第七章 剪切和扭转

第七章 剪切和扭转

§ 7-1 剪切的概念

在工程实际中，有许多起连接作用的部件，如图17-所示各种常见连接中的螺栓、铆

钉、销轴、键，这些起连接作用的部件，称为连接件，它们都是剪切变形的工程实例。

图7—2（a ）所示的铆钉连接中，钢板受力后，通过钢板与铆钉的接触面，将力传递到铆钉上，使铆钉受力如图（b ）所示。此时，铆钉受到一对垂直于杆轴线、大小相等、方向相反、作用线相距很近而不重合的平行外力的作用。

随着力的逐渐增大，铆钉的上、下两部分将会分别沿着外力的方向移动，从而发生沿着两作用力之间的截面相对错动的变形，这种变形即为剪切变形。当外力足够大时，铆钉可能会沿着mm 截面被剪断，如图7—2（c ）所示。

在剪切变形中，发生相对错动的面，称为剪切面。剪切面平行于作用力的方向，介于使连接件产生剪切变形的二力之间。

§ 7-2 连接接头的强度计算

工程上通常采用实用计算方法来分析连接件的强度计算 一、剪切的实用计算

二、挤压实用计算

连接件在受剪切的同时，往往伴随着挤压，如图7—4所示。作用于挤压面上的力，称为挤压力，用C F 表示。挤压面积用C A 表示。挤压力在挤压面上的分布集度称为挤压应力，用C σ表示。挤压应力的实际分布很复杂。在实用计算中，假定挤压应力在挤压面上是均匀分布的。

【例7—1】 如图7—5所示铆接钢板的厚度10=δmm ，铆钉直径17=d mm ，铆钉的许用剪应力[]τ=140MPa ，许用挤压应力[]320=C σMPa ，=P 24kN ，试作强度校核。

解：（1）剪切强度校核

2

4

=

=

=

d

P

A

Q πτ[]MPa 8.105=<=τ（2）挤压强度校核

[MPa d P A F C

C C 2.141<==

=

δ

σ满足挤压强度条件

个力偶时，轴的下端则受到转向器负载的反力偶作用。因此，轴会产生扭转变形。拧自来水开关时，当水龙头已经关上后，若继续拧，则竖向的轴会在手施加的力偶和另一端的约束反力偶的共同作用下产生扭转变形。

【例7—3】 传动轴如图7—9（a ）所示。已知其转速为150min /r ，主动轮输入的功率

44=B N kW ，从动轮输出功率分别为25=A N kW ，19=C N kW 。试作出此传动轴的扭矩图。

解：传动轴的转动方向与主动轮的外力偶方向相同，从动轮的外力偶转向与轴的转向相反。各扭矩的转向如图（b ）所示。

（1）计算各轮上的外力偶矩

1590150

259550=?

=A m m N ?59.1=m kN ?

2801150449550=?=B m m N ?8.2=m kN ? 1210150

199550=?

=C m m N ?21.1=m kN ?

（2）求各段截面的扭矩

沿截面1—1截开，取左侧部分为研究对象，求轮C 至轮B 间截面上的扭矩1

x M

。

0=∑m 01=-C x m M

C x m M

=121.1=m kN ? 同理可得： A x m M

-=2

59.1-=m kN ?

（3）作扭矩图如图（c ）所示

§ 7-5 圆轴扭转时的应力和变形

一、圆轴扭转时的应力

为了分析圆轴扭转时的应力，必须从研究变形入手，考虑圆轴变形的几何关系、物理关

系和静力学关系。

根据以上的实验，可以对圆轴扭转现象作出以下基本假设： （1）扭转的平面假设

（2）相邻横截面的间距不变

图7—13

1.几何关系

2.物理关系

在弹性范围内，由剪切虎克定律可知，剪应力τ与剪应变γ成正比，即由剪应力τ与剪应变γ所表达的物理关系为： γτG =

将式（7—7 a ）代入上式，即得 dx

d G ?ρτρ= 式（77-b ）

3. 静力学关系

二、圆轴扭转时的变形

由前面扭转变形的基本公式)77(c - p

x GI

M dx

d =? 可得：相距dx 的两横截面间的扭

转角

dx GI

M d p

x =

?

则相距l 的两横截面间的扭转角为 ?=

l

d ??=dx GI

M l

p

x ?

p

x GI

l M =

即： p

x GI

l M =

? 式（97-）

扭转角?的单位为弧度（rad ），转向与扭矩x M 的转向相同。当x M 、l 一定时，?与

p

GI

成反比。p GI 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。

【例7—5】 一轴AB 传递的功率k N 如图7—15所示。已知30=D mm ，d 解：（1）计算扭矩

轴上的外力偶矩为：

199360

5.795509550

=?

==n

N m k 扭矩为： 199==m M

x

m N ?

（3） 计算极惯性矩 （4）计算应力

【例7—6】 如图7—16第二段的长度6.02=l m ，所受的荷载如图所示。材料的剪切弹性模量4

108?=G MPa 。求轴的扭转角?。

解：（1）求得两段中的扭矩分别为： （2）计算截面几何参数 （3）计算扭转角

8

6

4

3

3221110

236101086

.0108.04.0106.1-??????+??-=

+

=

p

x p

x GI

l

M

GI

l

M

?00085.0-=rad

§ 7-6 圆轴扭转时的强度和刚度条件

一、强度条件

二、刚度条件

【例7—7】 某传动轴如图7—17转速120=n min /r 解：（1）求内力

95509550

?

===n

N m M

k x

m KN m N ?=??=41043

（2）判断危险截面和危险点 （3）计算抗扭截面系数 （4）强度校核 故强度条件满足。

【例7—8】 一电机的传动轴的直径40=d mm ，最大扭矩204max

=x M

m N ?，许用应力

[]40=

τMPa ，剪切模量4

10

8?=G MPa ，单位长度许用扭转角[]/2?=θm 。试校核此轴的强

度和刚度。

解：（1）计算截面几何参数

（2）计算最大剪应力和最大单位扭转角 （3）强度和刚度校核

[]ττ

故强度和刚度条件都满足。

小 结

（1）剪切强度条件：A

Q =

τ[]τ≤

（3）扭矩：圆轴扭转变形时，其横截面上的内力偶矩称为扭矩，记为n

M

。轴上某一横截面

的扭矩等于这个截面的任意一侧所有外力偶矩的代数和。扭矩的正负号按右手法则确定。

（4）圆轴扭转时的剪应力： （5）相对扭转角的计算公式 p

x GI

l M =?

（6）圆轴扭转时的强度条件

（7）圆轴扭转时的刚度条件

第七章练习

一、思考题

7—1 什么是剪切面？

7—4 对轴的承载能力考虑，图示圆轮上，三个齿轮怎样布置比较合理？

二、填空题

7—1 剪切变形的受力特征为：受有一对垂直于杆件轴线的、大小 、方向 、作用

线相距很近的平行外力的作用。

7—2 对扭矩正负号的规定是右手螺旋法则：以右手拇指表示截面外法线方向，扭矩与四指的握向

时为正值； 时为负值。

三、选择题

7—1 圆环形截面的内径为d ，外径为D ，D

d =α，则其对圆心的极惯性矩p I 和抗扭截面模量n

W 的公式中，错误的是（ ）：

第七章剪切和扭转

第七章 剪切和扭转 § 7-1 剪切的概念 在工程实际中，有许多起连接作用的部件，如图17-所示各种常见连接中的螺栓、铆钉、销轴、键，这些起连接作用的部件，称为连接件，它们都是剪切变形的工程实例。 图7—2（a ）所示的铆钉连接中，钢板受力后，通过钢板与铆钉的接触面，将力传递到铆钉上，使铆钉受力如图（b ）所示。此时，铆钉受到一对垂直于杆轴线、大小相等、方向相反、作用线相距很近而不重合的平行外力的作用。 随着力的逐渐增大，铆钉的上、下两部分将会分别沿着外力的方向移动，从而发生沿着两作用力之间的截面相对错动的变形，这种变形即为剪切变形。当外力足够大时，铆钉可能会沿着mm 截面被剪断，如图7—2（c ）所示。 在剪切变形中，发生相对错动的面，称为剪切面。剪切面平行于作用力的方向，介于使连接件产生剪切变形的二力之间。 § 7-2 连接接头的强度计算 工程上通常采用实用计算方法来分析连接件的强度计算 一、剪切的实用计算 二、挤压实用计算 连接件在受剪切的同时，往往伴随着挤压，如图7—4所示。作用于挤压面上的力，称为挤压力，用C F 表示。挤压面积用C A 表示。挤压力在挤压面上的分布集度称为挤压应力，用C σ表示。挤压应力的实际分布很复杂。在实用计算中，假定挤压应力在挤压面上是均匀分布的。 【例7—1】 如图7—5所示铆接钢板的厚度10=δmm ，铆钉直径17=d mm ，铆钉的许用剪 应力 []τ=140MPa ，许用挤压应力[]320 =C σMPa ，=P 24kN ，试作强度校核。 解：（1）剪切强度校核 由铆钉的受力情况可知，每个铆钉只有一个剪切面，剪力P Q =，故

单元5 剪切与扭转变形时的承载力计算

单元5 剪切与扭转变形时的承载力计算 【学习目标】 1.能深入理解剪切和挤压的概念； 2.能进行剪应力和压应力的计算和校核； 3.能灵活运用剪切虎克定律公式和剪应力互等定理； 4.能深入理解圆轴的扭矩的概念和公式； 5.能进行圆轴圆轴扭转强度计算，最大剪应力； 5.1 剪切与挤压变形实例 5.1.1剪切的概念 它是指杆件受到一对垂直于杆轴方向的大小相等、方向相反、作用线相距很近的外力作用所引起的变形，如铆钉连接中的铆钉及销轴连接中的销等都是心剪切变形为主要变形的构件。 图5.1 如图所示。此时，截面cd相对于动将发生相对ab错动，即剪切变形。若变形过大，杆件将在两个外力作用面之间的某一截面m—m处被剪断，被剪断的截面称为剪切面，如图5.1所示。 5.1.2挤压的概念 构件在受剪切的同时，在两构件的接触面上，因互相压紧会产生局部受压,称为挤压。 图5.2

如图5.2所示的铆钉连接中，作用在钢板上的拉力F，通过钢板与铆钉的接触面传递给铆钉，接触面上就产生了挤压。两构件的接触面称为挤压面，作用于接触面的压力称挤压力，挤压面上的压应力称挤压应力，当挤压力过大时，孔壁边缘将受压起“皱”，铆钉局部压“扁”，使圆孔变成椭圆，连接松动，这就是挤压破坏。因此，连接件除剪切强度需计算外，还要进行挤压强度计算。 图5.3 5.2 铆接或螺栓连接实用计算（剪切与挤压的实用计算） 5.2.1剪切的实用计算 剪切面上的内力可用截面法求得。 图5.4 假想将铆钉沿剪切面截开分为上下两部分，任取其中一部分为研究对象，由平衡条件可知，剪切面上的内力Ｑ必然与外力方向相反，大小由∑Ｘ＝０，Ｆ－Ｑ＝０，得：Ｑ＝Ｆ这种平行于截面的内力Ｑ称为剪力。 与剪力Ｑ相应，在剪切面上有剪应力η存在。剪应力在剪切面上的分布情况十分复杂，工程上通常采用一种以试验及经验为基础的实用计算方法来计算，假定剪切面上的剪应力η是均匀分布的。因此：Ｑη＝―Ａ式中Ａ——剪切面面积； Ｑ——剪切面上的剪力。 为保证构件不发生剪切破坏，就要求剪切面上的平均剪应力不超过材料的许用剪应力，即剪切时的强度条件为：Ｑ η＝―≤［η］（ 5.1 ） Ａ 式中［η］——许用剪应力，许用剪应力由剪切试验测定。

材料力学习题册答案-第3章 扭转

第三章扭转 一、是非判断题 1.圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（×） 2.杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（×） 3.薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（×） 4.圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（×） 5.非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（√） 6.材料相同的圆杆，他们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（×） 7.切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。（×） 8.受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。（√） 9.受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。（√） 10.受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。（×） 11.受扭圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等。（√） 12.因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭距达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。（×）

二、选择题 1.内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ，这时横截面上内边缘的切应力为 （ B ） A τ； B ατ； C 零； D （1- 4α）τ 2.实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ） 0 B 20T 0 D 40T 3.两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C 不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ、τ和扭转角ψ、ψ之间的关系为（ B ） A 1τ=τ2, φ1=φ2 B 1τ=τ2, φ1≠φ2 C 1τ≠τ2, φ1=φ2 D 1τ≠τ2, φ1≠φ2 4.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ） A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面； C 单位长度扭转角最大的截面； D 不能确定。 5.空心圆轴的外径为D ，内径为d, α=d ／D,其抗扭截面系数为 （ D ） A ()3 1 16 p D W πα= - B ()3 2 1 16 p D W πα= - C ()3 3 1 16 p D W πα= - D ()3 4 1 16 p D W πα= - 6.对于受扭的圆轴，关于如下结论： ①最大剪应力只出现在横截面上； ②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；

材料力学第3章剪切与扭转

第3章 剪切与扭转 提要：本章将讨论杆件的剪切和扭转这两种基本变形。 F。为了保证连接件的正常剪切是杆件的基本变形之一，杆件横截面上的内力为剪力 Q 工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算。本章将探讨采用实用计算法来进行简化计算。 扭转也是杆件的基本变形之一。杆件横截面上的内力偶矩为扭矩T。本章将根据传动轴的功率P和转速n来计算杆件所承受的外力偶矩，并通过截面法来计算扭矩；还将探讨扭矩图的绘制方法。 本章将研究薄壁圆筒的扭转变形及其横截面上的切应力分布，并由薄壁圆筒的扭转实验推出剪切胡克定律，还要探讨切应力互等定理。 为了保证杆件在受扭情况下能正常工作，除了要满足强度要求外，还须满足刚度要求。本章将从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面入手导出等直圆杆扭转时横截面上的切应力公式，并以之为基础建立扭转的强度条件；同时在研究等直圆杆扭转变形的基础上，建立扭转的刚度条件。本章还将探讨杆件斜截面上的应力分布。 本章研究等直圆杆的扭转仅限于线弹性范围内，且材料符合胡克定律，并以平面假设为基本依据。 在实际工程中，有时也会遇到非圆截面等直杆的扭转问题。本章将简单介绍矩形截面杆、开口薄壁截面杆和闭口薄壁截面杆的自由扭转问题。 3.1 剪切 3.1.1 剪力和切应力 剪切(shear)是杆件的基本变形之一，其计算简图如图3.1(a)所示。在杆件受到一对相距很近、大小相同、方向相反的横向外力F的作用时，将沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动，这种变形形式就称为剪切。当外力F足够大时，杆件便会被剪断。发生相对错动的横截面则称为剪切面(shear surface)。 既然外力F使得剪切面发生相对错动，那么该截面上必然会产生相应的内力以抵抗变形，这种内力就称为剪力(shearing force)，用符号 F表示。运用截面法，可以很容易地分析 Q 出位于剪切面上的剪力 F与外力F大小相等、方向相反，如图3.1(b)所示。材料力学中通 Q 常规定：剪力 F对所研究的分离体内任意一点的力矩为顺时针方向的为正，逆时针方向的 Q 为负。图3.1(b)中的剪力为正。

湖南省对口升学机电专业第三章扭转与剪切测试卷

湖南省对口升学机电专业第三章复习题 一、填空题 1、杆件发生扭转变形时，其受力特点是 2、圆轴扭转时，其轴上所传递的功率为P，转速为n，则该轴所受的外力偶矩为 3、圆轴发生扭转变形时，各截面发生相对运动，可以推断截面上 4、圆轴扭转过程中，其横截面上的应力分布与成正比，其最大应力 发生在，最小应力发生在。 5、圆轴扭转的变形采用来表示，对于长度为L，扭矩为T的等截面圆轴其扭转角为 6、对于直径变化的圆轴（阶梯轴），或者扭矩分段变化的等截面圆轴，其相对转角等于 7、剪切的受力特点为，其产生的内力为，用符号表示 8、拉伸与压缩变形产生的应力为，其方向是，扭转变形时产生的应力为，其方向是 9、当杆件受到挤压时，当挤压面为圆柱面，取面积计算挤压面 10、对于实心圆轴，其扭转截面系数Wp= ，空心圆轴，其扭转截面系数Wp= 11、扭转变形的刚度条件为 12、以扭转为主要变形的杆件称为二、选择题 1、下列说法中正确的是（） A、圆轴扭转时，横截面上有正应力产生，其大小与截面直径有关 B、圆轴扭转时，只有切应力产生，其大小与截面直径有关 C、圆轴扭转时，既有正应力也有切应力，都与截面直径无关 D、圆轴扭转时，产生的应力为剪应力，发生在被剪面积上 2、下图所示各截面上，与扭矩正确对应的切应力分布图是（） A B C D 3、实心圆轴，两端受扭转外力偶矩作用，直径为d时，轴内的最大切应力为τ，若轴的直径为d∕2，其他条件不变，则轴内的最大切应力τ变为（） A、8τ B、1∕8τ C、16τ D、1∕16τ 4、两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ1、τ2和扭转角φ1、φ2之间的关系为（） A、τ1=τ2, φ1=φ2 B、τ1=τ2, φ1=φ2 C、τ1=τ2, φ1=φ2 D、τ1=τ2, φ1=φ2 5、阶梯圆轴的最大切应力发生在（） A 扭矩最大的截面 B 直径最小的截面 C 单位长度扭转角最大的截面 D 不能确定

剪切与扭转

第七章剪切与扭转 第一节剪切与挤压的概念 一、剪切的概念 剪切变形是杆件的基本变形之一。它是指杆件受到一对垂直于杆轴方向的大小相等、方向相反、作用线相距很近的外力作用所引起的变形，如图7-1a所示。此时，截面cd相对于ab将发生相对错动，即剪切变形。若变形过大，杆件将在两个外力作用面之间的某一截面m-m处被剪断，被剪断的截面称为剪切面，如图7-1b 所示。 (a) 受力形式（b）破坏形式 图7-1剪切变形 工程中有一些连接件，如铆钉连接中的铆钉（图7-2a）及销轴连接中的销(7-2b)等都是以剪切变形主的构件。 图7-2连接件的剪切变形 二、挤压的概念 构件在受剪切的同时，在两构件的接触面上，因互相压紧会产生局部受压，称为挤压。如图7-3所示的铆钉连接中，作用在钢板上的拉力F，通过钢板与铆钉的接触面传递给铆钉，接触面上就产生了挤压。两构件的接触面称为挤压面，作用于接触面的压力称挤压力，挤压面上的压应力称挤压应力，当挤压力过大时，孔壁边缘将受压起“皱”(图7-3a)，铆钉局部压“扁”，使圆孔变成椭圆，连接松动(图7-3b)，这就是挤压破坏。因此，连接件除剪切强度需计算外，还要进行挤压强度计算。 图7-3 挤压变形

第二节 剪切和挤压的实用计算 一、剪切的实用计算 剪切面上的内力可用截面法求得。假想将铆钉沿剪切面截开分为上下两部分，任取其中一部分为研究对象(图7-4c )，由平衡条件可知，剪切面上的内力Q 必然与外力方向相反，大小由 ∑X=0，F-Q ＝0，得 Q=F 这种平行于截面的内力Q 称为剪力。 (a ) (b ) (c ) (d ) 图7-4 剪切实用计算 与剪力Q 相应，在剪切面上有切应力τ存在(图7-4d )。切应力在剪切面上的分布情况十分复杂，工程上通常采用一种以试验及经验为基础的实用计算方法来计算，假定剪切面上的切应力τ是均匀分布的。因此， A Q =τ （7-1） 式中：A 为剪切面面积，Q 为剪切面上的剪力。 为保证构件不发生剪切破坏，就要求剪切面上的平均切应力不超过材料的许用切应力，即剪切时的强度条件为 ][ττ≤=A Q （7-2） 式中：［τ］为许用切应力。许用切应力由剪切实验测定。 各种材料的许用切应力可在有关手册中查得。 二、挤压的实用计算 挤压应力在挤压面上的分布也很复杂，如图7-5a 所示。因此也采用实用计算法，假定挤压应力均匀地分布在计算挤压面上，这样，平均挤压应力为 c c c A F =σ (7-3) 图7-5 挤压的实用计算 式中A c 为挤压面的计算面积。当接触面为平面时，接触面的面积就是计算挤压面积，当接触面为半圆柱面时，取圆柱体的直径平面作为计算挤压面面积(图7-5b )。这样计算所得的挤压应力和实际最大挤压应力值十分接近。由此可建立挤压强度条件：