第五讲 对角化与Jordan 标准形
一、正规矩阵
1. 实对称矩阵与厄米矩阵
实对称矩阵:实矩阵A T A A = 厄米矩阵:复矩阵A H A A = 实反对称矩阵:实矩阵A T A A =- 反厄米矩阵:复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵
正交矩阵:实矩阵A T T A A AA I == (1T A A -=) 酉矩阵:复矩阵A H H A A AA I == (1H A A -=) 3. 正交相似变换和酉相似变换
P 为正交矩阵,A 为实矩阵,1P AP -为对A 的正交相似变换; P 为酉矩阵,A 为复矩阵,1P AP -为对A 的酉相似变换。
4. 正规矩阵
实矩阵A ,若满足T T A A AA =,则A 为实正规矩阵; 复矩阵A ,若满足H H A A AA =,则A 为复正规矩阵。
显然,实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵; 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。
11det(I P AP)det[P (I A)P]--λ-=λ-
11det(P )det(I A)det(P)det(P )det(P)det(I A)det(I A)
--=λ-=λ-=λ-
(det(AB)det(A)det(B)=)
二、酉对角化
1. Schur 引理:设数12n ,,,λλλL 是n 阶方阵A 的特征值,则存在酉矩阵U ,使
1
2
1n U AU 0
-λ*???
?λ?
?=????λ??
O
[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量,即111Ax x =λ,
1
11
x u x =
,并由其扩充为一组标准正交向量12n u ,u ,,u L H i j
0i j
u u 1i j
≠?=?=? 令[]01
2n U u u u =L
,0U 为酉矩阵
[]H
H H H 111121n H H H H H 221222n 0012n n H H H H
n n 1
n 2
n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ????
????????==
=??????????
??
L L L
M M M O M L
对A 进行酉相似变换:
[]()
H 1H H
H 2001
2n i j
n n
H n u u U AU A u u u u Au u ???????==??????
L
M
第一列:H H H i
1i
111i
11
i 1
u Au u u u u i 1
≠?=λ=λ=?
λ=?
()1H 001(n 1)(n 1)
U AU A 0
-?-λ*
??
???
?=????????
M ()H H H 2
22
2n H 3123n (n 1)(n 1)
H H n
2n n H n u u Au u Au u A A u u u u Au u Au u -?-??????????==??????????????
????
L L M O
M M L 相似矩阵具有相同的特征值,因此,对于1A ,其特征值为
2n ,,λλL ,与上相同,可得一个酉矩阵1U ,使得
()2
H 1112(n 2)(n 2)
U A U A 0
-?-λ*
??
???
?=????????
M 依次类推,分别可找到酉矩阵23n 2U ,U ,,U -L 使
()3
H 2223(n 3)(n 3)
0U A U A 0-?-λ*
??????=????????
M
n 1H
n 2
n 2n 2
n U
A U 0----λ*??
=??
λ??
令2
n 2
012n 210I 0I 0U U 0U 0U 0U --??????
=???????
???
?
?
L U 是酉矩阵,H U U I =
H U AU ?=
n 2
n 2
H H 00H H n 211n 2I 01010I 0U AU U AU 0
U 0U 0U 0
U ----??
??????
=?
???????????????
L L 1
H 0
01U AU 0
A λ*??=?
???
1
11
2H H 1111112*
*10100*0U 0
A 0U 0
U A U 0
A λ??λ*λ*?????????
?==λ??????????????????????
1
2
H n *U AU 0
λ???
?λ?
?=????λ??
O
[得证]
什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢?
2. 定理:n 阶方阵A ,
酉相似于对角阵的充要条件是:A 为正规阵(实或复)。
[证明] 由Schur 引理:存在酉矩阵U 使得
1
ij H 2
n t U AU 0
λ???
?
λ?
?Λ==????λ??
O
1i j n ≤≤≤ 12n ,,,λλλL 是A 的特征值。
()
1H
2
H H ji
n 0U AU
t ??
λ??λ??Λ==??????λ??
O
充分性:已知A 为正规阵,即H H A A AA =,要证ij t 0=
H H H H H H
U AA U
U A AU ?ΛΛ=?ΛΛ=? H H ΛΛ=ΛΛ
212
H
2
??λ???
?ΛΛ=λ?????
?
L M M L
O 2
211j 2
2
H 22j
t t ??
λ+???
?ΛΛ=λ+?
??????
?
∑∑L M M L
O 由对角元素相等可得1j t 0=,2j t 0=, ,nj t 0=
∴ ij t 0=
∴ 1
2
H
n 0U AU 0
λ????λ?
?=????λ??
O
必要性:已知存在酉矩阵U 使12
H
n 0U AU 0
λ????
λ?
?=????λ??
O
=Λ,要证A 为正规矩阵。
H H H H H H
U AA U
U A AU
?ΛΛ=?ΛΛ=? H H ΛΛ=ΛΛ
()()()()
H
H H H H H U
AU U A U U A U U AU =
∴ H
H
H
H
U AA U U A AU =
U 可逆 ∴H
H
A A AA =
[得证]
说明:(1)不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化,例如
12A 03??=???? T 10A 23??=??
??
T T AA A A ≠ A 不是正规矩阵
但(A)1,3λ=,两个特征值互异,可以相似变换对角化。可见,A 可以对角化,但不能酉对角化。
(2)实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。(若特征值全为实数,则可正交相似对角化)
如12A 21??=??-?? ,特征值为12j ±,T T
50AA A A 05??==??
?? 正规阵,但不可能对角化。
不能对角化的矩阵一定具有多重特征值,对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式,使之尽量接近对角化的形式——Jordan 标准形。
三、Jordan 标准形
1. Jordan 标准形的存在定理
任何方阵A 均可通过某一相似变换化为如下Jordan 标准形:
1122s s J ()J ()J J ()λ????λ?
?=?
???λ?
?
O 其中 i i i i i 10J ()10
λ???
?
λ?
?λ=????λ??
O
O
称为Jordan 块矩阵。12s ,,,λλλL 为A 的特征值,可以是多重的。
说明:(1)i i J ()λ中的特征值全为i λ,但是对于不同的i 、j ,有可能
i j λ=λ,即多重特征值可能对应多个Jordan 块矩阵。
(2)Jordan 标准形是唯一的,这种唯一性是指:各Jordan 块
矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的,但是各Jordan 块矩阵的位置可以变化。 2. 多项式矩阵(又称为λ阵)
()()()
()()()()()()
()11121n 21222n n1n2nn a a a a a a A a a a ??
λλλ?
?λλλ??
λ=
???
?λλλ??
L L M M L M L
称为λ的多项式矩阵,其中矩阵元素ij a ()λ为λ的多项式。
? 多项式矩阵的初等变换
初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下形式上变
得简单。
(1) 互换两行(列)
(2) 以非零常数乘以某行(列) [这里不能乘以λ的多项式或零,
这样有可能改变原来矩阵的秩和属性]
(3) 将某行(列)乘以λ的多项式加到另一行(列)
?多项式矩阵的标准形式:采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式:
()()
()()
12r d 0d A d 00
0??
λ?
?λ?
????
?λ→λ?
???????????
O O
其中,多项式()i d λ是首一多项式(首项系数为1,即最高幂次项的
系数为1),且()()12d d λλ、()()23d d λλ、 、
()()r 1r d d -λλ,即()i d λ是()i 1d +λ的因式。
(1) 多项式矩阵的标准形式不随所采用的初等变换而变,故称
()i d λ为不变因子。
(2) 不变因子又可采用如下方法求得:设()i D λ为()A λ的所有i 阶
子行列式的最大公因式,则()()()
i i i 1D d D -λλ=λ,()0D 1λ=。
()i D λ称为i 阶行列式因子。
(3) 将每个不变因子化为不可约因式,这些不可约因式称为()
A λ的初等因子,全体初等因子称为初等因子组。例如:
221d ()(2)(3)(2)(3)λ=λ-λ-→λ-λ-和 25252d ()(2)(3)(2)(3)λ=λ-λ-→λ-λ-和
初等因子组中应包括两个2(2)λ-。 3. Jordan 标准形的求法
(1) 求出特征多项式()I A λ-的初等因子组,设为()1m
1λ-λ、
()
2
m 2λ-λ、 、()s
m s λ-λ。
(2) 写出各Jordan 块矩阵(一个初等因子对应一个Jordan 块
矩阵)
()
()i
i
i
i
n i i i i i n n
10J 10
?λ???
?λ?
?λ-λ→λ=????λ??O
O
(3) 合成Jordan 矩阵:12
s J 0J J 0
J ???
??
?=??????
O
例:求矩阵210110120011114101A 010310000040100013--????-??---??
=??-??????-??
的Jordan 标准形。
[解] 写出特征矩阵
21
01101200111
14101(I A)0
10310000040100013λ--????-λ--??
λ--??λ-=??λ--????λ-??-λ-??
第1~4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为
21111201
(2)(34)11100131
λ---λ-=λ-λ--λ--
第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为 220111001
(4)14100004
λ--=-λ-λ--λ-
这两个子式的公因式为1,故 4D ()1λ=123D ()D ()D ()1?λ=λ=λ= 第1~5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为
22101012011(2)(4)114010101000040
λ---λ--=-λ-λ-λ--λ- 第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为
321110120114(2)111010*********
λ---λ--=λ--λ---λ- 其它五阶子式均含(2)λ-因式,故 5D ()(2)λ=λ- 特征值行列式为 336D ()(2)(4)λ=λ-λ-,从而有
1234d ()d ()d ()d ()1λ=λ=λ=λ=,5d ()(2)λ=λ-,
236d ()(2)(4)λ=λ-λ-
●
初等因子组为
(2)λ- , 2(2)λ- , 3(4)λ-
●
相应的Jordan 块为
[]2 , 2102?????? , 410041004??
????????
●
Jordan 标准形为
2
021*******??????
??
???
???????
作业:P106 1(1)(2), 2, 4, 5, 10 P79 19(1)(3)