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实变函数填空题

实变函数填空题
实变函数填空题

填空题

1 设2121[0,],[0,],1,2,n n A A n n n -=== ,则=∞

→n n A lim 2 写出(-1, 1)和),(∞+-∞的1-1对应的解析表达式 3 设:.,1,2,i f A B A A i →?= ,则)()(11i i i i A f A f ∞

=∞=?=?的条件是 4. 设},210,20|),{(2n y n x y x A n ≤

≤≤≤= }120,1210|),{(12+≤≤+≤

≤=+n y n x y x A n 则=∞→n n A lim 5 A A f f =-))((1的充要条件是

6. 设2121[0,

],[0,],1,2,n n A A n n n -=== ,则=∞→n n A lim 7. 设M 为有限集, A 为可列集, 则A M ? A .

8. 设Q 为有理数集, N 为自然数集, 则 Q N .

9. 设I 为无理数集, R 为实数集, 则 I R .

10 直线上既开又闭的集合有 个.

11 设E 是函数???=≠=000sin 1

x x y x 的图形上的点所成的集合,则E =

12 设E 是[0,1]中的全部无理点, 则 0E =

13设E 是[0,1]中的全部无理点, 则 E =

14设E 是[0,1]中的全部无理点, 则 b E =

15设11{1,2|,1,2,}E n m n m

=++= ,则 'E = 16 Cantor 集的测度为

17 设n

n mE 21<

, 则=∞→)lim (n n E m 18 设F 为[0,1]中无理数全体, 则mF = 19 设E 是函数sin y x =图象点集, 则mE =

20 设222{(,,)|1}E x y z x y z =++=,则mE = 21 ]1|[|1n

g f E n ≥-?∞=所表示的集是 22 a e

n f f ??→,则[]n mE f f ?=

23 {}n f 依测度收敛于f , 则0,lim [||]n n mE f f σσ→∞?>-≥=

(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)

1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ,使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明:因为()f x 在E 上可测,由鲁津定理是,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E , 使得1 ()n m E E n -< , 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ,使得当n x E ∈时,有()()n g x f x =所以对任意的0η>,成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ,因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?, 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ,使得lim ()()k n k g x f x →∞ =,..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数,()g x 为[,]a b 上的可测函数,则(())f g x 是可测函数。 证明:记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=,由于()f x 在1E 上连续,故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集,设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ,其中(,)n n αβ是其构成区间(可能是有限 个 , n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ )因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>是一开集,而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明:若00,()x E f x a ∈>则,因为()f x 是连续的,所以存在0δ>,使任意(,)x ∈-∞∞, 0||()x x f x a δ-<>就有, 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则,由于()f x 连续,0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥, 即0x E ∈,因此E 是闭集。 4、(1)设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明:lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞,则存在N ,使x N <,因此n N >时,0x n <<,即

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案(5) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 2.设n E R ?,如果E 满足0 E E =(其中0 E 表示E 的内部),则E 是 3.设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??,则(,)a b 必为G 的 4.设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设,A B 为可测集,B A ?且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 6.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是 7.若()E R ?是可数集,则__0mE 8.设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ?x E ∈(是否成立) 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则 ( ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 2.下列集合关系成立的是( ) (A )()()()A B C A B A C = (B )(\)A B A =? (C )(\)B A A =? (D )A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集,则 ( ) (A )0 E E = (B )E E = (C )E E '? (D )E E '= 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设{[0,1]}E =中的有理点 ,则( ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )0mE = (D )E 中的每一点均为E 的内点

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数(C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都 _________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”) 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

试卷一: 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都有

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题(判断正误,正确的请简要说明理由,错误的请举出反例) 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。(×) 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。(√) 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×) 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ,()f x 在[0,]n 上 黎曼可积,从而()f x 是[0,]n 上的可测函数,进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数) 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数,()[0,1],n G f 表示()n f x 在

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案(4) 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) )(b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.(填“一定”“不一定”) 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1.设(){},001E x x =≤≤,则( ) A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2.设()f x ,()g x 是E 上的可测函数,则( ) A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3.下列集合关系成立的是() A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集,则 ( ) A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

实变函数测试题1-参考答案

本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明:()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ,集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集,则一定存在可测集 δ G 型集 G ,使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?,A B ?可测,且()m A B ?<+∞,若()**m A B m A m B ?=+, 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数,G 为开集,F 为闭集,试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集,为什么? 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0,而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n (1,2,3,=L n ),试证()f x 可积分,并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列,若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数,+∞?ε,存在E 上. 有界的 可测函数)(x g ,使得 ε<>-]0|[|g f mE 。 10、求证 1 2 01 11 ln 1()∞ ==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。 解答: 1. 解:()∞=∞ →,0lim n n A ;设()∞∈,0x ,则存在N ,使x N <,因此n N >时,0x n <<, 即n A x 2∈,所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集,从而x 属于无限多n A ,得n n A x ∞ →∈lim 又显然()∞?∞ →,0lim n n A ,所以()∞=∞ →,0lim n n A 。

实变函数综合练习题

实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题(一) (含解答) 一、选择题(单选题) 1、下列集合关系成立的是( A ) (A )(\)A B B A B ?=? (B )(\)A B B A ?= (C )(\)B A A A ?? (D )(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集,则( B ) (A )E E '? (B )E 的内部E = (C )E E = (D )E E '= 3、设P 是康托集,则( C ) (A )P 是可数集 (B )P 是开集 (C )0mP = (D )1mP = 4、设E 是1R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则( D ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()d 0E f x x =?,则( A ) (A )在E 上,()f z 不一定恒为零 (B )在E 上,()0f z ≥ (C )在E 上,()0f z ≡ (D )在E 上,()0f z ≠ 二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案) 1、设E 是[0,1]中的无理点全体,则(C 、D ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )E 中的每一点都是聚点 (D )0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点,则( B 、D )

(A )*m E 可以等于零 (B )* 0m E > (C )E 可能是可数集 (D )E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集,则E 的特征函数()E X x 是 (A 、B 、C ) (A )[,]a b 上的简单函数 (B )[,]a b 上的可测函数 (C )E 上的连续函数 (D )[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积,则( B 、D ) (A )()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 (B )()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 (C )()f z 在E 上不一定L 可积 (D )()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数,则( A 、C 、D ) (A )()f z 是[,]a b 的有界变差函数 (B )()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 (C )()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 (D )()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题(将正确的答案填在横线上) 1、设X 为全集,A ,B 为X 的两个子集,则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?,如果E 满足E E '?,则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集,则A 的基数A ≥ a (其中a 表示可数基数) 。 5、设1E ,2E 为可测集,2mE <+∞,则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a > 是 可测集 ,则称()f x 是可测集E 上的可测函数。

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案 证明题:60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?,且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立,Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?,则存在{}{}i n n f f ?,使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>,则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上,()i n f x 收敛到()f x , 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x (单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外,()n f x 收敛于()f x ,就是()n f x . 收敛到()f x 。

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则()\A B B U A B U (用描述集合间关系的符号填写) 2.设A 是B 的子集,则A B (用描述集合间关系的符号填写) 3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是 4.有限个开集的交是 5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E U 12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写) 6.设n E ??是可数集,则*m E 0 7.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ?∈?,()E x f x a ??≥??是 ,则称()f x 在E 上可测 8.可测函数列的上极限也是 函数 9.设()()n f x f x ?,()()n g x g x ?,则()()n n f x g x +? 10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上 二、选择题 1.下列集合关系成立的是( ) 2.若n R E ?是开集,则( ) 3.设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数,则( ) 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设[]{}0,1E =中无理数,则( ) A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2.设n E ??是无限集,则( ) A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥(a 为自然数集的基数) 3.设()f x 是E 上的可测函数,则( ) A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限

4.设()f x 是[],a b 上的有界函数,且黎曼可积,则( ) A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. ( ) 2. 可数个可测集的并是可测集. ( ) 3. 相等的集合是对等的. ( ) 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. ( ) 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合,但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点,聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系? 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系? 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??,其中E 为[]0,1中有理数集,求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数,(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ,求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1.证明集合等式:(\)A B B A B =U U 2.设E 是[0,1]中的无理数集,则E 是可测集,且1mE = 3.设(),()f x g x 是E 上的可测函数,则[|()()]E x f x g x >是可测集 4.设()f x 是E 上的可测函数,则对任何常数0a >,有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5.设()f x 是E 上的L -可积函数,{}n E 是E 的一列可测子集,且lim 0n n mE →∞ =,则 实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题

实变函数复习题

1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…,Sn是一些互不相交的可测集合,Ei包含于Si,i=1,2,3...n,求证m*(E1并E2并E3...并En)=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0,则E可测。

6.证明康托尔(Cantor)集合的测度为0 7.设A,B包含于Rp,且m*B<正无穷,若A是可测集,证明m*(A并B)=mA+m*B-m*(A 交B) 8.证明:若E可测,则对于任意e〉0,恒有开集G及闭集F,使F包含于E包含于G,而m (G-E)〈e,m(E-F)〈e

9.设E包含于Rq,存在两列可测集{An},{Bn},使得An包含于E包含于Bn且m(Bn-An)--> 0(n-->无穷),则E可测。 10.设是一列可测集,证明和都是可测集且

11.设{En}是一列可测集,若求和m(En)<正无穷,证明m(En上极限)=0 12.设E是[0,1]中可测集,若m(E)=1,证明对任意可测集A包含于[0,1],m(E交A)=m(A) 13.设{En}是[0,1]中可测集列,若m(En)=1,n=1,2,...,则 定理5.6设E是任一可测集,则一定存在型集G,使G包含E,且m(G-E)=0。 设E是任一可测集,则一定存在型集F,使F包含于E,且m(E-F)=0。 次可数可加性证明

卡拉泰奥多里条件:m*T=m*(T交E)+m*(T交Ec)极限的测度等于测度的极限

1.证明:f(x)在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r,E[f〉r]可测,如果集E[f=r]可测,问f(x)是否可测?

实变函数历年考试真题汇总

第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一.填空.(每空2分,共20分) 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合,B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E , 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择(每题2分,共10分) 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是( ). A .A B 是可数; B .A B 是不可数; C .A B c =; D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( ). A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是( ) ①()A B B A =\ ,②()A B B A = \,③()B A B A ''=' , ④() B A B A =,⑤()B A B A =,其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A .{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B .存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集,{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数,则( ) A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三.判断题(每题2分,共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. ( ) 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < ( ) 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 ( ) 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 ( ) 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 ( ) 四.证明题(每题8分,共40分) 1.证明: 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号

《实变函数》复习题

《实变函数》复习题 黔南民族师范学院数学系 2006年7月

第一章 集 合 论 基 础 一、填空题 1.设?? ????≤≤+?=i x i x A i 1111,,则U =_________________. N i ∈∞ =1i i A 2.设??? ? ??+<≤=i x x A i 110,,则_________________. N i ∈=∞ =I 1i i A 3.??????+?=+1212,012m A m ,??? ???+=m A m 211,02,L ,2,1=m ,则 =n n A lim ____________,=n n A lim ______________. 4.,,2,1),,0(1 ,0(212L ===?m m A m A m m 则 =n n A lim ____________, =n n A lim _______________. 5.欲使{自然数全体}~{正奇数全体},只须令映照=)(n ?___________,为自然数. n 6.欲使~),0(+∞),(+∞?∞,只须令映照=)(x ?_____________,x 为正实数. 7.设M ={代数数全体},则M =___________,=M R \1 ___________________. 8.设{实数列全体},则的势为___________. E ∞=E ∞ 9.设[0,1]中无理数全体所成集为E ,则=E _________. 10.设集合A 、B 、满足:,若C A B C ??A ~,则___________________. C 二、证明题

实变函数测试题与答案

实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、

10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余

实变函数期中试卷及答案

一、 判断题 1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。(√ ) 2.可数集的交集必为可数集。(× ) 3.设 ,则 。(× ) 4.设点P 为点集E 的内点,则P 为E 的聚点,反之P 为E 的聚点,则P 为E 的内点。(× ) 5.开集中的每个点都是内点,也是聚点。(√ ) 6.任意多个开集的并集仍为开集。(√ ) 7.任意多个开集的交集仍为开集。(× ) 8.设 ,则 。(× ) 9.设E 为 中的可数集,则 。(√ ) 10.设E 为无限集,且 ,则E 是可数集。(× ) 二、填空题 1.设1n R R =,1E 是[0,1]上的全部有理点,则1E '=1E 的内部 1E 2.设2n R R =,1E =[0,1],则1E '=1E 的内部;1E 3.设2n R R =,1E =22{(,)1}x y x y +<,则1E '=1E 的内部 1E 4.设P 是Cantor 集,则P P P P 5. 设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间,则(,)a b 满足(,a b ,且a , 。 三、证明题 1.证明:()A B A B '''?=?。 证明:因为A A B ??,B A B ??,所以,()A A B ''??,()B A B ''??,从而 ()A B A B '''??? 反之,对任意()x A B '∈?,即对任意(,)B x δ,有 (,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=???为无限集, 从而(,)B x A δ?为无限集或(,)B x B δ?为无限集至少有一个成立,即x A '∈或 x B '∈,所以,x A B ''∈?,()A B A B '''???。综上所述,()A B A B '''?=?。

实变函数复习题.docx

《实变函数》 一、单项或多项选择题 1、下列正确的是(234 (3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24 ) (1) 无理数集是可数集; (2) 超越数构成的集合是不可数集; (3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等,则它们的测度也相等; (4) 0表示全体有理数集,则Q?。也是可数集. 3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则( 2 3 n 6、设几九 wM(X),则(12 3 4 (3) /2 G M(X) 7、若/在[0,1]上乙可积,则下列成立的是 8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数,则下列结论正确的是(1 (1) 若人 则£—/,心.; (1) A\(B\C) = (A\B)\C (2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC ) (4)⑷B)\C = A\(BUC ) (1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0} (4) A 为疏集 4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集 ) (2) (3)任意可测函数/在A 上可积 (4) 4为疏集 5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时,/(x) = 0,贝ij( 3 (1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数 (3) /在上处处不连续 (4) /在/?上为可测函数 ⑴\f <+oo 在[0,1 ]上儿乎处处成立 (2) |.f|在[0,1]上厶可积 (3) /在[0,1]±几乎处处连续 (4)兀在[of 上非厶可积

实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案 本科 一、题 1.设,A B 为集合,则()\A B B =A B (用描述集合间关系的符号填写) 2.设A 是B 的子集,则A ≤B (用描述集合间关系的符号填写) 3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是闭集 4.有限个开集的交是开集 5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E ≤12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写) 6.设n E ? 是可数集,则* m E =0 7.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1 a ?∈ ,()E x f x a ??≥??是可测集,则称()f x 在E 上可测 8.可测函数列的上极限也是可测函数 9.设()()n f x f x ?,()()n g x g x ?,则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上可积 11.设,A B 为集合,则()\B A A ?A (用描述集合间关系的符号填写) 12.设{} 211,2,A k k =-= ,则A =a (其中a 表示自然数集N 的基数) 13.设n E ? ,如果E 中没有不属于E ,则称E 是闭集 14.任意个开集的并是开集 15.设1E 、2E 是可测集,且12E E ?,则1mE ≤2mE 16.设E 中只有孤立点,则* m E =0 17.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1 a ?∈ ,()E x f x a ??

实变函数试题库参考答案

《实变函数》试题库及参考答案(完整版) 选择题 1,下列对象不能构成集合的是:( ) A 、全体自然数 B 、0,1 之间的实数全体 C 、[0, 1]上的实函数全体 D 、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是:( ) A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{全体小个子} D 、{x : x>1} 3、下列对象不能构成集合的是:( ) A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x :x>1} D 、{全体 胖子} 4、下列对象不能构成集合的是:( ) A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x :x>1} D 、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是:( ) A 、{全体小孩子} B 、{全体整数} C 、{x :x>1} D 、{全体实 数} 6、下列对象不能构成集合的是:( ) A 、{全体实数} B 、{全体大人} C 、{x :x>1} D 、{全体整 数} 7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I ∈?= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)

8、设}1111:{i x i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1] 9、设}110:{i x x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、 (0, +∞) 10、设}1211:{i x i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、 (1, 2) 11、设}2 3:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、 {0} 12、设}11:{i x i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0} 13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1] 14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1]

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