如何理解方差和标准差的意义

如何理解方差和标准差的意义？

随机变量X的方差为: ,方差的平方根称为标准差，它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。

在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)或比较接近时，我们常用来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？

随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差刻画的是随机变量X与数学期望的平均离散程度。方差大，则随机变量X与数学期望的平均离散程度大，随机变量X 取值在数学期望附近分散；方差小，则随机变量X与数学期望的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。

方差是用数学期望来定义的，方差是随机变量X函数的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到：

若X为离散型，则有（2.3）

若X为连续型，则有（2.4）

在实际问题中，我们经常用来计算方差。由此可以得到：随机变量X与数学期望不存在，则方差一定不存在。

若随机变量X与数学期望存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？

切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：或。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计概率。

它的应用有以下几个方面：

已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。

已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需估计区间的长度。

对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。

它是推导大数定律和其他定理的依据。

解题的具体步骤：

首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)；

其次，确定的值，

最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。

注:（一）相关系数的含义

1.相关系数刻画随机变量X和Y之间的什么关系？

（1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有达到最大值1.可以容易举出例子说明：即使X 和Y有严格的函数关系但非线性关系，不仅不必为1，还可以为0.

（2）如果，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系”

2.相关系数刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度.

3. 的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;

4. 的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.

5. 当时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.

6. 当时, Y与X之间不是线性关系.

7. 上面谈到的“线性相关”的意义还可以从最小二乘法的角度解释：（p95）

设称为用来近似Y的均方误差,则有下列结论.

设则使均方误差达到最小.

注: 我们可用均方误差e来衡量以近似表示Y的好坏程度, e值越小表示与Y的近似程度越好.且知最佳的线性近似为而其余均方误差. 从这个侧面也能说明. 越接近1, e越小.反之, 越近于0, e就越大.Y与X的线性相关性越小.

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差 说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略. 首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。 一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式： x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。众数是一组数据中出现次数最多的数。其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。 中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数

方差与标准差

.方差与标准差

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§2、1 方差与标准差审核人：戴蔚 【目标导航】 1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性. 2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义. 3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验. 【要点梳理】 1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感. 2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小 3．设在一组数据X1，X2，X3，X4，……X N中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3- ）2，……，（X n- ）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= . 4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。 5．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？ 7．为什么要除以数据的个数n? 8．标准差与方差的区别和联系？ 【问题探究】 知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性 例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：mm）A厂：40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 ，40.2 ，39.8 ，40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 B厂：39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 ，39.9 ，40.1 ，39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？ 2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗？ 3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？ 直径/mm 直径/mm

极差.方差与标准差(知识点讲解)

极差.方差与标准差(知识点讲解) 极差、方差与标准差 一、本节知识导学 本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。通 过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也 希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间 的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波动情 况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩” 和“平均成绩”相减。 2．为什么要“平方”。 3．为什么“求平均数”比“求和”更好。 同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。 对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算， 应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。 对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根 运算又可以将他们联系在一起。 二、例题 1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差 分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散 程度。本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。 解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。（图（1）中数据与图（2）中前 10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。 图（1）的标准差比图（2）的标准差大。（因为图（1）中各数据与其平均值离散程 度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其 平均值的离散程度小。因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。） 2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。 分析：要求方差，必须先求平均数。 解：

八年级初二数学《极差、方差和规范差》知识点

欢迎阅读 页脚内容 八年级数学《极差、方差和标准差》知识点 极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标． 一、定义理解 1、极差 极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差． 极差＝最大值－最小值 极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义． 2 2S 表 s 23将个数据12x x ，方 例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下： 甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100 乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102 （1） 求甲、乙两队的平均分和极差？ （2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？ 解：（1）3.10010010110110410310296999710010 1）＝（＝甲+++++++++?x 甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9 （2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(10 12222＝甲-++-+-= S

欢迎阅读 页脚内容 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些． 例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期： 甲组：25，23，28，22，27 乙组：27，24，24，27，23 （1）10盆花的花期最多相差几天？ （2）施用何种花肥，花的平均花期较长？ （3）施用哪种保花肥效果更好？ 分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平 得2甲S 1.2.0， 3.4. 5.． 6.x

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义 百度百科上的方差定义如下: (方差)是用概率论和统计方差来度量随机变量或一组数据的离散程度概率论中的方差用来衡量随机变量与其数学期望(即平均值)之间的偏离程度统计学中的方差(样本方差)是每个数据与其平均值之差的平方和的平均值在许多实际问题中，研究方差，即偏离的程度具有重要意义。如果 看这样一段文字，可能会有点费解。首先，从公式开始。对于一组随机变量或统计数据， 的期望值用E(X)表示，即随机变量或统计数据的平均值， ，然后在找到期望值之前将每个数据与平均值之间服从正态分布。那么我们就不能通过方差直接确定学生偏离平均值多少分。通过标准差，我们可以直观地得到学生分数分布在0.6826范围内的概率，大约等于34.2%*2 3，均方差是多少？ 标准偏差，在中国环境中通常也称为均方误差，不同于均方误差(均方误差 是距离每个数据真实值的平方的平均值，即误差平方的平均值)。计算公式在形式上接近方差。它的根叫做均方根误差，在形式上接近标准偏差)。标准偏差是偏离平均值的平方的平均值后的平方根，用σ

表示标准差是方差的算术平方根 从上面的定义，我们可以得到以下几点:1 .均方偏差是标准偏差，标准偏差是标准偏差2，均方误差不同于均方误差 3，均方误差是距离每个数据真实值的平方和的平均值 。例如，我们想测量房间的温度，不幸的是我们的温度计不够精确。因此，有必要测量5次以获得一组数据[x1，x2，x3，x4，x5]。假设温度的实际值是x，数据和实际值之间的误差e是x-Xi ，那么均方误差MSE= 一般来说，均方误差是数据序列和平均值之间的关系，而均方误差是数据序列和实际值之间的关系，所以我们只需要了解实际值和平均值之间的关系

极差、方差与标准差-边讲边练(含答案)-

极差、方差与标准差 学习目标 1．理解极差、方差、标准差可以用来表示一组数据的波动情况，?知道三个统计量各自的长处与不足． 2．学会用极差、方差与标准差来处理数据． 3．会用计算器（计算机）求方差和标准差． 知识网络 背景材料 1．反映一组数据集中程度的指标有哪些？ 2．如何反映一组数据的离散程度？反映一组数据离散程度的量有哪些？ 3．什么是极差？什么是方差？什么是标准差？方差与标准差的关系是什么？ 预习反馈 1．极差是，它反映了．

2．方差是标准差的，如果一组数据的方差是3，那么它的标准差是． 知识要点详解 1．表示一组数据离散程度的指标 （1）极差 用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差． （2）方差 ①定义 一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差． ②方差的意义 方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况上．方差越大，数据组的波动就越大． ③方差的计算公式 数据x1，x2，x3, …n的方差是 S2=1 （x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+…+（x） n 注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；

②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差： [（x122232+…2）x2] S2=1 n ③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，?也可以采用下面的公式计算方差： 1 [（x`12`22`32+…`2）x`2]（其中x1`、x2`、x3`……`分别n 等于x1、x2、x3……，?x`是数据组x1`、x2`、x3`……`的平均数）（3）标准差 方差的算术平方根叫做标准差． 标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大． 触类旁通 1．求数据组9、10、11、12的方差．

如何理解方差和标准差的意义

如何理解方差和标准差的意义？ 随机变量X的方差为: ,方差的平方根称为标准差，它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。 在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)或比较接近时，我们常用来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？ 随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差刻画的是随机变量X与数学期望的平均离散程度。方差大，则随机变量X与数学期望的平均离散程度大，随机变量X 取值在数学期望附近分散；方差小，则随机变量X与数学期望的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。 方差是用数学期望来定义的，方差是随机变量X函数的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到： 若X为离散型，则有（2.3） 若X为连续型，则有（2.4） 在实际问题中，我们经常用来计算方差。由此可以得到：随机变量X与数学期望不存在，则方差一定不存在。 若随机变量X与数学期望存在，方差也可能不存在。 切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？ 切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：或。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计概率。 它的应用有以下几个方面： 已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。 已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需估计区间的长度。 对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。 它是推导大数定律和其他定理的依据。 解题的具体步骤： 首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)； 其次，确定的值， 最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。 注:（一）相关系数的含义 1.相关系数刻画随机变量X和Y之间的什么关系？ （1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有达到最大值1.可以容易举出例子说明：即使X 和Y有严格的函数关系但非线性关系，不仅不必为1，还可以为0. （2）如果，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系” 2.相关系数刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度. 3. 的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;

《方差与标准差》教案

2.2 方差与标准差（教案） 学习目标： 1、了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4. 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。 学习重、难点 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法， 难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。 学习过程 一、情景创设： 乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm ）： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? （1） 请你算一算它们的平均数和极差。 （2） 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 今天我们一起来探索这个问题。 探索活动 通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动 算一算 把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。 想一想 你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？ 二、新知讲授： 讲授新知： （一）方差 定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 2221)()(x x x x --，，…，， ， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 ])()()[(1222212x x x x x x n x n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance ），记作2s 。 意义：用来衡量一批数据的波动大小 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定 归纳：（1）研究离散程度可用2S （2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小 （3）方差主要应用在平均数相等或接近时

计算全距 平均差 方差和标准差

计算全距、平均差、方差和标准差 一、全距 R（range） 全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin 一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差 方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。 标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。 标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分组数据方差与标准差的计算公式 方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性： 总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可

以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。 方差和标准差的优点： 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。 优点： ?反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性（区分变异源，组间/组内） 五、差异系数（coefficient of variation） 差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。 何种情况下运用差异系数： ?两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？ ?即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？ 差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义

一、百度百科上方差是这样定义的： （variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手， 对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值， 然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了

根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢 发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。 举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为，即约等于下图中的%*2 三、均方差、均方误差又是什么

标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。 从上面定义我们可以得到以下几点： 1、均方差就是标准差，标准差就是均方差 2、均方误差不同于均方误差 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数 举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差 e=x-xi 那么均方误差MSE= 总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。

方差和标准差 知识讲解

方差和标准差——知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、方差和标准差 1.方差 在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好． （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差 一般地，一组数据的方差的算术平方根 称为这组数据的标准差. 要点诠释： （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别 联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况. 区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】 类型一、方差和标准差 1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

极差方差标准差

20.2 数据的波动程度 20.2.1极差 教学目标 1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量 2、会求一组数据的极差 重点、难点和难点的突破方法 1、重点：会求一组数据的极差 2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。 例习题的意图分析 教材P151引例的意图 （1）、主要目的是用来引入极差概念的 （2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量 （3）、交待了求一组数据极差的方法。 课堂引入： 引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。 例习题分析 本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析 问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题 2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一，合理即可。 随堂练习： 1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 . 2、一组数据 3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据X 1、X 2 …X n 的极差是8，则另一组数据2X 1 +1、2X 2 +1 (2) n +1 的极差是（） A. 8 B.16 C.9 D.17 答案：1. 497、3850 2. 4 3. D 4.B 七、课后练习： 1、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（） A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定 在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、 10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（） A. 87 B. 83 C. 85 D无法确定 3、已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是。 4、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是，极差是。

极差、方差与标准差及章小结

【模拟试题】（答题时间：80分钟） 一、填空题 1. 某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断该出租车公司五月份的总营业额约为5×31＝155万元．根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：．（填“合理”或“不合理”） 2. 为了缓解旱情，我省发射增雨火箭，实施增雨作业．在一场降雨中，某县测得10个面 那么该县这10个区域的平均降雨量为mm． 3. 学校举行歌咏比赛，分两场举行，第一场8名参赛选手的平均成绩为88分，第二场4名参赛选手的平均成绩为94分，那么这12名选手的平均成绩是分． 4. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩是（单位：环）：7，8，9，8，6，8，10，7，这组数据的中位数是，众数是． 5. 有5名同学目测同一本教科书的宽度，产生的误差如下（单位：cm）： 0，2，－2，－1，1，那么这组数据的极差为cm． 6. 如图是双龙村的种植情况统计图．从图中可以看出，表示水稻种植面积的扇形的圆心角为． 7. 小明骑自行车的速度是15千米／时，步行的速度是5千米／时，如果小明先骑车2小时，然后步行了3小时，那么他的平均速度为千米／时． 8. 小张和小李练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小张和小李两人中新手是． 9. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．他们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是S2甲＝3，S2乙＝1.2．那么成绩较为稳定的是．（填“甲”或“乙”）10. 数据l1，12，13，14，15的方差是，标准差是． 二、选择题 11. 数据13，19，35，97，96，26的极差为（） A. 6 B. 13 C. 83 D. 84 12. 有6个数，它们的平均数是12，如果在这组数中再添加一个数5，那么这7个数的平均数是（）

标准差在人类生活中的应用及其意义

标准差在人类生活中的应用及其意义 摘要：生物统计是运用数学逻辑来分析和解释生物界数量资料的一门学科。标准差，中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 关键词：概率统计；标准差；成活率；水稻 引言：标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数

的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式： 假设有一组数值X1,X2,X3,......XN（皆为实数），其平均值为μ， 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式为 。 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 1.资料整理： 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生测试疏导的成活率，A组的成活率为95、85、75、65、55、45，B组的成活率为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为18.71分，B组的标准差为2.37分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生测得的水稻成活率之间的差距要比B组学生测得的之间的差距大得多。 如是总体（即估算总体方差），根号内除以n（对应excel函数：STDEVP）； 如是抽样（即估算样本方差），根号内除以（n-1）（对应excel

极差方差标准差(整理)

北京四中 撰稿：张扬责编：姚一民 数据的波动 一．基本知识点讲解： 1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。 极差=数据中的最大数-数据中的最小数 2. 方差与标准差： S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2] 设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是 (x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数： 方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。 3. 标准差： 一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即： 标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。 4. 计算方差的三个公式 公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。

接近这组数据的平均数的一个常数。 二．例题解析： （1）应用公式① 例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。 解： 例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下： 甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7 乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7 求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定 解：

∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。 （2）应用公式② 例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下： 甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8 乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9 求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定 解： （3）应用公式③ 例4. 求以下数据的方差（精确到0.1） 10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9 解：设a=10，每个数都减去10，有

方差 — 标准差

方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为： 对于分组数据，方差的计算公式为： 方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为： 未分组数据： 分组数据： [编辑]

样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1 称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为： 未分组数据： 分组数据： 未分组数据： 分组数据： 例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下： 根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？ 解：根据已知数据，计算

因此，该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。

平均数众数中位数极差方差标准差

平均数众数中位数极差 方差标准差 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略. 首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。 一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。（八上《第八章数据的代表》） 平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式： x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。 众数是一组数据中出现次数最多的数。其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。

计算全距平均差方差和标准差

计算全距平均差方差和 标准差 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

计算全距、平均差、方差和标准差 一、全距 R（range） 全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin 一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差 方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。 标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。 标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分组数据方差与标准差的计算公式 方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性： 总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，

可以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。 方差和标准差的优点： 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。 优点： ?反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性（区分变异源，组间/组内） 五、差异系数（coefficient of variation） 差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。 何种情况下运用差异系数： ?两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度 ?即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度 差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况

方差 标准差 均方差 均方误差的区别及意义

一、百度百科上方差是这样定义的：? （variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。? 看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，? 对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，? 然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 ? 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了

? 根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？? 发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。? 举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2? ? 三、均方差、均方误差又是什么？?

标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。? 从上面定义我们可以得到以下几点：? 1、均方差就是标准差，标准差就是均方差? 2、均方误差不同于均方误差? 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数? 举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi? 那么均方误差MSE=? 总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。

平均值、方差、标准差

平均值(Mean)、方差(Variance)、标准差(Standard Deviation) 对于一维数据的分析，最常见的就是计算平均值(Mean)、方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。 平均值 平均值的概念很简单：所有数据之和除以数据点的个数，以此表示数据集的平均大小；其数学定义为： 以下面10个点的CPU使用率数据为例，其平均值为。 14 31 16 19 26 14 14 14 11 13 方差、标准差 方差这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度；其数学定义为： 标准差与方差一样，表示的也是数据点的离散程度；其在数学上定义为方差的平方根： 为什么使用标准差？ 与方差相比，使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处： 表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致，更适合对数据样本形成感性认知。依然以上述10个点的CPU使用率数据为例，其方差约为41，而标准差则为；两者相比较，标准差更适合人理解。 表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致，更方便做后续的分析运算。 在样本数据大致符合正态分布的情况下，标准差具有方便估算的特性：%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。 贝赛尔修正 在上面的方差公式和标准差公式中，存在一个值为N的分母，其作用为将计算得到的累积偏差进行平均，从而消除数据集大小对计算数据离散程度所产生的影响。不过，使用N 所计算得到的方差及标准差只能用来表示该数据集本身(population)的离散程度；如果数据集是某个更大的研究对象的样本(sample)，那么在计算该研究对象的离散程度时，就需要对上述方差公式和标准差公式进行贝塞尔修正，将N替换为N-1： 经过贝塞尔修正后的方差公式： 经过贝塞尔修正后的标准差公式：