第六讲线性规划及基本不等式
简单的线性规划问题
一、基本知识点
1.一般地，二元一次不等式A x +B y +C >0在平面直角坐标系中表示直线A x +B y +C ＝0某一侧所有点组成的平面区域。把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线；
.不等式A x +B y +C ≥0所表示的平面区域，包括边界直线，应把边界直线画成实线。 概括：“直线定界，取点定域”，特别地，当C ≠0时，常把原点作为特殊点。
2．简单线性规划问题
1）有关概念
（1）约束条件： （2）线性约束条件：（3）目标函数： （4）线性目标函数：
（5）线性规划问题：（6）可行解： （7）可行域： （8）最优解：
如（2006山东）： 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件??
???≤≥+-≥-11293222115x y x y x 则y x z 1010+=的最大值是 （ ） A. 80 B. 85 C. 90
D. 95
2）线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法，它的步骤如下：
（1）设出未知数，确定目标函数。
（2）确定线性约束条件，并画出可行域。
（3）作出直线0l ：
（4）平移0l ：确定最优解
（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值。
二、课堂练习
1、画出下列不等式（组）表示的平面区域 (1)2x +3y －6>0 242)2(??
???-≥≤+
2、不等式组??
???≥≤-+≤-a y y x y x 060表示的平面区域为三角形，则a 的取值范围
3. 典题示例
例：某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损为30%和10%，投资人计划投资不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才可能使盈利最大？
4、实数y x ,满足不等式组??
???≥-+≤--≥+-032093072y x y x y x ，求下列目标函数的最大值与最小值。
①y x z -= ②22y x z += ③x
y z =
小结：
基本不等式的运用
一、基本知识点：
1、若,a b *∈R ，那么.222ab b a ≥+（当且仅当a b =时取“＝”）
2、若,a b *∈R ，那么 .2
ab b a ≥+（当且仅当a b =时取“＝”） 常见变形：)0,(2
222
2>+≤+≤≤+b a b a b a ab b a ab
3、利用基本不等式求最大最小值的问题 （1）若)(,,定值且P xy R y x =∈*，则P xy y x 22=≥+，当且仅当y x =时， y x +有最小值P 2.
（2）若)(,,定值且P y x R y x =+∈*，则xy y x P 2≥+=，即4)2(2
2P y x xy =+≤ 当且仅当y x =时，xy 有最大值4
2P . 二、例题讲解：
（1）10,4 x y x x x >=+
已知 求函数 的最小值,并求取得最小值时的 的值；
（2）92, 2x y x x x >-=+
+已知求函数的最小值,并求取得最小值时的 的值。
（3）.4的值域求函数x x y +=
（4）.5
94,5的值域函数求若-+
=>x x y x
（5）.1,02的最大值函数求若x
x x y x ++=<
三、反馈练习：
1．1
()()9a x y x y
++≥对任意正实数x ，y 恒成立,则正实数a 的最小值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
2．已知0,0a b >>，则11a b
++
A ．2
B ．
C ．4
D ．5 3．下列函数中最小值是4的是
A ．x x y 4+
= B ．x x y sin 4sin += C ．x x y -++=1122 D ．0,31
122≠+++=x x x y
4．设0,0.a b >>1133a b a b
+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ．4 C ． 14 D ．1 5．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，
正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。
（1）设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，求函数()y f x =的解析式；
（2）为使仓库总面积S 达到最大，正面铁栅长x 应为多少米？
归纳小结：（1）定理使用的条件“一正、二定、三相等”
（2）构造定值的两个方向：“积大和小”
基本不等式与线性规划
基本不等式与线性规划
不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 +
6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 ． 8.若1 1. 不等式2560x x -++≥的解集是______________________________ 2. ()21680k x x --+<的解集是425x x x ??<->???? 或，则k =_________ 3. 不等式20ax bx c ++>的解集为{} 23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是___ 4. 若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________ 5. 已知点（2 ， 1）和点（－4 ， 5）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 m 的取值范围 为_________ 6. 若?????≥+≤≤2 22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是______________ 7. 已知x ，y 满足?????≥-+≥≥≤-+0320 ,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________ 8. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为___________ 9. 、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和 最小值分别是___________ 10. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0)取得最小值 的最优解有无数个，则a 的值为___________ 11. 若不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k 的值； (2)若不等式解集是R ，求k 的取值。 12. 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型卡 车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 ． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 ． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ． 4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 ． 8.若1 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 第三节 不等式组与简单的线性规划第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 一、选择题 1. (2009山东卷理)设x ，y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12， 则23a b +的最小值为 ( A.625 B.3 8 C. 3 11 D. 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而 23a b +=2323131325()()26666 a b b a a b a b ++ =++≥+=,故选A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求 23a b +的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 2.（2009安徽卷理）若不等式组0 34 34x x y x y ≥??+≥? ?+≤? 所表示的平面区域被直线43 y kx =+ 分为面积 相等的两部分，则k 的值是A. 73 B. 37 C. 43 D. 3 4 答案 B ∴S △ABC = 144(4)12 3 3- ?= ，设y kx =与34x y +=的 交点为D ，则由122 3 B C D S S A B C ?=?= 知12 D x = ，∴52 D y = ∴ 5147,2 2 3 3 k k =? + = 选A 。 3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A.2 3 B.32 C.3 4 D.4 3 解析 由340340 x y x y +-=?? +-=?可得(1,1)C ，故S 阴 = 142 3 c AB x ??= ，选C 。 答案 C 4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 答案 D 解析 ?? ≤+1832y x 目标函数y x z 35+= 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x ＝3，y ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D 5.（2009宁夏海南卷理）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥?? -≥-=+??-≤? 则 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知，当z x y =+过点（2，0）时，min 2z =，但无最大值。选B. 线性规划及基本不等式 一、知识梳理 （一）二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数，求2x+x 1 的最小值 第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1 ?考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 (或取值范围). 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围. 【复习指导】 1 .掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域). 2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 (图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合. KAOJIiZIZHUDAOXUE —B— 01 考基自主导学 基础梳理 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线I: ax+ by+ c= 0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线I上的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c= 0; ②直线I 一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c>0; ③直线I另一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ cv0. 所以，只需在直线I的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(X0, y°),从ax0 + by。 + c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域. (2)由于对直线Ax+ By + C = 0同一侧的所有点(x, y),把它的坐标(x, y)代入Ax + By+ C所得到实数的符号都相同亠所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (X0, y0),由AX0+ By°+ C的符号即可判断 Ax+ By+ C>0表示直线 Ax+ By+ C =0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 ——助< 谭_ ----- 一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,.……经常采用“直线定界，.特殊点定域…”的方法.?…. (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线;...若不等式含有等号, .把直线画成实线：.…. (2)特殊点定域，即在直线Ax土 By 士.C亍.0.的某一侧取一个.特殊点…(X., y o)作为测试点代入不等式检验,…若满足不等式，.则表示的就是包括该点的这一侧，……否则就表示直线的另一侧:…特别地，当….C^0时，.常把原点作为测试点;…当….一C. 0 .时，常选点.(1,0)或者(0,1)作为测试点，.… 一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：.…… (1)在平面直角坐标.系内作出可行域;…一… (2)考虑目标函数的几何意义，.将目标函数进行变形; . (3)确定最优解：.在可行域内平行移动冃标函数变形后的直线，从而确定最优解；. ⑷求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值, .... 两个防范 ⑴画出平面区域,..避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化一. .. (2)求二元一次函数.-z. ax 土 b.y(ab.于.0).的最值，将函数..z. ax 土 by转化为直线的斜.. 截式：y三二bx 土b，通过求直线的截距b的最值间接求出…乙的最值 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 4—简单的线性规划、基本不等式 知识块一：求目标函数的最值 归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 1．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0， 3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8. 2．若x ，y 满足???? ? y ≤1，x －y －1≤0， x ＋y －1≥0， 则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________. 解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1. 答案：1 角度二：求非线性目标的最值 3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0， 3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1 3 D ．－12 解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1 3 . 4．设实数x ，y 满足不等式组???? ? x ＋y ≤2y －x ≤2， y ≥1，则x 2＋y 2的取值围是( ) A ．[1,2] B ．[1,4] C ．[2，2] D ．[2,4] 解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值围是[1,4]． 角度三：求线性规划中的参数 5．若x ，y 满足???? ? x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0， y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.1 2 D ．－12 解析：选D 作出线性约束条件???? ? x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0， y ≥0 的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域 为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值． 当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意． 当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ????－2 k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ????－2k ，0时，有最小值，即－????－2k ＝－4?k ＝－1 2 .故选D. 一 体验高考 1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束 条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B ) (A)21 (B)1 (C)2 3 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B. 2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+4 1)>lg x(x>0) (B)sin x+ x sin 1 ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R ) (D) 1 1 2 +x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·2 1 =x, 故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=2 1 时取等号,因此A 不对, B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+ x sin 1≥2或sin x+x sin 1 ≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立, 而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<1 1 2+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C. 3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x +4y 2 )的最小值为 . 解析:(x 2+ 21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2 +221y x +4 =5+(4x 2y 2+ 221y x )≥5+22 22 214y x y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x 2y 2=2 1时取得最小值9. 答案:9 二备考感悟 1.命题与备考 (1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等 式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件. (2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域. 2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得. 三热点考向突破 考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略 1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解; 3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 课堂巩固 1.若222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则目标函数z x y =-的取值范围是 A ．[1,1]- B ．[2,0]- C ．[0,2] D ．[2,2]- 2.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 3.已知D 是由不等式组2030 x y x y -≥?? +≥?，所确定的平面区域，则圆 22 4x y +=在区域D 内的弧长为 [ ] A 4π B 2 π C 34π D 32π 4.设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ （A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 5.不等式组222232320 x x x x x x ?-->--? ?+- 1 ,01(),03 x x x x ?0）的最大值为12，则2a ＋3b 的 最小值为 A ． 256 B ．83 C ．11 3 D ．4 3.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组43250 22010x y x y x +-≤?? -+≤??-≥? ，则cos POQ ∠的最小值 为 A ． 1 2 B ．22 C ．32 D ．1 4.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边 界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无 数个，则a 为 A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 二、填空题 5.设220 240330x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ，则目标函数22 z x y =+取得最大值时，x y += 6.若函数()f x = 则方程1()3f x =-的解集为 . 7.已知函数2 lg ,(0)()1,(0) x x f x x x ->?=?-≤?则不等式()0f x >的解集为______________。 8.在极坐标系中，由三条直线0=θ ，3 π θ= ，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________. 三、解答题 9.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两 个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 不等式 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ． 传递性 a b >且b c a c >?>． 加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+． 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>． 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4. 利用重要不等式求最值的两个命题： 命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2. 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值 42s . 注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或 积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有 结论：ax 2+bx+c>0 ? 2 0040 a a b a c >?=?-0 △=0 △<0 图象 ax 2+bx+c=0的解 x=x 1或x=x 2 x=x 1=x 2=-b/2a 无实数解 ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题 3月2日星期天下午2:30高二十班教室（带必修5） 1、设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ） A ．6- B ．4- C ．2 D ． 答案：B 2、设变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为( ) A ．-3 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 3、点(x ，y )满足??? x ＋y －1≥0， x －y ＋1≥0， x ≤a ， 若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1. C 5、设0,0 x y x y +≥?? -≥?与抛物线2 4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，) ,(y x P 为D 的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 0 C. 2 D. 3 6、若不等式组0 3434 x x y x y ≥??+≥? ?+≤?， 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+ 分为面积相等的两部分，则k 的值是（ B ）A 、73 B 、37 C 、43 D 、3 4 7、已知2z x y =+，x y ，满足2y x x y x m ≥?? +≤??≥? ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ．17 考点：简单线性规划 基本不等式 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_____________． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.28 5 C ．5 D ．6 5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.????－∞，14 B.????0，14 C.??? ?－1 4，0 D.? ???－∞，1 4 题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例 1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：????y x ＋z x ????x y ＋z y ???? x z ＋y z ≥8. 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝ 1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 题型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的 最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则 x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.9 2 D.112 题型三 基本不等式的实际应用 1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2， 过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域， △ABC 的面积即为所求， 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得 到整点个数为13个，选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 不等式与线性规划 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题．(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形?f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x )不等式与线性规划
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