2018年高考天津卷理数试题解析
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么.
如果事件A，B相互独立，那么.
棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.
棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集为R，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6
B. 19
C. 21
D. 45
【答案】C
【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
本题选择C选项.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解：结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据：，
，结果为整数，执行，，此时不满足；
，结果不为整数，执行，此时不满足；
，结果为整数，执行，，此时满足；
跳出循环，输出.
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
4. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式，
由.
据此可知是的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
详解：由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
8. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
点在上，则，设，则：
，即，
据此可得：，且：
，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. i是虚数单位，复数___________.
【答案】4–i
【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则得：.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10. 在的展开式中，的系数为____________.
【答案】
【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可.
详解：结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
11. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.
详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，
顶点到底面四边形的距离为，
由四棱锥的体积公式可得：.
点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12. 已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.
详解：由题意可得圆的标准方程为：，
直线的直角坐标方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
则.
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
13. 已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
详解：由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函
数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a 因此， 所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人， 进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为． （ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）． 所以，随机变量X的分布列为 随机变量X的数学期望． （ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A=B∪C，且B与C互斥， 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=． 所以，事件A发生的概率为． 点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 17. 如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，， DA=DC=DG=2. （I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：； （II）求二面角的正弦值； （III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ). 【解析】分析：依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系. （Ⅰ）由题意可得：平面CDE的一个法向量n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），故，MN∥平面CDE． （Ⅱ）依题意可得平面BCE的一个法向量n=（0，1，1）．平面BCF的一个法向量为m=（0，2，1）．据此计算可得二面角E–BC–F的正弦值为．学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网... 学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网... （Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），结合空间向量的结论计算可得线 段的长为. 详解：依题意，可以建立以D为原点， 分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0）， E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）． （Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）． 设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量， 则即 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）． 又=（1，，1），可得， 又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE． （Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）． 设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量， 则即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）． 设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量， 则即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）． 因此有cos 所以，二面角E–BC–F的正弦值为． （Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h）， 可得． 易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量， 故， 由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］． 所以线段的长为. 点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，， ，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由 可得.因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有， 故. （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且 . （I）求椭圆的方程； （II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O 为原点) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为． （Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组 可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的 值为或 详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知， 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，， 由，可得ab=6，从而a=3，b=2． 所以，椭圆的方程为． （Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）． 由已知有y1>y2>0，故． 又因为，而∠OAB=，故． 由，可得5y1=9y2． 由方程组消去x，可得． 易知直线AB的方程为x+y–2=0， 由方程组消去x，可得． 由5y1=9y2，可得5（k+1）=， 两边平方，整理得， 解得，或． 所以，k的值为或 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 20. 已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明 ； （III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为. （II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得. （III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程 存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立. 详解：（I）由已知，，有. 令，解得x=0. 由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表： 所以函数的单调递减区间，单调递增区间为. （II）由，可得曲线在点处的切线斜率为. 由，可得曲线在点处的切线斜率为. 因为这两条切线平行，故有，即. 两边取以a为底的对数，得，所以. （III）曲线在点处的切线l1：. 曲线在点处的切线l2：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合. 即只需证明当时，方程组有解， 由①得，代入②，得. ③ 因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解. 设函数， 即要证明当时，函数存在零点. ，可知时，； 时，单调递减， 又，， 故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即. 由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值. 因为，故， 所以. 下面证明存在实数t，使得. 由（I）可得， 当时， 有 ， 所以存在实数t，使得 因此，当时，存在，使得. 所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．