二项式定理.版块一.二项展开式1求展开式中的指定项.学生版
1．二项式定理
⑴二项式定理
()
()011222...n
n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N
这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项
011222...n n n n n
n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n
a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项
式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式()n
a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．
②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意
①通项1r n r r
r n
T C a b -+=是()n
a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n
b a +的展开式的第1r +项r n r r
n
C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．
③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是()n
a b +这个标准形式下而言的，如()n
a b -的二项展开式的通项公式是()11r
r n r r
r n
T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r
r n
T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r
r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
知识内容
求展开式中的指定项
⑥通项是1r T +=r n r r
n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：
()
n
a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n
n n n n
C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．
当6n =时，()f r 的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式m n m
n n
C C -=得到． ②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01
211,,112
n n n n n n C C C -===
?， ()()3
12123
n n n n C --=
??，．．．，
()()()
()
112...2123....1k n n n n n k C k ----+=
????-，()()()()
()12...21123...1k
n n n n n k n k C k k
---+-+=
???-，．．．，
1n
n C =．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n n
C ．
当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1
122n n n
n
C
C
-+=．
③二项式系数的和为2n ，即012......2r n
n n n n n n C C C C C ++++++=．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
【例1】 6
32x ?
- ?
的展开式中的第四项是 ．
【例2】 6
y x ?? 的展开式中，3
x 的系数等于_ ___．
【例3】 ((3
5
3
11x
x +的展开式中x 的系数是
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
【例4】 若9
a x ?
?- ?的展开式中3x 的系数是84-，则a =．
典例分析
【例5】 5
a x x ?
?+ ??
?()x ∈R 展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于
A ．1-
B ．
1
2
C ．1
D ．2
【例6】 若2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++ ，则2a 的值是（ ）
A ．84
B ．84-
C ．280
D ．280-
【例7】 8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）
A ．56
B ．56-
C ．28
D ．28-
【例8】 若()5
54541031x a x a x a x a +=++???++，则2a 的值为（ ）
A ．270
B ．2702x
C ． 90
D ．902x
【例9】 64(1(1+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．
【例10】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．
【例11】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．
【例12】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．
【例13】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．
【例14】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）
【例15】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）
【例16】 29
1()2x x
-
展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）
．
【例17】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）
A ．?14
B ．14
C ．?28
D ．28
【例18】在(1)(2)(3)(4)(5)
-----的展开式中，含4x的项的系数是（）
x x x x x
A．15
-D．274
-B．85 C．120
【例19】在56789
-+-+-+-+-的展开式中，含3x项的系数是（用数字作答）
x x x x x
(1)(1)(1)(1)(1)
【例20】求26
+-展开式中5x的系数．
x x
(1)
【例21】64
(1(1+的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．
【例22】在25
++的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．
(42)
x x
【例23】在25
++的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．
(42)
x x
【例24】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．
【例25】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．
【例26】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）
【例27】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）
【例28】 29
1()2x x
-
展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）
．
【例29】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）
A ．?14
B ．14
C ．?28
D ．28
【例30】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）
（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274
【例31】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）
【例32】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．
【例33】 在二项式5
21x x ?
?- ??
?的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10- B ．10 C ．5- D ．5
【例34】 34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______．
【例35】 411(1)x x ??++ ??
?的展开中含2
x 的项的系数为（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．12
【例36】 ((6
4
11+的展开式中x 的系数是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ． 4
【例37】 求()()310
11x x -+展开式中5x 的系数；
【例38】 在二项式5
21x x ?
?- ??
?的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）
A ．10-
B ．10
C ．5-
D ．5
【例39】 6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ）
A ．20
B ．40
C ．80
D ．160
【例40】 在4(1+的展开式中，x 的系数为 （用数字作答）
【例41】 在((
3
3
3(1)11x ++++的展开式中，x 的系数为 _____ （用数字作答）
【例42】 9
1x x ??- ??
?的二项展开式中含3
x 的项的系数为（ ） A ．36-
B ．84-
C ．36
D ．84
【例43】 若261()x ax +
的二项展开式中3x 的系数为5
,2
则a = ．
（用数字作答）
【例44】 设常数0a >，24(ax
+
展开式中3x 的系数为
3
2
，则a ＝_____．
【例45】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．
【例46】 已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45
()4
x +的展开式中3x 的系数相等
cos θ= ．
【例47】 10
的二项展开式的第6项的系数为（ ）
A ．210-
B ．252-
C ．210
D ．252
【例48】 若261()x ax +
的二项展开式中3x 的系数为5
,2
则a =__________．
（用数字作答）
【例49】 若21()n x m ++与2(1)(*0)n mx n m +∈≠N ，的展开式中含n x 的系数相等，则实数m 的取值范围是
（ ）
A ．12(]23，
B ．2[1)3
， C ．(0)-∞，
D ．(0)+∞，
【例50】 已知()π
sin cos a x x dx =+?
，则二项式6
?
?
展开式中含2x 项的系数是 ．
【例51】 在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么
_______a =．
【例52】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．
【例53】 4(的展开式中33x y 的系数为 ．
【例54】 若(1)n x +的展开式中，3x 的系数是x 的系数的7倍，求n ；
【例55】 10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．
【例56】 已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．
【例57】 二项式41n
x ?
?+ ??
?的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．
【例58】 求9
1x x ?
?- ??
?的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．
【例59】 若12n
x x ?
?+ ??
?的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．
【例60】 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1
{
}n
a 的前2009项和为______．
【例61】 在7(1)ax +(1)a >的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，求a 的值．
【例62】 已知()5
2551110ax x bx a x +=++++ ，则b = ．
【例63】 在()1n
x +展开式中，3x 与2x 的系数分别为a b ，，如果
3a
b =，那么b 的值为（ ） A ．70 B ．60 C ．55
D ．40
【例64】 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80-， 则实数a 的值是_______．
【例65】 设常数0a >，4
2ax
?+ ?
展开式中3
x 的系数为32，则a = ．
【例66】 若12n
x x ?
?- ??
?展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5-，则n 等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【例67】 设n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ??
????
的前n 项和为_____
【例68】 已知12n
x x ?
?+ ??
?展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．
【例69】 在220(1)x -的展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则第4r 项为______
【例70】 若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．
【例71】 已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间
项是410+x 的值．
【例72】 设数列{}n a 是等比数列，311232C m
m m a +-=Α，公比q 是4
2
1()4x x +
的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；
⑵若1212C C C n n n n n n A S S S =+++ 用n x ，表示n A
高中数学讲义 求二项式的展开项
微专题82 求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式() ()n a b n N * +∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ，从恒等式中我们可以发 现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C L 称为二项式系数，二项式系数的和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意 味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。 3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数 注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的 r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。而系数是指展开并化简后最后项前面 的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：()5 21x +展开式中第三项为()3 2 2 3521T C x =??，其中2 5C 为该项的二项式系数，而()3 2 23 352180T C x x =??= 化简后的结果80为该项的系数
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项展开式,求展开式中的指定项
1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 ()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数， 式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负． 知识内容 求展开式中的指定项
④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值． 2．二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形： 对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质： () n a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自 变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图： 这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
二项式定理(通项公式).
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=， 即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f
求二项式的展开项
求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们 可以发现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的 和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。
二项式定理公开课教案
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
二项式定理
二项式定理 性质：说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下： 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.
三、教法分析： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探 （1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？
二项式定理中展开式系数的六种类型
二项式定理中展开式系数的六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）
二项式定理中展开式系数的六种类型
二项式定理六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一
课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3）
《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感． 三、学情分析 １．有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助． ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程． 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学． 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 五、教学过程 （一）创设情境 引入课题 引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？
二项式定理中展开式系数的六种常见类型--学生版
二项式定理中展开式系数的六种常见类型 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10 三 、 ),()()(*∈++N m n d c b a m n 型 例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28 四 、)()(*∈++N n c b a n 型 例7．5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型 例8．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 。 例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3 的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
题型06 二项展开式的参数求值、常数项、条件项、分配系数法(解析版)
【秒杀题型一】：确定二项展开式中的参数 『秒杀策略』：根据条件列出等式，解得所要求的参数。 秒杀公式：二项展开式的各种题型关键是利用通项求．．．．．．．．．．．．．．．．．．r ，．r =．外层指数差．．．．．/．内层指数差。．．．．．． ()N n m bx ax +展开式中求．．．．．t x 的系数，则有．．．．．．n m t Nm r --=。． 1.(2014年新课标全国卷II13)10)(a x +的展开式中，7x 的系数为15，则=a 。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得2 1=a 。 2.(高考题)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数a =_______。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得2=a 。 3.(高考题)设常数a R ∈，若52a x x ??+ ?? ?的二项展开式中7x 项的系数为10-，则=a 。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得2-=a 。 4.(2017年山东卷)已知()n x 31+的展开式中含有2 x 项的系数是54，则n = 。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得4=n 。 【秒杀题型二】：二项展开式中的常数项 『秒杀策略』：写出通项，令指数为零，确定r ，代入。 1.(2013年天津卷 )6 x ?- ? 展开式中的常数项为 。 【解析】：r r r r r r x C x x C T 236621661---+=???? ??-=，4=r ，常数项为15。 2.(2013年辽宁卷)使得n x x x )1 3(+)(+∈N n 的展开式中含有常数项最小的n 为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】：选B 。 3.(高考题)在6)2(x x -的二项展开式中，常数项等于 。
全国优质课-二项式定理
1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析 “二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。 教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。 本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 二、教学目标设置 1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。 2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。 三、学情分析 学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n ( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a) b 一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。 但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。 根据以上学情，制定如下教学难点： 教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 四、数学情境与学习问题的设置 根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学
二项式定理中的特殊项问题
《二项式定理中的特殊项问题》导学案 学习目标： 1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。 学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。 学习过程： 学习提纲： n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是二项式展开式定理， 主要研究了以下几个方面的问题： （1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。 1．求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。 变式1：9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。 2． 求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3． 求11 的展开式中的有理项。 4． 已知22)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。 （1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32 x 的项； （3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。 5． 若82 80128()x a a a x a x a x -=++++g g g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。 当堂检测：
1．（2011 陕西高考）6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（ ） .20A - .15B - .15C .20D 2．若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。 3．若(0)x ∈+∞，，则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。 4．已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 。 5．若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。 作业：课本 40P A 组1～9题；B 组1～5题 附加题：若4 1()2n x x +展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项． 补充作业： 1．若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求 （1）1237a a a a ++++g g g ； （2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a +++++L 2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 3．已知2()n i x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式 中系数为实数且最大的项为（ ） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第5项或第6项 4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．
全国优质课-二项式定理(一)
《二项式定理》教学设计 一、教材分析 本概念选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修（1）》第一章第三节第一小节.第一节《计数原理》、第二节《排列组合》的学习为研究二项式定理奠定了基础，一方面是因为它的证明要用到计数原理，另一方面可以把它作为计数原理的一个应用，同时也为学习随机变量及其分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，二项式定理对本章知识与第二章知识的学习有承上启下的作用． 本节课要在用计数原理解决预设问题的基础上，得出二项式定理的猜想，并用计数原理给出证明． 二、学情分析 学生在此节内容之前已经学习了两个计数原理与排列组合问题，并能运用它们解决一些计数问题了；同时，在初中已经熟练掌握了2 ()a b +的展开公式，也了解了3 ()a b +的展开公式．但是，学生对于计数原理与这些多项式乘法运算公式之间的联系是陌生的，所以对于学生来说，如何建立它们之间的联系并猜想得出二项式定理是本节课的一个重点，并用计数原理证明二项式定理是本节课的一个难点． 三、教法分析 根据“最近发展区”的教学理论，把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中产生新的知识经验，需要教师精心设计问题，创新问题情境，贯穿启发式教学原则，调控问题的解决过程；采用“多媒体引导点拔”的教学方法以多媒体演示为载体，以“联想类比引导思考”为核心，设计课件与板书展示，引导学生积极思考探索，逐步达到即定的教学目标． 四、学法分析 ”建构主义”强调，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，因教必须以学为主立足点，根据学生的思维特点，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建，在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移归纳分析，对照学习；学生在教师营造的”可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律，主动发现，主动发展． 五、教学手段 制作PPT 与Flash 动画教学课件，利用电脑等多媒体教学设备展现二项式定理的发现与证明过程，激发学生的学习兴趣，提高学习的效率．利用自制教具辅助引入问题的解决，增强数学活动的直观性。 六、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： (1)通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． (2)引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依． 3.情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．通过二项式定理的发现、推广、证明及杨辉三角历史的了解，进一步激发学生的学习兴趣，培养对科学的探究与钻研精神，渗透爱国主义教育。 4.活动体验： 通过教师提出问题并引导学生主动探究、解决问题的过程，让学生在教学活动中主动发现、大胆猜想、主动发展，达到提高学习能力与渗透情感教育的目的． 七、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 八、教学过程
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
十秒钟求二项展开式常数项
十秒钟求二项展开式常数项 Sunshine33 让人意想不到的解法，直接写出二项展开式的常数项！ 1. 求315 2 1()x x + 展开式中的常数项. 一般解法：3154551151521()(),45509,r r r r r r T C x C x r r x --+==-=?= 所以9 15C 即为答案. ◆(速解法) 只看x 的次数（就是看x 是几次方，次数的正负我们不管） x 的次数之比3:2→（调换位置）2:3:5 (2+3=5,所以写5,5的下方写上15) （根据对应比例相等写上） 6:9：15 所以答案是 615C （变式）求315 2()b ax x + 展开式中的常数项. 解：a 是第一个的系数，b 是第二个的系数，答案为6 15 C 69a b 2. 求20 ( 展开式中的常数项. 解：11:2:33:2:512:8:2032=→?，故答案为12 20 C 128a b 3. 1 )n x 展开式中存在常数项，n 可能是（ ） A . 6 B. 7 C. 8 D. 9 解：1 :11:33:1:43=→，n 一定是4的倍数，选择C. 4. 求4921 ()x x +展开式中的常数项. 解：4:2=2:1 1:2:33:6:9→?，故答案为39C
◆ 高考题 1.（2008山东，理）12 (x 展开式中的常数项为 B.1320 一般解法：364123 112 12()((1)r r r r r r r T C x C x --+==-,由36409,3r r -=?= 993 1212(1)220C C ∴-=-=- 故选C. ◆（速解）11:3:11:3:43:9:123 =→?，故答案为3 3912 1(1)220C -=-g g 2.(2008湖北，文2) 31021 (2)2x x -的展开式中常数项是 B.1052 C.1 4 解：3:22:3:54:6:10→?，故答案为4 461011052()22 C -= g g , 选B 3.（2008江西，文8） 10101 (1)(1)x x ++展开式中的常数项为 A ．1 B ．12 10()C C ．120C D ．1020C 解：10101020 11(1)(1)(2)x x x x ++=++=, 11 :1:11:1:210:10:2022=→?,故答案是D 4.（2007浙江，文6）91 )x 的展开式中常数项是 .36 C 解：1 :11:22:1:36:3:92=→?,故答案为66391(1)84C -=-g g ,选C
求二项展开式特定项的简便方法
介绍一个求二项展开式特定项的简便方法 求二项展开式的特定项是高考数学试题中的常见题型，由二项展开式的通项公式，有 (a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项为T r ＋1=C r n a n － r b r ． ① 若令a =1，则得(1＋b )n 的展开式的第r ＋1项为T r ＋1=C r n b r ． ② 同①式相比，显然②式更为简单，于是我们得到以下求二项展开式特定项的简便方法： 在求(a ＋b )n 的展开式的特定项时，我们可以将二项式(a +b )n 中的前一项a (或b )从括号 内提出来，变为a n (1+b a )n ，从运算简化． 例1 (1992?全国文) ( x 2－3x 8的展开式中常数项是 ( ) (A) －28 (B) －7 (C) 7 (D) 28 解：( x 2－3x )8＝2－8x 8(1－243x -)8，依题意，令－43r ＝－8，得r ＝6．故所求的常数项为28·C 68·26＝14 C 28＝7，选(C)． 例2 (2004·江苏卷) (2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是 ( ) (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 48 解：(2x ＋x )4＝x 2(1+2x )4， 依题意，只要求展开式(1+2x )4的x 项的系数，显然，系数为C 24·22，即24，选(C)． 例3 (2004·浙江卷)若n x x )2 (3+展开式中存在常数项，则n 的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 解：n x x )2 (3+＝2n x (1+25 6x -)n ，则后一个展开式第r +1项的x 的指数为－5 6r ，依题意，n 2－56r ＝0，所以n ＝10r 3 ．因为n 是正整数，所以r ＝3k (k ＝1，2，3···)． 选(C)． 例5(1993?全国) 由 (3x +32)100展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有( ) (A) 50项 (B) 17项 (C) 16项 (D) 15项 解：(3+32)100＝350(1+21/331/2)100， 依题意，只须32r 与23r 同时为整数，且0≤r ≤100． ∴r 为6的倍数．由r 为6的倍数，[100÷6]＝16 及 r ＝0．所以系数为有理数的共有17项，选(B)．