05 对角化与Jordan标准形

第五讲 对角化与Jordan 标准形

一、正规矩阵

1. 实对称矩阵与厄米矩阵

实对称矩阵：实矩阵A T A A = 厄米矩阵：复矩阵A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵A T A A =- 反厄米矩阵：复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵

正交矩阵：实矩阵A T T A A AA I == （1T A A -=） 酉矩阵：复矩阵A H H A A AA I == （1H A A -=） 3. 正交相似变换和酉相似变换

P 为正交矩阵，A 为实矩阵，1P AP -为对A 的正交相似变换； P 为酉矩阵，A 为复矩阵，1P AP -为对A 的酉相似变换。

4. 正规矩阵

实矩阵A ，若满足T T A A AA =，则A 为实正规矩阵； 复矩阵A ，若满足H H A A AA =，则A 为复正规矩阵。

显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。

11det(I P AP)det[P (I A)P]--λ-=λ-

11det(P )det(I A)det(P)det(P )det(P)det(I A)det(I A)

--=λ-=λ-=λ-

（det(AB)det(A)det(B)=）

二、酉对角化

1. Schur 引理：设数12n ,,,λλλL 是n 阶方阵A 的特征值，则存在酉矩阵U ，使

1

2

1n U AU 0

-λ*???

?λ?

?=????λ??

O

[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量，即111Ax x =λ，

1

11

x u x =

，并由其扩充为一组标准正交向量12n u ,u ,,u L H i j

0i j

u u 1i j

≠?=?=? 令[]01

2n U u u u =L

，0U 为酉矩阵

[]H

H H H 111121n H H H H H 221222n 0012n n H H H H

n n 1

n 2

n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ????

????????==

=??????????

??

L L L

M M M O M L

对A 进行酉相似变换：

[]()

H 1H H

H 2001

2n i j

n n

H n u u U AU A u u u u Au u ???????==??????

L

M

第一列：H H H i

1i

111i

11

i 1

u Au u u u u i 1

≠?=λ=λ=?

λ=?

()1H 001(n 1)(n 1)

U AU A 0

-?-λ*

??

???

?=????????

M ()H H H 2

22

2n H 3123n (n 1)(n 1)

H H n

2n n H n u u Au u Au u A A u u u u Au u Au u -?-??????????==??????????????

????

L L M O

M M L 相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A ，其特征值为

2n ,,λλL ，与上相同，可得一个酉矩阵1U ，使得

()2

H 1112(n 2)(n 2)

U A U A 0

-?-λ*

??

???

?=????????

M 依次类推，分别可找到酉矩阵23n 2U ,U ,,U -L 使

()3

H 2223(n 3)(n 3)

0U A U A 0-?-λ*

??????=????????

M

n 1H

n 2

n 2n 2

n U

A U 0----λ*??

=??

λ??

令2

n 2

012n 210I 0I 0U U 0U 0U 0U --??????

=???????

???

?

?

L U 是酉矩阵，H U U I =

H U AU ?=

n 2

n 2

H H 00H H n 211n 2I 01010I 0U AU U AU 0

U 0U 0U 0

U ----??

??????

=?

???????????????

L L 1

H 0

01U AU 0

A λ*??=?

???

1

11

2H H 1111112*

*10100*0U 0

A 0U 0

U A U 0

A λ??λ*λ*?????????

?==λ??????????????????????

1

2

H n *U AU 0

λ???

?λ?

?=????λ??

O

[得证]

什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？

2. 定理：n 阶方阵A ，

酉相似于对角阵的充要条件是：A 为正规阵（实或复）。

[证明] 由Schur 引理：存在酉矩阵U 使得

1

ij H 2

n t U AU 0

λ???

?

λ?

?Λ==????λ??

O

1i j n ≤≤≤ 12n ,,,λλλL 是A 的特征值。

()

1H

2

H H ji

n 0U AU

t ??

λ??λ??Λ==??????λ??

O

充分性:已知A 为正规阵，即H H A A AA =，要证ij t 0=

H H H H H H

U AA U

U A AU ?ΛΛ=?ΛΛ=? H H ΛΛ=ΛΛ

212

H

2

??λ???

?ΛΛ=λ?????

?

L M M L

O 2

211j 2

2

H 22j

t t ??

λ+???

?ΛΛ=λ+?

??????

?

∑∑L M M L

O 由对角元素相等可得1j t 0=，2j t 0=， ，nj t 0=

∴ ij t 0=

∴ 1

2

H

n 0U AU 0

λ????λ?

?=????λ??

O

必要性：已知存在酉矩阵U 使12

H

n 0U AU 0

λ????

λ?

?=????λ??

O

=Λ，要证A 为正规矩阵。

H H H H H H

U AA U

U A AU

?ΛΛ=?ΛΛ=? H H ΛΛ=ΛΛ

()()()()

H

H H H H H U

AU U A U U A U U AU =

∴ H

H

H

H

U AA U U A AU =

U 可逆 ∴H

H

A A AA =

[得证]

说明：（1）不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化，例如

12A 03??=???? T 10A 23??=??

??

T T AA A A ≠ A 不是正规矩阵

但(A)1,3λ=，两个特征值互异，可以相似变换对角化。可见，A 可以对角化，但不能酉对角化。

（2）实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。（若特征值全为实数，则可正交相似对角化）

如12A 21??=??-?? ，特征值为12j ±，T T

50AA A A 05??==??

?? 正规阵，但不可能对角化。

不能对角化的矩阵一定具有多重特征值，对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式——Jordan 标准形。

三、Jordan 标准形

1. Jordan 标准形的存在定理

任何方阵A 均可通过某一相似变换化为如下Jordan 标准形：

1122s s J ()J ()J J ()λ????λ?

?=?

???λ?

?

O 其中 i i i i i 10J ()10

λ???

?

λ?

?λ=????λ??

O

O

称为Jordan 块矩阵。12s ,,,λλλL 为A 的特征值，可以是多重的。

说明：（1）i i J ()λ中的特征值全为i λ，但是对于不同的i 、j ，有可能

i j λ=λ，即多重特征值可能对应多个Jordan 块矩阵。

（2）Jordan 标准形是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan 块

矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan 块矩阵的位置可以变化。 2. 多项式矩阵（又称为λ阵）

()()()

()()()()()()

()11121n 21222n n1n2nn a a a a a a A a a a ??

λλλ?

?λλλ??

λ=

???

?λλλ??

L L M M L M L

称为λ的多项式矩阵，其中矩阵元素ij a ()λ为λ的多项式。

? 多项式矩阵的初等变换

初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下形式上变

得简单。

（1） 互换两行（列）

（2） 以非零常数乘以某行（列） [这里不能乘以λ的多项式或零，

这样有可能改变原来矩阵的秩和属性]

（3） 将某行（列）乘以λ的多项式加到另一行（列）

?多项式矩阵的标准形式：采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：

()()

()()

12r d 0d A d 00

0??

λ?

?λ?

????

?λ→λ?

???????????

O O

其中，多项式()i d λ是首一多项式（首项系数为1，即最高幂次项的

系数为1），且()()12d d λλ、()()23d d λλ、 、

()()r 1r d d -λλ，即()i d λ是()i 1d +λ的因式。

（1） 多项式矩阵的标准形式不随所采用的初等变换而变，故称

()i d λ为不变因子。

（2） 不变因子又可采用如下方法求得：设()i D λ为()A λ的所有i 阶

子行列式的最大公因式，则()()()

i i i 1D d D -λλ=λ，()0D 1λ=。

()i D λ称为i 阶行列式因子。

（3） 将每个不变因子化为不可约因式，这些不可约因式称为()

A λ的初等因子，全体初等因子称为初等因子组。例如:

221d ()(2)(3)(2)(3)λ=λ-λ-→λ-λ-和 25252d ()(2)(3)(2)(3)λ=λ-λ-→λ-λ-和

初等因子组中应包括两个2(2)λ-。 3. Jordan 标准形的求法

（1） 求出特征多项式()I A λ-的初等因子组，设为()1m

1λ-λ、

()

2

m 2λ-λ、 、()s

m s λ-λ。

（2） 写出各Jordan 块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan 块

矩阵）

()

()i

i

i

i

n i i i i i n n

10J 10

?λ???

?λ?

?λ-λ→λ=????λ??O

O

（3） 合成Jordan 矩阵：12

s J 0J J 0

J ???

??

?=??????

O

例：求矩阵210110120011114101A 010310000040100013--????-??---??

=??-??????-??

的Jordan 标准形。

[解] 写出特征矩阵

21

01101200111

14101(I A)0

10310000040100013λ--????-λ--??

λ--??λ-=??λ--????λ-??-λ-??

第1～4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为

21111201

(2)(34)11100131

λ---λ-=λ-λ--λ--

第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为 220111001

(4)14100004

λ--=-λ-λ--λ-

这两个子式的公因式为1，故 4D ()1λ=123D ()D ()D ()1?λ=λ=λ= 第1～5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为

22101012011(2)(4)114010101000040

λ---λ--=-λ-λ-λ--λ- 第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为

321110120114(2)111010*********

λ---λ--=λ--λ---λ- 其它五阶子式均含(2)λ-因式，故 5D ()(2)λ=λ- 特征值行列式为 336D ()(2)(4)λ=λ-λ-，从而有

1234d ()d ()d ()d ()1λ=λ=λ=λ=，5d ()(2)λ=λ-，

236d ()(2)(4)λ=λ-λ-

●

初等因子组为

(2)λ- ， 2(2)λ- ， 3(4)λ-

●

相应的Jordan 块为

[]2 ， 2102?????? ， 410041004??

????????

●

Jordan 标准形为

2

021*******??????

??

???

???????

作业：P106 1(1)(2), 2, 4, 5, 10 P79 19（1）（3）