文登考研概率经典论例题解析

第一章 随机事件和概率

第1节 重要概念、定理和公式的剖析

【例1.2】设A ，B ，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A ，B ，C 表示出来.

（1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于两个事件出现； （8）三个事件至少有两个出现； （9）A ，B 至少有一个出现，C 不出现；（10）A ，B ，C 中恰好有两个出现. 【解】（1）ABC . （2）ABC . （3）ABC . （4）A B C ++. （5）ABC .

（6）ABC BC ABC AB A C +++或AB BC AC ++.

（7）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ++++++或ABC . （8）ABC ABC ABC ABC +++或AB BC AC ++. （9）()A B C +.

（10）ABC ABC ABC ++.

【例1.5】已知P （A ）= P （B ）= P （C ）=

4

1，P （AB ）=0，P （AC ）= P （BC ）=61

，则

A ，

B ，

C 全部发生的概率为 .

【解】()P ABC =1-()P A B C =1-()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC --+++-

=32317

1()10()464312

P ABC ABC AB -

+-=-+-=?因为.

【例1.6】()0.7,()0.3,()P A P A B P AB =-==则 . 【解】因为()()()0.3,P A B P A P AB -=-=

故 ()0.4.P AB =

()1()10.40.6P AB P AB =-=-=.

【例1.7】假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一种，结

果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 .

【解】i A ={取到的一个产品为i 等品} i =1, 2, 3. 显然，123,,A A A 为互斥事件组，由题意有

3121290()()()()100

P A P A A P A P A ==+= , 31112131333()[()]()60%2

(|)90%3()()()

P A A P A A A P A P A A P A P A P A =

==== .

【例1.8】设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=, 则 【 】 （A ）事件A 与B 互不相容.

（B ）事件A 与B 互相对立.

（C ）事件A 和B 互不独立.

（D ）事件A 和B 相互独立.

【解】因为(|)(|)(|)1(|)1P A B P A B P A B P A B +=+-=, 所以(|)(|)0P A B P A B -=， 即

(|)(|)

()()())

( P A B P A B P AB P AB P B P B =?=

()[1()]()()

()()[()()]()[()]()().

P AB P B P B P AB P AB P B P AB P AB P B P A B B P B P A -=?=+=+=?

故应选（D ）.

【例1.9】设A ，B ，C 三个事件两两独立，则A ，B ，C 相互独立的充分必要条件是 【 】 （A ）A 与BC 独立. （B ）AB 与A C 独立. （C ）AB 与AC 独立. （D ）A B 与A C 独立. 【解】A ，B ，C 相互独立的充要条件：

()()(),()()(),()(()()()()

P A B P A B P A C P A C P B C P B C

P A B C P A B C ====

由[()]()()()()()P A BC P A P BC P A P B P C ==?,可知（A ）入选. ○

注：由前面关于事件独立性的注（8）即可知（A ）为正确答案.

【例1.10】设10件产品有种2件次品，8件正品. 现每次从中任取一件产品，且取后不放

回，试求下列事件的概率： （1） 前两次均取到正品； （2） 第二次取到次品；

（3） 若已知第二次取到次品，则第一次也取到次品.

【解】设i A ={第i 次取到次品}，i =1, 2. （1）前两次均取到正品的概率为

121218728

×=

10945

()()(|)

P A B P A P A A ==

（2）11A A ，

构成一个完备事件组，于是由全概率公式有

1122112()(|)()(|)()

12281

××=

9109105

P A P A A P A P A A P A =+=+

（3）由Bayes 公式有

21112212×

(|)()1

910(|)1()95

P A A P A P A A P A ===.

【例1.13】把10本书随意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率. 【解】基本事件总数10！，有利于将指定的5本书放在一起的基本事件个数为6！·5！（其中

6！是指5本书当做一个元素进行全排列的总数，5！是5本书相互之间进行全排列的总数），故

【例1.14】从5双不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概

率. 【分析】本例的基本事件总数容易计算，即为4

10C , 但有利事件数相对较难，下面给出几种不同解法.

【解法一】首先从5双鞋中取出一双，并将此两只鞋全部取出，然后从剩下的4双中取出两

双，再在每双中各取一只，于是取法共有1

2

2

1

1

52422C C C C C 种.

显然，这样取得的4只鞋仅有一双成对，而4只鞋配成两双的取法有2

5C 种，故取得的4只鞋至少有一双的取法有1

2

2

1

1

52422C C C C C +2

5C 种. 故所求概率

1221124

5242251013

()/21

P C C C C C C C =+=

. 【解法二】设A 表示“至少有两只鞋子成一双”，于是A 表示“没有成双的鞋子”，故有利于A

的基本事件数为41111

52222C C C C C ,即从5双中取出4双再从每双中各取1只的取法总数，所以

411114

522221013

()1()1/21

P A P A C C C C C C =-=-=

. ○

注：（1）从上面的例题可以发现，概率的求逆公式()1()P A P A =-常可使问题大为简化，这是概率计算中的一个重要技巧，必须熟练掌握，而且常用在“至少”或“至多”

的问题中.

（2）古典概型中概率的计算是一个难点，但并不是考试的重点，故只需掌握较简单的

古典概型的计算即可. （3）【例1.14】有下面易犯的错误的解法，试指出错误所在：

首先从5双鞋中任取1双，其2只全部取出，然后在剩下的8只鞋中任取2只，于

是总的取法为1

2

2

528C C C ,并且这样取出的4只鞋可保证至少有两只成一双，故所求概率为1

2

2

4

52810()/P A C C C C =.

【例1.15】在长度为a 的线段内任取两点将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概

率.

【解】设线段被分成的三段长分别为x ，y 和a-x-y ，则样本空间为由x ≥1，y ≥0及x+y ≤a

所构成的图形，其面积S ΔAOB =

2

12

a ，有利于事件A （即x ，y ，a-x-y 三段构成三角形）的基本事件集：由线段x ，y ，a-x-y 所围成的三角形，其面积为S ΔDCE （见图1-1）. 由三角形两边之和大于第三边的性质，有

0≤x ≤

2a , 0≤y ≤2a , 0≤a-x-y ≤2

a . ?0≤x ≤2a , 0≤y ≤2a ,

2a

≤x+y ≤a (它们构成三角形DCE ),则其面积S ΔDCE =

2

1()22

a ，于是由几何概型的概率计算公式 221()122()142

a P A a =

=.

y

x

图1-1

【例1.16】从（0,1）中随机地取两个数x 和y ，则满足条件xy < 1

4

的概率是 . 【解】显然本题为几何概型，如图1-2所示

.

图1-2

则1

{(,)|01,01},{(,)|,(,)}4

x y x y A x y xy x y Ω=<<<<=<∈Ω 于是1141111

=1=

ln 2,4442A S S dx x Ω+=+?， 故所求概率为11

ln 2.42

A S p S Ω=

=+ 【例1.17】设A ，B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B =++++= . 【解】因为

()()()()()()()()()()()()()A B A B A B A B AA AB AB B A B A B AB AB B A B A B B A B A B BA A B BAA BAB ++++=+++++=++++=++=+=+=?

故应填0.

【例1.18】设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为

1

9

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = .

【解】由已知条件有

1

(),()().9

P AB P AB P BA ==

另外由A ，B 的独立性得,A B 也独立，从而

1

()(),9

P A P B =

即 1[1()][1()],9

P A P B --=

又 ()()(),()()(),P AB P A P AB P BA P B P AB =-=-

故 ()(),P A P B =所以21[1()],9P A -=

即24(),33P A =(舍去).应填2

3

.

【例1.20】当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是 【 】

（A ）()()P C P AB =.

（B ）()()P C P A B = . （C ）()()()1P C P A P B +-≥.

（D ）()()()1P C P A P B +-≤.

【解】由于AB C ?,故

()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B =+-+- ≥≥.即选（C ）.

【例1.21】设(),(),()P A a P B b P A B c ==+=,则()P AB 为 【 】 （A ）a b -. （B ）c b -. （C ）(1)a b -.（D ）(1)a c -.

【解】利用恒等式 ()()()P A P A B P A B

=+, 于是 ()()(),()()()(),P AB P A P AB P A B P A P B P AB =-+=+- 由上面两式有()()().P AB P A B P B c b =+-=-故（B ）入选.

【例1.25】设()0,P A >试证()

(|)1.()

P B P B A P A -

≥ 【分析】通常常用逆推法，若不等式成立，则()(|)()(),P A P B A P A P B -≥即

()()1().()()() 1.() 1.

P AB P A P B P A P B P AB P A B -+?+-? ≥≤≤ 【证】因为()1P A B ≤，即()()() 1.P A P B P AB +-≤

()()()(|)1P A P B P A P B A ?+-≤ ()(|)()[1()]P A P B A P A P B ?--≥ ()(|)()()P A P B A P A P B ?-≥

因为()0P A >，所以()

(|)1()

P B P B A P A -≥.

【例1.27】某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁

的这种动物活到25岁的概率是多少？

【解】设A={活到20岁以上}，B={活到25岁以上}，显然A ，B 之间有“先后”关系，即A

先发生，B 后发生，故该问题属于条件概率(|)P B A .

因为()0.8()0.4P A P B ==，，且,,()()0.4.B A AB B P AB P B ?===

所以()0.41

(|).()0.82

P AB P B A P A =

==

【例1.30】设某公司有7个顾问，每个顾问提供正确意见的百分比为0.6，现为某事可行与

否个别征求意见，并按多数人的意见作出决策，试求作出正确决策的概率.

【分析】作出正确决策是指某事实际上可行且作出可行决策或某事实际上不可行且作出不可

行决策，故所求概率为两个乘积事件的和的概率，而在求积事件概率时通常转化为条件概率，则利用乘法公式.

【解】设A 表示“某事实际上可行”，B 表示“多数顾问说可行”，则所求概率为

()()()()(|)()(|).P AB AB P AB P AB P A P B A P A P B A +=+=+

而

7

774(|)(|)(0.6)(0.4)0.7102i

i i i P B A P B A C -===∑≈，

故

()[()()](|)0.7102.P AB AB P A P A P B A +=+≈

【例1.31】三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，第二箱装有3个黑球3个白球，

第三箱装有3个黑球5个白球，现先任取一箱，再从该箱中任取一球，试求：（1）取出的球是白球的概率.（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率.

【分析】本题的试验过程是分两个阶段进行的，即先取箱子，然后取球，并且第一阶段的结

果，即取哪一个箱子不知道.（1）中是求第二阶段结果发生的概率，于是可用全概率公式计算；（2）中是第二阶段结果已知，追究此结果由第一阶段哪一个结果所引起的概率，故用贝叶斯公式计算.

【解】设A i 表示“取出第i 个箱子”，i =1,2,3，B 表示“取出白球”.

于是

1231

()()

(),

3

P A P A P A === 123135

(|),(|),(|)568P B A P B A P B A ===，

(1) 由全概率公式得 3

1

53

()(|)().120

i i i P B P B A P A ==

=

∑ (2) 由贝叶斯公式得 222(|)()20

(|).()53

P B A P A P A B P B ==

【例1.34】设一个口袋中有6个求，令123,,A A A 依次表示这6个求分别为4红，2白；3

红，3白；2红，4白.设验前概率为123111

(),(),().263

P A P A P A =

==现从这口袋中任取一球，得到白球，求相应的验后概率？

【解】令B={任取一球为白球}.

由题设

123234

(|),(|),(|).666P B A P B A P B A ===

由Bayes 公式有

11111112233()(|)(|)()

()(|)

()(|)( )(|)()(|)

12

2612131426663 6 .

16

7P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =??+???

?+?+=

==?

同理可得

2338,.1(|)(1|77

)P A B P A B =

=

【例1.35】有两个盒子，第一个盒子中装有2个红球，1个黑球，第二盒中装有2个红球，

2个黑球，现从这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问 （1） 这个球是红球的概率；

（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率.

【解】（1）令A={取得一个红球}，B i ={从第i 个盒子取出一个红球}，i =1,2. 于是

1212221111221212221

()=(|) 1.3432211

()=(|).

3432

1211

()=(|).

3462121

()=(|)0.

346P B B P A B B P B B P A B B P B B P A B B P B B P A B B ?=

=??==??==??==?，，，，

由全概公式有

2211121211221212()(|)()(|)()(|)()7

(|)( ).

12

P A P A B B P B B P A B B P B B P A B B P B B P A B B P B B =+++=

(2)

22112112111112222(|)()(|)()6 (|)( .

()|)(|7

)(|)P A B B P P B A P B B B B A P B B A P B B A B B B P A B A B B P P +++====

○

注：本题中的完备事件组为21121212,,,B B B B B B B B ，故在求1(|)P B A 时应先转化为完备事件组中的事件的条件概率2121(|)P B B B B A +,再按Bayes 公式进行计算.

【例1.37】在伯努利试验中，若A 出现的概率为p ，求在出现m 次A 之前出现k 次A 的概

率.

【分析】事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”等价于事件“在前k+m-1次试验中出现k 次

A ，m-1次A ，且第m+k 次出现A ”.

【解】由上面分析即得所求概率为

111

(1)(1)(1).

k k m k m k

k m

k m P C p p p C

p p -+-+-=-?--=

【例1.38】一本500页的书，共有100个错字，每个错字等可能地出现在每一页上，按照

泊松定理，在给定的一页上至少有2个错字的概率为 【 】

（A ）1.

（B ）15

1e

-- .

（C ）25

1e

-

- .

（D ）11

5

5115

e e -

---.

【分析】本题的关键是如何建立其概型，由题意，每个错字出现在某页上的概率均为1500

，100个错字就可看成做100次伯努利试验，于是问题就迎刃而解了.

【解】设A 表示“某页上至少有2个错字”，于是有

111

1001000

1009595 1(

)(1) ()1()

115005001115005005001

1()

5

1(1)100(1)

i

i i

i P A P A e C e -=--=--=----??=--≈-∑由泊松定理

所以（D ）为答案.

○注：1o 泊松定理：设随机变量X n 服从二项分布B （n ，p n ），（n =1,2，…）如果lim n n np λ→∞=（λ为正常数），则有lim ()(0,1,2,).!

k

n n P X k k k λ→∞

==

=…

2o 也就是当n 很大，p 很小时，二项分布B （n ，p ）近似于泊松分布p （λ），其中λ=np （一般当n >10，p <0.1时可用该定理）.

【例1.39】假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可直接出厂；以概率0.30需进一步调

式，经调式后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n （n ≥2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：（1）全部能出厂的概率α；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β；（3）其中至少有两件不能出厂的概率θ.

【解】（1）对于新生产的每台仪器，A 表示“仪器需进一步调试”，B 表示“仪器能出厂”，

则A 表示“仪器能直接出厂”，AB 表示“仪器需进一步调试且能出厂”，于是

,()0.30(|)0.80B A AB P A P B A =+==，，

()()(|)0.300.800.24P AB P A P B A ==?=，

()()()()0.700.240.94.P B P A AB P A P AB =+=+=+=

设X 为所生产的的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为n 次独立试验成功（仪器能

出厂）的次数，X 服从参数p =0.94的n 重伯努利概型，故

0={}(0.94)(10.94)(0.94).n

n n n P X n C α==-=

（2）22

2{2}(0.94)

(0.06).n n P X n C β-==-=

（3）{2}1{1}{}P X n P X n P X n θ=-=-=-=-=≤ 1

10.94

0.060.94.n n n -=-??-

【例1.43】假设某段时间内来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公

司里每个顾客购买电视机的概率为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求这段时间内，百货公司售出k 台电视机的概率.（设每个顾客至多买一台）

【解】设X 表示售出电视机的台数，Y 表示来到百货公司的顾客数，则

(|)(1),,1, 0,1,,1,

0,k k i k i P X k Y i p p i k k i C k -===-=+=-{

故由全概率公式有

0(1)! !()! ()(|)()(1)

!

()[(1)](1)!!()!()().

!!

i

k k

i k

i

i i k

i

k i k k i k i k

k k p k

i k P X k P X k Y i P Y i C p p e i p p p p i k i e e i k i k p p e k k e e k λ

λ

λλλλλλλλλλ∞

∞

--==-∞---=---∞

===-===---=-==-=∑∑∑∑

○

注：（1）本题说明百货公司所售出的电视机的台数仍服从Poisson 分布，这就是Poisson 分

布在随机条件下的不变性.

（2）本题说明全概公式中条件事件数，即引发结果的“原因”数可以为可列个，且条件概率(|)P X k Y i ==为Bernoulli 概型中的概率.

概率论试题(含解析)

1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ?==，则P(AB) 2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数 ()f x 非负。 3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而 （A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。 答：（ A ） 6、某人投篮，每次命中的概率为2 3 ，现独立投篮3次，则至少命中3次的概率为. 7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0, x Ae x f x --??≥=???其它，则常数A = . 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0 (,)0,x y x y F x y --?-->>=?? 其它，则概率 P(Y>2)= . 9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则D(X+Y)= 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=,说明什么？ 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第5次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）C 14P 2（1-p ）3 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。 一、已知男人中有8%是肝病患者，女人中有0.35%是肝病患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是肝病患者，问此人是男性的概率是多少？ 四、 11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1. 顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字） 解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品， 0,1,2i =，则所求概率为 2 ()(|)()...............................................................................(5') 1918171618171615 0.810.10.1...........................(9')2019181720191817 0.9i i i P B P B A P A ==??????=?+? +???????≈∑43...................................................................................................(10')

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。

高中古典概率中等题目精选(附答案)说课材料

高中古典概率中等题目精选(附答案)

第4n+1次家教材料，编辑了我觉得很好的又很基本的题目. 一、选择题（11分，每题一分） 1、从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A 、 2 1 B 、 10 3 C 、 5 1 D 、 5 2 2、将8个参赛队伍通过抽签分成A 、B 两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为( ) A 、 74 B 、 21 C 、 72 D 、 53 3、袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A 、 11 1 B 、 33 2 C 、 33 4 D 、 33 5 4、将4名队员随机分入3个队中，对于每个队来说，所分进的队员数k 满足0≤k≤4，假设各种方法是等可能的，则第一个队恰有3个队员分入的概率是( ) A 、 8116 B 、 8121 C 、 818 D 、 81 24 5、将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是( ) A 、 9 1 B 、 4 1 C 、 36 1 D 、9 6、下列事件中，随机事件的个数为( ) (1)物体在重力作用下会自由下落、 (2)方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实根、 (3)某传呼台 每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过10次、 (4)下周日会下雨、 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、下列试验能构成事件的是( ) A 、掷一次硬币 B 、射击一次 C 、标准大气压下，水烧至100℃ D 、摸彩票中头奖 8、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的各个面分别是标有点数1， 2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ． 5 36 Ｃ．112 Ｄ．12

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论经典实例

概率论经典实例 概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。 1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。你当然想得到汽车。当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。由此看出，可能一号门的几率会大一点。若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。因此，选择二号门比较理智。 稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。(2) 当比赛开始时，可做以下决策：刚开始可先押大点，无论押中或不中，第二轮可接着押大点，然后观察一轮，当出现小点后，可继续押大点，当然也可在连续出现几个大点后押一次小点，也有取胜的把握。这是因为，出现大点的机会要多于出现小点的机会，开始出现大点的概率要大一些，故应押大点，当出现几次大点后，小概率的事件也是会发生的，故可押一次小点，若一次不中可继续押，此时出现小点的概率将变大。另外，当连续出现几次小点或大点，则情况即将发生转变，应考虑押相反的情况。运用概率的思想来解决此类问题让我们更有把握赢得我们所要的东西，对此类问题，一味的乱猜，只能让我们处于劣势。 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一个优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力，这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋的英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德国的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后，舰队与潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌

概率论试题及答案

概率论试题及答案 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２.掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、 ，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1.从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A)取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验,“出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3.设A、B为随机事件，则（）。 (A)A(B)B (C)AB(D)φ 4.设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A)与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5.设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A)(B) (C)(D) 6.设相互独立，则（）。 (A)(B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A)(B) (C)(D) 8.进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A)p2(1–p)3(B)4p(1–p)3 (C)5p2(1–p)3(D)4p2(1–p)3 9.设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。

古典型概率几何型概率专题典型例题练习题

概率 1、从1、 2、 3、 4、 5、 6、7中任取一个数,求下列事件的概率. (1)取出的数大于3; (2)取出的数能被3整除; (3)取出的数大于3或能被3整除. 2、某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为32,,a a a 1,女生两名,分别记为21,b b ,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛. (1)写出这种选法的样本空间;(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率; (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率. 3、甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 4、在集合{} 40,50),(≤≤≤≤y x y x 内任取1个元素,能使不等式012 19 34≥-+y x 成立的概率是多少?

1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题， （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？ 2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少． 3、将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率. 4、（2008高考江苏卷6）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．

5、（2008高考宁夏文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=． （Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 6、甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 7、如图，在等腰三角形ABC 中，∠B =∠C =30°，求下列事件的概率： 问题1 在底边BC 上任取一点P ，使BP ＜AB ； 问题2 在∠BAC 的内部任作射线AP 交线段BC 于P ，使BP ＜AB ． A C P B 第7题

概率论考试题以及解析汇总

——第1页—— 系名____________班级____________姓名____________学号____________ 密封线内不答题 试题一 一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ ） A.91 99 100 98 .02.0C B. i i i i C -=∑100100 9 100 98.02.0 C. i i i i C -=∑100100 10 100 98 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 100 98.02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()3 1 253(321=++ X X X E A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 2 3 21X X X X X c +++? 服从t 分布。（ ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14( N ，则其概率密度为（ ） A. 6 )14(2 61-- x e π B. 3 2)14(2 61-- x e π C. 6 )14(2 321 -- x e π D. 2 3)14(2 61-- x e π 7、 321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本， 下列哪一项是μ 的无偏估计（ ） A. 3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X + + D. 3216 1 3131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数C 为（ ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 9 、设随机变量X ～N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X 近似的服从（ ） （A ） N （4，25） （B ）N （4，25/n ） （C ） N （0,1） （D ）N （0，25/n ） 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01 下，（ ）

高一古典概型练习题附详细答案

《古典概型》练习题（有祥细解答） 一、选择题 1．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则基本事件有() A．1个B．2个 C．3个D．4个 [答案] C [解析]基本事件有{数学，计算机}，{数学，航空模型}，{计算机，航空模型}，共3个，故选C. 2．下列试验中，是古典概型的为() A．种下一粒花生，观察它是否发芽 B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率 D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率 [答案] C [解析]对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C. 3．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件的为() A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} [答案] D [解析]至少1个红球包含，一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他项中的事件都是基本事件． 4．在200瓶饮料中，有4瓶已过保质期，从中任取一瓶，则取到的是已过保质期的概率是() A．0.2 B．0.02

C．0.1 D．0.01 [答案] B [解析]所求概率为4 200＝0.02. 5．下列对古典概型的说法中正确的是() ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个②每个事件出现的可能性相等③每个基本事件出现的可能性相等④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本 事件，则P(A)＝k n A．②④B．①③④ C．①④D．③④ [答案] B [解析]②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确． 6．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种 不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)2种结果，概率为1 3 ，故选B.答案：B 7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2x y＝1的概率为( ) A.1 6 B. 5 36 C. 1 12 D. 1 2 解析：由log 2x y＝1得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足题意的有x＝ 1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为 3 36 ＝ 1 12 ，故选C.答案：C 8．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为( ) A.1 8 B. 3 16 C. 1 4 D. 1 2

概率论试题(含解析)

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分）。 １、事件独立，且，则等于 （A ）0; （B ）1/3; （C)２/3； （D)2/５、 ? ? 答：（ B ） ２、设就是连续型随机变量得概率密度函数,则下列选项正确得就是 （A ）连续; （B ）； （Ｃ）得值域为[0,1]； （D)。 答:( D ) 3、随机变量,则概率随着得变大而 (Ａ)变小； (B ）变大; （Ｃ)不变； （D)无法确定其变化趋势. ? ?? ? 答:( A ） 4、已知连续型随机变量相互独立,且具有相同得概率密度函数，设随机变量，则得概 率密度函数为 (A ）； （B ）； （C ）; （D ）、 答:( Ｄ ） 5、设就是来自正态总体得容量为得简单样本，则统计量服从得分布就是 (A) (B ） （C) (D) 答：（ C ） 二、填空题（本大题共５小题,每小题3分，共15分）。 6、某人投篮,每次命中得概率为,现独立投篮3次，则至少命中1次得概率为、 7、已知连续型随机变量得概率密度函数为,则常数＝、 8、二维随机变量得分布函数为，则概率=、 ９、已知随机变量得方差分别为，且协方差，则=1、８、 10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径(单位：c ｍ）服从正态分布,从某 天生产得产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值＝1、１2，则得置信度为０、95得置信区间为、 （已知，，,） 三、解答题(本大题共6小题，每小题10分,共６０分)。 11、玻璃杯成箱出售，每箱2０只,设每箱含０,1，2只残品得概率分别为0、8， 0、1， 0、１、顾客购买时，售货员随意取一箱,而顾客随意查瞧四只，若无残品，则买下,否则,退回。现售货员随意取一箱玻璃杯,求顾客买下得概率.（结果保留3个有效数字） 解：设表示售货员随意取一箱玻璃杯,顾客买下；表示取到得一箱中含有个残品,，则所 求概率为 2 0()(|)()...............................................................................(5') 19181716181716150.810.10.1...........................(9')2019181720191817 0.9i i i P B P B A P A ==??????=?+? +???????≈∑43...................................................................................................(10') １2、已知连续型随机变量得概率密度函数为 , （1）求概率；（2）求、

大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或

古典概型练习题(有详细答案)

古典概型练习题(有详细答案)

古典概型练习题 1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品) A.3个都是正品 B.至少有一个是

两位数大于40的概率为 A. 1 5B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 ( ) 4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2 个球,则至少摸出1个黑球的概率为 A. 3 7B. 7 10 C. 1 10 D. 3 10 ( ) 5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取 2张,那么这 2 张纸片数字之积为偶数的概率为( ) A. 1 2 B. 7 18 C. 13 18 D. 11 18 6.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举

A. 7 15 B. 8 15 C. 3 5 D. 1 7.下列对古典概型的说法中正确的个数是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基

本事件,则()k P A =； n ④每个基本事件出现的可能性相等； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球, 那么下列事件中互斥事件的个数是 ( ) ⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一 个白球,至少有一个红球； ⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一 个白球,都是红球. A.0 B.1 C.2 D.3 9.下列各组事件中,不是互斥事件的是( ) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒 D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70% 10．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上

概率论和数理统计考试试题和答案解析

一.填空题（每空题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、 第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4， Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ， (~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则： =-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。则：~X N （8 ， 8/13 ）， ~16252 S )25(2χ， ~5 2/8s X - )25(t 。

概率论试题及答案

试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。

(A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB (D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B) 与不互斥 (C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C) (D)

7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次 的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3 (D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤ 1 (C) P (A) + P (B) –P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C) 三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。

7月全国自考概率论与数理统计(经管类)试题及答案解析

1 全国2018年7月自学考试概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码：04183 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (B A )=3 2，若事件A ，B 相互独立，则P (A )= ( ) A ．91 B ． 61 C ．3 1 D ．21 2．对于事件A ，B ，下列命题正确的是( ) A ．如果A ， B 互不相容，则B ,A 也互不相容 B ．如果B A ，则B A C ．如果B A ，则B A D ．如果A ，B 对立，则B ,A 也对立 3．每次试验成功率为p (0

-1)=l D ．P (X<4)=l

2 5．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率 32b a X P ( ) A ．0 B ．31 C ．32 D ．1 X 与Y 相互独立时，(p ，q )=( ) A ．(51,151 ) B ．(151 ,51 ) C ．(152101,) D ．(101 152,) 7．设(X ,Y )的联合概率密度为 ,,, y ,x ,y x k y ,x f 其他01020)()(则k =( ) A ．31 B. 21 C ．1 D ．3 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P (|X -2|≥3)≤( ) A.91 B.31

概率统计经典习题

立足概率基础 关注横向联系 诸暨中学 邵跃才 随着高考改革的深入，概率统计问题已经成为高考命题的一个重点内容。其考查的内容主要有：等可能性事件发生的的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，随机事件的分布列和数学期望等基本概念和求解方法。概率问题虽然常常以实际应用题的形式出现，但近几年也逐渐开始和传统知识及相关学科的交汇融合，形成一些背景新颖、结构精巧的综合题。 一、典型例题 1．等可能性事件发生的概率 例1 先后抛掷两枚均匀的正方形骰子（六个面上分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X ，Y 则满足1log 2=Y X 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ．536 Ｃ．112 Ｄ． 12 解： 满足1log 2=Y X 即Y=2X 的有序数对为（１，２），（２，４），（３，６） ∴231612 P == 故选C 例2 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，每组的三个数成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．420 1 解：本题的关键是求“每组的三个数成等差数列”这一事件中的基本事件数，基本事件 总数为n=28033 333639=A C C C ，每组三数成等差数列的分法可按前两组的公差大小分类计数，则有（1，2，3）（4，5，6）（7，8，9）； （2，3，4）（6，7，8）（1，5，9）； （1，3，5）（2，4，6）（7，8，9）； （4，6，8）（5，7，9）（1，2，3）； （1，4，7）（2，5，8）（3，6，9）。 ∴m=5, 56 12805==P ，故选A 例3某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等 可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 解：“6位乘客按0，1，2，3的人数分配到4节车厢”这一事件中基本事件的个数，

古典概率教(学)案

概率初步 李桂梅 烟台机械工程学校

课题：10.2 概率初步 新授课

并利用你们预习的几个概念判断下列事件属于 哪种事件呢？ 1、连续抛一枚质地均匀的硬币，恰有一次正面向上 2、抛一颗骰子向上点数小于6 3、袋装有红、黄、蓝3个大小形状完全相同的球，从中任取1个球，是白球容的学习做准备。 概念形成问题探究：你能求出这些随机试验的样本空间 中基本事件总数是多少吗？每个基本事件发生 的可能性相等吗？ 思考：这几个随机试验有哪些特点？ 古典概型概念：在随机试验中，出现的结果只 有有限个，且它们出现的可能性是相等的，这 样的试验称为古典概型。 是不是所有的随机试验都是古典概型 呢？ 火眼金睛巩固概念 判断下列随机试验是否是古典概型，不是的说 明理由。 1、从一副扑克牌中任意抽取一牌，观察抽到的 牌上的数。 2、种下一粒种子，观察它是否发芽？ 结合实例 动手操作 自主观察 总结规 律，得出 概念。 通过判断 加深对古 典概型的 两个条件 的理解 承上启下， 给出古典 概型概念。 通过自己 动手操作、 细心观察 总结古典 概型的两 个特点。 四个与生 活紧密相 关的例子 明确古典 概型特点。

概念巩固 公式探求3、向一个圆面随机地投射一个点，如果该点落 在圆任意一点都是等可能的，你认为这是古典 概率吗?为什么？ 4、随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果 只有有限个：命中10环、命中9环……命中5 环和不中环.你认为这是古典概率吗？为什 么？ 设悬激趣提出问题 情境：在篮球比赛前，有这样一位裁判员，想 以抽签方式决定两支球队的进攻方向，他准备 三大小花色相同的扑克牌，1红桃，2黑桃，让 其中一方队长从三牌中任意的抽一，抽到红桃 则有选择权，抽到黑桃，则选择权给对方。 想一想，议一议 此随机试验是否为古典概型？裁判员这 样做对抽牌的一方公平吗？ 学生分组 讨论，互 相抢答为 所在小组 加分 学生分组 讨论，各 组代表积 极发表结 论 插入视频 由为中国 获得首金 的易思玲 打靶为例 培养学生 爱国主义 思想，树立 为国争光 的信心。 创设情境 利用古典 概型概念 提出问题 为后面的 古典概率 公式的推 导做好。

概率论题目

概率论感觉测试（答案） 1. 假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在 A 周五 B 周六 C 周日 Answer: B. 一般的讲在[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1),也就是可以认为这n 个随机变量分别大约在1/(n+1),2/(n+1),...,n(n+1)。这道题那么算一下大概就是在周六的上午。 2. 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为 A 有一把赢了巨多 B 一直在慢慢的赢 C 两种情况都有可能 Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能有人觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。这个问题是随机问题中的长尾和短尾的问题。长尾的意思就是取大的值的概率不是很小，而短尾正好相反。但是题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的cost。 3. 有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。则如果给你n 次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积） A 按规律等间隔选取测量点会测得准些 B 随机选取测量点会测得准些 C 两种方法差不多 Answer: A. 也许这个也略有些意外。对于一维的情况，方法A略好于方法B。但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个“有规律的点”需要选取太多。这是所谓的Quasi-Monte Carlo Sampling 和Monte Carlo Sampling之间的关系 4. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为 A 0.1 B 0.2 C 0.3 D 0.4