1

第一学期期末测试九年级数学试卷

（满分150 分，考试时间 120分钟）

说明：

1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．

2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B 铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．

3．如有作图需要，请用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．

上） 1．关于x 的一元二次方程22

(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为

A ．1

B ．-1

C ．1或-1

D ．12

2．将方程2x 8x 90++=配方后，原方程可变形为

A .2

(x 4)7+= B . 2

(x 4)25+= C . 2

(x 4)9+=- D . 2

(x 8)7+= 3．二次函数y ＝2－2＋3的图像的顶点坐标是 A ．(1，2)

B ．(1，6)

C ．(－1，6)

D ．(－1，2)

4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知sin A ＝3

4，则cos B 的值为

A ．

74

B ．34

C ．3

5

D ．4

5

5．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相切 B ．相离 C ．相离或相切 D ．相切或相交

6．如图，已知AB 是圆O 的直径，∠BAC =32°，D 为弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是 A ．25° B ．29° C ．30° D ．32°

B

C A

（第4题）

（第6题）

2

8．如图1， 在 中，，.点O 是BC 的中点，点D 沿B →A →C 方向从B 运动到C .设点D 经过的路径长为x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与的函数关系的大致图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的

A ．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．如果cos 2

A =

，那么锐角A 的度数为 ▲ °

． 10．一元二次方程2－2+m =0总有实数根，则m 应满足的条件是 ▲ .

11．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率

为 ▲ ．

12．将二次函数2

2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是

▲ ．

13．已知在ABC △中，AB= AC ＝5，BC ＝6，则tan B 的值为 ▲ ．

14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD =105°，则∠DCE 的度数是 ▲ °．

y

O

x B

3

15．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，

则AD 的长为 ▲ ．

16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E

，30CDB CD ∠==，,则阴影部分的面积为

▲ ．（结果保留π）

17．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有

个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为尺，则可列方程为 ▲ ．

18．关于x 的方程0)(2

=++b m x a 的解是1x =2，2x =1-（a 、b 、m 为常数，≠a 0），则方程

0)2(2=+++b m x a 的解是 ▲ ．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（本题满分8分）计算：

（1）22sin 60cos 60?+?； （2

）24cos 45tan 60(1)?+?-．

20．（本题满分8分）解方程：

（1）0)3(4)3(=---x x x ； （2）2

48960x x +-=．

21．（本题满分8分）化简并求值：2

(1)(1)(1)m m m +++-，其中m 是方程210x x +-= 的一个根．

22．（本题满分8分）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后，剩下的部分做成一个容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．

（第14题）

(第16题)

B

E D

C

A

O

C

D

E

（第15题）

4

23．（本题满分10分）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ， EF ∥BC ，∠AEF =143°，AB =AE =1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）

24．（本题满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =AC ，P 是⊙O 上一点． （1）操作：请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，分别画出图①和图②中∠P 的平分线； （2）说理：结合图②，说明你这样画的

理由．

25．（本题满分10分）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其每天的销售量就减少20件. 图1 图2 图3

F

C

B

A

E

（1）当售价定为12元时，每天可售出▲ 件；

（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？

（3）当每件售价定为多少元时，每天获得最大利润？并求出最大利润.

26．（本题满分10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：P A是⊙O的切线；

（2

）若4

AB=+

，BC=O的半径．

27．（本题满分12分）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=1

3

，

求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：

构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于

D.设∠BAC=α，则sinα=BC

AB

=

1

3

，可设BC=，则AB=3，……．

【问题解决】

（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）

（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=3

5

，求sin2β的值．

P

C

5

6

28．（本题满分12分）如图，抛物线322

++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，对称轴与抛物线相交于点M ，与x 轴相交于点N .点P 是线段MN 上的一动点，过点P 作CP PE ⊥交x 轴于点E .

（1）直接写出抛物线的顶点M 的坐标是 ▲ ； （2）当点E 与点O （原点）重合时，求点P 的坐标； （3）点P 从M 运动到N 的过程中，求动点E 运动的路径长.

备用图

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第一学期期末考试初三数学试题

参考答案及评分建议

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

9

．30 10．1m ≤ 11．20% 12．2

2(1)2y x =-+ 13．

43

14．105 15 16．23

π 17．222

(4)(2)x x x -+-= 18．120,3x x ==- 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

19．（1）解：原式=

22

12

+（）

……………………………2分 =1.

……………………………4分 （2）解：原式=

4′

2+--1

……………………………4分 -1.（结果错误扣1分） ……………………………4分 20．（1）解：(3)(4)0x x -+= …………………………………………2分

123,4x x ∴==- …………………………………4分

（2）解：2

(2)900x += …………………………………………2分

1228,32x x ∴==- …………………………………4分

21. 解：解：∵m 是方程210x x +-=的一个根，∴21m m +=． ……………2分

∴22211m m m =+++-原式222m m =+ ……………6分

2=． …………………………………………8分

22．解：设长方体箱子的底面宽为米． ……………………………1分

8

A

根据题意，可得2(＋4)＝90， ……………………………………………………………4分 解得 1＝5，2＝－9（舍去）． …………………………………………………………6分 矩形铁皮的面积为（5＋4）×（9＋4）＝117． …………………………………………7分 答：矩形铁皮的面积为117平方米． …………………………………………8分

23．解：过点E 作EG ⊥BC 于点G ，AH ⊥EG 于点H ． ……………………………… 2分

∵EF ∥BC ，∴∠GEF =∠BGE =90°

∵∠AEF =143°，∴∠AEH =53°．∴∠EAH =37°． ……………………………………4分 在△EAH 中，AE =1.2，∠AHE =90° ∴sin ∠EAH = sin 37° ∴

0.6EH

AE

≈ ∴

EH =1.2×0.6=0.72． …………………………………………6分 ∵AB ⊥BC ，∴四边形ABGH 为矩形．

∵GH=AB =1.2 …………………………………………8分 ∴EG=EH+HG =1.2+0.72=1.92≈1.9

答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米 …………………………………10分 24．（1）每个图形3分（图略） …………………………………6分 （2）证得弧等 …………………………………8分

证得角等 …………………………………10分

25．（1） 160 …………………………………………2分 （2） 设每件售价定为元,则

640)]10(20200)[8(=---x x …………………………………………4分 解之，=16 或 =12

答：要使每天利润达到640元，则每件售价应定为16或12元 …………………6分 （3）设售价为元，每天的利润为y 元，则

=y 720)14(20)]10(20200)[8(2

+--=---x x x …………………8分 当=14时，y 有最大值，为720

9

N

图2

答：当每件售价定为14元时，每天获得最大利润，为720元 …………………10分 26．（1）证明：连接OA ． …………………………………1分

∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°． 又∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =30°． 又∵AP =AC ，∴∠P =∠ACP =30°．

∴∠OAP =∠AOC ﹣∠P =90°．∴OA ⊥PA ． …………………………4分 又∵点A 在⊙O 上，∴PA 是⊙O 的切线． …………………………5分

（2）解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ． …………………………………6分 在Rt △

BCE 中，∠B =60°，BC

= ∴12

BE BC =

=CE =3． ………………………………

7分

∵4AB =+，∴4AE AB BE =-=．

∴在

Rt △ACE 中，5AC ==． ………………………………9分∴AP =AC =5．∴在

Rt △PAO 中，3

OA =

．

∴⊙O 3

． ………………………………………………………10分

27．

解：（1）求出3

CD =

． ………………………………………………………2分

求出sin2α

=

CD OC

=

9

． ………………………………………………………5分

（2）如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR NO ⊥于点R ．

……………………………6分

在⊙O 中，∠NMQ =90°．∵ ∠Q =∠P =β，∴∠MON =2∠Q =2β．……………………7分 在Rt △QMN 中，∵ sin β=

3

5

MN NQ =，

P

C

10

∴设MN =3，则NQ =5，易得OM=21

NQ=52

k ．………9分 ∴MQ

4k =． ∵Δ112

2

NMQ S MN MQ NQ MR =?=

?，∴345k k k MR ?=?．

∴MR =

12

5

k ． ………………………………………………………………………11分 在Rt △MRO 中，sin2β=sin ∠MON =122455252

k

MR

k OM ==．…………………………12分 28．（1）（1，4） ………………………………………………………………2分 （2）过点C 作CF ⊥MN ，垂足为F

先证△ENP ∽△PFC ， ……………………………………………4分 ∴

CF

PF

PN EN =

当点E 与O 重合时，EN=1, 设PF=m 则

1

31m m -= ………………………………………………………………6分

解之，32

m ±=

∴点P

的坐标为3(1,

2+或 3(1,)2

…………………………………………7分 （3）当点P 与M 重合时，如图。

由△ENM ∽△MFC ，可知，

1

1

4=EN ， ∴EN=4 即当点P 从M 运动到F 时，点E 运动的路径长EN 为4 ………………8分 当点P 从F 运动到N 时,点E 从点N 向左运动到某最远点后回到点N 结束。 如图，设EN=y,PN=,由△ENP ∽△PFC ，可知，1

3x

x y -=

11

∴x x y 32

+-=(03)x ≤≤ ………………………………10分 当=

23 时，y 有最大值，为4

9

………………………………11分 ∴E 的运动的路径长为：5.824

9

4=?+ ……………………………12分