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学习数值分析的经验

学习数值分析的经验
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数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级:计算131 学号:2012014302 姓名:曾欢欢数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用,可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容,也巩固了MATLAB的学习,有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中,我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想,才能让我们独立自主的完成该作业,如果是上述能力有限的同学,需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。

数值分析实验对于我来说还是有一定难度,所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容,借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中,我复习了各种知识,所以我认为这门课程是有必要且是有用处的,特别是需要处理大量实验数据的人员,很有必要深入了解学习它,这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。

学习数值分析的经验、感受、收获、建议

数值分析的内容包括插值与逼近,数值微分与数值积分,非线性方程与线性方程组的数值解法,矩阵的特征值与特征向量计算,常微分方程数值解等。

首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始,从研究他们的定义,性质再到证明与应用。但实际上,尤其是工程,物理,化学等其它具体的学科。往往我们拿到

手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验,需要代回到公式进行分析,验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验,无具体公式定理可代。那就必须通过插值,拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂,在工程中不实用,所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表示。学习数值分析,不应盲目记公式,因为公事通常很长且很乏味。

其次,应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法,就是就是把实验所得的数据看成是公式的解,由这些解反推出一个近似公式,可以具有局部一般性。再比如说拟合,在插值的基础上考虑实验误差,通过拟合能将误差尽可能缩小,之后目的也是得到一个具有一定条件下的一般性的公式。。

建议学习本门课程要结合知识与实际,比如在物理实验里面很多地方有用到线性拟合的知识,这样我们可以对数值分析得类容加以巩固,在学习中不能死记硬背,应该理解记忆,以及结合列题加以记忆和应用,只能在题里面我们才能去应用它。对于本学期的期末考试,由于本人注重了理论知识的记忆和应用,但是在复习过程中自己没有亲自去导致计算能力较弱,在考试过程中一道大题的计算耗费了大量的时间且错了,虽然解答题目的步骤和思想应该是没有问题的,所以同学们除了掌握基本的理论知识以外,得加强计算能力的锻炼,避免不必要的浪费时间以及精力,导致不愉快的结果。

数值分析典型习题

特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

中国农业大学研究生数值分析考试重点及笔记

中国农业大学数值分析研究生课程重点 后面有笔者的笔记!! 第1章 1、 5个概念(绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限,有效数字)及其计算,数值运算的误差估计 2、算法稳定性的概念及算法设计的5个原则 第2章 1、牢记拉格朗日插值公式、牛顿插值公式,掌握余项推导 2、了解均差的性质 3、会用基函数和承袭性两种方法构造埃尔米特插值问题,并会推导余项 4、为何要分段低次插值?会构造分段线性和分段三次埃尔米特插值 5、三次样条插值的2种构造思路 第3章 会利用最小二乘法解决具体问题 第4章 1、机械求积公式、代数精度的概念理解和计算

2、插值型求积公式的定义和判断,插值型求积公式中求积系数有何特点?如何证明? 3、求积公式余项的推导 4、什么叫牛顿-柯特斯求积公式?总结其优缺点 5、牢记梯形公式、辛普森公式及其余项(会推导),牢记柯特斯公式 6、复化求积公式的计算 7、高斯型求积公式的定义、判断和使用,高斯型求积公式中求积系数有何特点?如何证明? 8、总结学过的数值求积公式,说明其关系 第5章 1、会用高斯消去法、高斯列主元素法、直接三角分解法、(改进)平方根法、追赶法求解线性方程组 2、会计算矩阵和向量的常用范数 3、线性方程组性态的分析 第6章 1、三种迭代法(雅可比、高斯-赛德尔、松弛法)的构造及其矩阵形式的推导 2、会构造迭代公式求方程组的解,并判断是否收敛 第7章

1、了解不动点迭代法是否收敛的判断方法 2、会判断迭代法收敛的收敛速度(收敛阶) 3、会构造不动点迭代公式求方程的根,并指明收敛阶数 4、牛顿迭代法公式推导,求单根和重根收敛性的证明 5、牛顿迭代法的优缺点及其改进 第9章 1、牢记欧拉的5个公式及其推导 2、会用三种不同方法推导欧拉显式单步公式 3、掌握局部截断误差的概念及其应用

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差 r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f (x )

数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题(双曲型和抛物型方程)。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》;R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》;《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注:差分格式: (1)从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 (2)从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。 (3)考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法: 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足:由于采用的是直交网格,因此较难适应区域形状的任意性,而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异,缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法,难以构造高精度(指收敛阶)差分格式,除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点:该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念 直观,表达简单,精度可选而且在一个时间步内,对于一个给定点来说其相关的空间点只是 与该相邻的几点,而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法(有限体积法)(GDM:Generalized Difference Method):1953年,Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格 式,这就是以后通称的不规划网格上的差分法.这种方法的几何误差小,特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法,堪称差分法的一大进步。1978年,李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项,将积分插值法改写成广义Galerkin法形式,从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是,将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有

数值分析典型例题

第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为

数值分析试卷及其答案

1、(本题5分)试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ; 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为

数值分析(计算方法)总结

第一章绪论 误差来源:模型误差、观测误差、截断误差(方法误差)、舍入误差 是的绝对误差,是的误差,为的绝对误差限(或误差限) 为的相对误差,当较小时,令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为:即: 绝对误差有量纲,而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到的第一位非零数字共有n位,则称近似值有n位有效数字,或说精确到该位。 例:设x==…那么,则有效数字为1位,即个位上的3,或说精确到个位。 科学计数法:记有n位有效数字,精确到。 由有效数字求相对误差限:设近似值有n位有效数字,则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字:设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差(限)等于误差(限)的 和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1.避免两相近数相减 2.避免用绝对值很小的数作除数 3.避免大数吃小数 4.尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0,有根区间为(a, b),从x0=a出发,按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)

一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜索,即判别f(x k)=f(a+kh)的符号,若f(x k)>0(而 f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0,x k即为所求根), 然后从x k-1出发,把搜索步长再缩小,重复上面步骤,直到满足精度:|x k-x k-1|0.将[a0,b0]对分,中点x0= ((a0+b0)/2),计算 f(x0)。 3.比例法 一般地,设[a k,b k]为有根区间,过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线,与x轴交于一点x k,则: 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法,而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根,而是在一定条件下直接构造出一个点列(递推公式),使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。 事先估计: 事后估计 局部收敛性判定定理: 局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱,但对初始点要求较高,即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式: Newton法: Newton下山法:是下山因子 弦割法: 抛物线法:令 其中:

数值分析典型习题资料

数值分析典型习题

特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

数值计算方法学习心得

数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要,一个算法的思想也很重要,但 在我看来,更重要的是解决问题的方法,就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备,程序的运行,pdf文档,算法公式的推导,程序伪代码,不过有一点缺陷的地方,很多细节 没有讲的很清楚吧,下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来,总的来说,看其他同学的分享,我也学习到 许多东西,并非只是代码的方法,更多的是章胜同学的口才,攀忠 的排版,小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西,又骄傲地回想一下,曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说,以前做项目的时候,项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式,不管是ppt还是文档,这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享,最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来,其次是代码分享的规范性,像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin,以前做过一小段时间acm,集训队里对于代码的分享都是推荐用这个,像数值计算实验我觉得用这个也差不多了,其 次项目级代码还是推荐github(被微软收购了),它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建,当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。

然后在实验中,发现debug能力的重要性,对于代码错误点的 正确分析,以及一些与他人交流的“正规”途径,讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等,比如acm比赛都是以三人为一小组,讨论过后,讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法,做项目做算法一般的正常流程是看论文,尽量 看英文文献,一般就是第一手资料,然后根据论文对算法的描述, 就是如同课上的流程一样,对算法进一步理解,然后进行复现,最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文,会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后,想说一下,计算机专业的同学看这个数值分析, 不一定行云流水,但肯定不至于看不懂写不出来,所以我们还是要 提高自己的核心竞争力,就是利用我们的优势,对于这种算法方面 的编程,至少比他们用的更加熟练,至少面对一个问题,我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议: 1. debug的能力不容忽视,比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们,让同学们自己思考一下,然后分享各自的debug方法,一步一步的去修改代码,最后集全班的力量完成代码的debug,这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的,可能会给学生带来一些负反馈,降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会

数值分析试卷及其答案2

1、(本题5分)试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ; 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为

数值计算方法大作业

目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码: Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例:求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根(ep=10-10)

1.2牛顿法 程序代码: Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例:求56的值。(ep=10-10)

数值分析典型例题

第一章典型例题 例3…,精确到10-3的近似值是多少? 解 精确到10-3=,即绝对误差限是?=, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3

X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1 =D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0=?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。 高斯-赛德尔迭代矩阵为 G =-U ~ )L ~D (1-+ =-?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0,?2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题: 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。

油藏数值模拟学习心得

通过了几节课的“油藏数值模拟课”的学习,我知道了“油藏数值模拟”是应用计算机研究油气藏中多相流体渗流规律的数值计算方法,它能够解决油气藏开发过程中难以解析求解的极为复杂的渗流及工程问题,是评价和优化油气藏开发方案的有力工具。它主要是让我们石油石油工程专业的学生掌握一些基本的油藏数值模拟技术和技巧,学习基本的油藏渗流数学模型及其解法、计算方法和应用方法,培养我们用计算机解决油藏开发问题的能力。 “油藏数值模拟”涉及的学科较多,利用数学知识和计算机知识较多,我认为是非常难的。虽然教师教的很认真也很耐心,我仍然不能跟着老师的节奏。因为一开始就知道这个软件很有实际应用价值,所以我也就特别的想好好的学习它。可惜现在我面临着考研这座大山,我实在是没有充分的时间课下来好好的温习与研究老师上课所讲的东西。很遗憾,后来老师讲的东西我有些就不会了。好在前三四节课讲的内容还学会了,学会了模拟三层的油层概况。也许这点知识对我以后的再次学习会有不错的基础作用吧!总之还是很感谢老师的耐心教导。 在学习的过程中,我觉得油藏原始参数,如渗透率、孔隙度等的收集,以及油藏原始数据是否齐全准确非常重要,尤其是一开始填date时的单位的选择,这些都关系到数值模拟的效果。如果原始资料很少,数值模拟的效果就不可能好。数值模拟方法越复杂,所需的原始资料也越多。收集资料时,如发现必需的资料不够或不准确,应采取补救措施。通常要求准备的参数包括:①油藏地质参数。产层构造图,油、气、水分布图,油层厚度、孔隙度、渗透率、原始含油饱和度的等值图等。②流体物理性质参数。地面性质和地层状态下的物性数据,原始压力和地层温度数据,对凝析气田还需要相图和相平衡的资料。③专项岩心分析资料。油水相渗透率曲线,油气相渗透率曲线,油层润湿性,吸入和排驱毛细管压力曲线;对碳酸盐岩孔隙裂缝双重介质储层,还需渗吸曲线。④单井和分层分区的生产数据和有关测试资料。⑤油田建设和经济分析的有关数据。 将收集的油藏地质资料进行系统整理后,要将油藏的地质特征模式化,以充分反映油藏的构造特征和沉积特征,如油层物理性质参数的分布、油气水的分布、油气水在地面和地下的性质、驱油动力、压力系统和地温梯度等。油藏地质模型是否符合实际情况,直接影响数值模拟成果的准确性。 由于人们对油田实际地质条件的认识有一定的限度,计算时所用的参数也就有一定的局限性,因此,第一次模拟计算的结果,如压力、产量、气油比、含水率等与油田实际生产状况常有较大的出入。必须进行分析,修改相关的计算参数,重新进行计算。通常,经过多次修改可使计算结果与实际生产历史基本相符,误差在允许范围以内。从工程应用的角度看,可认为此时所应用的计算参数,反映了油田地下的实际状况,使用这些参数来计算和预测油田未来的动态,能够达到较高的精度。在油田开采过程中这类历史拟合要进行多次,使油田的模型逐步更接近实际而得到更适用的结果。

数值分析试题及答案

一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . ()00l x =0, ()111l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1,()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . 232 x x -+= B .232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题(每小题3分,共15分)

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数()()() 33301213,88C C C ===,那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据: 求分 段线性插值函数,并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈, ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析典型例题

数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解:按照定义,以上各数具有5位有效数字的近似值分别为:236.478, 0.0023471, 9.0000, 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9,因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004, -0.00200, -9000, 9310?, 23 10-?。 解:按照定义,以上各数的有效数字位数分别为5, 3, 4,1,1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ,所需时间* s 的近似值为t=35s ,若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-,试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解:因为t s v /=,所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系,并研究它的误差 传递。 解:151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ,计算出0I 后可通过(1)依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ,由此计算出的1I ,…,20I 也有误差,由(1)可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) (1)-(2)可得 01)5(5e e e n n n -=-=-,由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以(1)不稳 定。 (1) 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… (3) 如果能先求出20I ,则依次可以求出19I ,…,0I ,计算20I 时有误差,这样根据(3)计算19I ,…,0I 就有误差,误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ,误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根,要求有3为有效数字。 解:因为0)1()0(