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初中数学冀教版九年级上册第二十八章28.3圆心角和圆周角练习题-普通用卷

初中数学冀教版九年级上册第二十八章28.3圆心角和圆周角练习题-普通用卷
初中数学冀教版九年级上册第二十八章28.3圆心角和圆周角练习题-普通用卷

初中数学冀教版九年级上册第二十八章28.3圆心角和圆

周角练习题

一、选择题

1.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=

30°,AD是直径,AD=8,则AC的长为()

A. 4

B. 4√3

C. 8

√3 D. 2√3

3

2.如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠CAO等于()

A. 30°

B. 40°

C. 50°

D. 60°

3.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,

则∠ABD等于()

A. 54°

B. 56°

C. 64°

D. 66°

4.如图,AB为⊙O的直径,C,D是圆周上的两点,若∠ABC=38°,

则锐角∠BDC的度数为()

A. 57°

B. 52°

C. 38°

D. 26°

5.如图,点A,B,C在⊙O上,若∠ACB=112°,则∠α=()

A. 68°

B. 112°

C. 136°

D. 134°

6.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,且BC

平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列

结论不一定成立的是()

A. OC//BD

B. AD⊥OC

C. △CEF≌△BED

D. AF=FD

7.如图,四边形ABCD内接于圆O,连接OB,OD,若∠BOD=

∠BCD,则∠BAD的度数为()

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 120°

8.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=40°,则∠D的度数是

()

A. 140°

B. 130°

C. 120°

D. 110°

9.如图,在⊙O中,点C为弧AB的中点.若∠ADC=α(α为锐角),

则∠APB=()

A. 180°?α

B. 180°?2α

C. 75°+α

D. 3α

10.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠BDC=20°,

则∠AOC的大小为()

A. 40°

B. 140°

C. 160°

D. 170°

二、填空题

11.如图,A,B,C,D是⊙O上的四

点,点B是AC?的中点,BD过点O,

∠AOC=100°,那么∠OCD=______

度.

12.如图,已知四边形ACDB是圆内接四边形,∠1=130°,则

∠CDE=______度.

13.如图,AB是半圆O的直径,E是半圆上一点,且OE⊥AB,

点C为BE?的中点,则∠A=______°.

14.如图,AB是⊙O的直径,点C和点D是⊙O上两点,连

接AC、CD、BD,若CA=CD,∠ACD=80°,则∠CAB=

______ °.

三、解答题

15.如图,BD?=CE?,求证:AB=AC.

16.如图,已知:AC、BD是⊙O的两条弦,且AC=BD,求

证:AB=CD.

17.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的点,且

0D⊥AC于点E,连接BE,BC,若AC=8,DE=2.

(1)求半圆的半径长;

(2)求BE的长.

18.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,BC?=100°,连结

AO.

(1)求AB?和AC?的度数;

(2)求证:AO平分∠BAC.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:连接CD,

∵AB=BC,∠BAC=30°,

∴∠ACB=∠BAC=30°,

∴∠B=180°?30°?30°=120°,

∴∠D=180°?∠B=60°,

∴∠CAD=30°,

∵AD是直径,

∴∠ACD=90°,

∵AD=8,

AD=4,

∴CD=1

2

∴AC=√AD2?CD2=√82?42=4√3,

故选:B.

连接CD,根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠BAC=30°,根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°?∠B=60°,求得∠CAD=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论.本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,含30°角的直角三角形的性质,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解:∵在⊙O中,∠ABC=50°,

∴∠AOC=2∠ABC=100°,

∵OA=OC,

∴∠CAO=∠ACO=180°?∠AOC

=40°.

2

故选:B.

由在⊙O中,∠ABC=50°,根据圆周角定理,即可求得∠AOC的度数,然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理,即可求得答案.

此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

3.【答案】A

【解析】解:∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∵∠DAB=∠BCD=36°,

∴∠ABD=∠ADB?∠DAB=90°?36°=54°.

故选:A.

根据AB是⊙O的直径,可得∠ADB=90°,根据同弧所对圆周角相等可得∠DAB=

∠BCD=36°,进而可得∠ABD的度数.

本题考查了圆周角定理,解决本题的关键是掌握圆周角定理.

4.【答案】B

【解析】解:连接AC,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∵∠ABC=38°,

∴∠BAC=90°?∠ABC=52°,

∴∠BDC=∠BAC=52°.

故选:B.

由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由∠ABC= 38°,即可求得∠A的度数,然后根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠BDC的度数.

此题考查了圆周角定理.此题难度不大,注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键.

5.【答案】C

【解析】解:作AB?对的圆周角∠ADB,如图,

∵∠ACB+∠ADB=180°,

∴∠ADB=180°?112°=68°,

∴∠AOB=2∠ADB=2×68°=136°.

故选:C.

作AB?对的圆周角∠ADB,如图,利用圆内接四边形的性质得到∠ADB=68°,然后根据

圆周角定理可得到出∠AOB的度数.

本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6.【答案】C

【解析】解:∵AB是⊙O的直径,BC平分∠ABD,

∴∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,

∴AD⊥BD,

∵OB=OC,

∴∠OCB=∠OBC,

∴∠DBC=∠OCB,

∴OC//BD,选项A成立;

∴AD⊥OC,选项B成立;

∴AF=FD,选项D成立;

∵△CEF和△BED中,没有相等的边,

∴△CEF与△BED不全等,选项C不成立;

故选:C.

由圆周角定理和角平分线得出∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,由等腰三角形的性质得出∠OCB=∠OBC,得出∠DBC=∠OCB,证出OC//BD,选项A成立;

由平行线的性质得出AD⊥OC,选项B成立;

由垂径定理得出AF=FD,选项D成立;

△CEF和△BED中,没有相等的边,△CEF与△BED不全等,选项C不成立,即可得出答案.

此题主要考查了圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,平行线的性质,角平分线的性质,解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理.

7.【答案】C

【解析】解:设∠BAD=x,则∠BOD=2x,

∵∠BCD=∠BOD=2x,∠BAD+∠BCD=180°,

∴3x=180°,

∴x=60°,

∴∠BAD=60°,

根据圆内接四边形的性质,构建方程解决问题即可.

本题考查圆周角定理,圆内接四边形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

8.【答案】B

【解析】解:∵AB是半圆O的直径,

∴∠ACB=90°,

∵∠BAC=40°,

∴∠B=180°?∠ACB?∠BAC=50°,

∵A、B、C、D四点共圆,

∴∠D+∠B=180°,

∴∠D=130°,

故选:B.

根据圆周角定理求出∠ACB,根据三角形内角和定理求出∠B,根据圆内接四边形的性质得出∠D+∠B=180°,再代入求出即可.

本题考查了圆周角定理,三角形内角和定理,圆内接四边形的性质等知识点,能求出∠ACB的度数和求出∠D+∠B=180°是解此题的关键.

9.【答案】B

【解析】解:连接BD,如图,

∵点C为弧AB的中点,

∴AC?=BC?,

∴∠BDC=∠ADC=α,

∵∠APB+∠ADB=180°,

∴∠APB=180°?2α.

故选:B.

连接BD,如图,由于点C为弧AB的中点,根据圆周角定理得到∠BDC=∠ADC=α,然后根据圆内接四边形的对角互补可用α表示出∠APB.

本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

【解析】解:∵∠BOC=2∠BDC=2×20°=40°,

∴∠AOC=180°?40°=140°.

故选:B.

先利用圆周角定理得到∠BOC=40°,然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数.

本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

11.【答案】25

【解析】解:∵B是AC?的中点,

∴∠AOB=∠BOC=1

2

∠AOC=50°,

∴∠D=1

2

∠BOC=25°,

∵OD=OC,

∴∠OCD=∠D=25°,

故答案为25.

求出∠BOC,再利用圆周角定理解决问题即可.

本题考查圆周角定理,圆心角,弧,弦之间的关系等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

12.【答案】65

【解析】解:∵∠A=1

2∠1=1

2

×130°=65°,

∴∠CDE=∠A=65°.

故答案为65.

先根据圆周角定理得到∠A=1

2

∠1=65°,然后根据圆内接四边形的性质即可得到∠CDE 的度数.

本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了圆内接四边形的性质.

13.【答案】22.5

【解析】

【分析】

连接半径OC,先根据点C为BE?的中点,得∠BOC=45°,再由同圆的半径相等和等腰

×45°,可得结论.

三角形的性质得:∠A=∠ACO=1

2

此题考查了圆心角、弧、弦的关系与等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

【解答】

解:连接OC,

∵OE⊥AB,

∴∠EOB=90°,

∵点C为BE?的中点,

∴∠BOC=45°,

∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO=1

×45°=22.5°,

2

故答案为:22.5°.

14.【答案】40

【解析】

【分析】

本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.根据等腰三角形的性质先求出∠CDA,根据

∠CDA=∠CBA,再根据直径的性质得∠ACB=90°,由此即可解决问题.

【解答】

解:如图,连接BC,

∵CA=CD,

∴∠CAD=∠CDA,

∵∠ACD=80°,

∴∠CAD+∠CDA+∠ACD=180°

∴∠CAD=∠CDA=1

(180°?∠ACD)=50°,

2

∴∠ABC=∠ADC=50°(同弧所对的圆周角相等),

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠CAB=90°?∠B=40°.

故答案为:40.

15.【答案】证明:∵BD?=CE?,

∴BD?+DE?=CE?+DE?,

即BE?=CD?,

∴∠C=∠B,

∴AB=AC.

【解析】先由BD?=CE?得到BE?=CD?,则根据圆心角、弧、弦的关系得到∠C=∠B,然后利用等腰三角形的判定即可得到AB=AC.

本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

16.【答案】证明:∵AC=BD,

∴AC?=BD?,

∴AB?=CD?,

∴AB=CD.

【解析】利用圆心角,弧,弦之间的关系解决问题即可.

本题考查圆心角,弧,弦之间的关系等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

17.【答案】解:(1)∵OD⊥AC于点E且AC=8,

AC=4,

∴AE=EC=1

2

设半径为r,则OE=r?2

在Rt△AOE中有r2=42+(r?2)2

解得:r=5

即半圆O的半径为5;

(2)∵AB为半圆O的直径,

∴∠C=90°,AB=10,

则BC=√AB2?AC2=√102?82=6

在Rt△BCE中有BE=√BC2+CE2=√62+42=2√13.

【解析】(1)根据垂径的求得AE=4,设半径为r,则OE=r?2,根据勾股定理得到关于r的方程,解方程即可求得半径;

(2)根据勾股定理求得BC,进而根据勾股定理求得BE.

此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理.注意得到∠C=90°,应用垂径定理是关键.

18.【答案】解:(1)∵AB=AC,

∴AB?=AC?,

∵BC?的度数=100°,

=130°;

∴AB?和AC?的度数=360°?100°

2

(2)证明:如图,连接OB,OC,延长AO交BC于D,

∵AB=AC,OB=OC,

∴点A和点O都在线段BC的垂直平分线上,

∴BD=CD,AD⊥BC,

∴∠BAD=∠CAD,

即AO平分∠BAC.

【解析】(1)由AB=AC,得到AB?=AC?,于是得到结论;

(2)连接OB,OC,由线段的垂直平分线的判定定理可得AD垂直平分BC,再由等腰三角形的三线合一性质可证得结论;

本题考查了三角形的外接圆与外心,、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点,熟练掌握相关性质定理及其应用,是解题的关键.

人教版九年级数学上册教案《圆周角》

《圆周角》 《圆周角》这节内容是在学生学习了圆心角、弧、弦之间关系的基础上的延续,圆周角 定理在圆的有关证明、作图、计算中应用十分广泛。本节内容既可以巩固圆心角与弧、弦之间的关系,又为后面研究圆与其它几何图形的关系提供了条件。 圆周角定理及其推论是本章的重点内容之一,圆周角定理的分情况证明是本章的教学难点。教材一开始先给出圆周角的概念,紧接着安排了一个探究活动,从介绍圆周角概念的图形出发,让学生探究同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系,然后分三种情况证明定理。通过对圆周角定理的探讨,达到培养学生严谨的思维品质的目的。同时,还可以让学生掌握从特殊到一般以及分类讨论的思维方法。 圆内接四边形的四个内角都是圆周角,利用圆周角定理可以把圆的内接四边形的四个内角和相应的圆心角联系起来,得到圆内接四边形的性质,圆内接四边形的性质在圆中探索相关角相等或互补时常常用到。 【知识与能力目标】

1、理解圆周角的概念; 2、掌握圆周角定理及其推论; 3、能运用圆周角定理及其推论进行简单计算和证明; 4、掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。 【过程与方法目标】 在探索圆周角和圆心角的关系的过程中,让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来解决问题。 【情感态度价值观目标】 在探索圆周角定理过程中,帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点,增强学好数学的信心。 【教学重点】 圆周角定理及其推论。 【教学难点】 圆周角定理证明方法的探讨。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境,引入新课 问题1 在圆中,满足什么条件的角是圆心角? 顶点在圆心的角叫做圆心角。 问题2 在同圆或等圆中,弧、弦、圆心角之间有什么关系? 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等; 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等; 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等。 问题3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈,进行无人防守的射门训练。如图,甲、乙两名运动员分别在C、D两地,他们争论不休,都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判,你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗?

最新浙教版九年级数学上册《圆周角1》教学设计(精品教案).docx

3.5圆周角 教学目标: 1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程. 2.掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题. 重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难 例4的辅助线的添法. 教学过程: 一、旧知回放: 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征:①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

二. 课前测验 1.100o的弧所对的圆心角等于_______,所对的圆周角等于_______。 2、一弦分圆周角成两部分,其中一部分是另一部分的4倍,则这弦所对的圆周角度数为________________。 3、如图,在⊙O 中,∠BAC=32o,则∠BOC=________。 4、如图,⊙O 中,∠ACB = 130o,则∠AOB=______。 5、下列命题中是真命题的是( ) (A )顶点在圆周上的角叫做圆周角。 (B )60o的圆周角所对的弧的度数是30o (C )一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 (D )120o的弧所对的圆周角是60o 三, 问题讨论 问题1、如图1,在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么? 问题2、如图2,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任一点,你能确定∠BAC 的度数吗? 问题3、如图3,圆周角∠BAC =90o,弦BC 经过圆心O 吗?为什么? A O C B A O C ● O B A C D E ● O B C A 图3

九年级数学上册 圆周角

1.定义:叫做圆周角。 练习:(1 )下列各图中,哪一个角是圆周角?( ) (2)图3中有几个圆周角?()(A)2个,(B)3个,(C)4个,(D)5个 (3)写出图4中的圆周角:________________________ 2.思考 猜想:圆周角的度数与什么有关系? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。 3.典型例题 例1、如图,点A、B、C在⊙O上,点D在圆外, CD、BD分别交⊙O于点E、F,比较∠BAC与∠BDC的大小,并说明理由。 例2:如图,OA、OB、OC都是圆O的半径,∠AOB = 2∠BOC. 求证:∠ACB = 2∠BAC. 4.巩固练习 1.如图6,已知∠ACB = 20o,则∠AOB = _____,∠OAB =. 2.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E,∠BAC=40°,∠AED=75°,求∠ABD的度数. 3.如图,AB是⊙O的直径,∠BOC=120°,CD⊥AB,则∠ABD=___________。 4.如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,∠BAC的平分线交BC于点D,交⊙O于点E,则与△ABD相似的三角形有______________________。 第1题第2题第3题第4题第5题图 5.如图,点A、B、C、D在⊙O上,∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状,并说明理由. A B C D F O D A B C E 图3图4 B A C D B C A

F E O D C B A A B E C D O E O D C B A 1.直径所对的圆周角是 角,900的圆周角所对的弦是 。 2.典型例题 例1.AB 是☉O 直径,弦CD 与AB 相交于点E ,∠ACD=600,∠ADC=500,求∠CEB 的度数. 例2.如图AB 是⊙O 的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,∠ACD=60°,∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 例3.在ΔABC 的3个顶点都在☉O 上,AD 是ΔABC 的高,AE 是☉O 的直径,求证:ΔABE ∽ΔACD 。 巩固练习 1.如左图,△ABC 的顶点都在⊙O 上,AD 是△ABC 的高,AE 是⊙O 的直径. △ABF 与△ACB 相似吗? 2. 如图, A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上,AD 是△ABC 的高,∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗? 为什么? 3.如图,AB 、CD 是⊙O 的直径,弦CE ∥AB. 弧BD 与弧BE 相等吗?为什么? 第6题 第7题 4.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的弦,以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E ,AC=10,求AE 的长. 5.如图,点A 、B 、C 、D 在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD 的长. 6.如图,△ABC 的3个顶点都在⊙O 上,直径AD=4,∠ABC=∠DAC ,求AC 的长。 7.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB=6, ∠DCB=30°,求弦BD 的长。 E O D C A 第3题 C D A B 第5题 A B C D O E 第4题

人教版九年级数学上册教案-24.1.4 圆周角2带教学反思

24.1.4 圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1.圆周角的概念. 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弦所对的圆心角的一半. 推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用. 教学目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题. 重难点、关键 1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题. 2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理. 3.关键:探究圆周角的定理的存在. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角. (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,?那么它们

A https://www.wendangku.net/doc/3a8421745.html, 所对的其余各组量都分别相等. 刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题. 二、探索新知 问题:如图所示的⊙O ,我们在射门游戏中,设E 、F 是球门,?设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门,如图所示的A 、B 、C 点.通过观察,我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角,它们的顶点在圆上,?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言. 老师点评: 1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个. 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的. 3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半. 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.” (1)设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径,如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2 ∠AOC (2)如图,圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧,那么∠ABC=1 2 ∠AOC 吗?请同学们独立完成这道题的说明过程. C

人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角精品教案

课 题24.1.4圆周角课时1课时上课时间 教学目标1.知识与技能 (1)了解圆周角的概念. (2)掌握圆周角的定理及其推论. (3)知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义. (4)知道圆内接四边形的对角互补,会简单运用这个结论. 2.过程与方法 在探索过程中,体会观察、猜想的思维方法,在定理的证明过程中,体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法. 3.情感、态度与价值观 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性. 教 学重难点重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导、圆内接四边形的对角互补及运用它们解题. 难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理. 教学活动设计 二次设 计 课堂导入在如图中,当球员在B,D,E处射门时.他所处的位置对球门,AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? 探索新知合作探究 活动1:认识圆周角 1.观察∠ABC、∠ADC、∠AEC,这样的角有什么特点? 2.给出定义,顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交,两者缺一不可) 3.辨一辨,图中的∠CDE是圆周角吗?引导学生识别,加深对圆周角的了解. 4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么? 活动2:探究圆周角的性质 如图,所对的圆周角有哪几个?观察并测量这几个角,你有什么发现? 大胆说出你的猜想.所对的圆心角是哪个角?观察并测量这个角,比较

同弧所对的圆周角你有什么发现呢?大胆说出你的猜想. 由学生总结发现规律:同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半,教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,验证学生的发现. 活动3:证明圆周角定理及推论 1.问题:在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况? 续表 探索新知合作探究2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角,将他们画的图归纳起来,共有三种情况: ①圆心在圆周角的一边上;②圆心在圆周角的内部;③圆心在圆周角的外部.如图. 3.问题:在第一种情况中,如何证明上面探究中所发现的结论呢?另外两种情况如何证明呢? 4.怎样证明我们的第一个猜想:同弧所对的圆周角相等?(利用同弧所对的圆心角相等) 5.以上结论同圆改成等圆,同弧改成等弧结论还成立吗?为什么? 6.总结出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”,结论还成立吗? 8.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么? 总结:同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.(要通过圆心角来转换) 当堂训练1.如图,已知CD是☉O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA,若∠D的度数是50°,则∠C的度数是( ) (A)25°(B)30°(C)40°(D)50° 2.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°,那么∠BCD是( ) (A)120°(B)100°(C)80°(D)60° 3.如图,AB为☉O的直径,CF⊥AB于E,交☉O于D,AF交☉O于G.求证:∠FGD=∠ADC. 第1题图第2题图第3题图

人教版九年级数学上册《圆周角》教案

《圆周角》教案 教学目标 理解圆周角概念,理解圆周用与圆心角的异同; 掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征; 能灵活运用圆周角的性质解决问题; 发现和证明圆周角定理; 会用圆周角定理及推论解决问题. 教学重点 圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 教学难点 发现并证明圆周角定理. 教学过程 一.创设情景 如图是一个圆柱形的海洋馆,在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒AB 观看窗内的海洋动物.大家请看海洋馆的横截面的示意图,想想看:同学甲站在圆心O 的位置,同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C ,他们的视角(∠AOB 和∠ACB )有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E ,他们的视角(∠ADB 和∠AEB )和同学乙的视角相同吗? 二、认识圆周角. 1.观察∠ACB 、∠ADB 、∠AEB ,这样的角有什么特点? 2.给出定义,顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点:1.角的顶点在圆上;2.角的两边都与圆相交,二者缺一不可.) 3.辩一辩,图中的∠CDE 是圆周角吗?引导学生识别,加深对圆周角的了解 . 4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么?

三、探究圆周角的性质. 1.在下图中,同弧AB所对的圆周角有哪几个?观察并测量这几个角,你有什么发现?大胆说出你的猜想. 同弧AB所对的圆心角是哪个角?观察并测量这个角,比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢?大胆说出你的猜出想. 2.由学生总结发现规律:同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半,教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,验证学生的发现. 四、证明圆周角定理及推论. 1.问题:在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况? 2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角,将他们画的图归纳起来,共有三种情况: ①圆心在圆周角的一边上;②圆心在圆周角的内部;③圆心在圆周角的外部.如下图 3.问题:在第一种情况中,如何证明上面探究中所发现的结论呢?另外两种情况如何证明呢? 4.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想:圆弧所对的圆周角相等?(利用圆弧所对的圆心角相等) 5.以上结论同圆改成等圆,同弧改成等弧结论还成立吗?为什么? 6.总结出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”,结论还成立吗? 8.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么? 总结推论1:同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.(也是圆周角定理的逆定理,要通过圆心角来转换) 9.如图所示图中,∠AOB=180°则∠C等于多少度呢?从中你发现了什么?(推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.可用圆周角定理说明.)

人教版九年级数学上册圆周角教案

24.1.4 圆周角 教学任务分析 教学流程安排 活动1 回顾旧知,引入新课 活动 2 探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系,同弧所对的圆周角之间的关系通过实例观察、发现圆周角的特点,利用度量工具,探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系,同弧所对的圆周角之间的关系.探索圆心与圆周角的位置关系,利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理.

教学过程设计 活动2的设计是为 引导学生发现规律.让 学生亲自动手,利用量 角器进行实验、探究, 得出结论.激发学生的 求知欲望,调动学生学 习的积极性.教师利用 几何画板从动态的角 度进行演示,目的是用 运动变化的观点来研 究问题,从运动变化的 过程中寻找不变的关 系.

心角∠AOB与圆周角∠AEB 的大小关系是怎样的? 在圆上任取一个圆周角, 教师引导学生,采取小组合作的学习方式,前后四人一组,分组讨论. 教师关注:学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系. 教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论. 1.学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证,并准确地画出图形;2.学生能否通过添加辅助线,将问题进行转化.

角定理推论) 问题2 90°的圆周角所对的弦是什么? 问题3 在半径不等的圆中,相等的两个圆周角所对的弧相等吗? 问题4 在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么? 【活动5】 问题1 在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角一定相等 学生是否能由半圆(或直径)所对的圆心角的度数得出圆周角的度数. 学生是否能由90°的圆周 角推出同弧所对的圆心角度数是180°,从而得出所对的弦是直径. 教师提醒学生:在使用圆周角定理时一定要注意 学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等,再由圆心角相等得到它们所对的弧相等. 问题1提出后,教师关注: A O B C 1 C 2 C 3

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