第十一章 无穷级数(习题及解答)
第十一章 无穷级数
§11.1 级数的概念、性质
一、单项选择题
1. 若级数
1
n
n a
q
∞
=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )．
(A )
1q =； (B )1q =-； (C )1q <；
(D )1q >． 答(D )． 2. 下列结论正确的是( )．
(A)若lim 0n n u →∞
=，则1
n n u ∞
=∑收敛；(B)若1lim ()0n n n u u +→∞
-=，则1
n n u ∞
=∑收敛；
(C)若1
n n u ∞
=∑收敛，则lim 0n n u →∞
=；(D )若1
n n u ∞
=∑发散，则lim 0n n u →∞
≠. 答(C)．
3. 若级数1
n n u ∞
=∑与1
n n v ∞
=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．
(A)121()n
n n u
v S S ∞
=±=±∑； (B )11
n n k u k S ∞
==∑；
(C)
21
n
n kv
kS ∞
==∑； (D )11
2
n n n
u S v S ∞
==
∑
． 答(D ).
4. 若级数1
n n u ∞
=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．
(A)1()n
n u
S ∞
=-∑收敛； (B)
1
1
n n
u
∞
=∑收敛；
(C)
1
1
n n u
∞
+=∑收敛； (D
)1
n ∞=∑
收敛. 答(C).
5. 若级数1
n n a ∞
=∑收敛，其和0S ≠，则级数121
()n n n n a a a ∞
++=+-∑收敛于( )．
(A)1S a +； (B )2S a +； (C)12S a a +-； (D )21S a a +-．答(B).
6. 若级数∑∞
=1
n n a 发散，∑∞
=1
n n b 收敛则 ( )．
(A)
∑∞
=+1)(n n n
b a
发散；
(B)
∑∞
=+1)(n n n
b a
可能发散，也可能收敛；
(C)
∑∞
=1
n n n
b a
发散；
(D )
∑∞
=+1
2
2)(n n n
b a
发散. 答(A).
二、填空题
1. 设1a <，则0
().n n a ∞
=-=
∑ 答：
11a
+.
2. 级数0
(ln 3)2
n
n
n ∞
=∑
的和为
． 答：
2
1ln 3
-.
3.
级数0
n ∞
=∑，其和是 ． 答：
1-4.数项级数∑
∞
=+-1)
12)(12(1
n n n 的和为.答：
12
.
5*. 级数0
212
n
n n ∞
=-∑
的和为. 答： 3.
三、简答题
1． 判定下列级数的敛散性 (1)232
3
8888(1)
9
9
9
9
n n
-+
-
++-+ 答： 收敛.
解： (2) 11113
6
9
3n
+
+
++
+ 答： 发散.
解：
(3)
13++++
+ 答： 发散.
解： (4)
232
3
333322
2
2
n n
++
++
+ 答： 发散.
解：
(5) 2233111111112
3232323n n ????????+
++++++++
? ? ? ?????????
答： 收敛. 解：
§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数
一、单项选择题
1. 级数1n n u ∞
=∑与1
n n v ∞
=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤= ，则( )．
(A)若1n n v ∞
=∑发散,则1n n u ∞
=∑发散；(B)若1n n u ∞
=∑收敛,则1
n n v ∞
=∑收敛；
(C)若1
n n u ∞
=∑收敛,则1
n n v ∞
=∑发散；(D )若1
n n u ∞
=∑发散，则1
n n v ∞
=∑发散. 答(D ).
2. 若10,(1,2,)n a n n
≤<
= ，则下列级数中肯定收敛的是( )．
(A)1n
n a
∞
=∑； (B )11()n n n a a ∞
+=+∑；
(C)
21
n
n a
∞
=∑； (D
)
1
n ∞
=∑
． 答(C).
3. 设级数 (1)
1
2!n n
n n n
∞
=∑
与 (2)
1
3!n
n
n n n
∞
=∑
，则( )．
(A)级数(1)、(2)都收敛； (B )
级数(1)、(2)都发散； (C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D ) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).
4. 设级数
(1)
1
n ∞
=∑
与 (2)
1
10
!
n
n n ∞
=∑
, 则( ).
(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；
(C)级数(1)收敛,级数(2)发散； (D ) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D ).
5. 下列级数中收敛的是( )．
(A)1(2)n n n ∞
=+∑
(B)
11sin n n
∞
=∑
；
(C)
1
(1)
31
n
n n n ∞
=--∑
； (D )1
1
21
n n ∞=-∑
． 答(A).
6*. 若级数2
2
1
16
n n
π
∞
==
∑
，则级数2
1
1(21)
n n ∞
==-∑
( ).
(A)
2
4
π
; (B)
2
8
π
; (C)
2
12
π
; (D )2
16
π
. 答(B).
7. 设1n n u ∞
=∑与1
n n v ∞
=∑均为正项级数,若1lim
=∞
→n
n n v u ，则下列结论成立的是( ).
(A)1n
n u
∞
=∑收敛, 1
n n v ∞
=∑发散； (B) 1
n n u ∞
=∑发散, 1
n n v ∞
=∑收敛；
(C)
1
n
n u
∞
=∑与1
n n v ∞
=∑都收敛,或1
n n u ∞
=∑与1
n n v ∞=∑都发散. (D )不能判别. 答(C).
8. 设正项级数∑∞
=1
n n u 收敛，则( ).
(A)极限1lim
n n n
u u +→∞
≤1； (B) 极限1lim
n n n
u u +→∞
<1；
(C)
极限lim
1n →； (D )无法判定. 答(A)
9. 用比值法或根值法判定级数1
n n u ∞
=∑发散，则∑∞
=1
n n u ( ).
(A)可能发散； (B)一定发散；
(C)可能收敛； (D )不能判定. 答(B)
二、填空题
1. 正项级数1
n n u ∞
=∑收敛的充分必要条件是部分和n
S .答：有上界.
2.
设级数1
n n
∞
=∑
收敛，则α的范围是
. 答：32
α>． 3. 级数1n n u ∞
=∑的部分和21
n n S n =
+，则n u =
. 答：
2(1)
n n +.
4. 级数0
212
n
n n ∞
=+∑
是收敛还是发散
. 答：收敛.
5. 若级数1
1sin p
n n
n
π
∞
=∑
收敛，则p 的范围是
. 答：0p >.
6. 级数1
3!n
n
n n n
∞
=∑
是收敛还是发散 . 答：发散.
三、简答题
1. 用比较法判定下列级数的敛散性：
(1) 2
1
11n n
n
∞
=++∑； 答：发散. (2)
1
1
(1)(2)n n n ∞
=++∑； 答： 收敛.
(3) 1
sin 2
n
n π
∞
=∑； 答：收敛. (4)
1
1
(0)1n
n a a
∞
=>+∑.答1a >收敛;1a ≤发散.
2. 用比值法判定下列级数的敛散性：
(1)
1
3
2
n n
n n ∞
=?∑； 答：发散. (2)
21
3
n
n n
∞
=∑； 答： 收敛.
解：
(3)
1
2!n
n
n n n
∞
=?∑
； 答： 收敛. (4)
1
1
tan
2
n n n π
∞
+=∑
． 答： 收敛.
解：
3. 用根值法判定下列级数的敛散性：
(1) 121n
n n n ∞
=??
?+?
?∑； 答： 收敛. (2)
1
1
[ln(1)]
n
n n ∞
=+∑； 答：收敛.
解： 解：
(3) 21
131n n n n -∞
=??
?
-??
∑； 答：收敛.
解：
(4) 1n
n n b a ∞
=??
???
∑其中,()n a a n →→∞，,,n a b a 均为正数．
答：当b a <时收敛，当b a >时发散，当b a =时不能判断．
§11.3 一般项级数收敛判别法
一、单项选择题
1. 级数1n n u ∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑满足,(1,2,)n n u v n ≤= ,则( )．
(A) 若1n n v ∞
=∑收敛,则1n n u ∞
=∑发散；(B) 若
1n
n u
∞
=∑发散,则1n n v ∞
=∑发散；
(C) 若1
n n u ∞
=∑收敛,则1
n n v ∞
=∑发散；(D ) 若1
n n v ∞
=∑收敛,则1
n n u ∞
=∑未必收敛．答(D ).
2. 下列结论正确的是( )．
(A) 1n
n u
∞
=∑收敛，必条件收敛； (B)
1
n
n u
∞
=∑收敛，必绝对收敛；
(C) 1n n u ∞
=∑
发散，则1n
n u
∞
=∑必条件收敛；
(D )
1n n u ∞
=∑
收敛，则
1
n
n u
∞
=∑收敛． 答(D ) .
2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．
(A) 1
(1)
31
n
n n n ∞
=--∑; (B)
1
2
11(1)
n n n
∞
-=-∑；
(C)
1
1
1(1)
ln(1)
n n n ∞
-=-+∑； (D )
1
1
1(1)
n n n
∞
-=-∑
． 答(B) .
3. 下列级数中，条件收敛的是( )．
(A)
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑ (B) 112(1)3n
n n ∞
-=??
- ???∑； (C)
1
2
1
1(1)
n n n
∞
-=-∑
； (D )
1
1
1(1)
2
n n
n n ∞
-=-?∑
． 答(A) .
4. 设α
为常数，则级数2
1
sin n n n
α∞
=?-
?
∑( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；
(C) 发散； (D )
敛散性与α的取值有关． 答(C). 5. 设),3,2,1()11ln(cos =+
=n n
n a n π，则级数( ).
(A)
∑∞=1n n
a
与∑∞
=1
2
n n
a 都收敛. (B)
∑∞
=1n n
a
与∑∞
=1
2
n n a 都发散. (C) ∑∞
=1
n n a 收敛，∑∞
=1
2
n n
a
发散. (D )
∑∞
=1
n n
a
发散，∑∞
=1
2
n n a 收敛. 答(C).
6.设),3,2,1(10 =<
a n ,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A) ∑∞ =1 n n a . (B) ∑∞ =-1 ) 1(n n n a . (C) ∑ ∞ =2 ln n n n a . (D ) ∑∞ =2 2 ln n n n a . 答(D ). 7.下列命题中正确的是( ). (A) 若∑∞ =1 2n n u 与∑∞ =1 2n n v 都收敛,则21 )(n n n v u +∑∞ =收敛. (B)若∑∞ =1 n n n v u 收敛,则∑∞ =1 2n n u 与∑∞ =1 2 n n v 都收敛. (C) 若正项级数∑∞ =1 n n u 发散,则n u n 1≥ . (D )若),3,2,1( = n n u 发散,则∑∞ =1 n n v 发散. 答(A). 二、填空题 1. 级数1 1 (1)n n n α -∞ =-∑ 绝对收敛，则α的取值范围是 ． 答： 1.α> 2. 级数11sin 2 n n n α π∞ =∑ 条件收敛，则α的取值范围是 ． 答：0 1.α<≤ 3. 级数2 n n a ∞ =∑收敛，则0 (1)n n n a n ∞ =-∑是条件收敛还是绝对收敛 ． 答：绝对.收敛 三、简答题 1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ (1) 1 1 (1) n n ∞ -=-∑ 答： .条件收敛 解： (2) 1 1 1 (1) 3 n n n n ∞ --=-∑； 答： .绝对收敛 解： (3) 2 1 sin (1) n n n α ∞ =+∑； 答： .绝对收敛 解： (4) 1 1 1(1) 32 n n n ∞ -=-?∑ ； 答： .绝对收敛 解： (5) 1 11(1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑； 答： .条件收敛 解： (6) 2 1 1 2 (1) ! n n n n ∞ +=-∑ 答： .发散 解： §11.4 幂级数收敛判别法 一、单项选择题 1. 幂级数1 n n x n ∞ =∑ 的收敛区间是( )． (A)[1,1]-； (B)(1,1)-； (C)[1,1)-； (D )(1,1]-． 答(C). 2. 幂级数1 (1)(1) 2 n n n n x n ∞ =+-?∑的收敛区间是( )． (A)[2,2]-； (B)(2,2)-； (C)[2,2)-； (D )(2,2]-． 答(D ). 3. 幂级数22 1 3 n n n x n ∞ =?∑ 的收敛半径是( ). (A)3R =； (B)R =； (C )13 R = ； (D )R = ． 答(B). （A ） (C) （B ） (D) 4. 若级数∑∞ =+1 )2(n n n x C 在4x =处是收敛的，则此级数在1x =处( ). (A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D )收敛性不能确定． 答(C). 5. 若级数∑∞ =+1 )2(n n n x C 在4x =-处是收敛的，则此级数在1x =处( ). (A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D )收敛性不能确定． 答(D ). 6．若幂级数n n n x a )1(0 -∑∞ =在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞ =0 n n a ( ). (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D )敛散性不能确定. 答(B). 二、填空题 1. 幂级数2 1 n n x n ∞ =∑ 的收敛域是 ． 答： [1,1].- 2. 幂级数2123n n n n x n n ∞ =??+ ?? ?∑的收敛域是 ． 答： 11,.3 3??-?? ? ? 3. 幂级数1 21 1 (1) (21)! n n n x n --∞ =--∑ 的收敛半径R = ，和函数是 ． 答：,sin .R x =+∞ 4. 幂级数20 (1)(2)! n n n x n ∞ =-∑ 的收敛半径R = ，和函数是 ． 答：,cos .R x =+∞ 5. 设0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为R ，则20 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为 ．答： 6. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为4，则210 n n n a x ∞ -=∑的收敛半径为 ．答：2. 7. 幂级数1 (23)(1) 21 n n n x n ∞ -=---∑的收敛域是 . 答：(1,2]. 8. 幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 .答：]2,0[. 一、简答题 1. 求下列幂级数的收敛域． (1) 1 n n nx ∞ =∑； 答： (1,1).- (2) 1 2 1 (1) n n n x n ∞ -=-∑； 答： [1,1].- (3) 1 3 n n n x n ∞ =?∑； 答：[3,3)-． (4) 2 1 2 1 n n n x n ∞ =+∑； 答：1 1,22?? -???? ． (5) 1 n n ∞ =∑ ; 答：[4,6). (6) 21 1 (1) 21 n n n x n +∞ =-+∑． 答：[1,1].- 2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数． (1) 1 1 n n nx ∞ -=∑； 答：2 1(),(1,1)(1) S x x x = ∈--． 解： (2) 21 1 21 n n x n -∞ =-∑． 答：11()ln ,(1,1)2 1x S x x x += ∈--． 解： 3*. 求级数1 12 n n n ∞ =?∑ 的和． 答：2ln 2. 解： §11.5 函数展开成幂级数 一、单项选择题 1. 函数2 ()x f x e -=展开成x 的幂级数是( )． (A) 4 6 2 12!3! x x x ++++ ；(B) 4 6 2 12! 3! x x x -+ -+ ； (C) 2 3 12!3! x x x ++ + + ； (D ) 2 3 12!3! x x x -+ - + ． 答(B). 2. 如果()f x 的麦克劳林展开式为20 n n n a x ∞ =∑，则n a 是( )． () (0) (A ) ! n f n ；(2) (0) (B) ! n f n ；(2) (0) (C ) (2)! n f n ；() (0) (D ) (2)! n f n ． 答(A). 3. 如果()f x 在0x x =的泰勒级数为00 ()n n n a x x ∞ =-∑，则n a 是( )． () 0(A )()n f x ；(2) 0() (B ) ! n f x n ；(2) 0() (C ) ! n f x n ；() 0() (D ) ! n f x n ． 答(C). 4. 函数()sin 2f x x =展开成x 的幂级数是( )． 3 5 7 (A )3!5!7!x x x x -+-+ ； 2 24 4 66 222(B )12!4!6!x x x -+-+ ； 3 3 55 77 222(C ) 23! 5! 7! x x x x - + - + ； 4 6 2 (D ) 14! 6! x x x -+ - + ． 答(C). 二、填空题 1. 函数()x f x a =的麦克劳林展开式为 ． 答： (ln ).! n n n a x n ∞ =∑ 2. 函数1 2 ()3 x f x +=的麦克劳林展开式为 ． 0ln 3.2!n n n x n ∞ =?? ??? 3. 幂级数21 1 1 (1) (21)! n n n x n -∞ -=--∑的和函数是 ． 答：sin .x 4. 函数1()1f x x =-的麦克劳林级数为． 答：0.n n x ∞ =∑ 5. 函数1()1f x x = +的麦克劳林级数为 ． 答：0 (1).n n n x ∞ =-∑ 6. 函数()ln(1)f x x =+的麦克劳林级数为．答： 1 1 (1) .n n n x n ∞ -=-∑ 7. 函数()x f x e =在1x =处的泰勒级数． 答：0 (1).! n n e x n ∞ =-∑ 8. 函数1()1f x x =+在1x =处的泰勒级数．答： 1 0(1)(1) .2 n n n n x ∞ +=--∑ 9. 函数1()f x x = 展开成3x -的幂级数为 ． 答： 1 0(3)(1) .3 n n n n x ∞ +=--∑ 10. 函数2 ()cos f x x =展开成x 的幂级数为 ． 答：21 20 1 2 (1) .2 (2)! n n n n x n -∞ =+-∑ 11. 级数0 (1) (2)! n n n ∞ =-∑ 的和等于. 答：cos1. 三、简答题 1. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间． (1) ()ln(),(0)f x a x a =+>； 解： 答：1 1 ln()ln (1) .n n n n x a x a n a ∞ -=+=+-?∑ (2) 2()sin f x x =； 解： 答：22 1 1 (2) sin (1) ,(,).2(2)! n n n x x n ∞ -== --∞+∞∑ (3) ()(1)ln(1)f x x x =++； 解： 答：1 2 (1) (1)ln(1),(1,1].(1) n n n x x x x n n -∞ =-++=+--∑ (4*) ()f x =； 解： 21 21 2(2)!(1),[1,1].(!)2n n n n x x n +∞ =?? =+-- ???∑ (5). 2 ()23 x f x x x = --． 解： 答：21 12211 12(2)!(1),(1,1).2343(!)2n n n n n x n x x x x n +∞ -=???? =-+-- ???--?? ??∑ 2. 将函数()cos f x x =展开成3x π? ? + ?? ? 的幂级数． 解： 答： 221 01 1cos (1),(,).2(2)!3(21)!3n n n n n x x x n n ππ+∞ =?????=-+++-∞+∞?? ?? +???????? ∑ 3*. 将函数2()ln(3)f x x x =-在1x =展开成幂级数． 解： 答： 2 10 1(1)ln(3)ln 2(1),(0,2].2n n n n x x x n ∞ -=-? ?-=+--?? ??∑ 4*. 将函数21 ()32 f x x x =++展开成4x +的幂级数. 解： 答： 2 1 10 111(4),(6,2).32 2 3n n n n x x x ∞ ++=??= - +-- ?++? ? ∑ §11.6 2π为周期的傅里叶级数 一、单项选择题 1. 函数系{}1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,( ).x x x x nx nx (A) 在区间[,]ππ-上正交； (B ) 在区间[,]ππ-上不正交； (C) 在区间[0,]π上正交； (D ) 以上结论都不对． 答(A). 2. 函数系{}1,sin ,sin 2,,sin ,().x x nx (A) 在区间[0,]π上正交； (B ) 在区间[0,]π上不正交； (C) 不是周期函数； (D ) 以上结论都不对． 答(B). 3. 下列结论不正确的是( )． (A)cos cos d 0,()nx mx x n m ππ -=≠?；(B) sin sin d 0,()nx mx x n m ππ -=≠? ； (C) cos sin d 0nx mx x ππ -=? ； (D )c o s c o s d n x n x x π π -=?． 答(D ). 4. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶系数为( )． (A)0 1 0,()sin d n n a b f x nx x π π ==?；(B)0 1 0,()cos d n n a b f x nx x π π ==?； (C)0 2 0,()sin d n n a b f x nx x π π == ?；(D )0 2 0,sin d n n a b nx x π π == ? ．答(C). 5. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶系数为( )． (A)0 1 0,()sin d n n b a f x nx x π π ==?；(B)0 2 0,()cos d n n b a f x nx x π π ==?； (C)0 1 0,()cos d n n b a f x nx x π π== ? ；(D )0 2 0,cos d n n b a nx x π π == ? ． 答(B). 二、填空题 1. ()f x 是以2π为周期的函数，()f x 傅里叶级数为． 答： 01 (cos sin ).2 n n n a a nx b nx ∞ =+ +∑其中 1 ()cos d ,0,1,2,,n a f x nx x n π π π -= =? 1 ()sin d ,1,2,.n b f x nx x n π π π -= =? 2. ()f x 是以2π为周期的偶函数，()f x 傅里叶级数为． 答： 01 cos .2 n n a a nx ∞ =+ ∑ 2 ()cos d ,0,1,2,.n a f x nx x n π π = =? 其中 3. ()f x 是以2π为周期的奇函数，()f x 傅里叶级数为 ． 答：1 sin .n n b nx ∞ =∑ 0 2 ()sin d ,1,2,.n b f x nx x n π π = =? 其中 4. 在(),()f x x x πππ=--≤≤的傅里叶级数中，sin x 的系数为 ．答：2. 5. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，sin 2x 的系数为 ．答： 1.- 6. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，cos 2x 的系数为 ．答：0. 三、简答题 1. 下列函数()f x 的周期为2π，试将其展开为傅里叶级数． (1) 2()31,()f x x x ππ=+-≤<； 解： 答： 2 2 1 (1)()112cos ,(,).n n f x nx n π∞ =-=++-∞+∞∑ (2) ,0(), 0bx x f x ax x ππ -≤ 解： 答：1 2 1[1(1)]()(1)() ()()cos sin ,4n n n b a a b f x a b nx nx n n π π-∞ =??----+=-++???? ∑ (21).x k π≠+ 2. 将函数()2sin ()3 x f x x ππ=-≤≤展开为傅里叶级数． 解： 答：1 2 1 ()(1)sin ,(,).91 n n n f x nx n πππ ∞ +== --- 3. 将函数()cos ,()2 x f x x ππ=-≤≤展开成傅里叶级数． 解： 答：1 2 1 24 1()(1) cos ,[,].41 n n f x nx n ππππ ∞ +== +---∑ 4. 将函数(),(0)2 x f x x ππ-=≤≤展开成正弦级数． 解： 答：1 sin (), (0,].n nx f x n π∞ == ∑ 5. 将函数2()2,(0)f x x x π=≤≤展开成正弦级数和余弦级数． 解： 答：2 3314 2 2()(1)sin ,[0,).n n f x nx n n n πππ∞ =????=---?? ?????∑ 2 2 1 2(1)()8cos ,[0,].3 n n f x nx n ππ∞ =-= +∑ §11.7 一般周期函数的傅里叶级数 一、单项选择题 1. 下列结论不正确的是( )． (A)cos cos d 0,()l l n x m x x n m l l ππ-=≠?； (B)sin sin d 0,()l l n x m x x n m l l ππ-=≠?； (C) cos sin d 0l l n x m x x l l ππ-=? ； (D ) sin sin d 0l l n x n x x l l ππ-=? ． 答(D ). 2. ()f x 是以2l 为周期的函数，则()f x 的傅里叶级数为( )． (A)01cos n n n n x n x a a b l l ππ∞ =? ? ++ ? ? ? ∑；(B)01cos 2n n n a n x n x a b l l ππ∞ =??++ ?? ?∑； (C)1 n n n x b l π∞ =∑； (D )01 cos 2n n a n x a l π∞ =+ ∑． 答(B). 3. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶级数为( )． 01 (A )cos 2 n n a n x a l π∞ =+ ∑ ； 01 (B )c o s n n n x a a l π∞ =+∑ ； 1 (C ) sin n n n x b l π∞ =∑ ； 01 (D ) sin 2 n n a n x a l π∞ =+ ∑ ． 答(A). 4. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶级数为( )． 01(A )sin 2 n n b n x b l π∞ =+ ∑； 01(B )c o s n n n x b b l π∞ =+ ∑ 1 (C ) sin n n n x b l π∞ =∑； 1 (D ) c o s n n n x b l π∞ =∑． 答(C). 二、填空题 1. ()f x 是以2为周期的函数, ()f x 的傅里叶级数为. 答： 01 cos sin .2 2 2n n n a n n a x b x ππ ∞ =??+ + ?? ? ∑ 11 1()cos d ,0,1,2,,2 2 n n a f x x x n π-= =? 其中11 1()sin d ,1,2,.2 2 n n b f x x x n π-= =? 2. ()f x 是以2l 为周期的偶函数, ()f x 的傅里叶级数为. 答： 01 cos .2 n n a n a x l π∞ =+ ∑ 2()cos d ,0,1,2,.l n n a f x x x n l l π= =? 其中 3. ()f x 是以2l 为周期的奇函数，()f x 的傅里叶级数为 . 答：1 sin .n n n b x l π∞ =∑ 2()sin d ,1,2,.n n b f x x x n l l π π= =? 其中 4. 设()f x 是以3为周期的函数，1,10 (), 02 x x f x x x +-≤ ≤ ．又设()f x 的傅里叶 级数的和函数为()S x ，则(0)S = ，(3)S =． 答：1(0)(3).2S S == 5. 设()f x 是以3为周期的函数，3 2, 10(), 01 x f x x x -≤ 在1x =处收敛于 ． 答： 3.2 6. 设()f x 是以2为周期的函数，1,02 ()10,1 2 x x f x x ? ≤ =? ?≤ ，又设()S x 是()f x 的正 弦级数的和函数，则74S ?? = ??? ． 答： 71 .44 S ??=- ??? 三、简答题 1. 设周期函数在一个周期内的表达式为211()122f x x x ?? =-- ≤< ??? ，试将其展开为傅里叶级数． 解： 答： 1 2 1 111 (1)()cos(2)(,).122 n n f x n x ππ =∞ =-= +-∞+∞∑ 2. 设周期函数在一个周期内的表达式为21,30()1, 03 x x f x x +-≤ ，试将其展开 为傅里叶级数． 解： 答： 122 1166 ()[1(1)]cos (1)sin ,3(21).233n n n n n f x x x x k n n ππππ∞ +=??=- + --+-≠+??? ?∑ 3*. 将函数2(),(02)f x x x =≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数． 解： 答： 12 3218 (1)2[(1)1]sin ,0 2.2n n n n x x x n n πππ+∞ =??-=+--≤ ??? ∑ 2 2 2 1 416 (1)cos ,0 2.3 2 n n n x x x n ππ ∞ =-= + ≤≤∑ 一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 第9章《振动》习题解答 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力. 【解】 刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，φ为与OC 铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对O 的转动定理； 因φ很小故sin φφ= 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，轻弹簧的劲度系 数为1k 和2k ，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率. 【解】 以物体m 为隔离体,水平方向受12,k k 的 弹性力12,,F F 以平衡位置为原点建立坐标系O x -，水平向右为x 轴正方向。设m 处于O 点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移x 之后，弹簧1k 的伸长量为x ，弹簧2k 被压缩长也为x 。 故物体受力为：1212---()x F k x k x k k x ==+ （线性恢复力） m 相当于受到刚度系数为12k k k =+的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律： 9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为1k .若在振子和弹簧1k 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数2k 应是1k 的多少倍？ 【解】 未串时：平衡位置 1 mg k = 串联另一刚度系数为2k 的弹簧： 此时弹簧组的劲度系数为?k = 已知： 2ωω=' 解得：211 3 k k = 9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a ( 第十一章习题 一、选择题： 1._____已成为评判企业是否具有竞争力的最集中的体现 A 市场占有率 B 客户满意率 C 客户忠诚度 D 客户价值率 2._____是经营过程的直接担当者，他们素质的高低是BPR能否取得成功的决定性因素 A 顾客 B 企业员工 C 企业管理者 D 企业供应商 3.企业价值的核心是为客户创造价值，而_____的实现是企业一切价值实现的源泉 A 客户需求 B 客户满意 C 客户忠诚 D 客户价值 4.随着全球商务信息平台的日臻完善和全球经济一体化进程的加速，有效的客户知识管理越来越成为企业构建其独特的_____的关键因素 A 个性化产品 B 客户群体 C 核心竞争力 D 企业管理方法 5.呼叫中心是指以_____技术为依托，可以提供完整的综合信息服务的应用系统，也就是传统意义上的中心 A 数据仓库 B 计算机通信集成 C 现代信息 D 现代管理 6.CRM的高端营销及管理主要集中在涉及到_____营销的企业 A B to C B C to B C C to C D B to B 7.网络营销的关键在于把握_____这一核心问题，使营销真正成为连接企业外部信息（客户需求）与部信息（客户信息的分析、决策）的接口 A 客户需求 B 客户满意 C 客户忠诚D客户价值 8._____是CRM应用中最为困难的一个过程 A 数据挖掘 B 销售自动化 C 业务流程自动化 D 客户服务 9._____主要针对设计并应用于经常在企业部工作而且可以使用部局域网或高速广域网的销售人员 A 现场销售 B 部销售 C 外部销售 D 无线销售 10.在新经济条件下，实施_____战略已经成为现代企业开展经营活动的基本准则，它是企业克敌制胜、压倒对手、占领市场、开辟财源的锐利武器 A 客户忠诚 B 客户满意 C 客户保持D客户挖掘 11.竞争力的直接结果理应表现为_____ A 创造能力 B 收益能力 C 客户服务能力 D 市场占有能力 12._____是企业核心竞争能力赖以形成的基础 A 核心销售能力 B 核心研发能力 聚类分析和判别分析练习题 一、选择题 1.需要在聚类分析中保序的聚类分析是（ ）。 A.两步聚类 B.有序聚类 C.系统聚类 D.k-均值聚类 2.在系统聚类中2R 是（ ）。 A.组内离差平方和除以组间离差平方和 B.组间离差平方和除以组内离差平方和 C.组间离差平方和除以总离差平方和 D.组间均方除以总均方。 3.系统聚类的单调性是指（ ）。 A.每步并类的距离是单调增的 B.每步并类的距离是单调减的 C.聚类的类数越来越少 D.系统聚类2R 会越来越小 4.以下的系统聚类方法中，哪种系统聚类直接利用了组内的离差平方和。（ ） A.最长距离法 B.组间平均连接法 C.组内平均连接法 D.WARD 法 5.以下系统聚类方法中所用的相似性的度量，哪种最不稳健（ ）。 A.2 1()p ik jk k x x =-∑ B. 1p ik jk k ik jk x x x x =-+∑ C. 21p k =∑ D. 1()()i j i j -'x -x Σx -x 6. 以下系统聚类方法中所用的相似性的度量，哪种考虑了变量间的相关性（ ）。A.2 1()p ik jk k x x =-∑ B. 1 p ik jk k ik jk x x x x =-+∑ C. 21 p k =∑ D. 1()()i j i j -'x -x Σx -x 7.以下统计量，可以用来刻画分为几类的合理性统计量为（ ）？ A.可决系数或判定系数2R B. G G W P P - C.()/(1) /() G G W P G P n G -- - D.() G W P W - 8.以下关于聚类分析的陈述，哪些是正确的（） A.进行聚类分析的统计数据有关于类的变量 B.进行聚类分析的变量应该进行标准化处理 C.不同的类间距离会产生不同的递推公式 D.递推公式有利于运算速度的提高。D(3)的信息需要D（2）提供。 9.判别分析和聚类分析所要求统计数据的不同是（） A.判别分析没有刻画类的变量，聚类分析有该变量 B.聚类分析没有刻画类的变量，判别分析有该变量 C.分析的变量在不同的样品上要有差异 D.要选择与研究目的有关的变量 10.距离判别法所用的距离是（） A.马氏距离 B. 欧氏距离 C.绝对值距离 D. 欧氏平方距离 11.在一些条件同时满足的场合，距离判别和贝叶斯判别等价，是以下哪些条件。 （） A.正态分布假定 B.等协方差矩阵假定 C.均值相等假定 D.先验概率相等假定 12.常用逐步判别分析选择不了的标准是（） A.Λ统计量越小变量的判别贡献更大 B.Λ统计量越大变量的判别贡献更大 C.判定系数越小变量的判别贡献更大 D.判定系数越大变量的判别贡献更大 二、填空题 1、聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样本或变量按照它们在性质上的_______________进行科学的分类。 2．Q型聚类法是按_________进行聚类，R型聚类法是按_______进行聚类。 3．Q型聚类相似程度指标常见是、、，而R型聚类相似程度指标通常采用_____________ 、。 4．在聚类分析中需要对原始数据进行无量纲化处理，以消除不同量纲或数量级的影响，达到数据间 第11章习题答案 11-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为B ＝μ0I 2πa ，当场点无限接近于导线时(即a →0)， 磁感应强度B →∞，这个结论正确吗？如何解释？ 答：结论不正确。公式a I B πμ20= 只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a →0， 导线的 尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。 11-2 如图所示，过一个圆形电流I 附近的P 点，作一个同心共面圆形环路L ，由于电流分布的轴对称，L 上各点的B 大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B ·d l ＝0，是否可由此得出结论，L 上各点的B 均为零？为什么？ 答：L 上各点的B 不为零. 由安培环路定理 ∑?=?i i I l d B 0μ 得 0=??l d B ，说明圆形环路L 内的电流代数和为零，并不 是说圆形环路L 上B 一定为零。 10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等? (2)在闭合曲线c 上各点的B 是否为零?为什么? 解： ?μ=?a l B 0 8d ? μ=?ba l B 08d ?=?c l B 0d (1)在各条闭合曲线上，各点B 的大小不相等． (2)在闭合曲线C 上各点B 不为零．只是B 的环路积分为零而非每点0=B ． 11-4 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？ 习题11-2图 第十一章市场失灵和微观经济政策 1、垄断是如何造成市场失灵的？ 解答：要点如下： 第一，在垄断情况下，厂商的边际收益小于价格.因此，当垄断厂商按利润最大化原则（边际收益等于边际成本）确定产量时，其价格将不是等于而是大于边际成本.这就出现了低效率的情况. 地二，为获得和维持垄断地位从而得到垄断利润的寻租活动是一种纯的浪费.这进一步加剧了垄断的低效率情况. 2、外部影响的存在是如何干扰市场对资源的配置的？ 解答：要点如下： 第一，如果某个人采取某项行动的私人利益小于社会利益（即存在外部不济），则当这个人采取该行动私人利益大于私人成本而小于社会成本时，他就采取这项行动，尽管从社会的角度看，该行动是不利的. 第三，上述两种情况均导致了资源配置失当.前者是生产不足，后者是生产过多. 3、如何看待“科斯定理”？它在资本主义社会适用吗？它在社会主义适用吗？ 解答：要点如下： 第一，科撕定理要求财产权明确.但是，财产权并不总是能够明确地加以规定.有的资源，例如空气，在历史上就是大家均可以使用的共同财产，很难将其财产权具体分派给谁；有的资源的财产权即使在原则上可以明确，但由于不公平问题、法律程序的成本问题也变得实际 上不可行. 第二，科斯定理要求财产权可以转让.但是，由于信息不充分以及买卖双方不能达成一致意见等等，财产权并与一定总是能够顺利地转让. 第三，即使财产权是明确、可在转让的，也不一定总能实现资源的最优配置.转让之后的结果可能是：它与原来的状态相比有所改善，但却不一定为最优. 第四，分配财产权会影响收入分配，而收入分配的变动可以造成社会不公平，引起社会动乱.在社会动乱的情况下，就谈不上解决外部影响问题了. 4、公共物品为什么不能依靠市场来提供？ 解答：要点如下： 第一，公共物品不具备消费的竞争性. 第二，由于公共物品不具备竞争的性，任何一个消费者消费一单位公共物品的机会成本是0.这意味着，没有任何消费者要为他所消费的公共物品去与其他任何人竞争.因此，时常不再是竞争的.如果消费者认识到他自己消费的机会成本为0，他就会尽量少支付给生产者以换取消费公共物品的权利.如果所有消费者均这样行事，则消费者们支付的数量就将不足以弥补公共物品的生产成本.结果便是低于最优数量的产出，甚至是0产出. 5、市场机制能够解决信息不完全和不对称问题吗？ 解答：要点如下： 习 题 解 答 11-1 在双缝干涉实验中，若单色光源S 到两缝21S S 、距离相等，则观察屏上中央明纹位于图中O 处。现将光源S 向下移动到示意图中的S '位置，则（ ） （A ）中央明条纹也向下移动，且条纹间距不变 （B ）中央明条纹向上移动，且条纹间距不变 （C ）中央明条纹向下移动，且条纹间距增大 （D ）中央明条纹向上移动，且条纹间距增大 解 由S 发出的光到达21S S 、的光成相等，它们传到屏上中央O 处，光程差 0=?，形成明纹，当光源由S 向下移动S '时，由S '到达21S S 、的两束光产生了 光程差，为了保持原中央明纹处的光程差为0，它将上移到图中O '处，使得由S '沿21S S 、传到O '处的两束光的光程差仍为0.而屏上各级明纹位置只是向上平移，因此条纹间距不变。故选B 11-2 单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如附图所示，若薄膜厚度为e ， 且n 1＜n 2，n 3＜n 2， λ1为入射光在n 1中的波长，则两束反射光的光程为（ ） （A ）e n 22 （B ）1 1222n e n λ- （C ）2 2112λn e n - （D ）2 2122λn e n - 习题11-2图 解 由于n 1〈n 2，n 3〈n 2，因此光在表面上的反射光有半波损失，下表面的反射光没有半波损失，所以他们的光程差2 22λ-=?e n ，这里λ是光在真空中的波 3 n S S ’ O O ’ 长，与1λ的关系是11λλn =。 故选C 11-3 如图所示，两平面玻璃板构成一空气劈尖，一平面单色光垂直入射到劈尖上，当A 板与B 板的夹角θ增大时，干涉图样将发生（ ）变化 （A ）干涉条纹间距增大，并向O 方向移动 （B ）干涉条纹间距减小，并向B 方向移动 （C ）干涉条纹间距减小，并向O 方向移动 （D ）干涉条纹间距增大，并向B 方向移动 解 空气劈尖干涉条纹间距θ λ sin 2n l = ?，劈尖干涉又称为等厚干涉，即k 相同的同一级条纹，无论是明纹还是暗纹，都出现在厚度相同的地方. 当A 板与B 板的夹角θ增大时，△ｌ变小. 和原厚度相同的地方向顶角方向移动，所以干涉条纹向O 方向移动。 故选C 11-4 如图所示的三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P 处形成的圆斑为（ ） （A ）全明 （B ）全暗 （C ）右半部明，左半部暗 （D ）右半部暗，左半部明 习题11-4图 解 牛顿环的明暗纹条件（光线垂直入射0=i ） ??? ??? ? ???=? ??=+=?) (,2,1,0,,2,1,0,2)12(明纹（暗纹）k k k k λλ 在接触点P 处的厚度为零，光经劈尖空气层的上下表面反射后的光程差主要由此处是否有半波损失决定. 当光从光疏介质（折射率较小的介质）射向光密的介质（折射率较大的介质）时，反射光有半波损失. 结合本题的条件可知右半部有一次半波损失，所以光程差是2 λ ，右半部暗，左半部有二次半波损失，光程差是零，左半部明。 故选D .162 .A θ B O 习题11-3图 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 2 1()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ 高三物理第二轮专题复习（一）弹簧类问题 轻弹簧是一理想模型，涉及它的知识点有①形变和弹力，胡克定律②弹性势能弹簧振子等。问题类型： 1、弹簧的瞬时问题 弹簧的两端若有其他物体或力的约束，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。弹簧的弹力不能突变是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。 2、弹簧的平衡问题 这类题常以单一的问题出现，通常用胡克定律F=Kx和平衡条件来求解，列方程时注意研究对象的选取，注意整体法和隔离法的运用。 3、弹簧的非平衡问题 这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的合外力加速度速度动能和其它物理量发生变化的情况。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，而它引起的物体的加速度速度动量动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值或极值。有些问题要结合简谐运动的特点求解。 4、弹力做功与动量能量的综合问题 弹力是变力，求弹力的冲量和弹力做的功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。 在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量能量联系，一般以综合题出现。它有机地将动量守恒机械能守恒功能关系和能量转化结合在一起，以考察综合应用能力。分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理动量定理和功能关系等知识解题。 规律：在弹簧-物体系统中，当弹簧处于自然长度时，系统具有最大动能；系统运动中弹簧从自然长度开始到再次恢复自然长度的过程相当于弹性碰撞过程。当弹簧具有最大形变量时，两端物体具有相同的速度，系统具有最大的弹性势能。系统运动中，从任意状态到弹簧形变量最大的状态的过程相当于完全非弹性碰撞的过程。(实际上应为机械能守恒) 典型试题 1、如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B点。在B点正上方A点处，有一质量为m的物块，物块从静止开始自由下落。物块落在弹 簧上，压缩弹簧，到达C点时，物块的速度为零。如果弹簧的形变始终未超过 弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ B ） A、物块在B点时动能最大 B、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块的加速度的最大值大于g C、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块做简谐运动 D、如果将物块从B点由静止释放，物块仍能到达C点 2、如图所示，弹簧上端固定在天花板上，下端系一铜球，铜球下端放有通电线圈。 今把铜球拉离平衡位置后释放，此后关于小球的运动情况（不计空气阻力）是（） A．做等幅振动B．做阻尼振动 C．振幅不断增大 D．无法判断 3、如图所示，质量相同的木块AB用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处 于自然状态。现用水平恒力F向右推A，则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列 第十一章构建社会主义和谐社会练习题 古华琼 （一）单项选择题 1．“社会主义和谐社会”的完整概念，最早出现于（D） A．20XX年 B．20XX年 C．20XX年 D．20XX年 2．构建社会主义和谐社会的重点是（D） A．建设和谐文化，巩固社会和谐的思想道德基础 B．完善社会管理，保障社会安定有序 C．加强制度建设，保障社会公平正义 D．解决人民最关心、最直接、最现实的利益问题 3．不属于社会主义和谐社会的科学内涵的是（C） A．民主法治 B．公平正义 C．经济发展与社会发展相和谐 D．人与自然和谐相处 4．构建社会主义和谐社会，同建设社会主义物质文明、精神文明是有机的统一体，和谐社会建设对三个文明建设的作用是（ D）。 A．物质基础 B．政治保证 C．精神支撑 D．社会条件 5．构建社会主义和谐社会最根本的保证是（A ）。 A．党的领导和社会主义制度 B．较为坚实的物质基础 C．全体人民的根本利益一致 D．马克思主义在全社会的指导地位 6．构建社会主义和谐社会的主要动力是（ B）。 A．必须坚持以人为本 B．必须坚持科学发展 C．必须坚持改革开放 D．必须坚持民主法治 7．构建社会主义和谐社会的重要条件是（D ）。 A．必须坚持以人为本 B．必须坚持科学发展C．必须坚持改革开放 D．必须坚持正确处理改革发展稳定的关系 8.构建社会主义和谐社会的根本出发点和落脚点是（A ）。 A．必须坚持以人为本 B．必须坚持科学发展C．必须坚持改革开放 D．必须坚持民主法治 9.（ D）提出了到2020年构建社会主义和谐社会的目标和主要任务。 A．党的十六届三中全会 B．党的十六届四中全会C．党的十六届五中全会 D．党的十六届六中全会 10.下列哪一个选项不属于建立和完善社会保障体系的总要求？（ C） A.广覆盖 B. 可持续 C. 高水平 D. 保基本 （二）多项选择题 1．构建社会主义和谐社会（ABC） A．是实现全面建设小康社会目标的重大任务 B．是我们把握复杂多变的国际形势、有力应对来自外部的各种挑战和风险的战略举措 C．是完成我们党肩负的历史使命的重要保证 D．是缓和社会矛盾的权宜之计 2．社会主义和谐社会，应该是（ABCD） A．民主法治的社会，公平正义的社会 B．诚信友爱的社会，充满活力的社会 第四章 流体力学基础习题解答 4-1 关于压强的下列说确的是（ ）。 A 、压强是矢量； B 、容器液体作用在容器底部的压力等于流体的重力； C 、静止流体高度差为h 的两点间的压强差为gh P o ρ+； D 、在地球表面一个盛有流体的容器以加速度a 竖直向上运动，则流体深度为h 处的压强为0)(P a g h P ++=ρ。 解：Ｄ 4-2 海水的密度为33m /kg 1003.1?=ρ，海平面以下100m 处的压强为（ ）。 A 、Pa 1011.16?； B 、Pa 1011.15? C 、Pa 1001.16?； D 、Pa 1001.15?。 解：Ａ 4-3 两个半径不同的肥皂泡，用一细导管连通后，肥皂泡将会（ ）。 A 、两个肥皂泡最终一样大； B 、大泡变大，小泡变小 C 、大泡变小，小泡变大； D 、不能判断。 解：Ｂ ４-4 两个完全相同的毛细管，插在两个不同的液体中，两个毛细管（ ）。 A 、两管液体上升高度相同； B 、两管液体上升高度不同； C 、一个上升，一个下降； Ｄ、不能判断。 解：Ｂ 4-5 一半径为r 的毛细管，插入密度为ρ的液体中，设毛细管壁与液体接触角为θ，则液体在毛细管中上升高度为h= ( ) 。（设液体的表面力系数为α） 解:gr h ρθα=cos 2 4-6 如图所示的液面。液面下A 点处压强是（ ） 。设弯曲液面是球面的一部分，液面曲率半径为Ｒ，大气压强是0P ，表面力系数是α。 解:R P P α+ =20 4-7 当接触角2πθ< 时，液体（ ）固体，0=θ时，液体（ ）固体；当2π θ>时，液体（ ）固体，πθ=，液体（ ）固体。 解：润湿，完全润湿，不润湿，完全不润湿。 第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ， 11-1 某种玻璃对波长0.4~2.5 μm 范围内的射线的透射比近似为0.95，而对其它波长射线的透射比近似为0，试计算此玻璃对温度为1500 K 、2000 K 和6000 K 的黑体辐射的透射比。 解：由题意： 当温度为1500K 时， K m T ?=?=μλ6004.015001 K m T ?=?=μλ37505.215002 查黑体辐射函数表，有%0)0(1 =-T b F λ,%385.43)0(2 =-T b F λ 此玻璃的透射比为：%216.41)95.0)0()0(1 2 =-? --T b T b F F λλ（ 当温度为2000K 时， K m T ?=?=μλ8004.020001 K m T ?=?=μλ50005.220002 查黑体辐射函数表，有%0)0(1 =-T b F λ,%41.63)0(2 =-T b F λ 此玻璃的透射比为：%2395.60)95.0)0()0(1 2 =-? --T b T b F F λλ（ 当温度为6000K 时， K m T ?=?=μλ24004.060001 K m T ?=?=μλ150005.260002 查黑体辐射函数表，有%05.14)0(1 =-T b F λ,%885.96)0(2 =-T b F λ 此玻璃的透射比为：%693.78)95.0)0()0(1 2 =-? --T b T b F F λλ（ 当温度为6000K 时， K m T ?=?=μλ24004.060001 K m T ?=?=μ λ150005.260002 查黑体辐射函数表，有%05.14)0(1 =-T b F λ,%885.96)0(2 =-T b F λ 此玻璃的透射比为：%693.78)95.0)0()0(1 2 =-? --T b T b F F λλ（ 11-2 某黑体辐射最大光谱辐射力的波长8.5max =λμm ，试计算该黑体辐射在波长1~5 μm 范围内的辐射能份额。 5.2酿酒葡萄的等级划分 5.2.1葡萄酒的质量分类 由问题1中我们得知，第二组评酒员的的评价结果更为可信，所以我们通过第二组评酒员对于酒的评分做出处理。我们通过excel计算出每位评酒员对每支酒的总分，然后计算出每支酒的10个分数的平均值，作为总的对于这支酒的等级评价。 通过国际酿酒工会对于葡萄酒的分级，以百分制标准评级，总共评出了六个级别（见表5）。 在问题2的计算中，我们求出了各支酒的分数，考虑到所有分数在区间[61.6，81.5]波动，以原等级表分级，结果将会很模糊，不能分得比较清晰。为此我们需要进一步细化等级。为此我们重新细化出5个等级，为了方便计算，我们还对等级进行降序数字等级（见表6）。 通过对数据的预处理，我们得到了一个新的关于葡萄酒的分级表格（见表7）： 考虑到葡萄酒的质量与酿酒葡萄间有比较之间的关系，我们将保留葡萄酒质量对于酿酒葡萄的影响，先单纯从酿酒葡萄的理化指标对酿酒葡萄进行分类，然后在通过葡萄酒质量对酿酒葡萄质量的优劣进一步进行划分。 5.2.2建立模型 在通过酿酒葡萄的理化指标对酿酒葡萄分类的过程，我们用到了聚类分析方法中的ward 最小方差法，又叫做离差平方和法。 聚类分析是研究分类问题的一种多元统计方法。所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。为了将样品进行分类，就需要研究样品之间关系。这里的最小方差法的基本思想就是将一个样品看作P 维空间的一个点，并在空间的定义距离，距离较近的点归为一类；距离较远的点归为不同的类。面对现在的问题，我们不知道元素的分类，连要分成几类都不知道。现在我们将用SAS 系统里面的stepdisc 和cluster 过程完成判别分析和聚类分析，最终确定元素对象的分类问题。 建立数据阵，具体数学表示为： 1111...............m n nm X X X X X ????=?????? （5.2.1） 式中，行向量1(,...,)i i im X x x =表示第i 个样品； 列向量1(,...,)'j j nj X x x =’，表示第j 项指标。(i=1,2,…,n;j=1,2,…m) 接下来我们将要对数据进行变化，以便于我们比较和消除纲量。在此我们用了使用最广范的方法，ward 最小方差法。其中用到了类间距离来进行比较，定义为： 2||||/(1/1/)kl k l k l D X X n n =-+ （5.2.2） Ward 方法并类时总是使得并类导致的类内离差平方和增量最小。 系统聚类数的确定。在聚类分析中，系统聚类最终得到的一个聚类树，如何确定类的个数，这是一个十分困难但又必须解决的问题；因为分类本身就没有一定标准，人们可以从不同的角度给出不同的分类。在实际应用中常使用下面几种 第11章习题 1．选择题 1）圆柱螺旋弹簧的旋绕比是的比值。 （1）弹簧丝直径d与中径D2（2）中径D2与弹簧丝直径d （3）弹簧丝直径d与自由高度H0（4）自由高度H0与弹簧丝直径d 2）旋绕比C选得过小则弹簧。 （1）刚度过小，易颤动（2）易产生失稳现象 （3）尺寸过大，结构不紧凑（4）卷绕困难，且工作时内侧应力大 3）圆柱螺旋弹簧的有效圈数是按弹簧的要求计算得到的。 （1）刚度（2）强度（3）稳定性（4）结构尺寸 4）采用冷卷法制成的弹簧，其热处理方式为。 （1）低温回火（2）淬火后中温回火（3）渗碳淬火（4）淬火 5）采用热卷法制成的弹簧，其热处理方式为。 （1）低温回火（2）淬火后中温回火（3）渗碳淬火（4）淬火 2．思考题 1) 弹簧主要功能有哪些？试举例说明。 2) 弹簧的卷制方法有几种？各适用什么条件？ 3) 圆柱螺旋压缩（拉伸）弹簧受载时，弹簧丝截面上的最大应力发生在什么位置？ 最大应力值如何确定？为何引入曲度系数k1？ 4) 圆柱螺旋压缩（拉伸）弹簧强度和刚度计算的目的是什么？ 3．设计计算题 1) 试设计一液压阀中的圆柱螺旋压缩弹簧。已知：弹簧的最大工作载荷F max=350N，最小工作载荷F min=200N ，工作行程为13mm，要求弹簧外径不大于35mm，载荷性质为Ⅱ类，一般用途，弹簧两端固定支承。 2）设计一圆柱螺旋拉伸弹簧。已知：弹簧中径D2≈12mm，外径D<18mm；当载荷F1=160N，弹簧的变形量λ1=6mm，当载荷F2=350N，弹簧的变形量λ2=16 mm 。 第11章习题答案 1．选择题 1）（2）2）（4）3）（1）4）（1） 5）（2） 1．弹簧主要有哪些功能？试举例说明。 答：弹簧的主要功能有（1）缓冲和减振，如车辆中的缓冲弹簧、联轴器中的吸振弹簧；（2）控制运动，如内燃机中的阀门弹簧、离合器中的控制弹簧；（3）储蓄能量，如钟表中的弹簧；（4）测力，如测力器和弹簧秤中的弹簧等。 2．弹簧的卷制方法有几种？适用条件？ 答：弹簧的卷绕方法有冷卷法和热卷法。弹簧丝直径在8mm以下的用冷卷法，直径大于8mm的用热卷法。 图1 图2 O () m x () m y A C D B 第十一章 机械波和电磁波 练 习 一 一. 选择题 1．当一列机械波在弹性介质中由近向远传播的时候，下列描述错误的是（ A ） (A) 机械波传播的是介质原子； (B) 机械波传播的是介质原子的振动状态； (C) 机械波传播的是介质原子的振动相位； (D) 机械波传播的是介质原子的振动能量。 2．已知一平面简谐波的表达式为 )cos(bx at A y -=（a 、b 为正值常量），则（ D ） (A) 波的频率为a ； (B) 波的传播速度为 b/a ； (C) 波长为 / b ； (D) 波的周期为2 / a 。 3．一平面简谐波的波形曲线如图1所示，则（ D ） (A) 周期为8s ； (B) 波长为10m ； (C) x=6m 的质点向右运动；(D) x=6m 的质点向下运动。 4．如图2所示，一平面简谐波以波速u 沿x 轴正方向传播，O 为坐标原点．已知P 点的振动方程为cos y A t ω=，则（ C ） (A) O 点的振动方程为 []cos (/)y A t l u ω=-； (B) 波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=--； (C) 波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=+-； (D) C 点的振动方程为 []cos (3/)y A t l u ω=-。 二．填空题 1. 有一平面简谐波沿Ox 轴的正方向传播，已知其周期为s 5.0，振幅为m 1，波长为 m 2，且在0=t 时坐标原点处的质点位于负的最大位移处，则该简谐波的波动方程为 ()πππ--=x t y 4cos 。 2. 已知一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos(25.0x t y -= (SI)，则 1= 10m x 点处质点的振动方程为__0.25cos(125 3.7)y t =- (SI)；1= 10m x 和2= 25m x 两点间的振动相位差为 5.55 rad ??=- 。 3. 一简谐波的波形曲线如图3所示，若已知该 时刻质点A 向上运动，则该简谐波的传播方向为 向 x O u 2l l y C P O 2 -2 26 10() m x () m y 第11章思考题及习题11参考答案 一、填空 1．对于电流输出型的D/A转换器，为了得到电压输出，应使用。 答：I/V转换电路 2．使用双缓冲同步方式的D/A转换器，可实现多路模拟信号的输出。 答：同步 3．一个8位A/D转换器的分辨率是，若基准电压为5V,该A/D转换器能分辨的最小的电压变化为。 答：1/28，20Mv 4．若单片机发送给8位D/A转换器0832的数字量为65H，基准电压为5V,则D/A转换器的输出电压为。 答：1.973V 5．若A/D转换器00809的基准电压为5V,输入的模拟信号为2.5V时，A/D转换后的数字量是。 答：80H 6．常见的数据采集的软件滤波中的算术平均滤波法：一般适用于具有的信号的滤波； 滑动平均滤波法：对有良好的抑制作用，但对偶然出现的的抑制作用差；中位值滤波法：能有效地克服因的波动干扰。对、等变化缓慢的被测参数能收到良好的滤波效果。但对、等快速变化的参数一般不宜采用此法；防脉冲干扰滤波法对消除由于而引起的误差较为有效。 答：随机干扰，周期性干扰，脉冲性干扰，偶然因素引起，温度，液位，流量，速度，脉冲干扰 二、判断对错 1．“转换速度”这一指标仅适用于A/D转换器，D/A转换器不用考虑“转换速度”问题。错2．ADC0809可以利用“转换结束”信号EOC向AT89S52单片机发出中断请求。对 3．输出模拟量的最小变化量称为A/D转换器的分辨率。错 4．对于周期性的干扰电压，可使用双积分型A/D转换器，并选择合适的积分元件，可以将该周期性的干扰电压带来的转换误差消除。对 三、简答 1．D/A转换器的主要性能指标都有哪些？设某DAC为二进制12位，满量程输出电压为5V，试问它的分辨率是多少？ 答：D／A转换器的主要技术指标如下： 分辨率：D／A转换器的分辨率指输入的单位数字量变化引起的模拟量输出的变化，是对输入量变化敏感程度的描述。 建立时间：建立时间是描述D／A转换速度快慢的一个参数，用于表明转换速度。其值为从输入数字量到输出达到终位误差±(1／2)GB(最低有效位)时所需的时间。 转换精度：理想情况下，精度与分辨率基本一致，位数越多精度越高。严格讲精度与分辨率并不完全一致。只要位数相同，分辨率则相同．但相同位数的不同转换器精度会有所不同。 当DAC为二进制12位，满量程输出电压为5V时，分辨率为1.22 mV 2．A/D转换器两个最重要的技术指标是什么？ 答：两个最重要的技术指标：(1) 转换时间或转换速率 (2) 分辨率--习惯上用输出二进制位数或BCD码位数表示。 3．分析A/D转换器产生量化误差的原因，一个8位的A/D转换器，当输入电压为0～5V时，其最大的量化误差是多少？ 答：量化误差是由于有限位数字对模拟量进行量化而引起的；最大的量化误差为0.195%；4．目前应用较广泛的A/D转换器主要有哪几种类型？它们各有什么特点？ 答：主要有以下几种类型：逐次逼近式转换器、双积分式转换器、∑-△式A／D转换器。逐次逼近型A／D转换器：在精度、速度和价格上都适中，是最常用的A／D转换器件。双积分A／D转换器：具有精度高、抗干扰性好、价格低廉等优点，但转换速度慢，近年来在单片机应用领域中也得到广泛应用。∑-△式A／D转换器：具有积分式与逐次逼近式ADC的双重优点，它对工业现场的串模干扰具有较强的抑制能力，不亚于双积分ADC，它比双积分ADC 有较高的转换速度。与逐次逼近式ADC相比，有较高的信噪比，分辨率高，线性度好，不需要采样保持电路。 5．在DAC和ADC的主要技术指标中，“量化误差”、“分辨率”和“精度”有何区别？ 答：对DAC，分辨率反映了输出模拟电压的最小变化量。对于ADC，分辨率表示输出数字量变化一个相邻数码所需输入模拟电压的变化量。量化误差是由ADC的有限分辨率而引起 第五章 聚类分析 5.1 判别分析和聚类分析有何区别？ 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 5.2 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？ 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1()()p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？ 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ cos p ik jk ij X X θ= ∑ ()() p ik i jk j ij X X X X r --= ∑ ij G X G X ij d D j j i i ∈∈= ,min应用多元统计分析试题及答案
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