浅谈构造函数法在高中数学中的应用

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浅谈构造函数法在高中数学中的应用

作者：黄紫敬

来源：《新校园·上旬刊》2014年第07期

摘要：构造函数法是指运用函数概念和性质，构造辅助函数解题的一种方法，它极具技

巧性和创造性。利用构造函数法解题的关键在于找到能反映题目特征的函数，再利用函数的性质求解问题。巧用构造法解题能打破常规，找到解决问题的捷径。本文通过例题说明构造函数法在高中数学中的应用。

关键词：构造函数；高中数学；解题

函数思想是高中数学学习中的一个核心思想。构造函数法便是利用了函数思想，将原来的数学问题转化为容易解决的函数问题。一些看似非常复杂的题目，如果能用函数的观点加以分析，常可使问题变得简单明了，从而易于解决问题。根据题意，构造函数是高中数学中一种常用的方法，它可以用来证明不等式、解不等式以及解方程等。

一、利用构造函数法证明不等式

不等式的证明对很多学生来说是难点。证明不等式除了可以用常见的比较法、反证法、分析法外，还可以用构造函数法。利用构造函数法证明不等式，关键在于找到一个能反映不等式特征的函数。

例1.求证■≤■+■

分析：仔细观察题目可以发现，题目中三个分式形状相似，由此可以联想到构造函数f （x）=■，再利用函数的单调性去证明不等式。

证明：构造函数f（x）=■，由于f（x）在（-∞，1），（-1，+∞）上均递增，再由不等式性质|a+b|≤|a|+|b|可得：

■≤■=■+■≤■+■

二、利用构造函数法解不等式

不等式的求解是高中数学中一种比较常见的题型。对于一些形式特殊的不等式，如果我们能针对其结构特点巧妙构造函数，往往会取得事半功倍的效果。

例2.求不等式x6-（x+2）>（x+2）3-x2的解集。