概率统计考试试卷及答案
概率统计考试试卷及答案
一、 填空题（每小题4分，共20分）
1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P .
2.
设随机变量X 的分布函数
)
(,)(+∞<<-∞+=
-x e
A x F x
1,则
___=A
3. 已知,)|(,)|(,)(21
3141===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4.
已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数
___)(=y f Y
5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则
____)(=-Y X D 42
二、 计算下列各题(每小题8分，共40分）
1. 设随机变量X 的概率密度为??
???≤>=-000
x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2.
两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，
求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3.
设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服
从均匀分布，Y 的概率密度为??
???≤>=-000
212y y e y f y
Y ,,)( 求含有a 的
二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4.
假设91X X ,, 是来自总体),(~220N X 的简单随机样本，求系数
a,b,c 使
298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2
χ分布，并求其自由度。 5.
某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态
分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值
μ的置信区间
(9610502.,./==ααz )
三、（14分）设X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为
???≤≤=其他 ,,)(0101x x f X ，??
???≤>=-000
y y e y f y Y ,,)( 求X+Y 的概率密度
四、（14
分）设
??
???≤<-=其它,),()(~0063θ
θθx x x
x f X ,且n X X ,, 1是总体
X 的简单随机样本，求 (1)θ的矩估计量θ
，(2) )(θ
D 五、(12分)据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。(7881080.).(=Φ)
普通本科概率统计期末考试试卷答案：
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、243e -；
2、 1；
3、13；
4、/2
1,020,
0y e y y -?>???≤?； 5、2
20σ
二、计算下列各题（每小题8分，共40分） 1
、解：
2()EY xf x dx +∞
-∞
=? 。。。。。。。。。。
。。。。。。。。2分
22x xe dx +∞
-==? 。。。。。。。。。。。。。。
。。。。4分
2
2
()()()D Y E Y E Y =-
224()x x e dx E Y +∞
--∞
=-? 。。。。。。。。。。。。。。。。
。6分
4= 。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 2
、
解
：
1
2344
C P ?=? 。
。。。。。。。。。。。。。。。4分
3
8
= 。
。。。。。。。。。。。。。。。8分
3、解：有题意知，X 的概率密度为
1,01
()0,X x f x <
?其他
。。。。。。。。。。。。。。。2分 于是(,)X Y 的联合概率密度为
12
1,01,0
(,)()()2
0,y X Y e x y f x y f x f y -?<<>?=?=???
其他 。。。。。。。。。。4分 于是原方程有实根的概率即为
2
{440}P X Y -≥2
{}P Y X =≤
(,)G
f x y dxdy =??
2
1
1
20
12
x y dx e dy -=??
。。。。。。。。。。。。。。6分
1(1)0.5)=Φ- 。。。。。。。。。
。。。。8分
4、解：因为91,,X X 为来自于总体X ～N (0,22)的简单样本，故有
212~(0,22)X X N +?，2345~(0,32)X X X N ++?，
25678~(0,42)X X X X N +++? 。。。。。。。。
。。2分 于是有
~(0,1)N
~(0,1)N ，
~(0,1)
N 。。。
。。。。4分
22
22
~(3)
χ++ 。。6分 所
以
1
8
a =
，
112
b =
，
1
16
c =
。。。。。。8分
5、解：因2
σ已知，统计量取为X ，显然
~(0,1)
N 。。。。。2分
由标准分布的上α分位点的定义，有
/21P z αα??
<=-???
即
/2/21P X z X z ααμα??
<<+=-????
。
。。。。4分 于是μ的置信区间为
/2/2(,)X z X z αα-
又
/20.05, 1.96,6,z n αασ====1
(14.615.114.914.815.215.1)14.956
X =+++++= 。。。
。6分 所
以
μ
的置信区间 [14.75,
15.15] 。。。。。8分
三、解：因,X Y 相互独立，故
,01,0
(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -?≤≤>=?=?
?其他
。。。。。。。。。。4分 于是有
(){}(,)Z G
F z P X Y Z f x y dxdy =+≤=?? 。
。。。。。。。。。。。。6分 当
z ≤时，
()0Z F z =； .。。。。。
。。。。。。。8分 当
01
z <<时，
()1z
z x
y z Z F z dx e dy z e ---==+-??
； 。。。。。。。。。。10分
当
1
z ≥时，
1
10
()1z x
y z z Z F z dx e dy e e ----==+-??
； 。。。。。。。。。。12分
所以
1,1
()1,010,z z z Z e e z f z e z ---?-≥?
=-<
其他 。。。。。。。。。。14分
四、解：（1）因3
6()()()x
E X xf x dx x x dx θ
θθ+∞
-∞
==?
-?
? 。
。。。。。。。。。2分
1
2
θ= 。。。。。。。。。4分
所
以
1
1
?22n
i i X X n θ===?∑ 。。。。。。。。7分
（
2
）
222211
44?()()[()()]n n
i i i i i D D X E X E X n n θ===?=?-∑∑ 。。。。。。。9分
22230461(())4
x x x dx n θθθθ=
?--? 。。。。。。。11分 2
2
5n
θ=
n
52
θ 。。。。。。。14分
五、解：记X 为元件寿命，由题意知：~()X e θ，于是有 ()E X θ
=，
2()D X θ= 。。。。。。。。。。2分
又
()100
E X =，故
100θ=。 。。。。。。。。。。4分
由独立同分布的中心极限定理知：
16
16
16
()
16100(0,1)~
i
i i
X
E X X
N --?=
∑∑∑近似地
。
。。。。。。。。。。6分 于是有 16
1
{
1920}i
i P X
=>∑
16
16100
19201600
}400
i
X
P -?-=>
∑ 。。。。。。。。。。。。8
分
16
1
1600
1{0.8}400
i
i X
P =-=-≤∑ 。。。。。。。。。
。。10分
1(0.8)0.2119=-Φ= 。。。。。。。。。。。12分