函数的定义域和值域、解析式和分段函数

考点4 函数的定义域和值域、解析式和分段函数

【考点分类】

热点一 函数的定义域和值域

1,【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数错误！未找到引用源。的定义域为 （

）

A.(0,1)

B.[0,1)

C.(0,1]

D.[0,1]

2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ）

A ．(1,1)-

B ．1

(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】设全集为R,

函数()f x =M, 则C M R 为 （ ）

(A) [－1,1]

(B) (－1,1) (C) ,1][1,)(∞-?+∞-

(D) ,1)(1,)(∞-?+∞-

4.【2012年高考（江西理）】下列函数中,与函数

定义域相同的函数为 （ ）

A ．y=

1sin x

B ．y=

1nx

x

C ．y=xe x

D ．

sin x

x

5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】

函数()f x =的定义域为（ ） A.(30]-， B.(31]-， C.(,3)(3,0]-∞-- D. (,3)(3,1]-∞--

6.【2013年全国高考新课标（I ）理科】若函数f (x )=(1－x 2

)(x 2

＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是

______.

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】

函数1

ln(1)y x

=+的定义域为_____________.

8.【2012年高考（广东文）】(函数)

函数y 的定义域为__________. 9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】函数1

2log ,1

()2,

1

x

x x f x x ≥??=??

【方法总结】

求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不

为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法.

热点二 函数的解析式

10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当

01x ≤≤时.()(1)f x x x =-， 则当10x -≤≤时，()f x =________________.

11.【2012年高考（安徽理）】下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是

（ ）

A ．()f x x =

B ．()f x x x =-

C ．()f x x =+1

D ．()f x x =-

12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】已知函数()f x =，若()3f a =，则实

数a

=____________.

13.【2012年高考（上海理）】已知2

)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则

=-)1(g _______ .

【方法总结】

函数解析式的求法

(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)方程思想：已知关于f (x )与f ? ??

??1x

或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过

解方程组求出 f (x )．

热点三 分段函数

14.【2013年全国高考新课标（I ）理科】已知函数f (x )＝?

????

－x 2＋2x x ≤0

ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是(

)

A 、（－∞，0]

B 、（－∞，1]

C 、[－2，1]

D 、[－2，0]

15.【2012年高考（江西理）】若函数21(1)

()lg (1)x x f x x x ?+≤=?>?

，则((10))f f =（ ）

A.lg101

B.2

C.1

D.0

16.（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ??=???x x 为有理数

为无理数

,则下列结论错误的是（ ）

A ．()D x 的值域为{}0,1

B ．()D x 是偶函数

C ．()

D x 不是周期函数 D ．()D x 不是单调函数

17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】

已知函数()32,0,

4tan ,0,

2

x x f x f f x x ππ?

??==? ? ?-≤≤??????则________ .

【方法总结】

对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.

【考点剖析】

一．明确要求

1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用．

3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．

二．命题方向

1.函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点．

2.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．

3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现.

三．规律总结

一个方法

求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：

①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范

(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素

函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .

【考点模拟】

一．扎实基础

1. 【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】函数1

21

x

f (x )ln

x x =+-的定义域为( ) (A)(0，+∞) (B)(1，+∞) (C)(0，1) (D)(0，1)(1，+∞)

2. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】函数2ln(2)y x x =--的定义域是（ ）

A ．（-1，2）

B ．(,2)(1,)-∞-?+∞

C ．（-2，1）

D ．[2,1)-

3. 【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知函数()2030

x x x f x x log ,,?>=?≤?, 则14f f ???? ? ?????的值是（ ）

A ．9

B ．

19 C ．9- D ．1

9

- 4. 【北京四中2012-2013年度第二学期高三年级期中数学测试】函数

的定义域为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5. 【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】

函数52log (1)

()f x -=的定义域是（ ） A.(0,1]

B. [1，2)

C. (0,1)

D. (1，2)

6. 【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称

这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为（1,4）的“同族函数”共有（ ） A 、7个 B 、8个 C 、9个 D 、10个

7. 【2013届河北省重点中学联合考试】函数f （x

（a ＞0，且a ≠1）的定义域为{x ｜x ≤－1

2

}，则a

＝ .

8.【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】已知函数???≥<+=0

,0

,1)(x e x x x f x ，则=-)3)0((f f ,

9.【东北三校2013届高三4月第二次联考】已知函数12log ,1()12,1

x

x x f x x ≥??

=??-

10.【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】已知函数235,

()lg 5,x x x f x x x ?-<=?≥? 则((10))f f 的值为 .

二．能力拔高

11.【江西省宜春市2013届高三四月模拟考试】函数12()log (1)f x x -=+的值域为（ ）

A ．R

B ．(0,)+∞

C ．(,0)

(0,)-∞+∞ D ． (,1)

(0,)-∞+∞

12.【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】已知23(0)()(1)(2)(0)x x f x f x f x x +≤?

=?--->?

，则(2)f 等于

（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．-1

13.【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数.若对于0x ≥，都有

()()2f x f x +=，且当[)()()20,2log 1,x x x ∈=+时,f 则()()20122013f f +-=（ ）

A.1

B.2

C.1-

D.2-

14.【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】已知函数21,0,

()1,0,x f x x x -≥?=?-

则满足

不等式2

(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为（ ） A ．[)3,0-

B ．（－3，0）

C ．（－3，1）

D ．（－3

）

15.【天津一中2012—2013学年高三数学一月考】函数f(x)=a x +

2+x a 的值域为_________.

16. 【北京市通州区2013届高三上学期期末理】对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,

,,.

x x x max x x x x x ≥?=?

()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为 ．

17. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】已知函数()21,0

1,

0x x f x x ?+≥=?

()()22f x f x ->的x 的取值范围是 .

充要条件是19. 【2012年秋湖北省部分重点中学期中联考】已知f (x )＝???

?

?

1，x ∈[0，1] x －3，x ∈(－∞, 0)∪(1, ＋∞)

，若f [f (x )]＝1成立，

则x 的取值集合为 ．

20.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若

()2()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[1,3]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为________．

三．提升自我

21. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】已知?????<≤---≤<-=011101)(2

2x x

x x

x f 且

0,1||0,1||0<<<<+n f m f 成立的m 和n 还应满足条件是（ ）

A ．0m n +<

B ．0m n +>

C ．0m n -<

D ．0m n ->

22. 【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，

当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）1()()32x

g g x =

；

（3）(1)1()g x g x -=-,则(1)g = 、5

()12

g = ．

23. 【上海市2013届高考虹口二模卷】已知函数

22(1)22

22()x a x a x ax a f x +--++-=

的定义域是使得解析式有

意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．

24. 【山东省枣庄市2013届高三第一次模拟考试】

函数()|2011||2012||2013|()f x x x x x R =-+-+-∈的最小值为 ．

25. 【上海市2013届高考闵行二模卷】设f (x )是定义在R 上的函数，若f (0)=81，且对任意的x ∈R ，满足f (x +2)-f

(x )≤3x ，f (x +4)-f (x )≥10?3x ，则f (2014)= ．

【考点预测】

1. 若函数()f x 对任意的x ∈R 都有(3)(1)f x f x +=-+，且(1)2013f =，则[(2013)2]1f f ++=（ ） A. 2013-

B. 2012-

C. 2012

D. 2013

2.函数4

3)1ln(2

+--+=

x x x y 的定义域为______________.

3.已知函数211,(0)

()22,(0)x

x f x x x x ?-≤?=??-+>?

（），对于下列命题：

①函数()f x 的最小值是0；②函数()f x 在R 上是单调递减函数；

③若()1,1f x x ><-则；④若函数()y f x a =-有三个零点，则a 的取值范围是01a <<；

⑤函数()y f x =关于直线1x =对称．其中正确命题的序号是______．（填上你认为所有正确命题的序号）．

) 图①

=h (x )

图②

4.设()x a x OA -=,，()2,x OB =，[)2,1∈x ，且⊥，则函数1log )(1-=x x f a

a 的最大值为 .

5. 定义：m <>表示大于或等于m <>的最小整数（m 是实数）．若函数()(0,1)1

x

x

a f x a a a =>≠+，则 函数11

()()()22

g x f x f x =<->+<-->的值域为____.

沁园春·雪

北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。

望长城内外， 惟余莽莽； 大河上下， 顿失滔滔。

山舞银蛇， 原驰蜡象， 欲与天公试比高。 须晴日， 看红装素裹， 分外妖娆。 江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。