河南省高级中学2019-2020学年高二数学上学期第三次素质检测试题 (文)

河南省高级中学2019-2020学年高二数学上学期第三次素质

检测试题 （文）

一、单选题（每小题5分,共60分）

1．已知实数0＜a ＜1,则下列正确的是（ ）

A ．1a >a >a 2

B ．a >a 2

1a >

C ．a

2

1

a >

>a D ．1

a >a 2>a

2．命题“对x R ?∈,都有20x ≥”的否定为（ ） A ．对x R ?∈,都有20x < B ．x R ??,使得20x < C ．0x R ?∈,使得200x <

D ．0x R ?∈,使得200x ≥

3．数列()12n n ??????+????

的前n 项和为（ ）. A ．2354(1)(2)n n

n n +++ B ．2352(1)(2)n n

n n +++

C ．()1

22n n ++

D ．12n n ++

4．在平面直角坐标系xOy 中,已知动点(,)P x y 到两定点

12(4,0),(4,0)F F -的距离之和是

10,则点P 的轨迹方程是（ ）

A ．22

1259x y += B ．22

12516x y +=

C ．22

1259y x +=

D ．22

12516y x +=

5．若3()22(1)5f x x f x '=+-,则()1f =（ ） A ．6-

B ．15-

C ．15

D ．6

6．已知方程22

112x y m m +=+-表示双曲线,则m 的取值范围是（ ）

A ．1m >-

B ．2m >

C ．1m <-或2m >

D ．12m -<<

7．钝角三角形的三边长为连续自然数,则这三边长为（ ） A ．1,2,3 B ．2,3,4

C ．3,4,5

D ．4,5,6

8．抛物线28y x =-的焦点坐标是（） A ．()0,2- B ．()2,0-

C ．10,32??- ???

D ．1,032??

- ???

9．设实数x ,y 满足约束条件1201x y x y y +≥??

--≤??≤?

，

，，,则

z =-3x +y 的最小值

是（ ） A ．1

B ．5-

C ．8-

D ．10-

10．若角θ

终边上的点()A a 在抛物线21

4

y x =-的准线上,则

cos2θ=（ ）

A

． B ．12-

C ．1

2

D

．

2

11．设正实数x ,y 满足21x y +=,则

2x x y

+的最小值为（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

12．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ,若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =,则曲线C 的离心率等于（ ）

A ．12

或

32

B ． 12

或

23

C ． 12

D ．23

二、填空题（每小题5分,共20分） 13．在△ABC 中

,222a b c -=+

,则角A 等于_________.

14．已知()21n a n a n =+-.若数列{}n a 是递增数列,则实数a 的取值范围是________.

15．已知曲线3ln y x x =-,则其在点(1,3)处的切线方程是_________. 16．下列命题中：

①若a 2+b 2=2,则a +b 的最大值为2；

②当a ＞0,b ＞0时,11

4a b ++≥；

③函数2

y =

的最小值为2；

④当且仅当a ,b

均为正数时,2a b

b a +≥恒成立．

其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号） 三、解答题

17．（10分）已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为

a,b,c,bsinA

cosB .

（1）求角B 的大小； （2）若b =2,△ABC

求

a,c .

18．（12分）命题p ：方程230x x m -+=有实数解,命题q ：方程

22

192

x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆． （1） 若命题p 为真,求m 的取值范围； （2） 若命题p q ∧为真,求m 的取值范围．

19．（12分）解关于x 的不等式：()223

0()x a a x a a -++>∈R .

20．（12分）设函数

()b

f x ax x

-

=,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式； （2）证明：曲线()y f x =

上任一点处的切线与直线0x =和直线

y x =所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.

21．（12分）单调递增数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足

2

44n n S a n =+.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2n

n n

a b =,求数列{}n b 的前n 项和n

T .

22．（12分）已知抛物线2:2E y px =的焦点F 恰好是椭圆

22:22C x y +=的右焦点.

（1）求实数p 的值及抛物线E 的准线方程；

（2）过点F 任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于A 、

B 和M 、N 点,求两条弦的弦长之和AB MN

+的最小值．

数学（文科）参考答案

1．A 【解析】 【分析】

可采用作差法两两作比较 【详解】

先比较1

a 与a 的大小,可用

()()21111a a a a a a a

+---==,()0,1a ∈,10a ∴->, 10a a ->,1a a >；同理()210a a a a -=->,2a a ∴>,21

a a a

∴>> 故选：A 【点睛】

本题考查根据不等式的性质比较大小,属于基础题 2．C 【解析】

【分析】

直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可． 【详解】

解：因为全称命题的否定是特称命题,

所以命题“对x R ?∈,都有20x ≥”的否定为：0x R ?∈,使得200x <． 故选：C ． 【点睛】

本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题． 3．A 【解析】 【分析】

裂项得到()1111222n n n n ??

=-

?++??

,计算前n 项和,化简得到答案. 【详解】

()1111222n n n n ??

=- ?

++??

前n 项和为：11111111111111 (2132435)

221212n n n n ????

-+-+-++-=+-- ? ?+++???? 2354(1)(2)

n n n n +=++ 故选：A 【点睛】

本题考查了数列的前n 项和,变换()1111222n n n n ??

=- ?

++??是解题的

关键. 4．A 【解析】 【分析】

根据椭圆的定义判断出P 点的轨迹为椭圆,并由此求得椭圆方程. 【详解】

由于动点(,)P x y 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为12

10F F >

,故

P 点的轨迹为椭圆,所以210,5,4a a c ===,所以2229b a c =-=,所以

P 点的轨迹方程为

22

1259

x y +=. 故选:A. 【点睛】

本小题主要考查根据椭圆的定义求椭圆方程,属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】

对()f x 求导,在导函数里取1x =,解得'(1)f ,代入函数,再计算(1)f 【详解】

32()22(1)5'()62'(1)f x x f x f x x f '=+-?=+ '(1)62'(1)'(1)6f f f =+?=-

3()25(1)1125f x x x f -?=--=

答案为B 【点睛】

本题考查了导数的计算,属于简单题. 6．D 【解析】 【分析】

对双曲线的焦点位置进行分类讨论,得出关于m 的不等式组,解出即可. 【详解】

若方程22

112x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的双曲线,则1020m m +>??-

,解

得12m -<<；

若方程22

112x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的双曲线,则1020m m +?

,解

得m ∈?.

因此,实数m 的取值范围是()1,2-. 故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线的方程,解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论,考查分类讨论思想的应用,属于基础题. 7．B 【解析】

分析：根据题设条件将三边设为,1,2n n n ++,利用钝角三角形得到n 满足的不等式,从而得到n 的值.

详解：设三边边长分别为,1,2n n n ++,则2n +所对的角为钝角,

故()()22

212212n n n n n ?++<+??+>+??

,整理得到22301n n n ?--?, 所以2n =,故三边为2,3,4,选B.

点睛：一般地, ABC ?中,,,A B C 对应的边为,,a b c ,则（1）A 为锐角（钝角）的等价条件是222b c a +>（2

22b c a +<）.

8．C 【解析】 【分析】

先将抛物线方程化为标准方程,进而可得出焦点坐标. 【详解】

因为2

8y x =-可化为218

=-x y , 所以1

28=-p ,且焦点在y 轴负半轴,

因此焦点坐标为10,32??- ??

? 故选C

【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题,熟记抛物线的标准方程即可,属于基础题型. 9．C 【解析】 【分析】

由题意作平面区域,化z =-3x +y 为y =3x +z ,从而结合图象求最小值． 【详解】

解：由题意作实数x ,y 满足约束条件1201x y x y y +≥??

--≤??≤?

，

，，平面区域如下,

,

化z =-3x +y 为y =3x +z ,

从而可得当过点（3,1）时,有最小值, 故z =-3x +y 的最小值为-3×3+1=-8． 故选:C ． 【点睛】

本题考查了学生的作图能力及线性规划,同时考查了数形结合的思想应用． 10．C 【解析】 【分析】

求出抛物线2

14

y x =-的准线方程,然后可以求出点A 的坐标,利用三角函数的定义,可以求出角θ,利用诱导公式、特殊角的三角函数值求出cos2θ的值. 【详解】

抛物线2

14y x =-的准线方程为：1y =,

因为点()A a 在抛物线21

4

y x =-的准线上,所以1a =,所以点A 在第二象限

内,5tan ()

6

k k Z πθθπ=

=?=+∈, 所以5551

cos 2cos[2()]cos(2)cos cos(2)cos 633332

k k πππππθπππ=+=+==-==,故本题选C. 【点睛】

本题考查了三角函数定义、诱导公式、特殊角的三角函数值,求出抛物线的准线方程是解题的关键. 11．B 【解析】 【分析】

运用基本不等式,结合1的代换,即可得到所求最小值,得到答案． 【详解】

由题意,正实数x ,y 满足x +2y =1,

则2x

x y

+=24x y x

++

x y

=2+4y x

+x y

当且仅当4y

x

=x y

,即

x =12,y =1

4时取等号,

故2x x y

+的最小值为6,

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答中注意运用“1”的代换法和基本不等式,考查运算能力,属于中档题．

12．A 【解析】

试题分析：设1||4PF m =,则依题有122||3,||2F F m PF m ==,当该圆锥曲线为椭圆时,椭圆的离心率1212||231

2||||422

F F c m e a

PF PF m m ==

==++；当该

圆锥曲线为双曲线时,双曲线的离心率为

1212||2332||||422

F F c m e a PF PF m m =

===--；综上可知,选A.

考点：1.椭圆的定义；2.双曲线的定义. 13．

56

π

【解析】 【分析】

由余弦定理求得cos A ,即可得A ． 【详解】

∵2

2

2

a b c -=,

∴

222cos 22

b c a A bc +-==-,∴56

A π

=

．

故答案为：56

π．

【点睛】

本题考查余弦定理,掌握余弦定理的多种形式是解题基础． 14．2a < 【解析】 【分析】

数列{}n a 是递增数列,则{}n a 是单调递增的一次函数型的数列,建立不等式关系进行求解即可。

【详解】

()12,(2)n n a a n a n a n a =+-∴=-+,

20a ∴->,解得2a <。

故答案为：2a <。 【点睛】

本题主要考查数列单调的性质的应用,根据数列单调性建立不等式关系是解决本题的关键。 15．210x y -+= 【解析】

试题分析：由题意得,

,那么切线的斜率

,由点

斜式可得切线方程为210x y -+=.

考点：1.导数的几何意义；2.点斜式求直线方程. 16．①② 【解析】 【分析】 ①222a b +=,设2a α=

,2b α=,进而利用三角函数求解；

②③④均可利用基本不等式求解； 【详解】

解：①222a b +=,设2a α=

,2b α=,则

)2sin 2sin 2cos 4a b πααα++?

?+==≤ ??

?,所以①正确；

②当a ＞0,b ＞0

时,11

a b +ab ab

ab 2

2ab ab

?

当且仅当a =b =1时等号成立,所以②正确；

③函数2

y =

2≥2

=2,当

且仅当241x +=,即230x =-<时等号成立,故③不正确；

④当且仅当,a b 同号时,0a b >,0b

a ＞, 2a b

b a +≥=恒成立,所以,a b 可以同时为负,故④不正确；

故答案为：①② 【点睛】

考查基本不等式的“一正,二定,三相等”,及三角函数在求最值时的应用,属于中档题；

17．（1）3π

；（2）a ＝c ＝2.

【解析】 【分析】

（1）依题意,利用正弦定理,将b sin A

=cos B

转化为

sin B sin A

=

A cos

B ,即可求得角

B 的大小；

（2）由（1）知B

3π=,由S △ABC 1

2=ac sin B =可求得

ac ＝4,再

利用余弦定理可求得a +c ＝4,从而可求得a ,c ．

【详解】

（1）△ABC 中,b sin A

=

cos B , 由正弦定理得sin B sin A

=A cos B ,

∵0＜A ＜π, ∴sin A ＞0, ∴sin B

=

B ,

∴tan B

=

∵0＜B ＜π, ∴B 3

π

=

．

（2）∵S

△ABC 12

=ac sin B 4=ac =∴ac ＝4,

而b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝（a +c ）2﹣3ac , ∴（a +c ）2＝16, ∵a +c ＞0, ∴a +c ＝4, 解得a ＝c ＝2, ∴a ＝c ＝2． 【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用,求得B 3

π

=

是关键,

考查方程思想与运算能力,属于中档题． 18．（1）94

m ≤.（2）924m <≤ 【解析】 【分析】

（1）原题转化为方程230x x m -+=有实数解,23)40m ?=--≥（；（2）

p q ∧为真,即每个命题都为真,根据第一问得到参数范围,进而

得到结果. 【详解】

（1）∵230x x m -+=有实数解,∴29

3)40,4

m m （?=

--≥∴≤ （2）∵椭椭圆焦点在x 轴上,所以90

2092

m m m m ->??->??->-?

,∴11

22m << ∵p q ∧为真,119224m m ∴<<≤且,924

m ∴<≤. 【点睛】

由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断,反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真,则p 真,q 也真；若p 或q 真,则p,q 至少有一个真；若p 且q 假,则p,q 至少有一个假．（2）可把“p 或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算． 19．见试题解析. 【解析】 【分析】

由题意,将不等式()223

0x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->,分五种

情况讨论,分别求解不等式的解集,即可得到答案． 【详解】

将不等式()2230x a a x a -++>变形为()()2

0x a x a -->.

当a <0时,有a < a 2,所以不等式的解集为2{|}x x a x a 或；

当a =0时,a = a 2=0,所以不等式的解集为{|,0}x x R x ∈≠且； 当0< a <1时,有a > a 2,所以不等式的解集为2{|}x x

a x a 或；

当a =1时,a = a 2=1,所以不等式的解集为{|,1}x x R x ∈≠且；

当a >1时,有a < a 2,所以不等式的解集为2{|}x x a x a 或.

【点睛】

本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题,其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数,应先讨论参数是等于0、小于0,还是大于0,然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时,讨论判别式与0的关系,判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式. 20．（1）

2

()f x x x

=-

；（2）证明见解析,4. 【解析】 【分析】

（1）将点()()22f ,代入切线方程得出()21f =,求出函数()y f x =的

导数,由()()21

322f f ?=?

?='??

列出有关a 、b 的方程组,解出a 、b ,可得出函

数()y f x =的解析式；

（2）设点()00,x y 为函数()y f x =图象上任意一点的坐标,利用导数求出函数()y f x =在该点处的切线方程,求出切线与y 轴和直线y x =的交点坐标,再利用三角形的面积来证明结论. 【详解】

（1）将点()()22f ,的坐标代入直线3240x y --=的方程得()21f =,

()b f x ax x =-

,则()2b

f x a x

'=+,直线3240x y --=的斜率为3

2,

于是()()3242

221

2b f a b f a ?=+=???=-'

?=??

,解得12a b =??=?,故()2f x x x =-； （2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点,由（1）知

()2

f x x x =-

, ()2

21f x x '∴=+

,又

()000

2f x x x =-

,

所以,曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ????

--=+- ? ?????,

即20024

1y x x x

??=+- ??

?,

令0x =,得0

4

y x =-

,从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ??

-

??

?

, 联立20024

1y x y x x x =??

???=+- ?????

,解得02y x x ==,

从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .

所以,曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三

角形的面积为00

14

242S x x =?-?=

故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4. 【点睛】

本题考查导数的几何意义,考查三角形的面积的计算,解题时要将切线方程求出来,并求出交点坐标,考查计算能力,属于中等题.

21．（1）a ｎ＝2n ；（2）4-（n +2）（）n-1 【解析】 试题分析：

（1）考察11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?的公式得到112a S ==,22144n n n a a a -=-+,

整理得到12n n a a --=,为等差数列,求通项；（2）1

22n n n n a n

b -=

=,利用错位相减法的基本方法,12222n n n n T T +-=-,从而解出1

242n n n T -+=-。 试题解析： （1）

244n n S a n =+,()21141n n S a n --∴=+-,

当1n =时,112a S ==；

当2n ≥时,22114444n n n n n a S S a a --=-=-+,即()2

212n n a a --=,又{}n a 单调

递增,

()12,22n n n a a a n n -∴-=∴=≥ ,又12a =也满足,

2n a n ∴=

（2）1

22n n n

n a

n

b -==

, 1211211222n n n n n

T ---∴=++++,①

121112122222

n n n n n

T --=++++,② ②-①得：

121111122122222

22222n n n n n n

n n n T -+=++++

-=--=-, 12

42

n n n T -+∴=-

点睛：本题考察数列的基本方法,为基础题型。（1）需要掌握

11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?公式的应用,同时学会式子的化简；（2）需要学

生对错位相减法非常熟悉,属于错位相减法的基本解题套路。 22．（1）2p =,1x =-；（2）最小值为16 【解析】 【分析】

（1）根据椭圆方程C:2222x y +=求出右焦点()1,0,即为抛物线的焦点,根据抛物线的焦点坐标与P 的关系式即可求出P ,最后得抛物线的准线方程2

P

x =-

. （2）根据题意设AB 、 MN 的直线方程,将直线AB 代入抛物线中,消y 得()

22

22220k

x k x k -++=,根据韦达韦达定理求得AB

,同

理求得MN ,将AB +MN 用基本不等式不等式即可求出最小值. 【详解】

（1）由已知椭圆C 整理得

2

212

x y +

=1,1a b c ?===,

所以焦点F 的坐标为()1,0, 所以2p = 所以抛物线E 的准线方程为：1x =- （2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零 设直线AB 的斜率为k ,方程为()1y k x =-, 则MN 的斜率为1k -

,方程为()1

1y x k

=-- 设()11,A x y 、()22,B x y ,由()214y k x y x ?=-?=?

得()2222

220k x k x k -++=

因为>0?,所以122

42x x k +=+,121=x x ,

所以

122

4

24AB x x k

=++=+同理得

2

2

44441MN k k =+

=+??- ???

,