# 浅析二项分布与泊松分布之间的关系

2013 年11月25日

（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）

The Application of Asignment Poblem

ABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality.

KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate

1、问题重述：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内星球的个数，耕地上单位面积内杂草的数目等。二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。下面是本人列出的关于二项分布和泊松分布作出的比较表格：

2.1二项分布 概率论中最常用的一种离散型概率分布。若随机变量X 取整数值k 的概率为

()()()(),,,1,0,,,1n k p n k b p p k n k X p k n k ==-???

? ??==- 式中n 是给定的正整数；()!!!;10k n k n k n p -=???

? ??<<是从n 个对象中任意选取k 个的组合数,则称X 的分布为二项分布，记作B （n,p ）。它的命名来源于()p n k b ,,恰好是()[]n

p p +-1的二项式展开的第k+1项。 从不合格品率为p 的产品中独立地抽出n 个（每次抽一个，抽出后又放回）,其中恰有k 个不合格品的概率就是()p n k b ,,。统计学由此建立检验产品质量的方案。类似的例子在生产实践和科学试验中是常见的。将问题模型化,假设每次试验只有两个可能结果：A 以及它的对立事件A ,出现A 的概率为P(A)=p ，则对立事件A 出现的概率则为 1-p 。这种只有两个可能结果的随机试验称为伯努利试验。将这种试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验,其中A 出现的次数X

2.2泊松分布

()!

k e k X p k

λλ-== 参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 统计学上，满足三个条件，即可用泊松分布（1）小概率事件，两次以上事件发生概率趋于0；（2）事件发生的概率独立且互不影响；（3）发生概率是稳定的。

2.3推理论证二项分布和泊松分布的关系

n =??? ??-∞→1lim 二项分布的定义：()()k n k p p k n k X P --???

? ??==1 .如 果令p=λ/n, 则p 趋于无穷时的极限: ()()()()λλλλλλλλλλ-???

? ??=??? ??-??? ??-???? ??????????? ??--??? ??-??? ?

?-=??? ??-??? ??-???? ????????-=??? ??-??? ??-=-???

? ??==-∞→-∞→-∞→-∞→∞→exp !11!112111lim 11!!!lim 1!!!lim )1(lim lim k n n k n k n n n n k k n n n n n k k n n p p k n k X P k k n k n k n k k n k

n k n k n k n n

4、应用实例

4.1二项分布的泊松近似计算在保险问题中的应用

4.1.1保险公司的利润问题。

( 1) 保险公司在这项业务上一年的收入为200 ×10000 = 2000000( 元) ，保险公司在这项业务上“亏本”就相当于{ X ＞20} ，因此所求概率为P{ X ＞20} = 1 －p{ x≤20}≈1 -0．998 = 0．002 ( 2) 保险公司业务上“至少获利500000 元”相当于{ X≤15}，因此所求概率为P{ X≤15} ≈0.951 4.1.2 二项分布的泊松近似计算在林业试验中的应用

5、得出结论

6、参考文献

[黄必恒]关于二项分布的泊松近似问题

[马小侠]有关二项分布的近似计算

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