矩阵论系列课件09 矩阵微分方程
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
第二章习题及参考解答 注：第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定)，第28题可不布置。第50题（含）以后属于附加内容，没有参考解答。 1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任 意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U. 证明：必要性是显然的，下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立，因为U?V.由 于U关于数乘封闭，而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。 2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W 也是V的子空间; (2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间; 特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间. 证明：（1）由子空间判别法立即可得。 （2）由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空 间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。 3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明： dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W). (2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式: dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间} 证明：（1）设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此 可以扩充成U或W的基.设 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1) 与 α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2) 分别是U与W的基.我们证明 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3) 是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量 线性表示. 设 k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4) 12
矩阵论复习大纲
第一章 1 线性空间概念（封闭性） 2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换 5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间 6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程 7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3） 8 不变子空间，正交变换，酉交变化 例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α， T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与 12W W ?的维数，并求出12W W ? 解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+ ()????? ????????→??? ????????---==71 1022-203-5-30 121 -17110 30111112 121 1,,,2121行变换 ββααA B =???? ?????????????????000 310040101-0 0100 00 31007110121 -1
得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--?X ββαα.即0711******* 121211=???? ? ?????------X 解得 ()(){}. 4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321T T k W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即 例2 设3R 上线性变换T 为 ,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++= 求T 在基 T T T ) 111(,)110(,)101(321-===ααα 下的矩阵B. 解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为： , 10111012123213132321???? ??????????? ?-=????????+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵 , 101110121??? ? ????-
矩阵论复习题
第二章 内积空间 一、基本要求 1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念． 2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质． 3、理解Hermite 二次型的定义． 4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系． 5、了解欧氏子空间的定义． 6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系． 7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系． 8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵． 二、基本内容 1、内积空间 设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件 (1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭； (2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+； (3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα， 则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间． 注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =． 通常的几个内积： (1) n R 中，αββαβαT T n i i i y x ===∑=1),(
矩阵论知识点
矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。
第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组
1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题
《矩阵论》教学大纲
《矩阵论》教学大纲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程性质与目标 （一）课程性质 《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。 （二）课程目标 通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。 二、课程内容与教学 （一）课程内容 1、课程内容选编的基本原则 把握理论、技能相结合的基本原则。 2、课程基本内容 本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。 （二）课程教学 通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。 三、课程实施与评价 （一）学时、学分 本课程总学时为54学时。学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。（二）教学基本条件 1、教师 教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。 2、教学设备 配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。 （三）课程评价 1、对学生能力的评价 逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。 2、采取教师评价为主的评价方法。 3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。 四、课程基本要求 第一章线性空间和线性变换 基本内容：线性空间线性变换 基本要求： （1）理解线性空间有关内容。
矩阵论第二章-4
§4.数字矩阵的Jordan标准形 一、数字矩阵的Jordan标准形 二、数字方阵的有理标准形 1
2 一、数字矩阵的Jordan标准形 一个n阶的正规矩阵 ，可以 经过酉变换（相似变换）化成一个对角矩阵（标准形） ,H H n n A AA A A ×=()1 2 ,,,. n diag λλλ? 问题: 一般地n阶数字矩阵 相似于什么 样的（最简）形式? n n A ×
3 例1 将3 23 11()125A λλλλλλλ???+?? =?????+??写成数字阵为系 数的 的多项式. 解: 10000111()1001010012000015A λλλλ????????? ????????=++?+???????????????????????? 多项式矩阵与数字矩阵的关系：每一个m ×n 的多项式矩阵都可以化成一个数字矩阵为系数的多项式。
4 一般地，设)()()ij m n A a λλ× =,)()ij i j s a λ=,max deg ， 其中A 为m n 数字阵,且这种表示法唯一. 此时称 )A λ是 次多项式矩阵,记作 )deg[]A s λ=. 则 ()1 011s s s s A A A A A λλλλ??=++++?当s =时,)A λ是数阵. 当 det A ≠时,称 )A λ是正则多项式矩阵. 当 )A λ，)B λ中有一个是正则多项式时, )()()()()deg deg deg A B A B λλλλ=, 即 0A B ≠。 若 )A O λ=,则不定义次数.
5 1. 存在唯一的n 阶多项式矩阵)n n P λ×,及唯一的数字矩阵n n R ，使)()()B E A P R λλλ=?+ 引理 对任意的n 阶多项式矩阵)n n B λ× 和数阵n n A , 2. 存在唯一的n 阶多项式矩阵 )n n Q λ×及数字矩阵n n S 使 )()()B Q E A S λλλ=?+ 证明:设 =B m λ (m ≠0)，且 011()m m m m B B B B B λλλλ? ?=++++? 其中 m B B ?,,为阶数阵,且 0≠B . (若 =m ,则取 )0P λ=, ()==R B B λ即可.)
西北工业大学矩阵论PPT课件
矩阵论讲稿 讲稿编者：张凯院 使用教材：《矩阵论》（第2版） 西北工业大学出版社 程云鹏等编 辅助教材：《矩阵论导教导学导考》 《矩阵论典型题解析及自测试题》 西北工业大学出版社 张凯院等编 课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时 第三章8学时第六章8学时
第一章 线性空间与线性变换 §1.1 线性空间 一、集合与映射 1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S = 性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立 )21S S =2121,S S S a S a ?∈?∈?即 1212,S S S b S b ?∈?∈?即 交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+ 例1 R}0{2221111∈ ==j i a a a a A S R}0 {221211 2∈ ==j i a a a a A S ，21S S ≠ R},00{22112211 21∈ ==a a a a A S S I R},0{211222211211 21∈= ==j i a a a a a a a A S S U R}{2221 1211 21∈ ==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合． 例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等． Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的
矩阵论复习总结
第一章：矩阵的相似变换 1.特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2.相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3.Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形方法：特征向量法、初等变换法、初等因子法4.Hamilton-Cayley定理 应用：特定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5.向量的内积 6.酉相似下的标准型 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵 第二章：范数理论 1.向量的范数 计算：1,2，∞范数 2.矩阵的范数 计算：1,2，∞，m∞，F范数，谱半径 3.谱半径、条件数
第三章：矩阵分析 1.矩阵序列 2.矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数 计算：矩阵函数值，eAt，Jordan矩阵的函数值 4.矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵的导数，数量函数对向量的导数 αT X=X Tα 如， dt )t( d A，f(X)= X T AX 等 R(X) 5.应用 计算：求一阶常数线性微分方程组 第四章：矩阵分解 1.矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2.矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵 矩阵的QR分解或者向量化为与e1同方向 3.矩阵的满秩分解 计算：满秩分解
4.矩阵的奇异值分解 计算奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示1.特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2.特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3.Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商在某个空间上的极值 4.广义特征值问题 计算：AX=λBX 转化为一般特征值问题 第六章：广义逆矩阵 1.广义逆矩阵的概念 2.{1}逆及其应用 计算：A(1) 判别矩阵方程AXB=D，Ax=b解的情况 3.Moore-Penrose逆A+ 计算：利用A+判别方程组Ax=b解的情况， 并求极小范数解或极小范数最小二乘解 第七章：矩阵的直积 1.矩阵的直积 计算：A B的特征值，行列式，迹，秩
矩阵论
分解非负矩阵及其应 摘要 矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一种有效工具。非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,NMF)算法是指在矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实现的非负分解，它的分解结果中不出现负值，提取的特征是基于部分的、局部化的、纯加性的描述等特征，由此区别于其他的分解方法。这为矩阵分解提供了一种新的思路，同时，为分析局部特征和整体特征之间的关系提供了一种思路。因此，非负矩阵分解方法在当今众多研究研究领域都具有十分重要的应用意义。本文介绍非负矩阵分解的基本思想，结合研究工作讨论在概率模型的框架下实现非负矩阵分解的目标函数和相应的算法，以及非负矩阵分解在图像压缩中的实际应用。 关键词：非负矩阵，实际应用，图像压缩，识别
引言 在教材第四章中，专门讲解了矩阵的分解。书中首先由Gauss消去法推导出了矩阵的三角分解，然后介绍了QR分解、满秩分解等。这些分解在计算数学中都扮演着重要的角色，尤其是QR分解所建立的QR方法，它对数值代数理论的发展起着关键的作用。书中还简要介绍了广义逆矩阵理论中所遇到的矩阵的满秩分解、奇异值分解和谱分解。它们与QR分解都是求解各类最小二乘法问题和最优化问题的重要数学工具。而非负矩阵的分解则属于组合矩阵论的范畴，组合矩阵论作为近三十年来迅速发展的一个数学分支，它用矩阵论和线性代数来证明组合性定理及对组合结构进行描述、分类。它与众多数学领域联系密切，而且在信息科学、社会学、经济数学和计算机数学等很多方面都发展出了广阔的具体应用前景。 本文中介绍了非负矩阵分解的基本思想和一些最新研究成果，具体讨论了在概率模型框架下非负矩阵分解的算法，在传统的梯度下降法和加性迭代规则上加以改进，采用乘性迭代规则。并且，针对实际问题，具体分析阐述了当下非负矩阵分解的如图像压缩、人脸识别等较有发展前景的几个方向的热门应用。