、弄清楚整式中次数的概念 3、同类项的运算规律 4、整式的加减； 1、了解单项式、多项式、同类项和整 式的概念； 2、会确定单项式的系数和次数； 3、 会确定多项式的项数和次数． 4、能够熟练地对整式进去运算； 5、能有举一反三的能力去对付较难的 变式题。

一对一辅导简介

一对一辅导详解 一对一辅导从字面上解释是指一位教师对一位学生进行的授课辅导，从这个角度看一对一辅导与中国传统的家教是一个范畴。而当传统家教融合个性化教育理念并由公司运作产业化之后，形成的一对一辅导模式便与传统家教及补习班产生了巨大差别。 一对一辅导的概念 如今，人们常说的一对一辅导全称一对一个性化辅导，是由专门的个性化教育辅导机构针对每个孩子不同的学习情况和心理情况，有针对性地制定出一套独特的、行之有效的教学辅导方案和心理辅导策略，并由每个学生所配备的教学团队加以实施执行（包括一位专业教师+专业的心理咨询师+潜能开发专家+励志拓展专家+专职班主任），通过全方位、策略性地辅导，不仅使学生掌握一种切合自身的学习方法，改善不良学习习惯，稳固提升学科知识，而且在树立自信，完善人格、为人处事等方面均得以提升。这也是天材教育一直所推崇的“一对一辅导，N对一服务”理念的核心价值，同时也是雅思博教育所倡导的“六位一体”的理念。 一对一辅导的实质 一对一辅导本质是个性化，个性化[1]就是指通过对被教育对象进行综合测试、分析、研究和诊断，根据社会或未来发展趋势、被教育对象的潜质特征和自我价值倾向以及被教育对象的利益人的目标与要求，量身定制教育目标、教育计划、辅导方案和执行管理系统，并组织相关专业人员通过量身定制的教育培训方法、学习管理和知识管理技术以及整合有效的教育资源，从潜能开发、素养教育、学历教育、阅历教育多个方面，对被教育对象的心态、观念、信念、思维力、学习力、创新力、知识、经验等展开教育和培训，从而帮助被教育对象释放生命潜能，突破限制，实现量身定制的自我成长、自我实现和自我超越。 一对一辅导的由来 一对一辅导在国内兴起于上世纪末至本世纪初期，诞生伊始便在当时由“中介式一对一辅导机构”统领整个家教行业的僵滞局面中破土而出并一枝独秀，因其充分针对学生个性需求、着力于解决学生具体化问题而吸引了公众的注意并广受赞誉。当时国内起步较早的几家“一对一辅导机构”经过多年的竞争淘汰，仅有规模庞大、实力雄厚的几家幸存。北京学

初高中数学衔接：第一讲 十字相乘法进行因式分解

第一讲 十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因

式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．

人教版初中数学因式分解专项训练及答案

人教版初中数学因式分解专项训练及答案 一、选择题 1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．-50 D ．50 【答案】A 【解析】 试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可． 当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2． 考点：因式分解的应用． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值． 【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误．

故选：C． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式． 4．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为() A．60 B．30 C．15 D．16 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】 ∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6， ∴2（a+b）=10，ab=6， 则a+b=5， 故ab2+a2b=ab（b+a） =6×5 =30． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键． 5．把多项式分解因式，正确的结果是（） A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b） C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2+b2 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式 【详解】 解：A. 4a2+4a+1=（2a+1）2，正确； B. a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误； C. a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故此选项错误； D. （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故此选项错误； 故选A 6．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )

因式分解一对一辅导

因式分解一对一辅导

2.多项式 （1）在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。 （2）多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。 （3）其中多项式中不含字母的项叫做常数项。 3.整式 （1）概念：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。 （2）, ， 是整式， 不是整式。 4.整式的乘除 （1）同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加 a m ×a n =a m+n (m,n 正整数) （2）幂的乘除法法则： ①底数不变，指数相乘（a m ）n =a mn (m,n 正整数)a 0=1,a ≠0 a -p =1/a p （a ≠0,p 是正整数） ②底数不变，指数相减 a m /a n =a m-n (a 不等于0，m,n 都是正整数，且m 大于n （3）积的乘法法则：（ab ）n =a n b n （4）单项式和单项式相乘：系数，同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 （5）单项式和多项式相乘：用单项式乘以多项式得每一项，再把所得积相加 （6）多项式和多项式相乘：（a+n ）(b+m)=ab+am+nb+nm （7）乘法公式： （1）平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 （2）完全平方差公式：（a-b ）2=a 2-2ab+b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （8）整数化简：先乘方，再乘除，最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式 （9）单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 （10）多项式除以单项式，先把这个多项式得每一项除以这个单项式，再把所有的商相加 知识点二、因式分解 1.因式分解 （1）把一个多项式化成几个整式的积的形式。因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系: ①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; ②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 2.多项式分解因式： （1）提取公因式（2）公式法（3）分组分解法（4）十字相乘法 3.提取公因式 （1） 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+

八年级数学竞赛讲座：第一讲 因式分解(一)

第一讲因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7． 解 (1)原式=－2x n－1y n(x4n－2x2ny2+y4) =－2x n－1y n[(x2n)2－2x2ny2+(y2)2]

数学人教版九年级上册因式分解

因式分解复习课教案 山头店镇初级中学范专专 教学目标: 1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法. 3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想. 教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式. 教具准备:多媒体课件 教学方法:活动探究法 教学过程: 知识详解 知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 例如: (2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验. 怎样把一个多项式分解因式? 一般方法有两个：

知识点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除以m 所得的商,像这种分解因式的方法叫做提 公因式法.例如:)1(2-=-x x x x . 探究交流 例1：判断下列各式从左到右哪些是因式分解? 为什么？ (1) )2)(2(422y x y x y x -+=- (2) xy x y x x 62)3(22 -=+ (3) 22)2(44+=++x x x (4) 9)3)(3(2-=+-a a a 典例剖析 师生互动 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. （1） y x y x 231824-； （2）2147ma ma +； 分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a 化成-(a-b),然后再提取公因式. 小结 运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题: (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.

家家学网络名师小班辅导教案-因式分解拓展篇

板块一：换元 【例1】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。 重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。 习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 重、难点 中考要求 例题精讲 第四讲 因式分解拓展篇

【例2】 (“希望杯”培训试题)分解因式：22 x x x x ++++- (52)(53)12 【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15 +++++ x x x x 【巩固】分解因式：22 ++++- (1)(2)12 x x x x 【例3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方． 【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4 +++++是一个完全平方数. 234 x y x y x y x y y 【例4】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2 +--- (25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22 ++++- x x x x (32)(384)90 【例5】分解因式：2222 x x x x x x --+--+- 4(31)(23)(44) 【巩固】分解因式：2 a b ab a b ab +-+-+- (2)(2)(1) 【例6】 (重庆市竞赛题)分解因式：44 +-+- (1)(3)272 x x

【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++- 板块二：因式定理 因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式. 有理根：有理根p c q =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 【例7】 分解因式：32252x x x --- 【巩固】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++ 【巩固】 分解因式：322392624x x y xy y -+- 【例8】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++- 【巩固】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+ 板块三：待定系数法 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++ 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =. 【例9】 用待定系数法分解因式：51x x ++

初中一对一家教辅导选择注意事项

孩子的培养是一件任重道远的事，到了初中，随着科目的增加，很多家长会给孩子请家教进行辅导，基本都是一对一的模式。不过，在选择的过程中，要注意一些事项，避免误区。 1、广告 也就是我们家长选择一个学校的时候，广告固然重要。当一个机构能够连续做广告的时候，某种意义上讲，能够验证这个机构的实力。但是也不排除有一些机构就是拼命的打广告，过几个月这个机构就不见了。因此在凭广告判断之前，还要做多方面的考验。 2、名师 我们能力风暴的老师是有五千多位，但是在这些老师当中，我们也会发现有的老师讲课时间比较长，被大家认为是名师。因此大家选择的时候就说要上某某老师的课，这对名师产生了过分的崇拜。另外，同时要说，我们有一些机构，他们在做广告或者是宣传的时候过分的宣传名师，实际上容易给家长造成误导。也就是说学生并不一定适合名师的状况。 3、便利 家长可能选择离家近的机构，但是可能服务或者是学生的管理都跟不上，会造成一些缺憾。 4、公办

就是一些公办机构，他们和一些机构联合，在学校放学之后利用一段时间做补习班。比如现在很多学校开设机器人课程，他们说把孩子送到一些公办的机构里面的第二课堂，但是可能过了一两年，孩子没什么进步。究其原因，学校的第二课堂基本都是大班化、机器人及乐器类大课堂效果自然很差，另外商业机构与公办学校合作，目的是用来导流，不可能以很低价格去投入很大的精力。 5、价格 有的家长盲目的选择价格高的或者低的，认为越贵越好或者认为都差不多，就选个便宜的。这个都是不可取是，应该根据自身的情况，根据机构实际情况，合理判断进行选择，而不是仅凭价格作为选择依据。 6、保分 有一些机构承诺说会保多少分，这个我们家长要慎重。因为并不是所有的机构保分之后都可以做到的，重要的还是靠学生本身。 7、证书 很多家长拼命的让孩子考各种各样的证书，孩子成为了一个证书机器。最后孩子到了大学，走向社会的时候就完全被淘汰了。

(完整)初二数学人教版因式分解-讲义

八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.

初二数学一对一辅导方法 (2).doc

初二数学一对一辅导计划 学员：年级：八年级下预计课时：10 学校：辅导科目：数学难易度：基础 学生基本情况：基础知识基本掌握，但一次函数、一元一次方程、几何三者综合的题目解答存在困难，而综合性题目恰是期末考试，各种大型考试中常见的一类题型，只有将这种在考试中出现的重点，难点一类题型给学生深度解析后，才能在数学成绩上显著提高。 授课出发点工作目标指导思想 详细描述 认真落实工作计划，做好参加对象的辅导工作和思想教育工作，加强对学生课时工作的常规管理和检查，让学生树立起学习的信心和勇气，克服自卑的心理。使学生学有所长、学有 所用。 通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需 的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解 决问题的能力。 1. 阐述学习数学重要性，激发学习动机，形成学习数学动力。学习动机是直接推动学生学好

数学达到学习目的的内在动力，直接影响学习 效果。 2.培养学生积极健康的思想情感 工作措施3. 通过对学生进行恰如其文的分析，深入观 察，查漏补缺，因材施教，耐心教育，晓之以 理，动之以情，促使他们把外部动机转化为内 部动机，把“你要我学” 变为“我自己要学” ， 只有这样，才能真正促使学困生发生根本性的 转化。 4.表扬鼓励为主，建立良好的师生关系。 课时计划 辅导内容预计课时备注 一次函数，反比例函摸清学生薄弱环节，对学生基本情数，全等三角形，一课时 1 况进行了解，做好对学生针对性辅元一次方程组导的计划 掌握一次函数与几何的相互联系， 一次函数与几何深课时 2 了解一次函数的求解，以及各种三度解析课时 3 角形，四边形，菱形的规则和定理 的掌握 探索多项式各项公因式的过程，依实数，因式分解课时 4 据数学化归思想方法进行因式分 解，探索利用完全平方公式进行因

私人家教一对一辅导协议书 私人家教一对一辅导协议书

私人家教一对一辅导协议书

甲方（教育方）： 甲方地址： 乙方（受教育方）：学生姓名___ _______ 性别__ _ 学校__ _____________ 现新年级___ __ 乙方监护人：姓名身份证号 乙方家庭地址： 乙方联系方式：(宅电)_____ ____________ (手机) 常弘教育本着“一切为了学生，为了一切学生，为了学生一切”为原则，打造以教育服务为 宗旨的培训行业，真诚为您和您的孩子奉献我们的爱心、责任心和耐心。乙方为提高学习成绩， 掌握更好的学习方法，经咨询了解甲方所有情况后，决定参加甲方提供的晚托辅导方案，为保证 辅导效果，约束双方行为，甲乙双方达成如下协议： 一、辅导及缴费规定 甲方为乙方提供▁▁▁▁小时的晚托和作业辅导。平时▁▁▁▁▁小时/周，假期▁▁▁▁ 小时/周。 1. 乙方交纳的费用包括： A. 综合付费￥▁▁▁▁元，包括报名晚托管理费、作业辅导费费、咨询费、网络服务费。一次性 缴纳可立刻实行。 2. 相关内容 A. 甲方对乙方的辅导日期：自▁▁▁▁▁年▁▁▁月▁▁▁日至▁▁▁▁年▁▁▁月▁▁▁日， B. 交费方式：乙方在签订本协议时已交￥▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁元（大写：▁▁▁▁▁▁▁▁▁ 圆整），于▁▁▁▁▁▁年▁▁▁月▁▁▁日前全部付清。 二、甲方义务： 1. 甲方应为乙方提供安静，整洁的学习环境和专业化的晚托作业学习辅导，帮助及时改正作业问 题，促成良好的学习习惯。 3. 保证乙方在校期间有专职的教师进行学习咨询和班主任管理，建立档案等。 4. 如果乙方监护人对所选教师不满意，可向甲方提出调换老师。甲方排专员受理投诉、监管课堂 纪律，接到投诉甲方应及时妥善处理。 5. 甲方有责任监督老师细致耐心的辅导乙方作业，如有特殊情况，需前通知家长。 6. 甲方有责任督促老师检查学员的学习情况。 7. 甲方有义务监督老师为学员做合理的学习情况报告，做学习卡。 8. 晚托期间甲方免费为其提供专业陪读、心理咨询及家庭教育等服务。 9、乙方在校期间，如遇突发疾病、或受到意外伤害，甲方一经发现，应根据实际情况及时采取必 要措施并把信息及时告知其监护人。 10、对乙方擅自离校等与学生安全直接相关的信息，甲方发现或者知道，应及时告知学生的监护

因式分解知识点总结复习过程

因式分解知识点总结

第一讲因式分解 一，知识梳理 1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解 即：多项式几个整式的积 1 1 例：- ax bx 3 3 因式分解, 应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解; 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程 2. 因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式 系数一一取各项系数的最大公约数

字母一一取各项都含有的字母 指数---- 取相同字母的最低次幕 例：12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2的公因式是________________________ . 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部分a'b3c,a3b2c3, af2都含有因式a3b2c，故多项式的公因 式是2a3b2c. ②提公因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因 式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多 项式中第一项有负号的，要先提取符号。 例1：把12a2b 18ab2 24a3b3分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幕是ab，故公因式为 6ab。 解：12a2b 18ab224a'b3 2 2 6ab(2a 3b 4a b ) 例2:把多项式3(x 4) x(4 x)分解因式 解析：由于4 x (x 4)，多项式3(x 4) x(4 x)可以变形为 3(x 4) x(x 4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(x 4 ),所以我们可以提取公因式(x 4 )后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x 4) x(4 x)

讲义一：《因式分解》专题辅导讲义

因式分解专题辅导讲义 一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。 提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。 例题精选1：把4224b a b a -因式分解。 解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=- 解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。 有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。 例题精选2： 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。 解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+= 评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。 例题精选3： 把44b 4a +因式分解。 解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+ )b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。 评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。 因式分解要进行到什么程度，对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把44b a -因式分解时，得到)b a )(b a (2222-+，并未完全达到

一对一家教咨询话术最新版

咨询工作指导手册 前言： 咨询工作即产品销售，给目标人群推介产品的同时，使其对产品留下深刻的第一印象。因此，咨询工作极为重要。 在此，我们将咨询工作分为电话咨询、上门咨询和户外咨询等3大部分，下面我们就每一大部分进行详细指导说明。 原则： 本着认真、诚信、耐心的态度，对每一位咨询者做到对答如流，令其满意，并引导其进入角色，了解金智汇，产生学习兴趣。 第一部分电话咨询指导 一、接听流程： 1、接听电话：您好，金智汇，有什么能帮助您？ 2、先了解信息： a)您孩子今年多大？ b)上几年级？ c)在哪个学校上学？ （了解基本信息后，对咨询者进行初步的筛选和辨别，接下来针对咨询者提出的问题进行金智汇的相关介绍。） 3、通过了解咨询者的信息，针对他/她的身份，在介绍金智汇时，强调他们关心的 话题，引导他们尽快进入角色。如： 介绍学校的入学流程，如入学测试，协议保障等，并列举一些成功的学生、家长 的口碑，使他们认同要孩子来金智汇就会放心、安心。 4、关于金智汇课程话术： （见附件） 5、咨询者得到满意回答后，引导咨询者进入角色： “本着对孩子负责人的态度，建议您带着孩子来学校亲自感受一番，让我们的教育

专家为孩子把把脉，量身定做一套切实可行的辅导方案。如果孩子在起跑线上落后，将来再去追赶就很困难，压力也大。在××月××日××点有一场免费的课程讲座，我们将为您预留座位，前来试听，进一步了解我们学校的课程体系和师资力量，以 便更好的选择。” 6、电话进入尾声，别忘了留下咨询者信息： “如果方便的话，请留下您的联系方式，学校将会随时通知课程信息。谢谢！”二、接听礼仪： 电话是现代人之间进行交流和沟通的便捷工具。电话接听质量的好坏直接影响到整个学校的形象。 1、及时接电话。电话铃响了，要及时去接，不要怠慢，更不可接了电话就说“请稍等”，撂下电话半天不理人家。 2、左手持听筒、右手拿笔。在电话沟通过程中往往需要做必要的文字记录，并提倡用左手拿听筒，右手写字或操纵电脑，这样就可以轻松自如的达到与客户沟通的目的，同时记下有效信息。 3、认真听对方说话。接电话时应当认真听对方说话，而且不时有所表示，如“是”,“对”，“好”，“请讲”，“不客气”等等，或用语气词“唔”、“嗯”等，让咨询者感到你是在认真听。漫不经心，答非所问，或者一边听一边同身边的人谈话，都是对对方的不尊重。 4、注意声音和表情。沟通过程中表现出来的礼貌最能体现一个人的基本素养，养成礼貌用语随时挂在嘴边的习惯，可以让咨询者感到轻松和舒适。因此，接听电话时要注意声音和表情。声音好听，并且待人亲切，会让咨询者产生亲自来学校拜访的冲动。不要在接听电话的过程中暴露出自己的不良心情，也不要因为自己的声音而影响学校的形象。 5、保持正确姿势。接听电话过程中应该始终保持正确的姿势。一般情况下，当人的身体稍微下沉，丹田受到压迫时容易导致丹田的声音无法发出；大部分人讲话所使用的是胸腔，这样容易口干舌燥，如果运用丹田的声音，不但可以使声音具有磁性，而且不会伤害喉咙。因