洛尔定理
洛尔定理及其应用
[摘要]：本文通过洛尔定理在微分中值定理和数学分析中的作用与地位,来分析研究洛尔定理的内容,几何意义
和应用,重点研究了用洛尔定理解决关于零点存在性和证明中值公式的问题.
[关键词]：洛尔定理,代数方程,微分中值定理
1引言
洛尔定理是拉格朗日中值定理的特例,拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例.因此,在柯西中值定理中令()g x x =,即得到拉格朗日中值定理;在拉格朗之中值定理中增加条件()()f a f b =,即得到洛尔定理.
洛尔定理的几何意义是:满足定理条件的函数()y f x =在(),a b 内的曲线上至少存在一条水平切线.拉格朗日中值定理的几何意义是:满足定理条件的函数()y f x =在(),a b 内的曲线上至少存在一点()()
,f ξξ,曲线在该点的切线平行曲线两端点的连线.柯西中值定理的几何意义是:满足定理条件的由(),()u g x v f x ==所确定的曲线上至少有一点,曲线的切线平行两端点连线.洛尔定理满足()()f a f b =,即两端点连线是水平的,所以三个中值定理几何意义有一个共同点:满足定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行曲线在区间上两端点的连线.
2 Rolle 定理
2.1 Rolle 定理
Rolle 定理告诉我们:若函数f 在闭区间],[b a 上连续;在开区间),(b a 内可导;()()f a f b =,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得o f =)('ξ. 2.2几何意义
Rolle 定理的几何意义是说:在闭区间[],a b 上由定义的连续函数)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[],a b 的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则曲线上至少有一点,过该点的切线平行于x 轴.
如图所示
洛尔定理几何意义描述
2.3 Rolle 定理的证明
证明 因为f 在[,]a b 上连续,所以有最大值与最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况来讨论:
(1)若m M =,则f 在[,]a b 上必为常数,从而结论显然成立.
(2)若m M <,则因()()f a f b =,使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(,)a b 没某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点.有条件知f 在点ξ处可导,故由费马定理推知
'()0f ξ=
2.4 Rolle 定理的推广
设()f x 在区间(,)a b 内可导,a 与b 为有限或无限,且
()()00f a f b l +=-=（有限或无限）
则存在ξ(),a b ∈,使得'()0f ξ=
证明 若l 为有限数,(),x a b ?∈有()f x l =,则结论成立,否则,()0,x a b ?∈,使0()f x l ≠,不妨假设0(),f x l <于是方程
01
()[()]2
f x f x l =+
在(,)a b 内至少有两根12x x <,对f 在12[,]x x 上用Rolle 定理,使得所证.
若l =+∞时,方程
()12a b f x f +??
=+ ??
?
在(,)a b 内至少有两个根12x x <,对f 在12[,]x x 上用Rolle 定理即可.
若l =-∞时,同理得证.
3 Rolle 定理应用
3.1 Rolle 定理的验证
例1验证罗尔定理对函数lnsin y x =在区间[]/6,5/6ππ上的正确性. 解 由lnsin y x =在定义域()()221,0,1,n x n n
ππ<<+=± 上的连续性知,函数在[]/6,5/6
π
π上连续. 又cot y x '=在()/6,5/6ππ内处处存在.
()()/65/6ln2.f f ππ==-
所以函数lnsin y x =在[]/6,5/6ππ上满足罗尔定理条件.
因为cot 0y x '==在()/6,5/6ππ内有解2
x π
=,所以取0ξ=,即得()0f ξ'=
3.2 Rolle 定理推广的应用
例2 设()f x 在[0,)+∞上可导,且()
0f x ≤≤.试证明存在一点0ξ>,使得
()
221f ξξ'=
+证明 令()()
g x f x =-,则g 在[0,)+∞可导,
且
()()00g g ==+∞
由Rolle 定理的推广可知,0ξ?>,使()0g ξ'=,即
()
221f ξξ'=
+3.3 关于零值点（根）的存在性
要点 Rolle 定理告诉我们,若()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,()()f a f b =,则存在
(),a b ξ∈,使得'()0f ξ=,换句话说,在函数的等值点之间,有导函数的零点（根）.因此,证明导函数有根,只要证明函数本身有等值点.
例3证明方程4
5410x x -+=在0与1之间至少有一个实根.
证明 不难发现方程左端4
541x x -+是函数52()2f x x x x =-+的导数,
4'()541f x x x =-+
函数52()2f x x x x =-+在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
(0)(1)0f f ==,
由洛尔定理可知,在0与1之间至少有一点c ,使'()0f c =,即
45410x x -+=,
也就是说方程
45410x x -+=
在0与1之间至少有一个实根.
例4 证明若n 次多项式()P x 有1n +个零点（即方程()0P x =的实根）,则()0P x ≡. 证明 设
()101n n n P x a x a x a -=+++ .
用反证法 假设()0P x ≠,则n 次多项式()P x 的n
x 的系数00a ≠. 分两种情况证明
1. 设()P x 有1n +个不同的零点:01,,,n x x x , 即
()0i P x =,0,1,,i n =
不妨设01n x x x << .根据洛尔定理,
()()120111n n n P x na x n a x a ---'=+-++
有n 个不同的零点,且()P x '的零点都在()P x 相邻的两个零点之间.同样的方法,一直作下去,则
()()()101121!n P x n n a x n a -=-+-
有两个不同的零点1ξ和2ξ.再根据洛尔定理,()
()0!n P x n a =（非零常数）在1ξ和2ξ之间有一零点,这是不可能的,矛盾.于是,()0P x ≡.
2．设()P x 的1n +个零点中有一个0x 是k 重零点（1k n ≤+）:0121,,,,n k x x x x -+ ,即
()0i P x =,0,1,2,,1i n k =-+ .
此时,()P x 可表为
()()()00k
P x a x x Q x =-,
其中()Q x 是 n k -次多项式,且()00Q x ≠.有
()()
()()()
1
0000k k
P x ka x x Q x a x x Q x -''=-+-
()
()()()1
000
k a x x k Q x x
x Q x
-'=-+-???? ()
()1
001k a x x Q x -=-,
其中
()()()()10Q x kQ x x x Q x '=+-
是n k -次多项式（因为()P x '是1n -次多项式）,且()100Q x ≠.显然,0x 是()P x '的1k -重零
点,根据洛尔定理,()P x '仍有2n k -+个不同的零点.同样的方法,一直作下去,0x 是()
(
)1k P x -的一个重零点（即零点）.根据洛尔定理,()
()1k P x -仍有2n k -+个不同的零点.由上述第一种情况
（1k n =+）,()
()0!n P x n a =（非零常数）有一个零点,这是不可能的,矛盾.于是,()0P x ≡.
例5设函数()f x 在[],a b 上二阶可导且()0f x ≥,()0f x ''≥,[],x a b ?∈,又()f x 在[][],,a b αβ??上恒为0,证明()f x 在[],a b 上至多只有一个零点.
证 用反证法.倘若[]12,,x x a b ?∈（不妨设12x x <）,使
()()120f x f x ==.
又洛尔中值定理可知()12,x x ξ?∈使()0f ξ'=,现因()0f x ''≥,故()f x '在[],a b 上递增.于是,当x ξ<时()0f x '≤,下面分情况讨论
a 若对()1x x x ξ?<<恒有()0f x '=,因()[],f x C a
b '∈,故有
()()1
1lim 0x x f x f x +→''==
于是()f x 在[]1,x ξ上取常值.而()10f x =,故()0f x =,[]1,x x ξ?∈,这与题设条件矛盾. b 若()1x x x ξ''?<<使()0f x ''<,则在[]1,x x '上有
()()10f x f x ''≤<
于是()f x 在[]1,x x '上严格递减.由反证法,假设()10f x =,从而对()1x x x x '?<≤均有
()0f x <,这又与题设条件矛.
综上所述,()f x 在[],a b 上至多只有一个零点.
例6证明 方程3
30x x c -+=在区间()0,1内没有两个不同的实根. 证 用反证法.假设方程
()330f x x x c =-+=
有两个不同的实根()12,0,1x x ∈,不妨设12x x <.显然,函数
()33f x x x c =-+
在[]12,x x 满足洛尔定理的条件.于是,()12,x x ξ?∈,使
()()()2333110f ξξξξ'=-=+-=.
显然,这样的()[]12,0,1x x ξ∈?是不存在的.矛盾,即方程
330x x c -+=
在区间()0,1内没有两个不同的实根.
例7证明 设n 为偶数,且0a ≠,证明()n
n n
x a x a +=+成立,当且仅当0x =时成立.
证明 假设00x ≠（且不妨设00x >）,使得
()n
n n x a x a +=+
成立,在闭区间[]00,x 上研究函数
()()n
n n f x x a x a =+-+
由于()f x 是1n -次多项式,所以()f x 在[]00,x 上连续,且[]0,x x 内可导.因为
()000n n f a a =+-=
()()0000n
n n f x x a x a =+-+=（假设知）
所以()f x 满足Rolle 定理的条件.于是,()00,x 内至少存在一点ξ,使得
()()
1
10n n f n n a ξξξ--'=-+=,
即
()
1
1n n n n a ξξ--=+.
解得a ξξ=+,可知0a =,这个与条件0a ≠矛盾.因此,假设00x ≠时结论不成立.故当且仅当
0x =时,()n
n n x a x a +=+（n 为偶数,0a ≠）成立. 3.4Rolle 定理在导函数中的应用
例8设函数f 在[],a b 上可导,且()()f a f b ''=,则(),c a b ?∈,使()()()
f c f a f c c a
-'=-
证明 用分析法,要证命题成立,就要证明方程
()()()()0x a f x f x f a '---=????
在(),a b 内有解,考虑到
()()()()()()()2
x a f x f x f a f x f a x a x a ''---??-????=??--??
,
令
()()()
(),,,,f x f a a x b g x x a
f a x a -?<≤?
=-??'=?
则g 在[],a b 连续,在(),a b 可导,()()()
f b f a
g b b a
-=-,当()()g a g b =时,
应用Rolle 定理便可获证.
当()()g a g b ≠时,不妨说()()g a g b <,于是
()()()()1f b f a g b f b b a b a -??''=
-??--??
()()1
0g a g b b a =
-
?- 可知g 在[],a b 上的最大值点(),c a b ∈,也是极大值点,
由Fermat 引理,()0g c '=,从而亦可得证.
例9 设函数f 在[],a b 上二次可导,且()()0f a f b ==,()()0f a f b ''>,则(),a b ξ?∈,使()()f f ξξ''=.
证明 不妨设()0f a '>,()0f b '>,则()f x 在x a =与x b =均单调增,考虑到()()0f a f b ==,所以()12,,x x a b ?∈使()()120,0f x f x >>,从而(),c a b ?∈,使()0f c =,令()()x g x e f x -=,则
()()()0g a g c g b ===
由Rolle 定理,()()12,,,a c c b ξξ?∈∈,使
()()120g g ξξ''==
即
()()()()12
11220e f f e f f ξξξξξξ--''-==-????????,
亦即
()()()()11220f f f f ξξξξ''-==-
再令()()()x
x e f x f x ?'=-????,则
()()120?ξ?ξ==
再用Rolle 定理,()()12,,a b ξξξ?∈?,使()0?ξ'=, 即
()()0e f f ξξξ''-=????
得
()()f f ξξ''=.
综上,便得所征.
3.5用Rolle 定理证明中值公式.
要点 高燥不同的辅助函数，应用Rolle 定理,可以导出不同的中值公式
例 10设()()(),,f x g x h x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,试证存在(),a b ξ∈,使得
()()()()()()()()()
0f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''
证明 记
()()()()()()()
()()()
f a
g a
h a F x f b g b h b f g h ξξξ='''
则()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()()0F a F b ==应用Rolle 定理可知,(),a b ξ?∈,使得()0F ξ'=,据行列式性质()0F ξ'=,即结论成立.、 注 (1)令()h x x ≡,即可推出柯西中值定理.
(2)令()(),1g x x h x ≡≡,即可推出拉格朗日中值定理.
例11设()f x 在包含0x 的区间I 上二次可微,()0,0,1x h I λ+∈∈,试证:()0,1θ?∈使得
()()()()20000()(1)1"2
f x h f x h f x h f x h λ
λλλλθ+=++-+
-+
证明 因01λ<<，可取数M ,使得
()()2000()(1)(1)02
f x h f x h f x h M λ
λλλλ+-+---
-=
故只要证明 ()0,1θ?∈,使得
0"()M f x h θ=+
令
2000()()()(1)()(1)2
t
F t f x th tf x h t f x t h M =+-+----
则()F t 在[0,1]上二次可微,且有三个零点
()()()010F F F λ===
两次应用Rolle 定理,可知()0,1θ?∈使得
()"=0F θ
即0"()f x h M θ+=,将M 代回第一个等式,移项即得
()()()20000(1)(1)"()2
f x h f x h f x h f x h λ
λλλλθ+=++-+
-+
例 12设()f x 在[,]a b 上连续,在(),a b 内二次可导,试证明在一点(),c a b ∈,使
()()()2
2()"()24
b a a b
f b f f b f c -+-+=
证明 令,2
b a
h -=
()()()()2
222()2a b f b f f a f a h f a h f a Ah +??-+=+-++= ???
我们只要证明存在(),c a b ∈,使"()A f c =.考虑函数
()()()()222x f a x f a x f a Ax ?=+-++-
显然()x ?在[0,]h 上连续,在()0,h 内可导,且()()0.h ??=由Rolle 定理必存在一点()10,c h ∈,使()1'0c ?=,即
()()111'2'f a c f a c Ac +-+=
再对()'f x 在区间11[,2]a c a c ++中应用中值定理就知存在一点(),c a b ∈使
()11"c f c Ac =
因为10c ≠,则()"f c A =,从而
()()()()2
2"24b a a b f b f f a f c -+??
-+=
???
4 小结
本文通过对洛尔定理的描述与证明,进一步研究了洛尔定理的在数学分析上的一些基本应用,从
而反应出洛尔定理的重要性.
参考文献
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[10] 数学分析的方法及例题选讲,徐利治,王兴华, [M]北京:高等教育出版社,1984
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analysis of the status and role,and to study the content's theorem,geometrical meaning and application,
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大数定律与中心极限定理及其应用
重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日
目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
中心极限定理及其意义
题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，
大数定律及中心极限定理 应用题
大数定律与中心极限定理 应用题 1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差 为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？ 解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？ 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。
大数定理与中心极限定理的关系及应用
本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制
目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)
大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分
中心极限定理的应用
毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日
中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation
中心极限定理应用
中心极限定理及其应用 【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。 【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量 一、概述 概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律：当n →∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。 二、定理及应用 1、定理一（林德贝格—勒维定理） 若 ξ 1 ，ξ 2 ，…是一列独立同分布的随机变量，且 E k ξ=a, D k ξ = σ 2 ( σ 2 >0) ,k=1,2,…则有 dt e x n na p x t n k k n ? ∑∞ -- =∞ →= ≤-2 1 221)(lim π σξ 。 当n 充分大时， n na n k k σξ ∑=-1 ~N （0,1），∑=n k k 1 ξ ~N （2 ,σn na ） 2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理） 在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。, 错误！未 找到引用源。为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt e x npq np p x t n n ?∞ -- ∞ →= ≤-2 2 21 )( lim π μ 其中1q p =-。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n 充分大时，可
中心极限定理论文：中心极限定理及其简单应用.
中心极限定理论文：中心极限定理及其简单应用 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极pH定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用中心极限定理有多种形式：1、独立同分布下的中心极限定理定理 1[1]，设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的 随机变量之和近似服从正态分布。定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。其中上下同除n，分子中有xi，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯 努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0 2、同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。 例1[3]，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少? 解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1， X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215 =0.0785 例 2[3]，一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n 根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。例3[2]，报名听 心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问 该教授讲授两个班的概率是多少? 分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于 100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X=Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。解：可知 E(X)=100，D(X)=100 ∴P（X≥120）=1-φ（）=1-φ（2）=0.023 即教授讲授两个班的概率是0.023。例4[1]，火炮向目标不断地射击，若每
中心极限定理证明
中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此
故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解:
中心极限定理的内涵和应用知识分享
中心极限定理的内涵 和应用
中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ -= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}? ∞ -- ∞ →=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π 21)(lim 2 2 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设 μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ?? ???? =)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 1 1)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??? ???+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 2 2?2 2 t e -