2015年高考试题数学理(新课标1卷) 解析版

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试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）

数学理

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z满足1+z

1z

-

=i，则|z|=

（A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A

考点：1.复数的运算；2.复数的模.

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A）

3

2

-（B）

3

2

（C）

1

2

-（D）

1

2

【答案】D 【解析】

试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1

2

，故选D.

考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

（3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为

（A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n

（C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n

【答案】C 【解析】

试题分析：p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C.

考点：特称命题的否定

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A ）0.648

（B ）0.432

（C ）0.36

（D ）0.312

【答案】A 【解析】

试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2

2330.60.40.6C ?+=0.648，故选A.

考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式

（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212

x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ?2

MF ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（-

33，3

3

） （B ）（-

36，3

6

） （C ）（223-

，22

3

） （D ）（233-，233）

【答案】A

考点：向量数量积；双曲线的标准方程

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内

角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

【答案】B

考点：圆锥的体积公式

（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）

（A ）1433AD AB AC =-+ (B)14

33

AD AB AC =-

（C ）4133AD AB AC =+ (D)41

33

AD AB AC =- 【答案】A 【解析】

试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==14

33

AB AC -+，故选A.

考点：平面向量运算

(8) 函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)（

）,k

(b)（

）,k

(C)（）,k (D)（）,k

【答案】D 【解析】

试题分析：由五点作图知，1

+42

53+42

πω?π

ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，令

22,4

k x k k Z π

ππππ<+

<+∈，解得124k -

＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（1

24

k -，324k +），

k Z ∈，故选D.

考点：三角函数图像与性质

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

【答案】C 【解析】

试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,2

m

m ==0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，

执行第2次，S=S-m=0.25,2m

m ==0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

执行第3次，S=S-m=0.125,2m

m ==0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，

执行第4次，S=S-m=0.0625,2m

m ==0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，

执行第5次，S=S-m=0.03125,2m

m ==0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

执行第6次，S=S-m=0.015625,2m

m ==0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

执行第7次，S=S-m=0.0078125,2

m

m ==0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.

考点：程序框图

（10）2

5

()x x y ++的展开式中，5

2

x y 的系数为 （A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）60

【答案】C 【解析】

试题分析：在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故

52x y 的系数为212

532C C C =30，故选 C.

考点：排列组合；二项式定理

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=

（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8

【答案】B

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式

12. 设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） A.[-，1） B. [-，） C. [

，） D. [

，1）

【答案】D 【解析】

试题分析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线

y ax a =-的下方.

因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当1

2

x =-时，

max [()]g x =12

-2e -

，

当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得

3

2e

≤a ＜1，故选D.

考点：导数的综合应用

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f (x )=x ln （x +2a x +）为偶函数，则a = 【答案】1

考点：函数的奇偶性

（14）一个圆经过椭圆22

1164x y +

=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。 【答案】22325

()24

x y ±+=

【解析】

试题分析：设圆心为（a ，0），则半径为4||a -，则222(4||)||2a a -=+，解得3

2

a =±，故圆的

方程为22325

()24

x y ±+=.学优高考网[来源:学优高考网]

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

（15）若x ,y 满足约束条件10

040

x x y x y -≥??

-≤??+-≤?

，则y x 的最大值为 .

【答案】3 【解析】

试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y

x 是可行域内一点与原点连线

的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故y

x

的最大值为

3.

考点：线性规划解法

（16）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 【答案】（62-，6+2） 【解析】

试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

sin sin BC BE

E C

=∠∠，即

o o

2sin 30sin 75BE

=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交

于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC

FCB BFC

=∠∠，

即o o

2

sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式： （Ⅱ）设

,求数列}的前n 项和

【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11

646n -+

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差

数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和. 学优高考网

试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，

当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因

为0n a >，所以1n n a a --=2，

所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =

1111

()(21)(23)22123

n n n n =-++++，

所以数列{n b }前n 项和为12n b b b ++

+=1111111[()()(

)]23557

2123n n -+-+

+-++ =11

646

n -+. 考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。[来源:学优高考网]

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

[来源:学优高考网]

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3 3

∴222EG FG EF +=，∴EG⊥FG， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG ?面AEC ，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，－3，0），E(1,0, 2)，F （－1,0，

22

），C （0，3，0），∴AE =（1，3，2），CF =（-1，-3，

2

2

）.…10分 故3

cos ,3||||

AE CF AE CF AE CF ?<>=

=-. 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为

3

3

. ……12分 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：

t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x y w

2

1

()

n

i

i x x =-∑

2

1

()

n

i

i w w =-∑

1()()n i

i

i x x y y =--∑ 1

()()n

i i

i w w y y =--∑

46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

表中w 1 =x 1, ，w =

18

1

n

i

i w

=∑

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？

（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i ） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）

年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

=

()

n

i

i

i n

i

i u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-

【答案】（Ⅰ）y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）

100.668y x =+（Ⅲ）46.24

∴y 关于x 的回归方程为100.668y x =+.……6分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2

4

x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，

（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。 【答案】（Ⅰ）0ax y a --=或0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出M ,N 的坐标，再利用导数求出M ,N .（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M ,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .

∵12y x '=，故24

x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为

(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.

故2

4

x y =在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为

(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.

故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=

+

=121212

2()()kx x a b x x x x +-+=()

k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. ……12分

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

（21）（本小题满分12分）

已知函数f （x ）=3

1

,()ln 4

x ax g x x ++

=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{

()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零

点的个数

【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当53

44

a -<<-时，()h x 有三个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3

00

20

104

30x ax x a ?++=???+=?，

解得013,24x a =

=. 因此，当3

4

a =时，x 轴是曲线()y f x =的切线. ……5分

（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.

当x =1时，若54a ≥-

，则5(1)04

f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f

g g ===,故x =1是()

h x 的零点；若54a <-，则5

(1)04

f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f

g f ==<,故x =1不是()

h x 的零点.

当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.

(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1

(0)4

f =

，5

(1)4

f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.

(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0，3a -

）单调递减，在（3

a

-，1）单调递增，故当x =3a -时，

()f x 取的最小值，最小值为()3

a f -=21334a

a -+.学优高考网 ①

若()3

a

f -

＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.

②

若()3

a

f -

=0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；

③

若()3

a

f -

＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当5

34

a -<≤-

时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或5

4

a =-时，()h x 有两个零点；当

53

44

a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E

（I）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；

（Ⅱ）若3

，求∠ACB的大小.

OA CE

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°

考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22

121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求

2C MN 的面积

【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12

【解析】

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4

π

θ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.

试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，

∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分

（Ⅱ）将=4

πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，

|MN|=1ρ－2ρ=2，

因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积

o 121sin 452???=12

. 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

=|x +1|-2|x-a |，a >0.

（Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；

（Ⅱ）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）2

{|2}3

x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.学优高考网

[来源:学优高考网gkstk]

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法[来源学优高考网gkstk]