所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立．
综上所述，对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0恒成立．
(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)<0?f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数， 得????
?
－1≤1－a 2
≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2>a －1，即????
?
0≤a 2
≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2<0，
解得0≤a <1.
故所求实数a 的取值范围是[0,1).
(完整版)函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)
《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 一、函数的单调性 1、定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 2、单调性的简单性质： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1)(x f y =I I )(x f y =
苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数性质的综合问题教学案
考点１函数的单调性与奇偶性 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 （１）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． （２）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x１）＞f（x２）或f （x１）＜f（x２）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响． （１）（２0１9·全国卷Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）单调递减，则（） （２）（２0１7·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若f（１）＝—１，则满足—１≤f（x—２）≤１的x的取值范围是（） Ａ．[—２,２] Ｂ．[—１,１] Ｃ．[0,４] Ｄ．[１,３] （１）C（２）D[（１）∵f（x）是定义域为R的偶函数， ∴f（—x）＝f（x）． ∴f错误!＝f（—log３４）＝f（log３４）． 又∵log３４＞log３３＝１，且１＞２错误!＞２错误!＞0， ∴log３４＞２错误!＞２错误!＞0． ∵f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
∴f（２错误!）＞f（２错误!）＞f（log３４）＝f错误!.故选Ｃ． （２）∵f（x）为奇函数， ∴f（—x）＝—f（x）． ∵f（１）＝—１，∴f（—１）＝—f（１）＝１． 故由—１≤f（x—２）≤１， 得f（１）≤f（x—２）≤f（—１）． 又f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减， ∴—１≤x—２≤１， ∴１≤x≤３．] [逆向问题] 设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为（） Ａ．[—３,３] Ｂ．[—２,４] Ｃ．[—１,５] Ｄ．[0,6] B[因为f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数， 所以有—２b＋３＋b＝0，解得b＝３， 由函数f（x）在[—6,0]上为增函数，得f（x）在（0,6]上为减函数，故f（x—１）≥f（３）?f（|x—１|）≥f（３）?|x—１|≤３，故—２≤x≤４．] （１）函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．（２）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x１）＞f（x２）的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x１＜x２（或x１＞x２）求解． １．已知函数f（x）满足以下两个条件：１任意x１，x２∈（0，＋∞）且x１≠x２，（x１—x ２）·[f（x１）—f（x２）]＜0；２对定义域内任意x有f（x）＋f（—x）＝0，则符合条件的函数是（）Ａ．f（x）＝２xＢ．f（x）＝１—|x| Ｃ．f（x）＝—x３Ｄ．f（x）＝ln（x２＋３） C[由条件１可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条件２可知，f（x）
凹凸函数的性质
凹凸函数的性质 李联忠1 文丽琼2 1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150 摘要：若函数f(x)为凹函数，则n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若 函数f(x)为 凸函 数 ， 则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≥ +++ 从而使一些重要不等式的证明更简明。 中图分类号： 文献标识号： 文章编号： 高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。 凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一） 凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二） 性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)是凸函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()(2121 +++≥ +++ 证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上 设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方 ∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴ b n a n f f f x x x x x x n n ++++? ≥+++ 2 1 21) ()()( (2) 由（1），（2）得 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)为凸函数，如下图 点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上 设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方 ∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)(
指数函数及其性质教学设计
一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析
高一数学函数的基本性质综合训练
函数的基本性质--综合训练B 组 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．( -∞C ．(-∞3．函数A ．(∞-C ．[,24 则实数a A ．a ≤ 5． )x 是增函数； (2)23x --的 A ．0 6. 在下图中是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时，
()f x = . 3．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 1][]2,6 2()f b ，且当 0x >时，()y f x =是 奇函数。 3．设函数,且 ()(f x g + 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。
高考复习专题：函数的基本性质专题复习
高考复习专题：函数的基本性质专题复习 求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对 数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(0 2.y= 2 3 2 53 1 x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --1 5 1 1 5.(21) log x y -= 6.)3lg(-=x y 7.x x y 2 = 8.2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数) (log 2 1 x f 的定 义域是（ ） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ，(2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是 （ ）
A.[]052 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数1 2 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是} 2,1,0,1{-，则值域 为 ． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域 是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（ ） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(= （D ）x x f = )( 10、已知函数) (x f y = 的图象如图1所示，则函数的 定义域是（ ） (A) [－2,0] (B) ]5,1[]0,2[ - (C) [1,5] (D) ] 5,1[]0,2[ - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数 347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ． 一次函数法 1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域： ]5,1[,42∈+-=x x x y y =
指数函数及其性质教案
指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像
函数的基本性质练习题(重要)
（高中数学必修1）函数的基本性质 [B 组] 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．( ]2,∞- B ．(]2,0 C ．[ )+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2 212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数； (2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 2 23y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+ 和y = 表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题
1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . 3．若函数2 ()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8， 最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2 ()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 三、解答题 1．判断下列函数的奇偶性 （1）()f x = （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈-- 2．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数； （2）函数()y f x =是奇函数。 3．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1 ()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。
高考一轮复习《函数概念及性质》测试题
一轮复习《函数概念及性质》测试题 班级 姓名 得分 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填在题中横线上． 1．下列函数中与函数x y =是同一个函数的是 （填出所有正确的序号。）⑴ 2 )(x y = ⑵x x y 2 = ⑶33x y = ⑷2x y = 2．设函数x x f 31)(-=，它的值域为{}4,3,1,1,2--，则函数的定义域是 。 3．若函数52)(+=x x f ，则)(2x f = 。 4．若函数212x y x ?+=?? )0()0(>≤x x 则使函数值为10的x 的集合为 。 5. 已知)0(1)]([,131)(22 ≠-=+=x x x x g f x x g ， 则)2(f 的值是 。 6．函数43523 --+=x x x y 的定义域是 。 7．设 f ( x ) 在 R 上是奇函数，当 x >0 时，f (x ) = x (1- x ) ，当 x <0 时， f ( x )= 。 8．函数132)(2-+-=x x x f 在]1,2[-上的最大值为 ，最小值为 。 9．若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则m= 。 10．（2011南通三模）对于定义在R 上的函数f (x )，给出三个命题： ①若(2)(2)f f -=，则f (x )为偶函数； ②若(2)(2)f f -≠，则f (x )不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则f (x )一定不是奇函数．其中正确命题的序号为 ．（填出所有正确的序号。） 11. （2011赣榆高级中学）已知函数2log (0)(),3(0) x x x f x x >?=?≤?则1[()]4f f 的值是 . 12. （2011苏州六校）已知函数f (x )=ax 2－24+2b －b 2?x , g (x )=－1－(x －a )2, 若存在x 0, 使得f (x 0)是f (x )的最大值, g (x 0)是g (x )的最小值,则这样的整数对(a ,b )为 13．（2011扬州四星）已知函数2()f x x x =-，若2 (1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是 ． 14.（2011苏北四市）已知二次函数2()()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则22c a a c +++的最小值为 ．
必修一函数的基本性质综合应用
数学试卷 考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第1卷 1、设,,其中,如果,数的取值围. 2、集合,。 1.若,数的取值围。 2.当时,没有元素使与同时成立,数的取值围。 3、已知函数是奇函数,且当时,,求函数的解析式. 4、设函数在定义域上总有,且当时,. 1.当时,求函数的解析式; 2.判断函数在上的单调性,并予以证明. 5、已知函数. 1.判断函数的奇偶性; 2.若在区间上是增函数,数的取值围。 6、设是上的函数,且满足,并且对任意的实数都有,求的表达式。
7、定义在上的函数 ,满足 ,且当时, 1.求的值 2.求证: 3.求证: 在上是增函数 4.若 ,解不等式 8、已知函数 1.数的取值围,使是区间上的单调函数 2.求的值,使在区间上的最小值为。 9、已知是奇函数 1.求的值 2.求的单调区间,并加以证明 10、已知是定义在实数集上的偶函数,且在区间上是增函数,并且 ,数的取值围。 11、已知集合。 1.当时,求 2.求使的实数的取值围
12、知二次函数。 1.若函数在区间上存在零点,数的取值围。 2.问是否存在常数 ,当时, 的值域为区间 ,且区间的长度为 (视区间的长度为 ) 13、二次函数满足 ,且。 1.求的解析式 2.求在上的值域。 3.若函数为偶函数,求的值 4.求在上的最小值。 14、定义在上的函数满足对任意、恒有且不恒为。 1.求和的值; 2.试判断的奇偶性,并加以证明 3.若时为增函数,求满足不等式的的取值集合 15、设是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 ,恒有。当时,。 1.求证:函数恒有成立 2.当时,求的解析式 3.计算。 16、已知定义在上的函数对任意实数,恒有,且当时,,又. 1.求证:为奇函数;
高考数学函数及其性质练习题
函数及其性质 一、填空题 （2016·12）已知函数()() f x x∈R满足()2() f x f x -=-，若函数 1 x y x + =与() y f x =图像的交点为 11 (,) x y，22 (,) x y，…，(,) m m x y，则 1 () m i i i x y = += ∑（） A．0 B．m C．2m D．4m （2015·5）设函数2 1 1log(2)(1) () 2(1) x x x f x x - +-< ? =? ≥ ? ，则 2 (2)(l og12) f f -+=（）A．3 B．6 C．9 D．12 （2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（） A．B．C．D． （2013·8）设 3 log6 a=， 5 log10 b=， 7 log14 c=，则（） A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >> （2013·10）已知函数32 () f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A. 00 ,()0 x f x ?∈= R B.函数() y f x =的图像是中心对称图形 C.若 x是() f x的极小值点，则() f x在区间 (,) x -∞单调递减 D.若 x是() f x的极值点，则 ()0 f x'= （2012·10）已知函数 x x x f - + = )1 ln( 1 ) (，则) (x f y=的图像大致为（） A. B. C. D. （2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞ （0，）单调递增的函数是（） A．3 y x =B．||1 y x =+C．21 y x =-+D．|| 2x y- = （2011·12）函数 1 1 y x = - 的图像与函数2sin,(24) y x x π =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（） 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o
凸函数的性质与应用
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
指数函数及其性质 优秀教案
指数函数及其性质 【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学 生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。 【教学重难点】 重点：指数函数的概念和性质及其应用。 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。 【教学过程】 【第一课时】 一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数， 即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。 二、讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =-
（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。 若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。
人教版高中必修一数学第二章函数的基本性质综合练习题
函数的基本性质练习题 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1. (2010 浙江理)设函数的集合 P = < f (x) =log 2(x+a)+b a =- 丄0 1 1； y = _10l ］，则在同一直角坐标系中， P 中函数f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 A.关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 3. (2010广东理)3 .若函数f (x ) =3x +3-x 与g (x ) =3x -3-x 的定义域均为 R ,则 (4)设f(x)为定义在R 上的奇函数，当 x > 0时，f(x)= 2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 1 5. (2010湖南理)8.用min ：a,bf 表示a, b 两数中的最小值。若函数f x = min x x ? t 的图像关于直线x=- 2 对称，则t 的值为 A. -2 B . 2 C . -1 D . 1 6??若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足 f(1)=1 , f(2)=2，则f(3)-f(4)= (A ) -1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. (2009全国卷I 理)函数 f (x)的定义域为R ,若f(x ，1)与f(X-1)都是奇函数，则( ) A. f (x)是偶函数 Y-(X 2 -x j ：： f (X 2) -f (xj ：： ：(X 2 -x j ，下列结论正确的是 (A) 若 f(x) M ：1,g(xr M -2,则f(x) g(x) M ：2 1 1 2,0Rb7U ， 平面上点的集合 Q=g(x, y) (A ) 4 (B ) 6 (C ) 8 (D ) 10 2. (2010重庆理) 4x 1 2x 的图象 A. f (x)与g(x)与均为偶函数 B. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 C. f (x)与g(x)与均为奇函数 D. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 4. (2010山东理) B. f (x)是奇函数 C. f (x^f (x ■ 2) D. f (x ■ 3)是奇函数 8.对于正实数〉，记 M :.为满足下述条件的函数f ( x )构成的集合 一 X 1, x 2 ? R 且 X 2 > X 1 ,有
(完整版)高三函数的性质练习题及答案
高三函数的性质练习题 一、选择题（基础热身） 1． 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln|x| C ．y ＝1x 2 D ．y ＝cosx 2． 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋2f(3)，f(－1)＝2，则f(2011)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．函数f(x)＝2x x ＋1 在[1,2]的最大值和最小值分别是( ) A.43，1 B ．1,0 C.43，23 D ．1，23 4． 若函数f(x)＝x (2x ＋1)(x －a ) 为奇函数，则a ＝( ) A.12 B.23 C.34 D ．1 能力提升 5． 已知函数f(x)＝????? (a －3)x ＋5(x ≤1)，2a x (x >1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(0,2) D ．(0,2] 6． 函数y ＝f(x)与y ＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x ，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝1 )()(2-x g x f ＋f(x)的奇偶性为( ) A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 7． 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a ＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 8．已知关于x 的函数y ＝log a (2－ax)在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 9． 已知函数f(x)＝????? sinπx (0≤x ≤1)，log 2 010x (x >1)，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )
凸函数的性质
凸函数的性质 【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】 通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和 2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式” 1212() [(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※) 或 () 11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※) [其中1t 和2t 为正数且121=+t t ] 它的特别情形(取2 1 = t )是 ()()()121222f x f x x x f >++?? < ??? ()21x x ≠ (※※※) 在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。 因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。 （一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一， 设231x x x <<，则21 21 3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。 根据琴生不等式(※※)， )(3x f )()(2121311232x f x x x x x f x x x x --+--< [注意1 213212321,x x x x t x x x x t --=--=] 图一
指数函数及其性质教学设计
性质 （第一课时） 教学设计 教学设计 一、教材分析 指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。 二、学情分析 学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。 三、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索，
培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法。 3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。 四、教学重、难点 重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。 难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。 五、教学学法 教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。 学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。 六、教学过程 （一）创设情境 有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪5000；其二：工作一年，第一个月工资20元，以后每个月的工资是上个月的2倍，如果你是老板，你会如何选择呢？ 设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，激发学生的兴趣。
函数的基本性质专题训练
函数的基本性质 【巩固练习】 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-数 C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ． [)+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题： (1)函数f x ()的定义域(,0)(0,)-∞+∞，在0x <时是增函数，0x >也是增函数，则)(x f 在定义域上是增函数； (2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >； (3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞； (4) 1y x =+ 和y =表示相同函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 7.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。
凸函数的性质及其应用
摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题
Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem
