数学史和方法论 自学考试提纲

第一章数学的萌芽 1古埃及的数学 公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。 现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做兰德纸草书，一卷藏在莫斯科。 2埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。 3古埃及的计数制 埃及很早就用十进记数法，古埃及人的计数系统是叠加制，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将 1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。 兰德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N 从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。 纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用 3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。 4埃及几何的突出成就：古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔等都需要测量，尼罗河水泛滥后冲刷了许多边界标记，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。因此古埃及人的几何学知识较为丰富，在两种纸草书中，有26个十几何问题,许多与金字塔有关，如：在莫斯科纸草书中有：一个截顶金,字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2求体积。他们的算法是：4的平方是16，4的二倍,8,2的平方是4，把16、8、4相加为28.取6的三分之一为2，取28的2倍为56，则是体积数。由此可以看出，古埃及人是通过具体问题说明了高位h 底边长为ab 的正四棱台得体积公式是V=1/3(a2+ab+b2)h ，著名数学家贝尔形象地将这一古埃及数学杰作成为“最伟大的埃及金字塔” 5古巴比伦的计数制：古巴比伦的计数系统是60进制，也使用分数，总用60作为分母，但他们的分数系统是不成熟的。古巴比伦的算术运算也是借助各种各样的表来进行的。 6试比较古埃及和巴比伦的解方程的方法，及对后来发展的启迪意义。1古埃及解决方程问题的方法是试位法：如对于方程x+x/7=24,先给x 选一个定值，如7+7/7=8,而不是24，因为8需乘3才是24，故x 的值是21，“但试位法”对于一元一次方程，可以得到精确的解，而对于二次以上的方程一般情况下只能给出近似解。2古巴比伦的如在英国大不列颠博物馆13901好泥板记载问题：我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二的35/60,求该正方形的边长。给出的解法是：1的三分之二是40/60.其一半是20/60，将它自乘得6/60+40/602 并把它加到35/60上得41/60+40/602 其平方根是50/60.再从中减去40/60的一半的30/60于是1/2是所求正方形的边长，这一解法相当于将方程x2+px=q 的系数代入公式 求解，只不过计算时用的60进制。他们可能知道某些类型的一元二次方程的求根公式，但没有负数的概念。如何得到这些解法的，没有说明。在一块泥板上给出了数表。专家研究：这个数表解决形如x3+x2=b 的三次方程的。 7普林顿322号泥板书的数学意义。该泥板一损害了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家认为：这是一张勾股数（即x 2+y 2=z 2 的整数解）表，并且及可能用到了下列参数式：x=2uv,y=u 2-v 2,z=u 2+v 2. 而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。 第二章 希腊的数学 1、希腊数学学派与演绎数学的产生； （1）爱奥尼亚学派和演绎证明：以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都，享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派—爱奥尼亚学派。其中定理“内接于半圆的角必为直角”被称为“泰勒斯定理”重要的是他对定理提供了某种逻辑推理。如：两条直线相交，对顶角相等，证明：角a 加角c 等于平角，角b 加角c 也等于平角，因为平角是相等，所以叫a 等于角c(等量减等量。余量相等)说明，从泰勒斯开始已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础。获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉又被西方称为“测量学的鼻祖” (2)毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 他组织一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密社会，就是著名的毕达哥拉斯学派。致力于哲学和数学的研究。尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派。但这个学派信条“万物皆数”认为：数是由单子或1产生的因此将1命名为“原因数”，每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最圣神的是10，认为它是完美和谐的标志。这种万物皆数的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，数学化思想的最初表述形式。这思想促进了对自然数分类研究，定义了许多概念，如“完美数”三角形数、正方形数。还认为“美是和谐与比例”。由于不可公度量大发现。信条收到了冲击，在数学史上成为“一次数学危机”使他从对数的研究转向对形的探讨，最终导致了几何学的迅速发展。但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的。 (3)芝诺悖论与巧辩学派 三个悖论及意义：芝诺关于运动的三个悖论是：二分说；阿基里斯追龟说；飞箭静止说。芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是：人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。 巧辩学派的三大几何难题：只允许用尺规作一正方形使其面积与给定的圆的面积相等；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者的体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。直到1831年数学家万采尔首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图解决。德国数学家林德曼于1882年，证明了π的超越性，否定了用尺规画圆为方的可能性。 巧辩学派及其他希腊学者，把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的怎样认识：即他们强调在研究一个概念 必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理，在他们看来，直线和圆客观存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思想促进了希腊数学的严密化。 （4）柏拉图学派：宇宙设计说他们强调用数学解释宇宙，特别重视对立体几何的研究。提出了数学的演绎证明因遵循的逻辑规则。他们研究了棱柱、棱锥、圆锥，而且知道正多面体只有五种，该学派把德漠克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说，他们设想物质世界的本质不是土气水火，而是两种直角三角形，即正方形之半

去。因此神就用它们构成4体的界面：火微粒是正四面体，土微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正十二面体。最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成

宇宙。 其中最杰出的数学家

论。它的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。；亚里斯多德对数学最大贡献是建立了形式逻辑学。 2希腊数学的黄金时代 亚历三大时期的三大数学巨人：阿基米德、欧几里得、阿波罗里斯。

（1）欧几里得的《几何原本》：五条公设： ⑴从任一点到任一点作直线（是可能的）。 ⑵将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。 ⑶以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。 ⑷所有直角是相等的 ⑸若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。五个公理： ⑴与同一东西相等的一些东西彼此相等。⑵等量加等量，其和相等。 ⑶等量减等量，其差相等。⑷彼此重合的东西是相等的。 ⑸整体大于部分。 （2）阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》，《论球和圆柱》、《论劈锥曲面体和球体》、《圆之度量》、《沙粒计》，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摈弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。” 阿基米德在平面几何方面的主要贡献：①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得3(10/71)＜π＜3(1/7)。②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积。③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的4/3。④定义了螺线ρ=a Φ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为2πa 的圆面积的1/3。⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比。 阿基米德在立体几何方面的主要贡献：①球表面积等于大圆面积的4倍。②圆的外切圆柱体的体积是球体积的3/2，其表面积也是球表面积的3/2。③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积。④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积。⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积。⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式。 此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等阿基米德的数学成就：阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题 （3）阿波罗尼斯与《圆锥曲线》首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、切线等定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论，需要指出的是，他的方程是几何语言叙述的。 3希腊数学的衰落 （1）其中代数的重大进展产生了代数符号，第一次系统提出了代数符号的是丢番图。 丢番图的数学成就对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》﹝The Greek anthology ﹞【这是公元500年前後的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus ﹞所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗﹞。亚历山大的丢番图对番图的《算术》是讲数论的，它讨论是正有理数。 从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。 希腊数学自毕达哥拉斯学派後，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜於解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被後人称为『代数学之父』不无道理。 （2）托勒密的数学成就：写成三角学的最早 论著《数学汇编》，在该书中有著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两对对角线之积等于两对对边乘积之和。由这个定理得出sin(α+ -β)以及sin2asin/2的关系式。据此托勒密作出了从（1、2）°到180°间隔为（1/2）°的弦表。 （3）海伦的数学成就：海伦著作是《测量学》，他的著作摆脱了古典数学的狭隘性，表现出直接与生产联系的强烈特色。其中有著名的三斜求积公式。梅乃劳斯的成就是球面三角的研究；怕普斯的工作主要是在几何方面。 4希腊的数学特色和局限性：特色：（1）使数学成为抽象性的一门科学。（2）建立了演绎推理证明数学的公理化体系。（3）建立了几何学三角学代数学并奠定了数论的基础。（4）有了一些高等数学知识萌芽如数论，极限等（5）发现若干定理和证明，逻辑结构严密论证认真细致。局限：（1）片面强调几何而忽视计算技巧，从而在很大程度上限制了代数的，并且是几代人看不出几何与算式在概念的运算上的相似之处，使人们认为几何方法就是数学证明的唯一方法。（2）在逻辑上拘泥于严格性而了创造性。（3）由于哲学而回避了无限过程。从而与极限方法失之交臂。 第3章 印度与阿拉伯的数学 1印度在中世纪前后的数学发展：印度数学以算术、代数为轴心，几何则偏重计算，没有演绎证明，这与古希腊数学以算术——几何为轴心大不相同。正因为如此，约从5世纪到12世纪，印度数学对算术、代数作的贡献十分重大，直接影响了后来世界数学的发展。在算术方面，印度数学广泛使用了十进位值制记数法，并发明了印度——阿拉伯数学符号，一直到现在世界各国都在使用。在此基础上，才得以形成快捷的计算技术。在代数方面，印度人建立了不仅可以使用分数，而且也可以使用负数和无理数的代数学，除了在求解一般方程和不定方程方面有不少技巧，而且他们还会用缩写文字和一些记号来描述运算，把代数学放在一个比较牢固的基础上，为这个时期代数学的发展准备了条件。从公元5世纪到12世纪，印度数学家中杰出的有阿利阿伯哈塔(Aryabhata,476-550)，婆罗摩及多(Brahmagupta,598-660,又名梵藏)，马哈维拉(Mahavira,9世纪,又名大雄)，婆什迦罗(Bhaskara,1114-1185)等，其中大部分工作在天文学和占星术的著作之中，而且他们并不把自己的贡献看得重要，有人说他们对数学上的价值不敏感，也有人讲他们没有把自己的工作提高到科学演绎的高度。 2阿拉伯在中世纪前后的数学发展：阿拉伯数学，专指从8世纪至15世纪在中东、北非以及西班牙等地的伊斯兰国家里，以阿拉伯文为主要文字书写的数学著作所代表的数学。其实，为阿拉伯数学作出贡献的学者不限于阿拉伯人，还有希腊人，波斯人、犹太人和基督徒。 阿拉伯数学在世界数学史上占有特殊的地位，它是古希腊数学和印度数学的继承者。阿拉伯数学从公元8世纪起初创，当时在阿拔斯王朝的巴格达，有一座类似亚历山大里亚艺术宫的“智慧宫”，还有一个图书馆和一座天文台，形成了科学文化中心。许多杰出的学者被邀请来此，他们把许许多多古希腊和印度的科学著作翻译成阿拉伯文保存下来。在此基础上，大约于9世纪至13世纪，阿拉伯数学对初等数学，尤其是初等代数学和三角学作出了创造性的贡献。第一位把代数作为一门独立学科来阐述的数学家，就是阿拉伯数学家阿尔2花拉子模(Al Khowarizm,约780-840)，他引导人们开始系统地研究解方程问题。世称阿尔2花拉子模为代数学的鼻祖，拉丁文algebra(代数学)一词就起源于他的第一部代数学著作的书名。阿拉伯的算术成就杰出的首推花拉子米，《代数学》无论内容还是风格上都代表了一个新的起点，该书首先把数学作为一们有别于其他学科的独立的数学分支来处理。分为三部分，最重要是第一部分，系统讨论了6种类型的一次、二次方程的解法，介绍了配平方法。还采取了演算与论证并举的方式阐述解方程的过程。还指出：通过” 复原”与“对消”两种变换，可将其他形式化成这6种标准。而引进三角函数，研究它们之间的，并计算出正弦表、正切表，是阿拉伯数学家阿尔2巴塔尼(Al Battani,858-929)和阿布尔2韦法(abul Wefa,940-998)等人，从此三角学有了自己独立的研究对象。到13世纪，一位百科全书式的学者纳西尔2艾德丁(Nasir Eddin,1201-1274)撰写了天文、几何、三角等多方面的著作，他的工作使平面三角、球面三角系统化，并独立于天文学。另外，改进印度数码，成为当今世界各国通用的印度——阿拉伯数字，也是阿拉伯数学家的功劳。 3阿拉伯数学的分期与杰出的数学家 （1）早期：8世纪中叶----9世纪 阿尔.花拉子米，他写过很多书，内容涉及天文、历法、算术、代数等多个领域。最著名的是《代数学》被译成拉丁文，在欧洲被用作代数学标准教科书达数世纪之久。另一本著作《算术》 印度数码的计算方法，后来由英国人译成拉丁文，通过这本书，欧洲人才了解到印度的数码和技术系统，由于花拉子米的著作在中世纪流传极广。 （2）中期：10世纪---12世纪这时期是阿拉伯数学发展的高峰期去，著名的数学家有巴塔尼、阿布.瓦法、和奥马.海雅姆。巴塔尼写成《星得科学》后来哥白尼在《天体运行论》中多次应用巴塔尼的实测数据就说明了这点。阿布.瓦法曾翻译过丢番图的作品。对三角形和算式都有贡献。奥马.海雅姆的《代数学》比花拉子米的有明显的进步。详尽地研究了三次方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形求根的理论。这是阿拉伯数学最重大的成就之一。 （3）后期：13世纪---15世纪上半叶纳西尔丁.图西和卡西。西尔丁.图西编制《伊尔汉历》对科学发展有很大影响。他对三角形的重要贡献是编写了一本脱离天文学的《论四边形》。卡西《算术之钥》特别在二项式展开、高次方程的数值解法等方面都有注目的贡献。他精于计算，算的π值精确到小数点后16位。 4评价阿拉伯数学在数学发展中的贡献，现在却不太一致。有人认为阿拉伯数学有很高的创造性，尤其是在代数学和三角学方面；也有人认为阿拉伯数学缺少创造性，并且他们工作无论在数量上或质量上，都比不上古希腊或现代学者。但是，阿拉伯数学将前人的遗产继承下来，并传给后代欧洲人，在数学史上继往开来的作用是被一致公认的。 5印度杰出的数学家及文献：①阿耶波多（476-550）—— 印度数学第一人 印度最早的天文学家和数学家.生于恒河南岸的拘苏摩补罗附近.求得π=3.1416，掌握了用连分数方法求一次不定方程的通解.公元499年著《阿耶波多历算书》，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识，书中还蕴含了最早的弧度制思想.为了纪念这位杰出的数学家，1975年印度发射的第一颗人造卫星被命名为“阿耶波多号”. ②婆罗摩笈多（598-660）—— 婆氏公式美名扬 印度数学家、天文学家.生于古印度文化中心之一的乌因贾城，曾任乌因贾城天文台台长.算术方面：给出了负数的运算法则及其表示.代数方面：得到了一元二次方程x^2+px-q=0的一个根的公式x=[√(p^2+4q)-p]/2.几何方面：求得圆内接四边形的面积公式为√(s -a)(s-b)(s-c)(s-d)，其中s=(a+b+c+d)/2，该公式是三角形面积海伦公式的推广，现称为“婆罗摩笈多公式”.不定分析方面：求得一次不定方程ax+by=c(a,b,c 为整数)的整数解.于公元628年著《婆罗摩笈多历算书》. ③婆什迦罗（1114-1185）—— 印度古数集大成

印度古代最伟大的数学家、天文学家.长期工作于乌因贾城天文台，曾任印度莫吉安州天文学院院长.代数方面：给出了公式1^3+2^3+…+n^3=(1+2+…+n)^2的证明.不定分析方面：给出了佩尔方程x^2=1+py^2的若干特解.三角方面：给出了sin18°=(√5-1)/4的精确表达式，给出了和差角正弦公式sin(a±b)=sinacosb±cosasinb.其著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》代表了印度古代数学的最高水平. ④拉马努金（1887-1920）——直觉化身铸传奇

印度传奇数学家.生于印度马德拉斯省坦焦尔县的一个小村镇里，家境贫寒.1900年，13岁的拉马努金独立发现了三角函数可表示成无穷级数,这是欧拉1750年左右发现的结论！1903年以一流的成绩进入当地大学，由于偏科，未拿到学位，毕业后只担当一个小职员，其数学研究由于很艰深且符号特殊，没一个印度数学家能鉴定他是否真是个天才！1911年他在印度数学会学报上发表了第一篇论文《论伯努利数的一些性质》，引起了学术界的注意.1913年，26岁的拉马努金写信给剑桥分析学派的领袖——哈代，问他是否能肯定他笔记本中的研究成果.哈代和李特伍德一起研究拉马努金满是奇特公式的信，经过了两个半小时，两人一致认为：天才！

在哈代的反复邀请下，1914年，27岁的拉马努金终于打破宗教束缚去剑桥三一学院从事研究工作. 在哈代的指导下，拉马努金先后发表了国际一流的论文19篇.1917年拉马努金与哈代合作开创“圆法”推进了哥德巴赫猜想研究，同年被选入伦敦数学会，次年当选为英国皇家学会外籍会员.1920年，在英国时就患上肺结核的拉马努金于印度英年早逝.1927年，剑桥大学出版社出版了拉马努金的《论文集》.

1974年，比利时数学家德利涅证明了拉马努金的一个猜想，并因此获得了1978年的菲尔兹奖。1975年印度成立了“拉马努金学会”，1986年开始出版会刊.美国数学家伯恩特自1977年起，系统地证明了拉马努金笔记中的每个公式和命题，并从1985年至1995年，出版了三卷本的《拉马努金笔记》.拉马努金在印度的影响有如陈景润在中国的影响，家喻户晓，是逆境中成功的榜样，影响了印度数代年轻人奋勇进取，自强不息！

⑤马哈拉诺必斯(1893-1972)——印度统计之先驱

印度数理统计学家.生卒于印度最大的城市——加尔各答，在加尔各答获物理学位后留学剑桥大学，回国后被聘为加尔各答管辖区学院教授，直至1947年退休.研究方向：数理统计学和经济规划.1930年引入D^2统计量，后被称为“马哈拉诺必斯距离”，在统计分类问题中有广泛应用.1931年创立“印度统计学会”并任主席，培养了印度一代统计学家.曾当选为英国皇家学会会员，曾获印度最高国民奖，发表论文200余篇.

⑥拉奥（1920- ）——印度统计之泰斗

印度数理统计学家.生于印度卡纳塔克邦.1943年获加尔各答大学统计学硕士学位，1944年任职于印度统计研究所.1945年他证明了概率论中的“拉奥-克拉美不等式”，这是求一致最小方差无偏估计的重要工具之一，同年又给出统计学中的“拉奥-布莱克韦尔定理”.1948年获剑桥大学博士学位.1949年起先后担任印度统计研究所教授、院长、所长直至1979年退休，同年受聘到美国匹兹堡大学

任教授.他还当选为英国皇家学会会

员，第三世界科学院(现称为发展中国

家科学院)创始院士之一，现任发展中国家科学院院长.还曾任国际统计学会、国际生物统计学会等学会主席.已发表论文230多篇，著有《线性统计推断及其应用》(1973年)等专著9部.

⑦哈里希-钱德拉（1923-1983）——“不能全凭第六感”

印度数学家，物理学家.生于印度坎普尔.曾担任著名物理学家狄拉克（量子力学的创始人之一）的助手.由于体会到“第六感”式的物理思维缺乏严谨转而研究数学，与外尔、韦伊、扎里斯基等大数学家都有过接触.后来哈里希-钱德拉在李群表示论方面的工作堪称世界一流，这使得他1954和

1966年两度在国际数学家大会作报告，1973年成为英国皇家学会会员，1974年获得印度科学院“拉马努金奖”，1975年当选为印度科学院院士，1981年当选为全美科学院院士.著名数学家朗兰兹在评论哈里希-钱德拉时说：“他从事数学相对较晚，且有很多数学领域他从未认真涉猎过.……可以毫不夸张地说，他在需要的时候就自己制造工具，一个本世纪宏伟的数学理论是被一个只学过高等微积分课程的人构造出来的”. 阿拉伯数学家：古代阿拉伯的数学是在引进印度和希腊数学之后起步的，在不长的时期内，他们取得了可观的成绩。 阿拉伯头一位著名的数学家是花拉子密，他在数学上的成就比起天文学上的成就还要大一些。他的算术和代数学的著作很早就流传欧洲，对欧洲的数学有颇大的影响。欧洲人主要就是从他那里学会了使用“阿拉伯记数法”。我们前面已经讲到，欧洲人自古希腊时候起即擅长几何学，他们也习惯于用几何学方法来解决代数学的问题，因此他们的数学有很大的局限性。花拉子密的代数学著作《还原与对消》记述了800多个代数学问题，包括了一次方程和二次方程的解法。这部著作在12世纪期间即被译成拉丁文，直至16世纪以前仍是欧洲各大学的主要数学教科书，在欧洲产生了很大影响。拉丁语中algebra （代数学）一词就是从这部著作中的名称演化而来的。欧洲人对代数的研究从接受阿拉伯人的代数学才正式开始的。这与花拉子密的功劳不无关系。花拉子密的天文表中包括有三角学的内容，他不仅运用了正弦函数，还引进了正切函数。不过也有人怀疑正切函数是后人修订天文表时加进去的。另一个阿拉伯数学家白塔尼在天文学的研究中也涉及到三角学的问题。他在他的著作中又引入了余切函数，并且造出了从1°到90°之间相隔1°的余切表。曾主持马腊格天文台的奈绥尔丁也是一位很有成就的数学家。原先的三角学只不过是天文计算中的一种工具，奈绥尔丁则致力于使它成为一门独立的学科。他还提出了解球面直角三角形的6个基本公式，并且指出解一般三角形的方法。欧洲人到15世纪中期才知道奈绥尔丁的工作，在此之前，欧洲人还从未把三角学看成是数学上的一个分支。在这一时期，还有一位重要科学家，他叫卡西（？～1436？）。他在圆周率的研究上取得了显著的成绩。他是用穷竭法求圆周率的，他计算了圆内接和外接33228边正多边形的周长，求得圆周率π=3.141，592，653，589，793，25，即准确至小数后第17位。他打破了我国祖冲之保持了近千年的世界纪录，1000年后才又为欧洲人所超过。 第四章：中国古代数学 1中国古代数学体系的形成 数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；兴盛；衰落与复苏。 数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为“算术”即“算数之术”，宋元时期开始使用“数学”一词，此后算学、数学两词并用，1936年6月，经中国数学名词审查委员会确定用“数学”而不再用“算学” 2中国古代数学的萌芽（先秦时期） 中国是世界著名的文明古国，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽，这一时期的数学成就主要有以下几点： （1）结绳记事是中国古代记数方法的起源，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前这种方法就已十分流行，并且在他的时代已开始用“八卦”和“书契”等方法来代替“结绳”记事了。 ＋（2）规矩的使用 规矩是中国传统的几何工具，古籍中记载：“圆者中规，方者中矩”。说明它们分别用于圆与方的问题。 （3）十进位制记数法、分数的应用及筹算 在中国第二个奴隶制王朝商代（公元前16世纪到公元前12世纪），甲骨文已发展成熟，当时已采用了“十进位制记数法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称。这是对世界数学最伟大的贡献，正如李约翰博士所说“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”这一点是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及的。除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也比较早，到春秋战国时代算术四则运算已经成熟。算筹是中国古代的计算工具，筹即小竹棍或小木棍相应的一套算法也就称为筹算，从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年，用算筹表示数有纵横两种摆法。（图略）记数时与十进位值制相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法，如遇零时则空一格。这是巴比伦所不及的，因为他们没有零的记号。 （4）精湛的几何思想 战国时期（公元前475——公元前221提）的诸子百家，和古希腊的数学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的著作《墨经》记载了许多几何概念。如“科，同高也”；“中，同长也”等等。名家以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识，据《庄子》记载，名家的代表人物惠施曾提出“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一”。这里的“大一”、“小一”有无穷大和无穷小的意思，与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。 （5）数学教育的开始 周代《周礼?地官》中的礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者为小学所习，并称“六年教之数,十年学书计”。可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。 3 汉唐时期（中国传统数学体系的形成）其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。《周髀算经》和勾股定理 比《九章算术》稍早且流传下来的一部重要的著作是《周髀算经》，该书原名《周髀》大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用研究。 4赵爽 中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者，他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图，其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。《勾股圆方图注》全文五百余字，这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。 5《九章算术》的作者不详。成书于西汉末到东汉初，即公元1世纪初。《九章算术》特点的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、㎝广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法。它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明，解法大多数是正确的，有些是近似的，极少数有错误。 ①“方田”(土地测量) ，是《九章算术》的开卷章，主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则。包括正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、四则运算，求最大公约数等运算法则；②粟米章(粮食交易的比例方法)；③衰分 (比例分配的算法)，介绍依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配算法；④少广(开平方和开立方的算法)；⑤商功 (各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题)；⑥均输（征税）主要论述较为复杂的配分比例问题。其中最引人注目的是“均输术”。这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题。⑦盈不足章主要论述盈亏问题的解法；盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2（a2 ＞a1）钱，则又不足b2钱，求人数与物价。公式为：人数=（b1+b2）/(a1-a2),物价=（a1b2+a2b1）/（a1-a2）⑧方程(一次方程组解法和正负数)主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元。这一思想在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。方程章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法则。⑨勾股主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量 。 6《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极其深远的影响，可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。《九章算术》成书以后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的数学家们学习、研究和著述的依据。 7刘徽的数学贡献（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．《九章算术注》中载录了它在数学上的许多重要贡献。 在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论，他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上最高水平，并已接近于近代的成熟程度。他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响。 在代数方面，《九章算术》中的线性方程组解法以及正负数和加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年，而给这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽，他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。对于正负数，刘徽的定义可以说是经典性的，他把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法，他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释，这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的。此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数——斯蒂文（S.Stevin ，1548—1620）的小数记法要早出1300多年。 在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者，他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等。（1）割圆术 《九章算术》“圆田术”给出了圆面积的计算公式“半周半径相乘得积步”。刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并借助极限的方法。他从圆的内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直推算到圆的内接正192边形，得到圆周率的近似值为π≈3.14，化为分数就是157/50，这就是著名的“徽率”。（2）体积理论（3）球体积计算（4）勾股测量 刘徽不仅注重数学的理论研究，而且也注重数学的实际应用，他在为《九章算术》作注的同时，还实际处理了许多测量问题，他的另一部著作《海岛算经》，就是在测量的具体实践过程中总结而成的关于“测高望远之术”的专著。该书共9问，涉及到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望。《海岛算经》是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比率和重差测量的演化历程，标志着中算家在测量技术及理论方面所达到的新的高度。 8祖氏父子的数学贡献 祖冲之（429—500），字文远，祖籍范阳遒县（今河北涞水县）。他生活在南北朝，家学渊博，他三十三岁时编制成功了《大明历》开辟了历法史的新纪元．，首次考虑到岁差的计算，此外，他还改造了指南车，制造了水碓磨，千里船等。他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学，父子俩都对《九章算术》与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作《缀术》在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书。祖冲之继承了刘徽的思想，其在数学上最突出的成就是对圆周率的推算．《隋书?律历志》记载着他对圆周率的研究成果π≈3.1415926。由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率（祖率）为355/113；约率为22/7。其中密率在欧洲由德国数学家奥托（1550—1605）于1573年得到，这比祖冲之要晚1100年之久。 祖氏父子在研究，《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的如何计算“牟合方盖”的体积问题，最终由祖暅解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3。祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题是："缘幂势既同，则积不容异．"即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等。它被称为“祖暅原理”，这实际上就是西文数学界所谓的“卡瓦列利原理”，这一原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列里发现，比祖暅晚了1100多年。 9《算经十书》从隋代开始，中国有了专门的数学教育机构，由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《张邱建算经》《五曹算经》《五经算经》《缉古算经》《缀术》《夏侯阳算经》。 10《张邱建算经》其主要数学成就有：最大公约数和最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和不定方程，著名的“百鸡问题“即出此书。 11宋元时期——中国传统数学的兴盛 这一时期包括宋元两代，即900年至1368年，宋元高峰时期基本上是以代数为中心的时期，在这个时期，关于高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组合数学、半符号代数以及属于数论范畴的同余式组的解法等，都达到了当时世界的最高水平。 12高次方程的数值解法 北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”：1050年前后，贾宪撰写了一部名为《黄帝九章算术细草》的著作，给出了用“增乘开方”来解形如x 的n 次方=A 的方程的方法，迈出了将传统的开平方、开立方方法推广为求解一般高次方程的重要一步。“增乘开方法”包括了四种算法：缩根、估根、减根和倍根。在开方过程中，随乘随加、反复迭代，计算减根变换后方程各项系数的方法，具有鲜明的算法特点，这与现代所用的“霍纳算法”已基本一致。 13宋元四杰，就是宋元时期最杰出的四位数学家秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰。 14秦九韶，字道古，《数书九章》是他的传世名著，此书采用了问题集的形式，全书搜集了81个数学实际应用问题，按性质分为九类，每类九题，共18卷。其中，他推广传统的“开方法”，创立了“正负开方术”。他的程序与贾宪方法的区别在于：由于规定了“实常为负”，整个程序便统一用加法，真正实现了随乘随加的机械操作。他的数学成就，体现在他的《数学九章》中。其中最突出的有两项：一项是“正负开方术”，上文已经介绍了；另一项是“大衍求一术”，以下略作介绍。《孙子算经》出现在4—5世纪。此书记载了举世闻名的“孙子问题”，是全书的最后一题，原文是：“今有物不知数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”也就是说有一个数，被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数。 在数学上，这属于同余式题目，在没有找出科学的解法前，要顺利而简捷地解出这样的题目，是很不容易的。

《孙子算经》自己给出的解式是： 7032+2133+1532-10532＝23 但为什么能这么解，70、21、15、105这些数字是怎么出来的，再复杂一些的同余式又怎样解，则都没有交代。（明代数学家程大位的《算法统宗》所载的“孙子歌”将此题解法写成一首诗：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。） 15秦九韶 在《数书九章》中卷一“大衍总数术”中推广了“孙子问题”的解法，他对同余式ax ≡1（mod b ）的解法是将a ，b 辗转相除，秦九韶称为“更相减损”。我国宋代数学家秦九韶集前人之大成，提出了“大衍求一术”，它实质上与高斯定理是等价的，其所研究的剩余定理问题，是一项卓越的数学成绩因此，西方数学家称，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一”。 “大衍求一术”，就是解这一类同余式题目的一个方法，它的目标就是如何求出70、21、15、105这些关键数字。 这4个数字中，105是3、5、7的最小公倍数，比较容易求得。其他3个数字又是怎样求得的呢？以“大衍求一术”分析，70是5、7的倍数而被3除则余1，21是3和7的倍数而被5除则余1，15是3、5的倍数而被7除则余1。也就是说，用这一规律能很快求得这些关键数字，题目也就很快解出了。 “大衍求一术”为求解同余式题目找到了一条科学的途径，从而诞生出了“中国剩余定理”。在西方，这一定理是德国著名数学家高斯于1801年出版的《算术探究》中提出的，比秦九韶晚了五百多年。所以，英国传教士伟烈亚力1852年将它命名为“中国剩余定理”，是还了历史的真实！ 16李冶原名李治，数学著作有 (1248年成)与《益古演段》(1259年成)。李冶自己最看重的著作，就是《测圆海镜》。 李冶在数学上的最大贡献，就是总结、发展并完善了“天元术”。 17“天元术”和“四元术” “天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数的产生。天元术就是现代的列方程，即根据题意列出一个包含未知数的数学题式。天元相当于现代的X 。古代还没有引进X 这个字母，就用“元”字表示(但只写在数字边上)，或者用一个“太”字表示常数项(也只写在数字边上)。 x3+336x2+4184x+2488320＝0 列方程式，在现代是很普通、很浅显的数学问题，但在古代并不容易。李冶发明的用“元”表示含未知数项的方法，具有了半符号代数学的性质。他在《测圆海镜》中利用“天元术”解决了六七百条几何命题的证明，主要是勾股容圆问题。在西方，半符号代数是16世纪后才出现的，比李冶要晚三百多年。 18朱世杰 是元代数学家(出生年月不详)，字汉卿，号松庭，燕山一带人。 在数学可以说是宋元四杰中成就、声望最高的一位。连国外的学者也认为，朱世杰的数学著作《四元玉鉴》是“中世纪最杰出的数学著作之一”。他集宋、金、元数学之大成，先后写成《算学启蒙》三卷与《四元玉鉴》三卷，《四元玉鉴》的主要内容之一就是对多元方程的研究，他推广“天元术”和“正负开方术”而给出的“四元术”，实际是一种四元高次方程组的布列与求解方法，可以说这是中国筹算代数学的顶峰，在“四元术”中，用“天”、“地”、“人”、“物”这4个字分别表示4个未知数，以“太”字表示常数项。“四元术”的消元法，与现代数学基本相同，逐级消元，最终变为一个一元高次方程来求解。 朱世杰创造的“四元术”，西方要到18世纪才达到这样的水平，比朱世杰落后近五百年。 19宋元时期比较著名的数学家还有博学多才的沈括，名著《梦溪笔谈》，补李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。该书提出的高阶等差数列求和的“隙积术”，由圆的直径和高计算弓形弧长的“会圆术”，以及计算棋局总数的“棋局都数”等课题都具有很高的学术价值。 20明清时期——中国传统数学的衰落与复苏 衰落的原因：从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢地萌发了，但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制，使资本主义的幼芽未能顺利发展，统治阶级为了维护其统治地位，规定科举制必须采用“八股”文体 ，使得大批的知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”，加上生产水平低下与数学理论高度发展相脱节的实际状况，致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落。 21徐光启：是明末杰出的科学家。他在数学方面的成就概括地说，有三个方面，即(1)论述了中国数学在明代落后的原因；(2)论述了数学应用的广泛性；(3)与意大利传教士利玛窦一起翻译并出版了《几何原本》前六卷。（这是他在数学方面的最大贡献）。后九卷是李善兰与英国传教士伟烈亚力合作翻译的。

22中国传统数学的特点 （1）追求实用 与古希腊数学追求纯粹的“理念”形成强烈的对比，中国传统数学具有浓厚的应用色彩，通观中国古典数学著作，几乎都与当时社会生活的实际有着密切的关系。例如，她的产生与天文历法结下了不解之缘，并且一直影响着数学的发展。在中国数学史上最在影响的“算经十书”中的《周髀算经》就是一部天文学著作，秦九韶《数书九章》的“大衍求一术”就产生于历法计算中上元积年的推算，

又如“招差术”也是由于推算日、月、

五星的行度的需要而创立的。

（2）注重算法 中国传统数学实用性的特点，决定了字以解决实际问题和提高计算技术为主要目标，因此，它的成果都表现为算法的形式，事实上，中国古代数学著作大多沿用“问—答—术”的体例，其中这些“术”就是解决该类问题的程序化算法，在演算技巧方面，中国古代数学家们善于运用演算的对称性、循环性等级特点，将演算程序设计得十分简捷、巧妙。例如方程术、开方术、增乘开方术、大衍求一术等在筹算程序的设计方面都达到很高的水平。中国传统数学的这一特点，目前已经越来越多地引起国内外有关专家的兴趣与注意。 （3）寓理于算 中国传统数学注重算法，并不等于她就没有逻辑推理，没有建立起自身的理论体系。刘徽的《九章算术注》堪称中国共产党传统数学理论的典范，他主张“析理以辞，解体以图”。因此，在他的“注”中，定义明确而精辟，推理严谨而巧妙，大量地使用了归纳和演绎的推理方法。例如，他利用面积的割补来证明整勾股数的一般表达式，处理方式简明扼要，并且，由于他的工作而发展起来的中国传统几何理论完全正确建立在“出入相补”等级几个为数极少而又十分简明的原理之上，这与欧几里得几何体系的手法是十分相似的。此外，中国传统数学中给出的诸如球体积、重差术等复杂而又精确的公式，很难设想，不经过一定的推理而仅凭经验的总结就可以得到。由于中国传统数学以追求实用为主，明“法”隐“理”，一般数学著作只叙述一个个算法，而其算理常常隐而不显，这就难免要使人们产生这样或那样的错觉了。 23《九章算术》产生于秦汉长安，是我国古代算经十书中最重要的一种。亦为世界古典数学名著之一，已被译成多种文字出版。成书于公元纪元前后，作者不详。西汉张苍(西汉早期著名数学家)、耿寿昌(西汉中期理财家、历算家)等人曾在长安对其进行过增订删补，魏晋时期的刘辉亦曾为其作注，实际上它是在长时期中经过多次修改逐渐完成的。其中有不少应

用题取材于关中。该书系统总结了先

秦到东汉初年的数学成就，标志着我

国古代以算筹为计算工具、具有自己独特风格的数学体系的形成。它包括了现代小学算术的大部分和初等数学中算术、代数及几何的大部分内容，对西汉以后中国古代数学的发展产生了深远影响，在中国、朝鲜和日本古代一直被作为数学教学的教科书。经过印度和中世纪伊斯兰国家，它还辗转传入欧洲，对文艺复兴前后世界数学的发展产生一定影响。全书分九章：(1)方田(土地测量)，包括正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、四则运算，求最大公约数等运算法则；(2)粟米(粮食交易的比例方法)；(3)衰分 (比例分配的算法)，介

绍依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配算法；(4)少广(开平方和开立方法)；(5)商功 (立体形求体积法)；(6)均输(征税)，处理行程和合理解决征税问题，包括复比例和连比例等比较复杂的比例分配问题；(7)盈不足(盈亏类问题解法及其应用)；(8)方程(一次方程组解法和正负数)；(9)勾股(直角三角形)，介绍利用构股定理测量计算高、深、广、远的问题。

其中共搜集了246个数学题。书中载有当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法、解决各种面积和体积的算法，以及利用勾股定理进行测量的各种问题。其突出成就是在代数方面记载了开平方和开立方的方法、求解一般一元二次方程的数值解法、联立一次方程解法。以上均比欧洲同类算

法早1500多年。书中关于负数概念和正负数的加减法运算法则的论述，亦属世界数学史上的首次记载。 24《九章算术》与《几何原本》的异同：《九章算术》流传至今已达两千余年之久，不仅指导着我国数学的发展，而且早已流传到世界各地，翻译成日、英、俄、德等多种文字，对世界数学的发展也有不可估量的巨大贡献和影响。把《九章算术》与西方最早的一本数学名著欧几里得的《几何原本》相对照，就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东、西方数学的不同风格。《几何原本》以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来，而《九章算术》则按问题的性质和解法把全部内容分类编排。《几何原本》中极少提及应用问题，而《九章算术》则是解应用问题为主，《几何原本》以几何为主，略有一点算术内容，而《九章算术》则包含了算术、代数、几何等我国当时数学的全部内容。其中尤其是代数无可争辩地是中国所创。在16世纪以前基本上是中国一手包办了的。因此，完全可以说《九章算术》与《几何原本》是世界数学史上东西辉映的两本不朽的传世名著。也是现代数学的两大主要源泉。 第5章 欧洲文艺复兴时期的数学 1欧洲文艺复兴时期 从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为文艺复兴时期，在这一时期，欧洲，特别是西欧，出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来，从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。 2导致欧洲中世纪的黒暗时期出现的主要原因是 从5世纪中叶到15世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲的中世纪黒暗时期。在这1000年左右的时间内，整个欧洲特别是西欧，生产停滞，经济凋敝，科学文化落后，既没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作，出现这一科学技术大倒退的原因是多方面的。5世纪，罗马人占领了希腊本土后，他们依靠强权与军队来维持自己对异族的统治，热衷于创立所谓“实业家的文化”，为其统治者豪华奢侈的生活服务。他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。圣经是这一时期人们唯一能够学习、研究的“百科全书”。数学是这个时期受到最大排斥的学科之一，如罗马皇帝狄奥多西的法典就规定：“任何人不得向占卜人与数学家请教。”而6世纪时查士丁尼的法典则更直截了当地称：彻底禁止应受到谴责的数学技艺。“ 3欧洲中世纪黒暗时期曾经出现的知名数学家有 最出色的数学家是意大利的列昂纳多?斐波那契（约1170—1250），1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著成一部重要著作《算盘书》，这部著作共15章，向欧洲人系统地介绍了印度－阿拉伯数码及整数、分数的各种算法，内容非常丰富。这部著作中还给出了一个有趣的所谓“兔子问题”：假定大兔子每月生一对小兔，而小兔两个月长成大兔，那么问：自一对兔子开始，一年后可繁殖多少对兔子，由这个问题引出了著名的“斐波那契数列”1，1，2，3，5，8，13，21，34，……即从第3项开始，每一项都是前相邻两项的和。 4欧洲文艺复兴时期的数学成就 1）透视理论的创立与三角学的独立。第一个真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的是法国的德沙格；帕斯卡在射影几何方面做出了杰出的贡献，他在物理学方面提出的流体力学原理为人们所熟知。把三角学从天文学奴仆的地位解放出来的是15世纪的德国数学家穆勒。在1461—1464年间，他完成了《三角全书》。 （2）意大利数学家的三、四次方程解法的主要思想方法 16世纪最为壮观的数学成就要数意大利的数学家们关于三、四次方程的解法研究，数学教授费罗用代数方法求出了三次方程x 的三次方+mx=n 的解。卡当解三次方程的方法是泰塔格利亚教给他的，简介如下：任意一个三次方程总可以通过减根变换，消去二次项化为形如x 的三次方+px=q 的形式。（见书P88）。在三次方程被解决后不久，一般四次方程的代数解法也被发现了，1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出了一个可以导致四次方程求解的问题（把10分成三个数，使他们成连比，且前两数的乘积为6），这个问题最终由卡当的学生斐拉里解决，卡当在《大法》一书中也详细地介绍了这个被称为“斐拉里方法”的解法。 5韦达与符号代数 用字母表示数，在数学发展史上是一件划时代的大事，它给数学思维插上了翅膀。丢番图对于数学最杰出的贡献之一就是在代数中采用了未知数以及一整套符号。在他的符号系统中，没有加法、乘法和除法的运算符号，加法他是用并列来表示的，而乘法和除法则通过累加和累减去进行。他总是只使用一个求知数。 在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国数学家韦达（1540—1603），他一生写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中主要有：《三角学的数学基础》、《分析方法引论》、《几何补编》、《有效的数值解法》和《论方程的整理与修正》。其中《分析方法引论》被公认是一部最早的符号代数的著作。 7对数的发明 欧洲的数学家为什么要引人对数？对数的发明是计算技术的一次重大的进步，16世纪初，欧洲人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更商的要求，特别是以精确测量为基础的天文学的兴起，使得人们遇到了繁杂的数值计算，人们由衷地希望能简化计算，比如说把乘除运算归结为简单的加减运算等。对数发明的功绩应该归于苏格兰贵族纳皮尔， 第6章 解析几何学的产生 1解析几何学的发现（背景）：文艺复兴后的300年间，在这一时期数学得到了越来越多的应用，同时，也有更多的问题需要应用数学去解决，科学的需要和对研究新的数学方法的兴趣推动了笛卡儿和费马对坐标几何的研究，在他们手里，代数学同几何学得到了有机的结合，从而开拓出一门崭新的数学领域——解析几何学。 2笛卡儿的贡献 笛卡儿在1628年出版的《指导哲理之原则》一书中已经提到“数、形同质”的思想以及用代数方法研究几何问题的思想。1637年，他出版了他的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，通常简称《方法论》，此书包括三个著名的附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》，其中《几何学》在整个著作中大约占100页，包括了他关于坐标几何和代数的思想。在这篇著作中，他首次明确地提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线，这篇《几何学》的问世，是解析几何学产生的重要标志。 他把几何曲线变成代数方程，然后通过研究代数方程来揭示曲线的性质，他断言，曲线的次数与坐标轴的选择无关，并指出这个轴要选得使最后得出的方程愈简单愈好；同时，他又考虑两个不同的曲线，在同一坐标系中所对应的方程，并且通过联立这两个方程来求出这两条曲钱交点的坐标。 有了曲线方程的思想后，笛卡儿在推广曲线的概念方面又迈出了一大步，他不但接纳了以前被排斥的曲线，而且指出给定任何一个x 和y 的代数方程，都可以求出它的曲线，从而得到一些全新的曲线，他还把几何曲线按其对应方的次数加以分类。笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他勇于探索，勤于思考，运用科学方法的必然结果。 3费马的贡献 他和笛卡儿都是坐标几何的发明者外，他在数论和微积分方面的工作也是非常突出的，并还同帕斯卡一同开创了概率论的研究工作。 关于研究圆锥曲线的探索，费马是由通过研究阿波罗尼斯的椭圆关系式而创立了解析几何的方法的。 费马又从阿波罗尼斯的工作中导出了双曲线方程xy=zpl ，对于费马建立的解析几何，虽然具有创造性，但还不够成熟。这主要表现在他对纵坐标如何依赖横坐标注意不够，而这又是解析几何中十分重要的问题。 4笛卡儿和费马的解析几何的比较 费马的工作与笛卡儿工作的共同之处是都没有负坐标，也没有y 轴，他们的“坐标系”都是斜坐标系，但是，两人研究坐标几何的方法不大相同。笛卡儿批评了希腊的传统，而且主张同这些传统决裂；费马则着眼于继承希腊人的思想，认为他自己的工作是重新表达了阿波罗尼斯的工作，真正的发现——代数方法的威力——是属于笛卡儿的，他知道自己是在改造古代的方法。他在《几何学》的引言主中说：“我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论，以及考查这些性质的方法，依我看，远远超出了普通几何的论述，正如西塞罗的词令远远超过儿童的简单语言一样。”因此，和费马的方法相比，笛卡儿的方法具有普遍性，而且就潜力而论也适用于更一般的曲线。 第7章 微积分的创立 1微积分的发现：解析几何是代数与几何相结合的产物，它把变量引入数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，同时也为微积分的创立奠定了基础。 微积分的创立是17世纪数学最重要的成就之一。 1967年，笛卡儿发表《几何学》一书，把几何和代数统一起来，创建了解析几何理论，开始用运动的观点研究几何轨迹，即将变数引进数学，点的运动就表现为两个位置变数x 和y 的依存关系，当x(表示动点的横坐标)变化时y(表示动点的纵坐标)也随之变化，从而描绘出点的运动状况，一个变数y 对另一个变数x 的依存关系，即函数关系，表示它们之间的变化规律。正如恩格斯所说，“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生。” 2牛顿的贡献 1665年初他创立了级数近似法以及把任何幂的二项式化为一个级数的规则。同年11月，创立了正流数法(微分)；次年1月，研究颜色理论；5月，开始研究反流数法(积分)。这一年内，牛顿还开始研究重力问题，并试图把重力理论推广到月球的运行轨道上 去。他还从开普勒定律中推导出使行星保持在它们轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比。牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说。牛顿运用他的冶金知识，制造新币，因改革币制有功。 1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首次提出了流数的概念，所谓流数就是速度，在变速运动中速度是路程对时间的微商。至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加速度是速度的微商。1969年，牛顿又完成了关于微积分的第二篇论文《运用无穷多项方程的分析学》。 除了对微积分的重要贡献之外，牛顿还在函数理论、无穷级数、微分方程、变分法、代数和解析几何等领域都有杰出贡献。 3莱布尾茨的贡献：1684年(牛顿《自然哲学之数学原理》出版前3年)发表了他的第一篇微分学论文，这是世界上最早的微积分文献。这篇论文有一个很长而古怪的标题：“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以入这种新方法的奇妙类型的计算。”这篇仅6页纸、内容并不丰富、说理也颇含混的文章，却具有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。 莱布尼茨断定一个事实：作为求和过程的积分是微分的逆。1686年，莱布尼茨在《学艺》上发表了题为《深奥的几何与不可分量及无限的分析》的第一篇积分学论文。在这篇论文中，他初步论述了求积(积分)问题与切线(微分)问题的互逆关系。莱布尼茨还是历史上最大的符号学者之一。莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的。莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共轭复数的和是实数等结论。他还对线性方程组进行研究，对消云法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具的进一步进步，他还系统地阐述了二进制计数法，并把它和中国的八卦联系起来，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。莱布尼茨的物理学成就也是非凡的。在光学方面，莱布尼茨也有所建树，另外，莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。 4牛顿和莱布尼茨的微积分的差异 1669年牛顿在第二篇关于微积分的论文《运用无穷多项方程的分析学》中，不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以由求变化率的逆过程得到，这一事实实际上已经妆步给出了微积分基本定理，不过也可以明显看出，牛顿在论文中回避了运动变化的观点而将无限小增量“瞬”看作是静止的无限小量，并在某些情况下直接令其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩。 1671年，牛顿关于微积分的第3本论著《流数术和无穷级数》，在这部著作中，他恢复了在《流数短论》中采用的运动观点，对以物体运动为背景提出的流数概念作了进一步的论述，并清楚地陈述了流数术所提出的中心问题是： (1)已经流量间的关系，求流数关系(却微分法)； (2)已经表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系(即积分法)。 1676年，牛顿完成了他的第4篇论文《曲线求积论》(1704年发表)。 在这部著作中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。” 5牛顿和莱布尼茨的工作各有什么缺陷，他们给后来的数学家还留下了哪些问题？牛顿和莱布尼茨将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算，而这是微积分建立的关键所在，只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学，并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分“牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。 剖析牛顿和莱布尼茨创立微积分的过程，可以看到，对于微积分这门新的学科而言，还有许多概念有待澄清，例如，对于无穷小的概念，牛顿曾经作出了三种解释，虽然他自己认为其中以最初比和最终比的观点最为严密，但就这仍被当时的很多数学家认为是不可靠的。莱布尼茨也是一样，虽然他自始至终用了无穷小量方法，但对微分的态度仍是摇摆不定的，时而看做不确定量，时而看做定性的零，有时又看到做辅助变量，可以说牛顿和莱布尼茨都没有清楚地理解也没有严密地定义他们的基本概念，这就给今后微积分的进一步发展留下了许多课题，使得18世纪几乎成为分析的时代。 。8章 概率论的产生与发展 1概率论的起源：17世纪资本主义经刘的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲的数学家们继承了希腊数学的光荣传统，开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去，在这一个世纪里，他们不权建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓概念论。 概念论的研究虽来源于对赌博问题的研究，但促使它迅速发展的直接动力却是来自保险业的需要。但是，实际保险问题中蕴含着错综复杂的干扰因素，例如人寿保险中的死亡概率常常受到自杀、谋杀、车祸等非正常因素的干扰，不便于人们探求其一般规律，而赌博中的投掷骰子就成了较为理想的模型，因此，从这类问题着手去探求偶然现象中的数学关系，这就是概率论的基本内容，由此可见，概率问题的研究常常和大量的数据统计联系在一起。所以，概率和数理统计就成了研究偶然现象的或然数学的主要内容。 2概率论的发生和发展过程大致可分为四个阶段 方法积累、理论概括、系统整理和公理体系完成。 3瑞士的数学家伯努利出版的《推想的艺术》，堪称概率论的第一部重要著作，概率论中的重要定律之一——“大数定律”就出自此书。 4法国数学家棣莫弗也对概率论有十分重要的贡献，他的《机遇原理》是早期概率论的专著之一，书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”、“正态分布律”等概念，得到了现在被称为“棣莫弗—拉普拉斯定理”的特例，这也是“中心极限定理”的一部分。 5到了19世纪初，概率论的研究开始朝着系统化的方向发展，其中贡献较大的数学家有：法国的拉普拉斯、泊松，德国的高斯，俄国的契比雪夫、马尔科夫等。拉普拉斯的《分析概率论》建立了观察误差的理论和最小二乘法，将分析方法引入概率论的研究，开辟了现代概率论研究的新途径。高斯对于概率论的贡献主要在于奠定了最小二乘法和误差估计的理论基础。泊松的工作是引入了一种以他的名字命名的重要概率分布——“泊松分布”，并推广了“大数定律”和“中心极限定理”。 6概率论的发生发展阶段：可以分为四个阶段：方法积累、理论概括、系统整理和公里体系完成。A 关于概率论方法的讨论最初是由帕斯卡和费马以通信的形式展开的。虽然没有明确提出概率定义，但他们在估计赌徒获胜的可能性时，总是利用有利情形数与所有可能数之比，这实际上就是早期古典概率的概念。他们同惠更斯给出了概率、数学期望等基本雏形，并得到相应的性质和计算方法。B 瑞士伯努利家族的数学家雅各布.伯努利出版的《推想艺术》堪称概率论的第一部重要著作。推广了组合理论得到所谓伯努利定理。就是概率论最重要的定律之一“大数定律”的最早表现形式。雅各布.伯努利的工作使得建立在经验分析基础上的频率稳定性的估计理论化。从此，概率论由对特殊问题的求解发展对一般理论的概括阶段。法国数学家棣莫弗写了《抽签的计量》首次定义了独立事件的乘法定理，对概率论的发展做出了重大推进。C 到了19世纪初，概率论的研究开始朝着系统化的方向发展，其中贡献较大的数学家有：法国的拉普拉斯、泊松、德国高斯、俄国契比雪夫、马尔科夫。拉普拉斯《分析概率论》倍誉为古典概率论系统理论的经典之作。将分析方法引入概率论的研究，开辟了现代概率论研究的新途径。高斯主要贡献在于奠定了最小二乘法和误差估计的理论基础，推广“大数定律”和“中心极限定理”俄国数学家引入著名的“契比雪夫不等式”，码尔科夫提出一种新的随机过程。在原子物理、理论物理、化学、共用事业等方面引用广泛，如今以发展成为现代概率论的一个新分支。D 1917年前苏联数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的功力体系，1933年，柯尔莫哥洛夫又给出了公理体系，与伯恩斯坦相比。不仅使现代意义下的概率理论更加严密完备，而且为论述无限随机试验序列或一般地随机过程提供了足够的逻辑基础，从而引用更加方便。可以说，几乎所有现代概率论的结论都是用柯尔莫哥洛夫的方式阐述的。因此，他的工作成为前苏联数学史上最光辉的一页。 第9章分析的时代-微积分的进一步发展 1微分方程：来自物理学的问题，当牛顿、莱布尼茨创立微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这有力的工具去解决愈来愈多的物理问题，但很快发现不得不对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的计数，这样微分方程就应运而生了， a 伯努利家族的贡献在他家两兄弟年之间1691年到1692之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所形成的问题。在解决问题的过程中，他们总结了解微分方程的变量分离法。特别是约翰.伯努利对这些方法作了完整的阐述，证明了如何将一次齐次方程化为可以分离变量类型的，并将这种方法用到求正交轨线的方程上，这一方法实际上最早应归功 莱布尼茨。著名的伯努利方程dy/dx=p(x)+Q(x)y (n) 则是由雅各布.伯努利于1695年提出的，莱布尼茨利用变换z=y 1-n 将其化成关于y 和y/的线性方程来处理，伯努利兄弟也给出了各自的解法，但本质上都是变量分离法。 B 欧拉18世纪则是微积分方程 自身独特理论体系的全新时代，欧拉的工作最为杰出。古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是主要建筑师之一。研究问题的最鲜明的特点是：把数学研究之手深入到自然与 社会的深层，在柏林期间，有巨大影响的《无穷小分析引论》《微分学原理>，对他来说整个物理世界正是数学方法的用武之地，他研究了流体的运动性质，建立了理想流体运动鹅基本微分方程，发表《流体运动理论》等论文，成为流体力学的创始人。他在伯努利家族的影响下，从研究力学问题，开始微分方程的研究给出了一系列有关全微分方程的理论。还证明：如果知道了任何一阶常微分方程的两个积分因子，那么令它们的比等于常数，就是常微分方程的一个积分。他还是微分方程近似解法的创始人。

C 拉普拉斯和他的摄动法，利用这些初始资料找出其在今后一段时期内的近似解，这被称为摄动法。到了18世纪，计算摄动成为一大数学问题，拉普拉斯的工作最为杰出。

D19世纪几位大师的工作19世纪是微分方程严格理论的奠定时期，第一个考虑微分方程解的存在性问题的是柯西。给出了两个方法。1876年德国数学家利普希茨把柯西的条件作了适当减弱，提出了现在所谓的利普希茨条件，这一存在性定理就叫柯西-利普希茨定理。确立常微分方程解的存在性的第三个方法是由德国数学家皮卡与1890年给出的，叫逐次逼近法。1833年力学教授施图姆和他朋友刘维尔决定研究二阶常微分方程的一般性问题，得结论，里卡蒂方程的解一般地不能有初等函数，这等于宣告：从17世纪起人们所走的那条 微分方

程的初等解的道路，前途极为有限。19世纪末，法国数学家庞加莱为处于十字路口的微分方程研究开辟了钱所未有的宽广道路，从两方面入手：一是扩充微分方程解的范围，微分方程成了特殊函数的丰富来源，微分方程和函数论之间建立了密切的联系，产生了微分方程解析理论。二是在不引进新函数的情况下研究微分方程的定性理论，发表了《由微分方程所确定的积分曲线》的四篇论文，标志着微分方程定性理论的正式建立。 2变分法 a “几何学中的海伦”旋轮线是怎样的一条曲线呢？如图：在半径为a 的圆轮的边缘上安置一电灯p ，当圆轮沿着一条直线旋转时，固定在轮缘上的灯光画出的就是旋轮线，它的曲线方程为：x=a(?-sin ?),y=a(?-cos ?)这条倍称为“几何学中的海伦”的曲线，最早注意到的是伽利略。对旋轮线的研究最为深入的是惠更斯。伯努利兄弟发现：惠更斯等时曲线就是我们正在寻找的最速降线时你们将感到更加惊奇，因为：旋轮线有着如此美好的物理、数学特性。数学家赞美她位“几何学中的海伦”更重要的是它引起产生一门与微分方程同等重要的新数学分支---变分法的主要因数之一。导致变分法产生的另一个重要因数是所谓的等周问题。这两个问题可归结为一种提法，就是所谓的变分法问题。B 欧拉经过努力，不仅推导出杆的形状取椭圆积分的形式，而且 给出了不同类型端点条件的解，发表于《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中标志着变分法作为新的数学分支诞生了，同时被看作时当时活着的最伟大的数学家。拉格朗日数学界近百多年来的许多成就直接或间接追溯到拉格朗日的工作，他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。C 来自物理学的推动正当变分问题的解取得突破性进展的时候， 给这一课题的研究又直接提供了一个新的推动，这就是最小作用原理。拉格朗日关于最小作用原理的工作赋予变分法以重大的价值。 3分析基础的严密化19世纪初，数学家 转向数学分析的基础的建设，最早对无穷小概念进行审慎研究的先驱是波尔查诺，最重要工作是关于微积分基本概念的研究。在这方面有突出贡献的首推数学家柯西特长是：在分析学方面，他对微积分给出严密的基础，还证明了复变函数论的主要定理以及

在实变数和复变数的情况下微分方程

解的存在定理，现在所谓的柯西定义

实际是半个世纪后经过魏尔斯特拉

斯的加工才完成的，分析学的逻辑基

础 发展史上的重大事件是实数理论的建立。实数三大派理论：巍尔斯拉特斯的“有界单调序列”，戴德金“分划”康托尔海涅的“基本序列”再加上集合论和柯西、巍尔斯特拉斯的极限论，使数学分析结束了300多年的混乱局面，建立在牢固的逻辑上，其中逻辑上的严密性，有如欧几里得几何学一样令人惊叹；其形式上的严谨性，实非古希腊人所能梦想。关于微积分学的发展，毕达哥拉斯的名言是惊人的贴切：万物皆数。

第10章痛苦的分娩---几何学的革命

1关于第五公设的思考 2高斯他的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学。都留下了他的足迹。早在1792年，即他15岁，就思考过第五公设问题。1794年，高斯已发现非欧几何中的一个事实：四边形的面积与360°与四个内角和的差成正比。从1799年起，他着手建立这一新几何的内容，1813年已形成比较完整的思想。开始他把这种几何称为“反欧几何”，后称“星空几何”，最后定名为“非欧几何”。是18、19世纪之交的中坚人物。非欧几何的三位发明人：高斯、波尔约罗巴切夫，只有罗巴切夫是最坚定不移地捍卫自己成果的斗士。1823年，用如下命题代替第五公社：“过已知线外点至少可作两条直线和已知直线不相交”作为基础，进行严密的推论，看到令人觉其荒谬的时候，而是冷静地把这些所得到的几乎与欧几里得《几何原本》同等容量的逻辑命题体系，建立了一种与欧氏几何不同的几何学，是相容的，作了《关于几何原理的扼要叙述及平行线定理一个严格证明》的报告。由于还没有找到这种几何的实际应用。后成为“泛几何”。对非欧几何给了全新的证明。 3非欧几何学主要指双曲几何学和椭圆几何学。 4黎曼对非欧几何的贡献：19世纪德国数学家使非欧几何有了重要突破。1854年，黎曼在哥丁根作了《论作为几何基础的假设》提出了一种全新的非欧几何的思想。推广了高斯的内蕴几何学的思想。黎曼把数学向前推进了几代人的时间。 5非欧几何的产生对后来的影响：a 随着非欧几何的产生，引起数学家们对几何基础的研究，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间，使几何的发展进入了一个似抽象为特征的崭新阶段，可以说：非欧几何的产生是数学以直观为基础的时代进入一个以理性为基础时代的重要标志。B 非欧几何的产生，引起一些重要的数学分支，如数的概念、分析基础、数学基础、数理逻辑等，公理化方法也获得进一步完善。C 非欧几何学的创立，为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，给物理学带来了一场深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃d 非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期。冲破传统观念并破除千百年来的思想习惯，对数学的绝对观点刮来一场暴风，给康德的唯心哲学以有力一击，使数学从传统的而上学的束缚下解放出来，用康托尔的话说“数学的本质在于其自由”。总的来说，非欧几何的建立所产生的一个“最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变对数学性质的理解”。 6高斯的贡献：高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。早在1792年，即他15岁，就思考过第五公设问题。1794年，高斯已发现非欧几何中的一个事实：四边形的面积与360°与四个内角和的差成正比。从1799年起，他着手建立这一新几何的内容，1813年已形成比较完整的思想。开始他把这种几何称为“反欧几何”，后称“星空几何”，最后定名为“非欧几何”。 7非欧几何的起源：早在1792年，高斯15岁，就思考过第五公设问题。1794年，高斯已发现非欧几何中的一个事实：四边形的面积与360°与四个内角和的差成正比。从1799年起，他着手建立这一新几何的内容，1813年已形成比较完整的思想。开始他把这种几何称为“反欧几何”，后称“星空几何”，最后定名为“非欧几何”。 第11章年轻人的事业—代数学的解放 1群论的起源19世纪以前的代数学，基本上就是围绕方程理论展开的，尽管四次以上的方程的根式解问题未能获得进展，但与解方程相关的一些问题却又相当的成就，高斯第一个对代数基本定理给出了完整的证明，开创了证明存在性问题的新途径；韦达根据这一定理，得到了根与系数的关系；最值得一提的是，拉格朗日在分析三次、四次方程解法时所考虑的“拉格朗日预解式” 其中abc ……1是方程的根， 是任一个n 次单位根，明确指出这些式子与用根式解方程有密切关系。他甚至感觉到方程 的排列理论比方程根式解的理论更有意义，是“整个问题的真正核心”，他在《关于方程的代数学解法思考》中分析三四次方程时就已经看到方程根的对称性的作用，而他分析中所运用的方法，实际上已涉及一个新的数学概念，即置换群的概念。 2阿贝尔的贡献高于四次的代数方程不可根式解的问题，由挪威的数学家阿贝尔所证明，是公认的椭圆函数论的创始人，发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论级数求和等方面都具有巨大的贡献。在1824年到1826年研究方程的可解性问题的，证明了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不代数地求解。接着又进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题，在高斯分圆方程可解性理论的基础上，解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，就是现在的阿贝尔方程。其实对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群地思想和特殊结果。还引入两个新的数学概念：域和不可约多项式，由此可见：阿贝尔不仅开创了“不可能性”证明的新的数学思想，而且第一个引入了数学结构的思想，“域”的概念就是最早的数学结构。解决了构造任意次数的代数可解方程的问题 3伽罗瓦贡献阿贝尔证明了四次以上方程根式方程的不可能性，并没有排除特殊高次方程的根式可解性。伽罗瓦彻底解决了这个问题：即要寻找方程能用根号求解的充要条件。他引入了置换群、子群、正规子群等全新的概念。发现了代数方程可用根式解的基本定理—伽罗瓦基本定理。三大作图难题，作为伽罗瓦理论的副产品，如此干脆地解决了。仅此一点，人们就可以感到伽罗瓦的伟大了。 4代数结构的思想其重要性不是在伽罗瓦以后马上被认识的到19世纪末对许多不相联系的代数出它们共同的内容来进行综合研究。克莱因在爱尔朗根大学演讲。被称为爱尔朗根纲领。指出的几何学都可以用群予以分类，可以用群来统一几何学，每种几何都可用变换群来刻画，所要考虑的这个群地不变量的性质。 5代数学的扩张 A 哈密顿与“四元数”哈密顿最大贡献是发现了四元数。A+bi+cj+dk B 格拉斯曼等人的扩张：格拉斯曼出版《线性扩张论》工作具有高度创造性,“扩张量”指具有n 个分量的超复数，还讨论了超复数的混合积。 C 四元数的诞生和格拉斯曼等人的扩张，意义：不仅在于提供 不满足乘法交换律以外，具有实数和复数几乎所有性质的一种代数，也不仅在于它为物理等学科提供了一个适当的数学工具，而在于在哈密顿以前，人们一直把数的加法、乘法满足性质a+b=b+a,a 3b=b 3a,当作公里，而哈密顿四元数的乘法，不满足乘法的交换律，这与学的“正统思想”如此相悖，他的工作向数学界表明;在代数中也可以像非欧几何那样，在人为天经地义的代数公里系统中去掉几条或添上几条就会得到新的代数。 第12章春日盛开的紫罗兰-现代数学论 1泛函分析的诞生发端于19世纪末20世纪初，前期产生的背景是变分法、集合论和积分方程的发展引起的。最早研究泛函分析方法的是伏尔泰。在建立泛函分析抽象理论的过程中，法国数学家费雷歇在1906年的论文中作出了第一个具有重要意义的贡献。用抽象的形式表达了函数空间。指出：空间中每一点都是函数，函数的极限可以看作时空间中点列的极限，并引入了一类L 空间。数学大师希尔伯特在研究积分方程时，曾经将一个函数看作是由它相应的正交函数系列的傅里叶系数 的。数学家施密特将其抽象为一般地L 2空间。匈牙利数学家则进一步由积分方程导出了L p 空间，开始研究抽象算子理论，并引入范数的概念。对函数分析的发展最有显著贡献是波兰数学学派。领军人物是巴拿赫和史坦豪斯，巴拿赫1932年《线性算子理论》提出了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理。成为泛函分析达到成熟阶段的标志。巴拿赫被称为“函数分析之父”。在函数分析发展中最卓越的成就应该是冯.诺依曼关于希尔伯特空间上对称算子的研究。另外法国数学家施瓦茨、前苏联数学家索伯列夫、和盖尔范德对广义函数即函数空间上连续性泛函作出了巨大贡献。函数分析的出现，不仅推动了分析学的发展，使得该领域的面貌发生了巨大的变化，而且它的观点还广泛渗透到 的科学和工程技术领域。 2抽象代数确立19世纪初，由于伽罗瓦等人的工作，代数学研究的对象已经突破了传统的数(包括符号表示的数)的范畴，到了19世纪末，德国数学家戴德金、韦伯和希尔伯等人通过对许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征，进行统一的公理化处理，使得群、环、域、模以及代数等相关概念进一步深化，并逐渐将其应用于代数学的各个领域，一个新的数学分支——抽象代数初现端倪。而这一分支的主要奠基人是德国女数学家诺特，1920后自己独创“抽象代数学”的道路，发表《整环的理论》这套理论完成1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到数字、文字和更一般元数的代数运算规律和各种代数结构。完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。 3拓扑学的起源与发展它起源可以追溯到18世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究，高斯的学生李斯廷1847年发表《拓扑学出步》被称为第一本拓扑学著作。1852年古德里提出的关于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用。组合拓扑学的系统研究始于法国数学家庞加莱，他在关于复函数的单值化和由微分方程决定的的研究中，引出组合拓扑学问题的。从他开始，拓扑学分为点集拓扑学和组合拓扑学两部分。使得拓扑学的发展更为宽广的道路。点集拓扑学的概念是1908年由德国数学家舍恩弗利斯在研究欧几里得运动和正规空间的分割理论时提出的。拓扑学在20世纪二三十年代获得重大进展。特别在同调理论方面的研究取得了一系列的重要结果。 4应用数学的崛起a 运筹学这思想十分古老，在古今中外兵法中也多有体现。目前这一学科包括博弈论、规划论、排队论、决策分析、图论等众多分支。如冯.诺依曼的博弈论。B 控制论创始人：美国数学家维纳，1948年专著《控制论—或关于在动物和机器中控制通讯的科学》问世，标志着一门新的综合性学科的诞生。维纳的控制论通常称为“经典控制论”。20世纪50年代后期，控制论得到迅速发展。如称为现代控制论的三大基石：前苏联数学家庞特里亚金提出了极大值原理；美国数学家卡尔曼1960年引进了状态空间法和“卡尔曼滤波”；贝尔曼提出了动态规划最优化原理。这推动了控制论的进一步发展。C 密码学：密码的研究带有神秘的色彩，1884年，莫尔斯发明了有线电报，对保密的迫切需要，推动了密码学的研究。第一次世界大战期间，由于对抗双方实战的需要，密码学的研究产生了一个重要的转折，它由简单的密码分为密码编制学和分析学两个分支。到了第二次世界大战，已经完成了其关键的发展阶段：密码编制实现了机械化，密码分析实现了数学化。随着电子计算机的诞生，密码编制进入了电子时代。尤其是第5代计算机的出现，对密码学的研究要求更高。因此，计算机密码学就应运而生了。D 模糊数学的起源在20世纪60年代，诞生了一门新的数学分支—“模糊数学”，人们把数学二通常称为精确数学或经典数学但是，又以这个要求，限制了数学的应用范围。使他无法处理日常生活和社会实践中大量不明确的模糊现象和概念。如“秃头悖论”就是这一矛盾的生动直观的反映。其实这类模糊概念都没有明确的外延。美国加利福尼亚大学的控制论专家查德冲破了二值逻辑的局限，创立了一门新新学科—模糊数学，为解决这类问题。提供了有力的工具。为了解决模糊性问题。查德研究了数学的基础-集合论。寻找数学方法和人脑思维的分歧所在。发现：普通集合论实质上市扬弃了模糊性而抽象出来的，它把思维过程绝对化，从而达到精确、严格的目的。查德提出了一种新的集合理论—模糊集合论，1965年发表《模糊集合》两篇论文。标志着模糊数学的诞生。 5电子计算机发展所涉及的数学家真正可以称为计算机的计算工具是在17世纪的欧洲出现的，1942年，法国数学家帕斯卡发明了一种机械的台式加法机。1671年，莱布尼兹又设计出了一台能加能乘的机器，但直到1694年才勉强制造成功。这类机械的实用价值是很小的。例如，直到18世纪末，法国政府为推进百进位角度而重编三角函数表和三角函数对数表时，仍然还是使用人力来进行计算。 英国科学家查尔斯?巴贝奇(Babbage,1792-1671)是计算机发展史上的一个重要人物。 1944年，美国国际商用机器公司(IBM)和哈佛大学联合研制的马克一号计算机，实现了巴贝奇的梦想。马克一号本质上是一台机械计算机，但它部分地使用了继电器，这表明电子技术开始进入计算机，并预示着电子计算机的时代即将到来。 著名数学家冯?诺伊曼。经过三年的紧张研制，1946年，ENIAC 开始正式运行。该机占地170平方米，用了18000个电子管，总重量达30吨，耗电140千瓦，运算速度为每秒5000次加法，它能按照人们事先编好的程序自动地进行运算，从而体现了电子计算机最基本的特征。西方数学界赞誉他为“计算机之父”。在冯?诺伊曼完成这些开创性工作的同时，埃克特和莫希莱通力合作制造商用存贮程序计算机。电子计算机的制造进入工业生产阶段。 6计算机的出现对数学科学发展的影响电子计算机的出现，有力地 了计算方法和计算数学的发展。对计算方法不断提出了新的目标和要求，反之，计算方法的发展也会启发工程师改进计算机结构，以满足计算方法发展的需要，这种关系相互依存。使得现代计算数学不断涌现新的概念、新课题、和新方法。如：1976年，美国数学家阿佩尔和黑肯利用计算机解决了著名的四色问题。我国数学家吴文俊等利用代数方法设计一整套机械化程序，在1980年前后实现了初等几何和微分几何中的一些主要定理的机器证明，国际称“吴方法”使得中国学者在数学机械化领域处于领先地位。为计算数学和计算机技术开辟关阔前景。 数学方法论绪论 1数学方法论的研究对象与学科性质 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。 2研究数学方法论的目的和意义①对数学的研究工作来说它能促进对合理方法的天才的、不自觉的运用向有意识的、自觉的应用的转化；②就数学的教学工作而言，数学方法论事实上是对我们的教师提出了更高的要求，我们既要注意知识的传授，也要注意数学方法论方面的训练和培养；③自觉地以数学方法论来指导数学学习，也可以收到更好的学习效果。 第一章：波利亚的数学启发法 1波利亚四种具体阶梯模式：双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式。 2波利亚提出的怎样解题包含的环节a 弄清问题；我们必须清楚地了解问题，弄清它的主要部分。b ，拟定计划；我们必须了解已知的东西与所要求的东西之间的联系。c ，实现计划；实现我们的求解计划，并仔细地检查每一个步骤。d ，回顾。回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。 3解题过程中思维活动性质：a 动员与组织解题过程主要有这两种活动组成的b 辨认与回忆，充实与重新安排，充实和宠幸安排可以看成组织的两个基本意义。C 分离与组合 2合情推理的模式基本归纳模式：A 蕴含B B 真／A 更可靠 3类比的意义类比是某种类型的相似性…是一种更确定的和更概念性的相似 4归纳是指通过对特例的考察和综合去发现一般规律。 5类比与归纳的关系A 类比是归纳的基础；B 、特殊化和一般化构成了整个归纳过程的基础；C 、如果一批问题是密切相关的，把这些问题联系起来加以考察有时要比单独去解决其中一个孤立的问题容易些。 6特例考察的意义：一考察了一般命题的具体特例以后，我们就可以彻底了解这个命题，懂的它的全部意义。二在用新地特例验证了一般结论之后，就得到归纳的证据，这也就是增强了我们对原来猜测的信心。三相对于位于归纳阶段之后的论证阶段来说，特例的考察有助于证明思想的发现。 第二章：数学发现的逻辑与关系映射反演的方法 1化归方法的基本思想“化归”是转化和归结的简称，化归方法是数学解决问题的一般方法，基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段，归结为另一个问题B ，而问题B 是相对容易解决或已有固定解决方程式的问题，且通过对问题B 的解决可得原问题A 的解答。 2化归方法的一般模式问题 问题-问题-解答-解答 3化归方法的基本原则①简单化原则简单化原则是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构，通过化归，将其变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路。② 熟悉化原则熟悉化原则是指将原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如，二元方程组化成一元方程组。③和谐化原则 和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。 4关系映射反演方法的基本思想：这是由中国学者徐利治与1983年提出的，当解决问题甲有困难时，可以借助适当的映射，将问题甲及其关系结构R ，转换成比 较容易解决的问题乙及其关系结构R[*]，在关系结构R[*]中解出问题乙，然后把所得结果，通过逆映射反演到 R ，从而求得问题甲的解。 关系映射反演方法方法的基本内容：设R 表示一组原象的关系结构（或原象系统），其中包含着待确定的原象X ，令M 表示 一种映射，通过它的作用假定原象结构系统R 被映成映象关系结构R[*]，其中包含未知原象X 的映象X[*]，如果 有办法在R[*]中把X[*]确定下来，则通过逆映射即反演I=M[-1]也就相应地把X 确定下来。利用关系映射反演方法方法解决问题的步骤为： 关系─映射─定映─反演（得解）。 5特殊化和一般化：特殊化是指考虑一般性命题的特殊例子；一般化是指由一些特例抽象出共同的特性。 6特殊化在解题过程中作用：一只有通过特殊化我们才能很好地了解所面临的问题，二只有通过特殊化我们才能认识导致一般化的模式，三对于所得出的一般结论我们又必须借助进一步的特殊化去进行检验。 7所谓抽象就是指由具体事物中抽取出相对独立的各个方面、属性及关系等的思维活动。数学抽象的特殊内容是一切数学对象都是抽象思维的产物，就其 最基本的意义来说，数学抽象就是指具体事物中抽取出量的方面、属性或关系。 8数学抽象的特殊内容：数学是从量的方面反映客观实在的，即在数学的抽象中我们完全舍弃了食物的质的内容而仅仅保留了他们的量的属性，这种特殊的抽象内容就是数学与一般自然科学的一个基本区别。 9数学抽象的特殊方法：抽象思维事实上就是一种“构造性”的活动：即我们借助于明确的定义“构造”出了相应的数学对象。 10数学抽象的特殊量度 数学抽象所达到的高度远远超出了其他科学中的一般抽象。 首先，尽管一些基本的数学概念具有较为明显的直观意义，但数学中又有很多概念并非建立在对于真实事物的直接抽象之上，而是较为间接的抽象的结果。其次，更为重要的是，在数学中还有一些概念与真实世界的距离是如此之遥远，以致常常被说成“思维的自由想象与创造”；而且，这种思维的“自由性”又被认为是（现代）数学的“本质”最后，就现代的数学研究而言，其高度的抽象性又突出地表现在公理化方法的现代发展上，即由实质的公理化方法到形式的公理化的发展。 11数学抽象的基本原则：（1）模式建构形式化原则（2）弱抽象、强抽象及其方法论原则（3）同向思维、逆向思维及若干方法论原则（4）悖向思维与悖向思维和谐性原则 会根据实例判断抽象的类型（弱抽象、强抽象）例如，由现实原型出发去构造相应的数学模式，就是一个弱抽象的过程。例如，由“全等形”的概念出发，通过分离出“形状相似”与“面积相等”的特性，我们就可分别获得较为一般的“相似形”和“等积形”的概念。另外，由欧氏空间的概念出发，逐步引出内积空间、距离空间、拓扑空间等概念的过程，也是一系列弱抽象的结果。强抽象是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，从而，所获得的新的概念或理论就是原型的特例。例如，由一般三角形的概念出发，通过引入“两条边相等”或“一个角为直角”的特征，我们就可分别获得较为特殊的等腰三角形和直角三角形的概念。另外，如果以符号 “ ”表示强抽象的关系，则群、环、域等概念就组成了如下的强抽象链。群 环 域。

12数学美 亚里士多德指出：“认为数学科学全不涉及美和善是错误的……数学科学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式。”

罗素：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美……是一种冷而严肃的美，它没有音乐美术那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步。”

庞加莱：“数学美在于各部分的和谐秩序，使得物体让我们感官满意的彩虹般的外表。”“数学的美感，数与形的和谐感，几何学的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的审美感……正是这些特殊的审美感，起着我已说过的微妙的筛选作用。”“因此缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。”

13数学美的内容 数学美主要表现在其直观性、简洁性、统一性和奇异性。一般美的形象性、情感性、新颖性和功利性都融于数学之中。数学美是一种客观存在,是自然美在数学中的反映。美感,这是人们的一种愉悦感,是心灵上需要的某种适应性。而数学家对美的感受则着眼于数学的方法和理论,正入数学家庞加莱所说:“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美,这并非华而不实的作风。”数学方法与理论中的美,就是各个部分之间的和谐与对称,恰到好处的平衡,一句话,那就是井然有序,统一协调,从而使我们对整体以及细节都能清楚地认识和理解。

14美学方法在中学数学中的作用 一、美学方法能培养学生对数学这门学科的学习兴趣。爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师。”因而只要学生对数学产生了兴趣，那他们对数学问题会更加勤于思考，乐于钻研。例如，高中数学教材就介绍了杨辉三角。在老师的引导下，让学生感受到其对称美，简洁美，统一美。使他们看到小小的一个三角形竟蕴藏着如此多的数学知识。再如三角形是生活中和中学数学中的基本图形之一，它包含着许多的内在规律，比如任意三角形三条中线，三条高，三条中垂线，三条内角平分线都交于一点，三条中位线都平行于底边，且等于底边的一半，等等这些，难道你能说这些不是一种美吗？ 二，美学方法有利于培养学生的发散思维能力。发散思维主要以数形之间的直观想象，探索过程中的合情推理，从有限到无限的形式模拟，数学结构之间的关系猜测等思维形式为代表。在很多情况下，我们可以从不同的角度去看待一个代数式。特别是数学中数与形的完美统一——数形结合在中学数学教学活动中对于培养学生的数学美感，培养学生的发散思维能力，拓宽学生的知识视野，让学生跳出传统的思维模式，发挥自己思维上的主观能动性都是很有作用的。如，已知三棱锥S ―ABC 的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，底面上一点P 到三个侧面的距离分别为2，3，7求P 到S 的距离。初看此题学生不知如何下手，

但只要老师给予一些提示：让我们先

在平面几何考察相类似的问题，首先

上述三棱锥在平面几何相当什么图形

(直角三角形)这样上面的问题在平面几何相当于什么问题 (已知直角三角形SAB ，SA^SB ，斜边上一点P 到两直角边的距离分别为a ，b 求P 到S 距离。)你能解平面几何中的这个问题吗?上述解法可以借鉴到立体几何从而得出原题的解法吗?从而使学生通过类比得出了本题的解法。这样，就引导学生从不同的侧面去看待一个数学问题，从而提高了学生分析问题，解决问题的能力。

三，数学美学从某种程度上说，可以

培养一个人完善的人格品质，帮助他形成良好的世界观，人生观、价值观。数学教育家辛钦说过，

“根据我的多年经验，钻研数学科学会在青年人身上循序渐进地培养出道德色彩明显，并进而能够成为其主要品德因素的特点”。①数学教人诚实和正直。只要一个命题没有被证明，它就暂时不能纳入到真理宝库中去，人们就有理由去怀疑，而不管提出命题的人的资历和声望。倘若命题得到证明，那么它的真理性便得到认同，并被普遍采纳和执行，也不存在人微言轻的现象。据说英国律师至今要在大学里学习许多数学知识，这不是因为律师工作与数学有多少直接联系，而是出于这样一种考虑，那就是经过严格的数学训练，能够使之养成一种独立思考而又客观公正的品格；②受过良好数学教育的人，在数学的学习和训练中所形成的品质，会对其工作产生积极影响。数学的精确，严格，使他们在工作中减少含糊笼统，不求甚解。数学的抽象分析，使他们善于透过现象洞察事物的本质。数学中精辟的论证，精练的表述，使他们的谈话和行文简明扼要。我们不应把数学教育单纯地理解成知识的传授和技能的训练。数学教育需要培养人的素质。学生进入社会后，也许很少直接用到数学中的某个定理和公式，但数学的思想方法，数学中体现出的精神，却是长期起重要作用的。作为一线数学教育工作者应该在数学教育中提高人的素质。四，数学美学能培养出数学家，还能培养出艺术家，哲学家等其它各个学科领域的人才。近来的研究表明：毕加索与爱因斯坦同源。初听起来似乎是不可思议，一个是画家，一个是科学家，他们怎么可能同源呢1905年，爱因斯坦发表了狭义相对论，1916年，他又发表了广义相对论，而在1907年，毕加索完成了油画《亚威农的少女》正式宣告了“立体主义”的诞生。原来，早在1902年他们两人所在的小组同时读过法国数学家亨利2庞加莱所著的《科学与猜想》一书，并深受其影响。这本书意旨在阐述几何语言与物理运动之间的关系。它启发了爱因斯坦对四维空间的研究，同时，也为毕加索把时间作为第四维引进图画，在单幅画中描绘整个运动过程。事实上，数学家克莱因说过:“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”中学教学目的正是为社会，为国家多培养各方面的人才，由此可见，数学美学在中学数学教学中地位是相当重要的。数学美，它反映在教学艺术上，主要包括结构美——数学教学内容的组织应该有严谨的，合理的结构；形式美——教学的形式有数学实验，数学模型，数学CAI课件等等；机智美——数学课的教学活动中，经常会遇到意想不到的提问或其它情况。教师的随机应变，因势利导，巧妙地化解矛盾。数学美育的作用还有很多，就需要数学教师通过讲解，剖析，图形，图像，幻灯片，多媒体等，使数学的内容活起来，动起来，从而赋予数学内容以美的生命，美的内涵，使学生从对数学显性美的认识提高到对数学隐性美的认识；从感性认识提高到理性认识，进而形成数学美感，达到数学审美的最高境界——应用数学美和创造数学美，从而真正意义上领会数学的内涵。

15数学直觉的特性（1）直接性（2）整体性，（3）自信性（4）不连贯性，（5）自发性（6）猜测性

16三大几何难题不可解性的证明在数学史上的历史发展中也具有重要的意义：首先它结束了延续2000年之久的一件“公案”，从而避免了后人再在这些问题上无谓地去耗费时间和精力，其次：从方法论的角度看，这一研究表明了在数学中我们不仅应当寻求正面的肯定的解答，而且也应考虑可能的、否定的解答；最后这也就从又一角度表明了关系映射反演方法的重要性及其应用的广泛性。

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最新天津自考“经济应用数学”课程考试大纲

天津2012年自考“经济应用数学”课程考试大纲

天津市高等教育自学考试课程考试大纲 课程名称:经济应用数学课 程代码：3093 编写弁言 《中华人民共和国高等教育法》第二十一条规定“国家实行高等教育自学考试制度，经考试合格的，发给相应的学历证书或其它学业证书。” 高等教育自学考试的开考专业根据经济建设和社会发展的需要设置。当前，中国高等职业技术教育正处于发展时期。发展职业技术教育是促进经济、社会发展和社会主义精神文明建设的重要途径。作为高等教育事业的重要组成部分，高等教育自学考试开展职业技术教育，对调整教育结构、广开成才之路，对普及义务教育、提高教育整体效益，对促进素质教育、增强教育与经济的紧密结合都具有重要的作用。 高等职业技术教育培养的是活跃在生产、管理、服务第一线，掌握专业知识、成熟技术和管理规范，具有完成职业任务能力的应用人才。高等职业技术教育的专业设置与社会需求密切结合，强调知识、技能、态度和价值等素质的整合及其在具体工作环境中的应用。其课程是依据社会经济发展对劳动力的需求，在以职业为导向的整合能力本位思想指导下开发的。高等职业技术专业的课程标准(大纲)是职业活动、学科知识和学习经验的综合反映，在课程内容和课程内容的构造方式上，具有针对性、应用性和综合性的特点。 1999年4月全国高等教育自学考试指导委员会批准天津市开展高等教育自学考试职业技术专业的试点工作。尔后，又批准了应用电子技术等十二个职业技术专业的专业考试计划。天津市高等教育自学考试委员会根据全国高等教育自学考试指导委员会《关于天津市开展高教自学考试职业技术专业试点的批复》(考委［1999］7号)、《关于天津市申请开设计算机技术与应用等高职专业的批复》(考委［1999］24号)的意见和《天津市高等教育自学考试职业技术专业课程考试大纲编写要求》组织编制了试点专业有关课程的考试大纲。这些课程考试大纲尽力体现了前述特点。今后，还将继续修订，以臻完善。 《经济应用数学自学考试大纲》由刘光旭教授、张效成副教授、俞钟祺教授、王鹏涛教授、周禄新副教授及杜瑞文高级讲师等参加编写，刘光旭教授执笔。 《经济应用数学自学考试大纲》经专业委员会审定，天津市高等教育自学考试委员会批准，自1999年9月1日起试行。 天津市高等教育自学考试委员会 1999年8月 第一部分课程性质 《经济应用数学》是高等教育自学考试经济管理类专业的一门重要基础理论课。其设置目的是为了使已具备高中(包括中等专业和职业高中)文化程度的自学应考者掌握高等数学和线性代数的基础知识、基本理论、基本方法和技巧，提高数学素质，培养用数学方法分析和解决实际问题的能力，为学习后继课程以及接受继续教育打下较好的数学基础。 第二部分课程目标与基本要求 《经济应用数学》的课程目标与基本要求是让自学应考者掌握一元微积分和线性代数

数学文化与数学教育读后感汇编

《数学文化与数学教育》读后感 读了这本书对我的感触很深，使我懂得了好多数学的道理，对我的学习有了更大的帮助，而数学史对于大学数学教学来说就是一种十分有效、不可或缺的工具。认识到数学史在大学数学教学中的作用，并将数学史与大学数学教学紧密的结合起来，不但能有效的激发学生学习数学的兴趣，而且对于提高其数学方面的素质修养以及逻辑思维能力、启发文科学生的人格成长、发展其认知能力等都有十分重要的作用。 1.数学史是大学数学教学的重要的组成部分 俗言说的好“冰冻三尺非一日之寒”。数学知识的发生和发展过程其实就是数学家与困难、问题的斗争史。数学本身不仅是一门科学，而且还是一种精神，一种探索精神。比如，微积分是由牛顿、莱布尼兹、欧拉、维尔斯特拉斯等多位大数学家前赴后继，历尽艰辛，历时千年才建立和发展完善的。了解数学理论知识建立的历史，不但可以使学生对所学知识有一个全局的完整的认识，而且可以使学生学会由易到难、由已知到未知，逐步的克服障碍，在探索中学习。 2.数学史可以构建数学与人文之间的桥梁，激发学生学好大学数学的兴趣 数学学科的抽象性、严密的逻辑性, 使得很多学生有畏难心理, 大学数学的学习也相应的恶化成枯燥无味的公式记忆和解题演练。荷兰数学家和教育家赖登塔尔就批评那种注重逻辑严密性、而没有丝毫历史感的教育乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”[2]。因此, 如何构建数学与人文之间的桥梁, 激发学生学习的兴趣就成了教师的首要任务。数学是各个时代人类文明的标志之一。数学对整个人类文明产生了不容质疑的影响，无论是物质文明还是精神文明两方面都是这样。数学对人类物质文明的影响，最突出的是反映在它直接或间接参与了从根本上改变人类物质生活方式的三次重大的产业革命。比如，第一次产业革命的主体技术是蒸汽机、纺织机等，它们的设计涉及对运动与变化的计算，而这只有在微积分发明后才有可能。又如，原子能的释放，首先是由于爱因士坦利用数学工具导出的著名公式揭示出质能转化的可能性。而现在的航天事业的发展更离不开数学的参与。“神舟飞船”的历次成功飞行都离不开数学家的参与。数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。比如，日心说的决定性胜利是在牛顿用当时最新的数学工具——微积分和严密的数学推理从动力学定律、万有引力定律出发推演出太阳系的运动之后。哥白尼的学说得到证实恰是通过这样的事实：天文学家加勒根据几位数学家在数学上的推算和预报找到了一颗新的行星——海王星。在大学数学的教学中，在学到相关数学知识的时候，适时的将数学知识与其在促进当时社会的发展联系起来，使学生认识到数学与人们的生活息息相关，其来源于生活、服务于生活。这将有助于树立学生对数学课正确的认识，增强学习兴趣。 3.数学史在大学数学教学中具有重要的德育功能 数学中蕴涵着丰富的辩证唯物主义的思想。在数学史上，数学概念的形成与演变，重要思想方法的确立与发展，重大理论的创立与变革等，无不体现唯物辩证法的核心思想——发展、运动与变化。比如，自从数学中引入了变量，运动就进入了数学。在高等数学中至始至终贯穿着动态的变量的思想，函数就是这一思想的具体体现。通过函数出现历史的介绍，就可以教会学生学会用变化、运动的观点看待事物、看待世界。在大学数学教学中融入数学史，

江苏省高等教育自学考试大纲

江苏省高等教育自学考试大纲 06289工程招标与合同管理 南京工业大学编 江苏省高等教育自学考试委员会办公室 一、课程性质及其设置目的与要求 （一）课程性质和特点

《工程招标与合同管理》课程是我省高等教育自学考试工程管理专业（独立本科段）的一门重要的专业课程，其任务是培养应考者系统地学习建筑工程招投标与合同管理领域的基本知识，了解建筑工程招投标与合同管理的现状和发展趋势，掌握建筑工程招投标与合同管理各研究领域的基本理论和方法，深刻认识建筑工程招投标与合同管理在工程管理中的地位和作用，为建筑工程招投标与合同管理在我国的发展与利用培养专门的管理人才。 （二）本课程的基本要求 本课程共分为八章。在对建筑工程招投标与合同管理的学科基础、研究和应用领域进行简要介绍的基础上，重点阐述了建设项目招标、施工项目招标、合同法原理、建设工程施工合同示范文本、FIDIC土木工程施工合同条件、施工合同的签订与管理、施工索赔。通过对本书的学习，要求应考者对建筑工程招投标与合同管理有一个全面和正确的了解。具体应达到以下要求： 1、了解建设项目招标、施工项目招标、FIDIC土木工程施工合同条件、施工合同的签订与管理； 2、理解并掌握合同法原理、施工合同文本的具体条款； 3、掌握施工合同的索赔的基本要求、索赔方法和技巧、索赔的计算方法。 （三）本课程与相关课程的联系 建筑工程招投标是建筑工程与管理工程的交叉学科，覆盖的学科领域非常广泛，它是以土木工程和管理工程为主，结合施工和合同法原理等工程学科的综合性应用学科。因此本课程的前修课程包括建筑施工技术、建筑施工组织、土木工程造价、合同法等，这些课程可以帮助我们更好地掌握建筑工程招投标与合同管理。 二、课程内容与考核目标 第一章绪论 （一）课程内容 本章简要而全面地介绍项目管理与项目经营管理，对项目管理的特点和方法做了说明，阐述了项目经营管理的内容。 （二）学习要求 掌握项目管理与施工项目的市场环境和法律环境的相关背景，对其特点做了详细说明。 （三）考核知识点和考核要求 1、领会：项目管理的内容； 2、掌握：施工项目的市场环境和法律环境。 第二章建设项目招标 （一）课程内容 本章介绍了建设项目的招标方式和招标程序，对招标的具体事务做了详细说明，给出了招标文件的格式。 （二）学习要求 通过本章的学习，要求深刻理解并掌握建设项目招标的理论基础、招标的基本的内容和相关定义，掌握建设施工项目招标的程序，招标文件的编制。 （三）考核知识点和考核要求 1、领会：建设项目招标概述； 2、掌握：招标方式； 3、熟练掌握：施工招标的程序；施工招标文件。

河北省高等教育自学考试课程考试大纲

河北省高等教育自学考试课程考试大纲 课程名称：室内陈设艺术设计课程代码：10091 第一部分课程性质与学习目的 一、课程性质与特点 本课程是高等教育自学考试美术专业所开设的专业课程之一。《室内陈设艺术设计》教材含室内陈设艺术设计概说，设计范围，设计构成，设计欣赏，从本质上说明了室内陈设艺术设计就是要重视“物质建设”和“精神建设”。 二、课程设置的目的和要求 其目的是通过教学，使学生通过学习室内陈设艺术,分清与室内装潢，室内装饰，室内布置，室内摆设这些同一实质不同名词概念，内涵和目的的认识。 三、与本专业其它课程的关系 本课程的教学能够使学生了解到室内陈设艺术设计是室内设计不可分割的重要组成部分，与其他许多室内设计课程，如灯具，家具，绿化，装饰面料一样，共同解决室内空间形象设计和室内装修中的装饰问题。 第二部分课程内容与考核要求 第一章室内陈设艺术设计概说 一、学习目的与要求 通过本章的学习，要求了解室内陈设艺术设计是室内设计不可分割的重要组成部分。

1、陈设艺术设计与室内设计是一种相辅相成的枝叶与大树的关系。 2、室内“精神建设”是室内陈设艺术设计的重点，它是以精神品质，性灵和视觉传递方式的生活内涵为基本领域。 第二章室内陈设艺术设计分类 一、学习目的与要求 使学生对室内陈设艺术的主要类别有基本的，正确的认识，学会在繁杂的陈设品中对其有一个基本的归纳和认识，方便在设计中熟练应用。 二、考核知识点与考核要求 1、室内陈设艺术按风格样式分类主要有几种。 2、室内陈设艺术按陈设方式分类主要有几种。 3、室内陈设艺术按使用功能分类主要有几种。 第三章室内陈设艺术设计范围 一、学习目的与要求 室内陈设艺术门类和配置方法很多，品质更是繁杂。本章通过对设计范围的归纳，使学生学习的更有条理和明确。 二、考核知识点与考核要求 1、室内织物陈设主要有几种。 2、室内家具陈设主要有几种。 3、室内绿叶陈设主要有几种。 第四章室内陈设艺术设计构成 一、学习目的与要求 任何艺术设计都有其规律性和美学特点，是前人对客观世界美学认识的经验总结，室内陈设设计同样通过空间，造型，色彩，光影，材质等要素来塑造。

浅谈数学文化

浅谈数学文化 数学文化，是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品，是在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀，是数学与人文的结合。数学文化主要以数学史、数学问题、数学知识等为载体，介绍数学思想、数学方法、数学精神。 一、数学方法——数学文化的辩证法 数学方法和数学思想将数学的智慧和魅力展现得淋漓尽致，这些凝聚了数学家们智慧的知识不是几句话就能说明白。 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。数学的方法是贯穿了整个数学，也是学习数学的基础。数学文化中数学文化的辩证性法有具体与抽象，演绎与归纳，发现与证明，分析与综合。这些方法之间有联系又有区别。 1.（1）、具体与抽象 具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。 数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。这种抽象方法，人们一般冠以公理化方法。它大大拓宽了人们的视野，从只抽象个别对象扩展到抽象整个数学理论的逻辑结构。现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽象的数学结构。 1.（2）、演绎与归纳 演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般的判断，特殊判断，结论三部分组成。 归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在《自然辩证法》中说：“我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一点——归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧上天，应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。” 1.（3）、发现与证明 发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定理。德国数学家曾宣称：当n大于2时，不存在一个整数n次幂是另外两个整数n次幂之和。数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由简单到复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中，数学们会取得一系列重要理论成果。 1.（4）、分析与综合 分析是由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给出的条件或已知的命题。综合是由已知命题开始，通过演绎、归纳能一连串来导出未有的命题，或解

数学文化与数学史答案

《数学文化与数学史》复习 Lecture 0 为什么要开设数学史 1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L. Da Vinci, 1452～1519）和19 世纪 英国业余数学家伯里加尔（H. Perigal, 1801～1898）证明勾股定理的方法。 达·芬奇 H. Perigal的水车翼轮法 2.谈谈你对数学史教育价值的认识。 一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题 对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。 对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。 Lecture 2 古代数学（I）：埃及 3.Rhind 纸草书问题79 是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。

124 房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607 2801 56021120419607 ()5749343230116807 717493432301 72801 19607 S =++++=++++=?= () ()() 21 221 1 11n n n n n n n n S a aq aq aq a q a aq aq aq a qS a q S aq a aq S q q ----=++++=++++=+=+--?=≠-L L 4. “埃及几何学中的珍宝”是什么 正四棱台体积公式： Lecture 3 古代数学（II ）：美索不达米亚 3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题 5 古代巴比伦人是如何求平方根近似值的 1211322, 1212a a a a a a a a a ??=+ ????? =+ ???L L 设第一个近似值为则第二个近似值为；第三个近似值为； 2 3 11 2 11;3021121;301;2521;30121;251;24,51,1021;25245110 1 1.4142155 606060?? += ????? += ????? += ??? + ++=设第一个近似值为， 则第二个近似值为； 第三个近似值为；第四个近似值为。 7. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么 泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：

湖北省高等教育自学考试大纲

省高等教育自学考试大纲 课程名称：工程光学课程代码：7082 第一部分课程性质与目标 一、课程性质与特点 本课程是一门专业基础课，系统地介绍了几何光学的基本定律与成像理论、理想光学系统、平面光学系统、光学系统中光束限制、光度学与色度学基础、光线的光路计算与像差理论、典型光学系统、现代光学系统、光学系统的像质评价与与像差公差、光的电磁性质光波的叠加与分析、光的干涉、光的衍射与傅立叶光学、光的偏振和晶体光学基础、光的量子性与激光、光纤与波导光学以及近几年最新发展的半导体激光和光子学等。课程特点在于几何光学和物理光学、现代光学方面的基础理论、基本方法和典型光学系统的实例和应用。 本课程适合于自学考试光机电一体化专业、光信息科学与技术专业的专业基础课程。 二、课程目标与要求 通过本课程的学习，学生能对光学的基本概念、基本原理和典型系统有较为深刻的认识，学生应掌握几何光学的基本定律与成像理论、理想光学系统、平面光学系统、光束限制、像差理论等几何光学的基本容以及光的电磁性质、光波的叠加与分析、光的干涉、衍射、偏振等物理光学的基本容以及现代光学中的部分容。为学习光学设计、光信息理论和从事光学研究打下坚实的基础。

三、与本专业其他课程的关系 本专业前期课程“高等数学”、“大学物理”等是《工程光学》课程的数学基础和物理基础；通过《工程光学》课程的学习为本专业的后期课程激光原理与技术、实用光电技术、信息光学等课程打下良好的基础。 第二部分考核容与考核目标 第1章几何光学的基本定律和成像概念 一、学习的目的与要求 通过本章的学习，应该掌握的知识层次和所要达到的能力要求： 掌握几何光学基本定律：1）光的直线传播定律2）光的独立传播定律3）反射定律和折射定律（全反射及其应用）4）光路的可逆性5）费马原理（最短光程原理）6）马吕斯定律。 完善成像条件的概念和相关表述 能够应用光学中的符号规则，单个折射球面的光线光路计算公式（近轴、远轴） 能够利用单个折射面的成像公式，包括垂轴放大率、轴向放大率、角放大率γ、拉赫不变量等公式。 记忆球面反射镜成像公式 了解共轴球面系统公式（包括过渡公式、成像放大率公式） 二、考核知识点与考核目标 （一）重点 识记：几何光学基本定律。 理解：完善成像条件的概念和相关表述。 应用：应用光学中的符号规则。 （二）次重点 识记：单个折射面的成像公式，包括垂轴放大率、轴向放大率、角放大率γ、拉赫不变量等公式。 理解：单个折射球面的光线光路计算公式（近轴、远轴）。 应用：球面反射镜成像公式。 （三）、一般 识记：光波与光线 理解：费马原理、马吕斯定律。 应用：共轴球面系统公式（包括过渡公式、成像放大率公式）。 第2章理想光学系统 一、学习的目的与要求

最新应用数学课程自学考试大纲

应用数学课程自学考 试大纲

应用数学课程自学考试大纲 课程代码：01042 使用教材：《微积分》（第三版）赵树嫄主编中国人民大学出版社 2007年课程性质和学习目的： 本大纲供应用数学课程使用。 考核知识点及考核要求： 第一章函数 第一节集合 了解：集合的概念、集合的关系和运算。 第二节实数集 掌握：区间、邻域的概念。 第三节函数关系 掌握：函数的概念，函数的定义域、表达式及函数值。 第四节分段函数 掌握：掌握分段函数的定义域、函数值的概念以及分段函数的图像的做法 第五节建立函数关系的例题 了解：函数关系在实际生活中的应用。 第六节函数的几种简单的性质 掌握：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。 第七节反函数与复合函数

掌握：函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=之间的关系（定义域、值域、图象），以及单调函数的反函数。函数的四则运算与复合。 重点掌握：复合函数的复合过程。 第八节 初等函数 了解：初等函数的概念。 掌握：基本初等函数的简单性质及其图象。 第二章 极限与连续 第一节 数列的极限 了解：极限的概念（对极限定义中“ε-N ”、“ε-δ”、“ε-M ”的描述不作要求），能根据极限概念了解函数的变化趋势。 第二节 函数的极限 重点掌握：函数在一点处的左极限与右极限，以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。 第三节 变量的极限 了解：变量极限的定义、有界变量的定义。 第四节 无穷大量与无穷小量 掌握：无穷小量、无穷大量的概念 重点掌握：无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。 第五节 极限的运算法则 掌握：极限的四则运算法则。 第六节 两个重要的极限

数学史与数学文化-讲座体会汇编

数学史与数学文化讲座体会 左安门中学孙丽颖通过丰台分院组织的数学史与数学文化系列讲座讲座，我了解到数学是一门伟大的科学，它作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学。它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。 一、数学史的研究对象 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。 数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。

数学史知识融入课堂教学的意义

数学史知识融入课堂教学的意义 数学史作为数学文化的重要历史资源，蕴藏着丰富的哲理和理论内涵，展现了人类追求真理，勇于创新，献身科学的拼搏精神，对人类研究数学、掌握数学、创新数学等方面具有深远的意义和积极的影响。数学新课程标准中提出要“体现数学的文化价值”这一基本理念，深刻揭示了数学史在数学教学过程中的重要作用。如何体现数学的文化价值，我认为将数学史与数学教学适度融合是一个重要的、有效的方法。在课堂教学中融入数学史有助于学生深刻理解数学知识，有助于学生掌握数学思想方法树立正确的数学观，提高数学应用意识。因此，作为课堂教学主导者的数学教师应该选择适当的方式将数学史知识融入课堂教学，使数学史在课堂教学中发挥积极的作用。 一、在教学中引入数学史可以激发学生的数学学习兴趣 传统的数学课堂中往往通过严谨的推理，重复性的练习等巩固数学知识，这种教学方式存在缺乏人性化、与生活脱节等问题，影响了学生学习数学的兴趣。学生在课堂上感受不到学习的愉悦，从而厌倦数学，畏惧数学，对学习数学失去信心，最后导致放弃学习数学。由于学生对新鲜事物所具有的好奇心，数学史知识的引入则可以集中学生的注意力、激发学生的求知欲望、调动学生学习的积极性，有效改善数学课堂教学气氛，收到良好的教学效果。

例如在新课教学中，课题的引入是一个重要的环节，引入的方法灵活多样的。如果课题的引入符合学生的认知发展规律，贴近学生的最近发展区，则有利于学生对新知识新内容的接受，反之对学生有消极的影响。在教学中利用数学史引入课题，可以引起学生的注意力，调动学生的求知欲，起到良好的教学效果。如在学习等比数列前 n 项和的公式时，可以将著名的棋盘问题来引入课题；再如在教学过程中适时介绍一些著名数学家的成长轶事、源自日常生活的数学名题、在自然科学中被精彩运用的数学知识等数学史知识，都可以使学生与数学的“亲近感”，减小学生与数学“距离感”，消除学生对数学的“畏惧感”，进而激发学生学习数学的兴趣，积极参与到课堂活动中去。 二、在教学中引入数学史可以帮助学生更好的理解数学 数学与生活的严重脱节，使多数学生都认为数学远离生活，在生活中并无实用价值，只是数学家们抽象思维的产物，数学的学习仅仅为了应付考试。如果在课堂教学中引入数学史的知识，可以让学生认识到数学与人们生产生活是息息相关的学科，是人类在认识自然、改善自然的过程中慢慢发展起来的学科。经过了各个时期的数学家们的不断钻研，使得现在的数学体系得以完善和发展。通过对数学史有关知识的学习与了解，则可以在教学中把数学概念的演变过程和数学方法的应用实例呈现给学生，不仅有助于加深学生理解概念和方法，更有助于学生全面、系统的掌握数学知识内容。 例如，在学习对数时，教师往往只是介绍对数式与指数式的

广东省高等教育自学考试考试大纲

广东省高等教育自学考试考试大纲生产作业管理课程（课程代码：）考试大纲 目录 一、课程性质与设置目的 二、课程内容与考核目标 第章现代生产管理概论 ．生产与生产管理 ．生产管理的内容 ．生产过程 ．生产类型 ．现代生产管理的特征 第章生产系统的规划与组织 ．生产系统的总体布置 ．车间布置 ．生产过程的时间组织 ．流水生产组织 第章生产计划与生产作业计划编制 ．生产综合计划 ．工业企业的生产能力 ．生产计划的安排 ．生产作业计划的任务、分类与编制依据 ．生产作业计划的编制 ．生产作业控制 ．生产作业统计及在制品管理 第章工作研究与工作设计 ．工作研究 ．劳动定额 ．工作设计 ．生产环境设计 第章企业资源计划() ．企业资源计划概述 ．物料需求计划()的基本原理 ．制造资源计划() ．企业资源计划() ．的实施过程 ．实施效果的评价 第章生产现场管理和作业排序

．生产现场管理概述 ．现场管理的方法 ．定置管理 ．作业排序 第章项目管理 ．项目管理概述 ．项目管理的计划与控制 ．项目管理组织 ．网络计划技术 第章企业物流管理 ．物料管理 ．物料消耗定额和储备定额 ．物料供应计划 ．生产现场物料管理 ．库存管理 第章设备管理 ．设备管理概述 ．设备的选择与评价 ．设备的使用与维修 ．设备更新与改造 ．设备综合工程学与全员设备管理第章质量管理与质量管理体系认证 ．族标准概论 ．质量及质量管理的基本概念 ．质量管理原则 ．质量管理体系 ．质量管理方法 ．质量管理体系审核 第章生产管理技术发展与模式改变 ．生产方式的演变过程 ．生产方式的基本思想和主要方法 ．精益生产方式() ．计算机集成制造系统() ．敏捷制造() 三、大纲的说明与考核实施要求 附录：题型举例

高等教育自学考试课程考试大纲

湖北省高等教育自学考试课程考试大纲 课程名称：机械制造基础课程代码：04112 第一部分课程性质与目标 一、课程性质与特点 本课程是工科专业机械设计与制造课程中的一门学科基础必修课，是研究机械制造过程及其系统的专业学科。是一门综合性、实践性、灵活性强的专业技术课程。 二、课程目标与基本要求 学习完本课程要求学生： 1、掌握金属切削的基本知识，并能用于各种切削参数和刀具几何参数的合 理选择，对加工质量进行正确的分析与控制。 2、掌握常用机械加工方法的工作原理、工艺特点、保证措施、以及常用机 床和刀具的性能、加工范围、主要结构。并能合理选用机床和刀具。 3、掌握制定机械加工工艺规程、数控加工工艺规程及机器装配工艺规程和 设计专用夹具的基本知识。具有拟定中等复杂程度零件加工工艺规程、 设计中等复杂程度零件专用夹具的能力。 4、掌握机械加工精度和表面质量的基本理论和基本知识，初步具有分析现 场工艺问题的能力。 5、对机械制造技术的新发展有一定的了解。 三、与本专业其他课程的关系 学习本课程前，学生需先学习?机械制图?、?机械设计基础?等基础课程。学生有一定的识图能力，对各种机械零件和标准件常用件均能识别和熟悉。 第二部分考核内容与考核目标 第一章机械加工工艺系统的基本知识 一、学习目的与要求 掌握工艺系统各组成部分的基本特性，即零件的加工表面及成形方法和所需运动：用于切削加工零件表面的机床和刀具的基本知识；零件在夹具中的定位和夹紧问题。 二、考核知识点与考核目标 （一）、机械零件加工表面的形成；金属切削刀具；机床夹具

识记：工件表面的成形方法；表面成形运动；切削运动；辅助运动；刀具材料应具备的性能；常用刀具材料；机床夹具的分类及组成；对夹紧装置的基本要求；夹紧力的方向和作用点的选择； 理解：机床的传动联系与传动原理图；工件的定位原理；夹紧力的估算 （二）金属切削机床与数控机床的基本知识； 识记：机床的分类与型号编制；数控机床原理与结构； 理解：刀具的几何参数； 第二章金属切削过程及控制 一、学习目的与要求 要求学生掌握金属切削过程的基本规律，主动的加以有效的控制，从而达到保证加工质量，降低成本，提高生产率的目的。 二、考核知识点与考核目标 （一）金属切削的切削要素；金属切削过程的基本规律及应用；合理切削条件的选择 识记：切削用量三要素；切屑的种类；影响切削变形的主要因素；切削温度及其影响因素；积屑瘤对切屑过程的影响及防止措施；切屑的控制；影响刀具寿命的因素； （二）合理切削条件的选择 识记：切削力的来源及分解；切屑热的产生与传散；刀具的磨损及寿命；工件材料的性能对可加工性的影响及改善工件材料可加工性的途径、难加工材料的可加工性改善措施；刀具几何参数的选择；切削用量的选择；刀具材料的选择；切削液的选择 第三章车削加工 一、学习目的与要求 掌握普通车床及数控车床的工作原理；各自的结构组成；车削加工及车削用刀具；车床夹具。 二、考核知识点与考核目标 （一）车床；车削及车削刀具； 识记：，车床及数控车床的组成、结构、运动及工艺范围；车削用量及其确定 理解：CA6140运动传动系统、 （二）车床夹具 识记：车床夹具设计要点 理解：典型车床夹具的结构 （三）、车削刀具 识记：车刀的分类及常用车刀的结构及应用

数学史和数学文化

《数学史与数学文化》 班级：网营14-1班 姓名：毕倩榕 学号： 云南财经大学中华职业学院 数学史和数学文化 数学可能是中国所有上学的人爱恨交加的科目了吧，一方面苦于数学的枯燥和难懂，另一方面又应用于各个方面，可以说对它的感情很复杂了。而数学史和数学文化这门课却讲了不少数学史中有意思数学家和他们的故事以及数学文化，数学俨然给人一种活泼感，就好像是一个印象中“严肃刻板”的人，做出了一系列生动幽默的动作，发生了一连串的故事；而数学文化就像是人类其他形式的文化一样，它活跃在人类历史进程中，推进了人类的进步。 数学是美的，数学美把就是把数学溶入语言之中，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；各种有趣的数字比如说：完全数、水仙花数、亲和数、黑洞数等等；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠?哥德巴赫猜想。 数学美可以分为形式美和内在美。? 数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。? 数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美，我们通常用?滴水不漏?来形容数学。它表现在数学推理的严密，数学定义准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等。总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的，数学是一个五彩缤纷的美的世界。 数学是好玩的，在北京举行国际数学家大会期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。玩七巧

02124信息分析方法 江苏省高等教育自学考试大纲

江苏省高等教育自学考试大纲 02124 信息分析方法 第一章信息分析概论 （一）课程内容 本章介绍了国内外对信息分析的理解、信息分析与其他一些行业之间的联系与交叉、信息分析的类型以及信息分析的特点与作用，并阐述了信息分析的产生背景以及未来的发展趋势。 （二）考核知识点 1.信息分析的含义 以用户的特定需求为依托，以定性和定量方法为手段，通过对信息的收集、整理、鉴别、分析、评价、综合等系列化加工过程，形成新的、增值的信息产品，最终为不同层次的科学决策服务的一项具有科研性质的智能活动。 2.信息分析的类型 领域划分：政治信息分析要素、经济信息分析要素、社会信息分析要素、科学技术信息分析要素、交通通信信息分析要素、人物信息分析要素、军事信息分析要素 内容划分：跟踪型信息分析（技术和政策跟踪型）、比较型信息分析、预测型信息分析、评价型信息分析 方法划分：定性分析和定量分析及定性和定量相结合 定性分析法一般不涉及变量关系，主要依靠人类逻辑思维功能来分析问题。 定量分析肯定要涉及变量关系，主要是依靠数学函数形式来进行计算求解。 3.信息分析的特点与作用 特点：研究课题的针对性和灵活性。研究内容的综合性和系统性。研究成果的智能性和创造性。研究工作的预测性和近似性。研究方法的科学性和特殊性。研究过程的社会性 作用：在科学管理中发挥参谋和智囊作用。在研究开发中担负助手作用。在市场开拓中起保障和导航作用。在动态跟踪与监视中起耳目和预警作用 4.信息分析的产生与发展 产生背景： 发展方向：内容领域的综合化，服务方式的社会化。技术手段的现代化。业务经营的产业化。交流合作的国际化。 第二章信息分析的流程 （三）考核要求 1.课题选择 掌握：课题的来源，课题选择的原则，课题类型，选题程序 课题的来源：上级主管部门下达的课题、信息用户委托的课题、信息人员自己提出的课题原则：政策性原则、必要性原则、可行性原则、效益性原则 类型：为制定政策进行信息分析、配合科研项目的课题、配合大型工程项目的课题、配合技术

自学考试课程考试大纲

自学考试课程考试大纲 课程名称：电磁场与微波技术基础课程代码：02349 第一部分课程性质与目标 一、课程性质与特点 本课程为计算机通信工程专业基础必修课。主要介绍电磁场与电磁波的基本特性及规律，内容侧重于时变电磁场的物理模型、数学描述、求解及应用，是通信类、电子信息类专业学生必备的知识结构的重要组成部分之一。 二、课程目标与基本要求 通过本课程的学习，使学生建立起电磁场与电磁波的基本概念，掌握关于电磁场与电磁波的基本原理和分析计算方法，为将来更深入的学习后继专业课程，和解决实际的工程应用问题打下牢固的基础。 三、与本专业其他课程的关系 本课程为微波通信技术类课程的专业基础课程。先期课程为高等数学、大学物理及电路理论，需较熟练掌握其中曲线与曲面积分、电磁学基本理论及电路基本求解方法等知识；后续课程为通信原理、微波射频技术等，为进一步学习通信技术、微波天线设计方法等提供理论支持。 第二部分考核内容与考核目标 第一章矢量分析 一、学习目的与要求 通过本章学习，使学生掌握场的概念及分析场的数学方法，即矢量分析法，重点掌握运用通量和环量、散度和旋度分析矢量场的方法。 二、考核知识点与考核目标 （一）通量、散度与散度定理，环量、旋度与旋度定理（重点） 识记：通量、散度、环量、旋度的概念 理解：矢量场的流量和漩涡效果，散度源和旋度源的概念 应用：散度、旋度的直角坐标系计算方法，散度定理和旋度定理 （二）矢量的标积与矢积，标量场的方向导数与梯度，无散场与无旋场，正交曲面坐标系（次重点）识记：标量、矢量、场、标积、矢积、方向导数、梯度的概念 理解：无散场、无旋场的概念、表现形式及性质，圆柱坐标系和圆球坐标系的定义和表示方法 应用：梯度的计算方法，正交曲面坐标系中长度、面积、体积微元的计算方法 （三）矢量唯一性定理，亥姆霍兹定理（一般） 识记：无 理解：矢量场唯一性定理，亥姆霍兹定理 应用：任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 第二章静电场 一、学习目的与要求

《数学文化赏析》mooc答案(最新整理)

第一章 一、多选题(共100.00 分) 1.以下关于数学的描述，正确的有（A B）。 A.数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 B.数学是研究模式与秩序的科学 C.数学研究事物的物质属性 D.数学只是研究数的科学 2.以下表述中正确的有（A B C）。 A.数与形是数学科学的两大柱石； B.数与形是万物共性和本质； C.数与形是一个事物的两个侧面，二者有密切联系； D.数与形是不同的事物，也没有关系。 3.下列运动或变换中，属于拓扑变换的有（A C）。 A.橡皮筋拉伸； B.电风扇旋转； C.纸张折叠； D.投影。 4.以下各选项属于数学的特点的有（A C D）。 A.概念的抽象性； B.公式的简洁性； C.推理的严密性； D.结论的确定性。 5.以下选项中，属于数学关注的内容的部分有（A B C D）。 A.一种对象的内在性质； B.不同对象的联系； C.多种对象的共性； D.一组对象的变化规律。 6.数学中概念或定义的形成主要是（A B C）的结果。 A.分类； B.抓本质； C.抓共性； D.推理。 7.按照结构数学的观点，以下对象属于代数结构的有（A C）。 A.加法运算； B.比较大小； C.乘方运算； D.数轴。 8.以下关于公理系统的描述中，正确的有（A B D）。 A.公理之间应该相容； B.公理之间应该独立； C.公理需要证明； D.公理是数学理论正确性的前提。 9.以下推理形式中，属于合情推理的有（A B D）。 A.归纳；

B.类比； C.演绎； D.联想。 10.以下关于归纳推理的叙述中，正确的是（A B D）。 A.归纳推理是从个体认识群体的推理； B.归纳推理是从特殊到一般的推理； C.归纳推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.归纳推理不能保证结论的正确性。 11.以下关于类比推理的叙述中，正确的是（A C D ）。 A.类比推理是发散性思维； B.类比推理是从一般到特殊的推理； C.类比推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.类比推理不能保证结论的正确性。 12.以下关于演绎推理的叙述中，正确的是（A B C D）。 A.演绎推理是收敛性思维； B.演绎推理可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系； C.演绎推理能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地； D.演绎推理可以使人类的认识范围从有限走向无限。 第二章 一、多选题(共100.00 分) 1.以下选项中属于数学功能的有（A B C D ） A.实用 B.教育 C.语言 D.文化 2.以下哪些现象说明数学具有语言功能？A B A.用方程描述社会现象 B.用符号表示数和运算 C.逻辑推理 D.五线谱 3.数学被广泛地应用于人类社会的各个领域，两条最根本原因包括（A C） A.数学的对象是万物之本 B.数学概念的抽象性 C.数学方法与结论的可靠性 D.数学结论的确定性 4.与自然语言相比，数学语言具有以下优点（A C D ） A.不会产生歧义 B.表达生动 C.表达简洁、清晰 D.内涵丰富 5.把数学看做一种文化，原因在于（A B C ） A.数学是人类创造并传承下来的智力成就

数学史与数学文化论文

南昌师范学院 系别： 班级： 姓名： 学号： 指导老师： 数学史与数学文化学习体会 ———数学史中的哲学启示和学习感悟【摘要】 通过实例叙述了中外数学发展进程中凝练出的数学哲学思想的变革和相互联系，概括了数学哲学思想的重要性、实用性以及数学和哲学水乳交融相辅相成的紧密联系。最后分五个方面对数学史和数学文化课程学习的感悟体会和学习意义进行了总结提炼。

【关键词】数学史哲学思想数学文化感悟 【正文】 我认为：数学史与数学文化作为一门课程一门学科，教授给我的绝不仅仅只停留在数学作为一门科学在不断发展演变的历程中不胜枚举的中外数学家以及数学发展史中具体事例和思想运动，更内涵而又丰满地是教授我一种数学的哲学思想、事物的发展规律、唯物理性客观的世界观和方法论，是对我们今后人生的指引和极大丰富。同时也是对身为理工科大学生人文情操和文化素养的磨练及沉淀，这才是我认为学习完数学史数学文化这门课程的精神内核。 数学史的离不开数学哲学，否则，就不能达到应有的深度。法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和现状”在谈到数学史对数学的重要性时，英国数学家格莱舍有一段经典名言：“任何一种企图将一个学科和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大。”无独有偶，德国数学家汉克尔也形象地指出过数学的这一特点：“在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”数学是历史的科学，是由历史成果积累而成的。 经过数学史课程的学习，我被数学文化中深刻的哲学思想而深深吸引。通过老师课堂上的丰富举例；通过一个个生动、紧张、严肃、活泼的数学家形象和事例；通过数学史上一次次的猜想、命题、假设、证明，一次次地发展变革，更是引发了我对数学的发展规律和其本质哲学思想变革的不断思索。 【一】中国早期的数学哲学思想 【1】《墨经》数学哲学思想的特点 纵观墨家的数学成就，只是一些分散的数学知识积累。既没有形成一个完整的公理体系，也没有使用任何数学符号、几何图形、公式方程来反映其数学思想，仅在文字上进行了高度 抽象的概括，却没有妨碍墨家科学思想在数学上体现。墨家科学思想的突出特点是将技术的应用与发展研究相结合，“巧传则求其故”。巧指工艺技巧，传指世代相传，求就是探索寻找，故就是原因、道理．即在世代相传的手工技巧中找寻出规律并将其总结成科学真理，从而达到“以往知来，以知见隐”．思格斯说：“数学的无限是从现实中借来的??，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明．旧墨家的数学思想正是从社会生产与社会实践中产生的，“摹略万物之然，探究其所以然”的实证主义科学态度使得墨家的科学活动有了明确的指导思想，这种对待自然科学求真唯实的作风不但促进了战国时期科学技术的发展，而且逼近了近代科学发展的基础，为古代中国科学发展开辟出一条有可能走向近代科学的道路。 【2】《九章算术注》的数学哲学思想 刘徽是我国古代伟大的数学家，所著《九章算术注》一书，是他毕生研究数学的结晶，在这本书里集中体现了刘徽对待数学的根本观点，即唯物数学观点唯