和差公式二倍角公式及半角公式
三 角 函 数
1．两角和与差的三角函数
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
m 。
2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；
2
2tan tan 21tan α
αα
=
-。 3.半角公式：
22cos 1sin 2αα-=
,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2
cos 2cos 12α
α=+
sin
2
α
=cos 2α=
sin 1cos tan
2
1cos sin α
αα
αα
-===+
4．辅助角公式
()sin cos sin a x b x x ?+=+，
sin cos ??=
=
其中
5.积化和差公式：
()()[]βαβαβ-++=
sin sin 21
cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a ()()[]βαβαβ-++=
cos cos 21
cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 2
1sin sin a 6. 和差化积公式：
sin sin 2sin
cos
2
2
αβ
αβ
αβ+-+=, sin sin 2cos
sin
2
2
αβ
αβ
αβ+--=
cos cos 2cos
cos
2
2
αβ
αβ
αβ+-+=, cos cos 2sin
sin
2
2
αβ
αβ
αβ+--=-
例题：
例1． 已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4
π
α+)的值.
例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值.
例2． 已知0cos cos 1
sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。
例3． 若的值
求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217
534cos 2-+<<=??? ??+πππ。
例5．已知正实数a,b 满足
的值，求a b b a b a 158tan 5
sin
5cos 5cos
5
sin
ππππ
π
=-+。
例6． 若sinA=55,sinB=10
10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.
例7．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C
A +-cos2B=2
7,求角B 的度数.
例8． 求值：1
40cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-?+??+?
例9．)12
sin
12(cos ππ-(cos
12
π＋sin
12
π)的值。
例10．已知sin 2 2α＋sin 2α cos α－cos2α＝1，α∈(0，2
π
)，求sin α、tan α的值．
练习：
1．若(0,)απ∈，且1cos sin 3
αα+=-，则cos2α=( )
A ．
917 B
． C
． D ．317
2．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ）
A.
23 B.22 C.2
1 D.1 3.
=?+α
αααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D. 2
1 4.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A.
x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-
5. 求=11
5cos 114cos 113cos 112cos
11cos
πππππ
（ ）
A. 521
B. 42
1 C. 1 D. 0
6．已知(,0)2x π∈-，4
cos 5
x =，则=x 2tan （ ）
A ．
247 B ．247- C ．7
24 D ．724-
7
．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。
8
．已知sin
cos
2
2
θ
θ
+=
那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。
9．已知的值及求)cos()cos(3
1
sin sin ,21cos cos y x y x ，y x y x +-=+=
+(13分)
10．已知,13
5)4sin(,40=-<
求) 4 cos(2cos x x +π 的值。 评xxx老师上《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一课 X X 中学x x x 2012年4月12日（星期四），我们备课组有幸听了xxx老师上的课——《二倍角公式》，我们深深地体会到新课程不仅要求教师的观念要更新，而且要求教师的角色要转变，同时新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色，必然也要求教师的教学行为产生相应的变化。xxx老师这节课的教学设计既符合数学的学科特点,也符合学生的心理和思维的发展特点，设计主题鲜明，思路清晰，课堂节奏把握较好，各环节紧扣，层层推进，在教法上，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。具体我认为有以下特点： 1、新课改的核心理念是：以学生发展为本。xxx老师这节课以复习引入——提出问题——探索尝试——启发引导——解决问题——练习巩固.的设计流程，去体现“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式。让学生在由和角公式探究出倍角公式的过程中感受一般化归为特殊的基本 数学思想方法，学生的印象是极其深刻的。 2、本节课的重要内容是二倍角公式的应用，故xxx老师设计了该公式的正用、逆用及变形应用，从而让学生在直接正用公式的基础上去发现数学规律，逐步掌握灵活运用的方法，这种引导是否成功是教学的关键所在，经当堂检测效果是非常好的。 3、教学过程中学是中心、会学是目的，本节课通过“探索特殊情形、发现数学规律、主动学习应用”的创新式学习方法，增强了学生的参与意识，使学生真正成为学习的主人，真正体会学习数学的成就感。 4、由于二倍角公式是和角公式的特殊形式，同时，二倍角公式又可以和后面的半角公式联系起来，所以二倍角公式的地位是显而易见的。其次，二倍角公式的应用也比较广泛，在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及到。最后，二倍角公式的证明本身就是一种化归的数学思想。但是公式的推导本身相当简单，难点在于公式的应用。它对于学生的思维及能力是一个相当大的挑战。毕竟，公式本身就是符号的集合，抽象是其主要特征。当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。因此，xxx老师的练习设计从简到繁，由易到难，层层推进，全方位、多层次，既遵循了学生的认知规律，又尊重和关注了全体学生，使全班学生都能全面发展。 5、xxx老师在整个课堂教学过程中，始终将教师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来，非常圆满完成了本节内容的教学任务。并且，十分注重讲练结合，提示和点评都能够结合学生的实际情况进行。另外从学生的角度来说，通过二倍角公式的学习和应用，使 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式》说课稿 教材分析： 1.教材的地位和作用： 这是一节高三复习课，教材是高中数学新课程人教A 版（必修4），教辅是《世纪金榜》。这一节的公式在三角函数里的比重很大，是进行三角恒等变换的重要公式，它们与诱导公式，同角三角函数公式一起组成了三角函数的主要公式。 2.教学重点与难点： （1） 重点：两角和与差、二倍角公式的正用、逆用和变用 （2） 难点：“辅助角公式”，即形如)sin(cos .sin .22βααα++=+b a b a 的化简; “角的变换”，即用“已知角”表示“所求角”,要注意角的变换技巧和 角的范围；当角的关系比较复杂时不仅要用“和、差、 倍”公式，还要先用到诱导公式。 学情分析： 这些学生大部分基础不够好，学习态度也不够积极，自主学习的意识和能力较弱，知识遗忘率高，只有小部分学生基础较好，但是动手解题能力也很弱。 教学目标： （1） 知识与技能目标： 熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的正用、逆用 和变形使用，会用公式进行三角函数式的化简与求值。 （2） 过程与方法目标： 通过提问、引导，调动学生的思维；通过归纳，明确解题方法。 （3） 情感、态度与价值观目标： 通过公式之间角与角的关系，认识到事物是普遍联系的； 教学方法： 基于学情分析，应从细节入手，主要采用引导，提示，归纳，讲练结合的方法。 学法指导：从公式特征和题目特征选取适当的公式；有时要切化弦；注意观察所求角与已知角的关系。 教学过程： 一.复习引入：通过提问)cos(βα-公式,开门见山的引入到公式的复习当中. 二.复习公式： 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式及变形公式 和 “辅助角公式” 用小黑板展示所有公式，讲解公式时要体现公式之间的联系，比如，二倍角倍受公式可以在两角和的公式中令αβ=而得到. 一边讲解公式的特征，帮助记忆，一边通过6道简单示例帮助理解。 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 βαβαβαβαsin sin cos cos )cos(:)( =±±C 《二倍角的正弦、余弦、正切》说课稿 张彩霞 各位老师， 大家上午好！今天我说课的题目是全日制普通高级中学 教科书（必修）数学第一册（下）第四章三角函数第七节《二倍角的正 弦、余弦、正切 》的第一课时。我将从以下几个方面来说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习 了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，是三角 函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。 2、教学目标： （1）知识目标：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能够熟 练地正用，逆用以及变形。 （2）能力目标：通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的引入、理解， 以及研究二倍角的正切公式的存在条件和师生之间的互相活动来提高 学生化归、分析、概括、猜想等数学能力。 （3）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交 流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。培养学生勇于 探索、勇于创新的精神。 3．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 以及二倍角的余 弦公式的两种变形及应用。 4．教学难点：是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、 诱导公式、和（差）角公式的综合运用。 二、说教学方法 根据本节课的教学内容 ,教学任务以及所面临的教学对象 .我所采用的 教学方法如下; 1.从一般到特殊的化归思想方法. 2.练习巩固法 3.分析法 三、说学法 1．由一般到特殊，再由特殊到一般的化归方法 2．观察分析法 3．练习巩固法 四、说教学设计： 一堂课成败的关键，主要是看教学设计的条理性与清晰性和逻辑性，我 将从以下几个环节来进行设计。 二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案 课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。 二、教学重点、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--． 《二倍角的正弦、余弦、正切》说课稿 张彩霞各位老师，大家上午好！今天我说课的题目是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）第四章三角函数第七节《二倍角的正弦、余弦、正切》的第一课时。我将从以下几个方面来说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，是三角函数的重要公式，应用这组公式也是本章的重点内容。 2、教学目标： （1）知识目标：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能够熟练地正用，逆用以及变形。 （2）能力目标：通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的引入、理解，以及研究二倍角的正切公式的存在条件和师生之间的互相活动来提高学生化归、分析、概括、猜想等数学能力。 （3）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 3．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导以及二倍角的余弦公式的两种变形及应用。 4．教学难点：是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和（差）角公式的综合运用。 二、说教学方法 根据本节课的教学内容,教学任务以及所面临的教学对象.我所采用的教学方法如下; 1.从一般到特殊的化归思想方法. 2.练习巩固法 3.分析法 三、说学法 1．由一般到特殊，再由特殊到一般的化归方法 2．观察分析法 3．练习巩固法 四、说教学设计： 一堂课成败的关键，主要是看教学设计的条理性与清晰性和逻辑性，我将从以下几个环节来进行设计。 创设情境，激发兴趣。俗语说：兴趣是最好的老师，在复习上节课的和角公式后，通过具体的求二倍角的三角函数值，引导学生二倍角公式的推导，同时也说明了学习二倍角公式的必要性。 2．引出课题：这就是本节课要学的二倍角的正弦、余弦、正切公式3．给出二倍角公式及两个推论。再回到之前的问题，说明何时用那种形式的二倍角公式。 4．记忆，默写 5.二倍角的理解。如α角可以看成半角α的二倍，4α角可以看成2α角的二倍。 6．规范书写 先说学生存在的问题，再教师板演。 7.学生独立完成自主检测 8.教师引导学生完成能力检测 9.课堂小结 10．布置课外作业：P138：第14--19题 五．说板书设计 《倍角公式和半角公式》教案1 一、教学目标 1.知识目标 掌握公式的推导，明确的取值范围。 能运用二倍角公式求三角函数值。 2.能力目标 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 3.情感目标 通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。 二、教学重点、难点 重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形。 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。 三、教学方法 本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。 四、课时 1课时 五、教学过程 教学环 节 教学内容师生互动设计意图复 习引入复习两角和与 差的三角函数 公式 先让学生回忆两角和与 差的正弦、余弦、正切 公式的来龙去脉，并请 一个同学把这六个公式 写在黑板上 学生板演 教师点评这些公式：一 方面要从公式的推导上 去理解它，另一方面要 从公式的结构特点上去 记忆，还要注意公式的 正、用、逆用和变用。 今天，我们继续学习二 倍角的正弦、余弦和正 切公式 温旧知新，让 学生明确学习 的内容 公 式的推导探索研究 二倍角的 正弦、余弦 和正切公式 请学生想一想，在公式 中对 如何合理赋值，才 能出现 sin2,cos2,tan2 的表达式，并请同学把 对应的等式写在黑板上 1. 引导学生运用已 学过的两角和的三角 函数公式推得二倍角 公式，使学生理解二 倍角公式就是两角和 的三角函数公式的特 例，这样有助于公式 的记忆 3.1.2两角和与差的正弦、正切公式说课稿 授课教师：肇庆高新区大旺中学 XXX 教材：人教A版必修4第三章 教材分析： 本节是人教A版必修4第三章第一节的第3.1.2节，是继两角和与差的余弦公式之后的另外四个三角恒等变换公式的学习，又是即将要学习的二倍角公式的基础，是三角恒等变换的基石，起着重要的承前启后的作用。 在高考中，由于三角函数所占分值比重较重，而且三角恒等变换为常考题型，因此作为三角恒等变换的基础，两角和与差的正弦、正切公式又显得尤为重要。 3.1节（两角和与差的正弦、余弦、正切公式）共分4课时，两角和与差的余弦、正切公式为第2课时。 教学目标： 1、知识目标： ①、通过利用两角和与差的余弦公式对正弦、正切公式的探究，加强对和差角公式的认识。 ②、熟悉推导两角和与差的余弦、正切公式的过程，体会三角变换的规律与技巧及代换法的作用。 ③、学会公式的简单应用：正用与逆用。 2、能力目标： ①、通过对两角和与差的正弦、正切公式的探究和推导，提高学生的逻辑推理能力。 ②、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想和变换能力。 ③、培养学生思维的有序性和表述的条理性。 3、德育目标： ①、公式的推导过程，体现了知识间的内在联系。 ②、培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题。 ③、通过教师启发引导，培养学生勇于探索的求知精神和解决问题的优化意识。 4、美育目标： 通过对公式的观察与对比，发现两角和与差的正弦、余弦、正切值与单角的三角函数值之间的和谐、轮换结构，让学生感受数学公式的匀称美感。 教学重、难点： 教学重点： ①两角和与差的正弦、正切公式的推导过程与公式的运用。 ②培养学生用已有知识构建新知的能力，并且能掌握新知及应用新知的能力。 教学难点： 公式的探索，包括过程的组织和引导。 教法学法： 1、教师进行启发引导式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用，对学生探究的结果、及公式应用的成果展示做合理的评价。 2、学生采取自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。 教学手段： 教师利用多媒体平台，展示教学内容与教学过程，学生用小黑板展示小组的探究成果。教学流程： 温故知新，创设情境明确探索目标及途径组织学生自主探索通 过例题、练习加强对公式的理解课堂小结作业布置 教学过程： 二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S(α+β)C(α+β)T(α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容：sin（α+β）= cos（α+β）= tan（α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学 习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课 本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin（α+α）= sinαcosα+cosαsinα= 2sinαcosα cos2α=cos（α+α）= cosαcosα－sinαsinα= cos2α－sin2α tan2α= tan（α+α）= αα －αα =α －α 整理得: sin2α=2sinαcosα cos2α= cos2α-sin2α tan2α= α －α （2）提问：对于cos2α= cos2α－ sin2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin2α+ cos2α=1变形可得： cos2α= cos2α－sin2α=cos2α－（1－cos2α）=2cos2α－1 cos2α= cos2α－sin2α=（1－sin2α）－sin2α=1－2sin2α因此：cos2α = cos2α－sin2α =2cos2α－1 =1－2sin2α “二倍角的正弦、余弦、正切” 设计理念根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 教学目标根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。 教材分析对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的 三 角 函 数 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3.半角公式： 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ sin 2α =cos 2α= sin 1cos tan 21cos sin α αααα-===+ 4．辅助角公式 | ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 5.积化和差公式： ()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2 1sin cos a ()()[]βαβαβ-++= cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβ αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题： 例1． 已知α∈( 2π,π)，sin α=53,则tan(4 πα+)的值. ， 例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值. 例2． 已知0cos cos 1 sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。 ￥ 例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。 ' 例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin ππππ π=-+。 首先，感谢老师为我们精心准备的精彩课堂，让我们听课的每一位老师受益匪浅！下面谈谈我学习这节课后的感受： 一、首先这是一节“有知识”的课，这其实是最基本的要求。知识不是讲的越多就越好，要讲的精准、精炼、精彩。少则得，多则惑。怎样把握好这个度，取决于你对规律的把握和对学生的了解，知道学生的困惑在哪。听完黄丹老师《倍的认识》这节课可以看出课前她有认真钻研教材，能认真领会教材编排意图，运用好教材确定重难点。《倍的认识》选自于数学教材三上第五单元。原来这一内容是二年级的，但因为二年级只认识了乘法，所以只能从乘法的角度去理解倍的含义。这样就知识本身来是不够完整的。因此，2011版的数学教材将其安排在了三年级上册，这时学生已经认识了乘法，也认识了除法，教学时可以从两方面来理解与应用，学生可以学得更好，理解得更透彻。“倍的认识”是这一单元的起始课，目的在于认识倍，知道倍的含义，“倍”在小学数学里是一个重要概念，本节课是学生第一次接触“整数倍”的概念。也是学生后续学习小数倍、分数（表示率）、百分数、比的内容的基础，也可以看成是对“整数倍”的拓展。但是，对于低年级学生来说，倍的含义比较难理解。与学生在一年级就已掌握的“比大小”相比，倍虽然也反映两个数量之间的比较关系，但它反映的是两个数之间的比率关系，因而较之“比大小”更抽象一些。这一概念知识的生长点是乘法的意义，有关倍数的三类应用题（求一个数是另一个数的几倍，求一个数的几倍是多少；已知一个数的几倍是多少，求这个数），分数、百分数的应用题，这些都与“倍”的概念有很密切的联系，所以“倍”的概念建立至关重要。是三年级数学教学重点、难点之一，它的概念也是比较抽象的。 为了更好建立倍的概念，黄老师没有给“倍”直接下定义，而是通过大量的感性材料和通过学生的观察思考，动手操作、比较，从而得出两数之间的数量关系，体验、明白“把什么当作标准量（1份），有几个这样的1份，就是这样的几倍”，从而逐步建构“倍”这一概念，整节课黄老师非常重视学生对“倍”的意义理解，多角度、循序渐进建立倍的概念，精心组织学生的学习活动。在让学生分清三种萝卜及名称后，通过组织学生认真看、动手摆、积极说，使学生的脑海里产生初步的表象，再引导学生通过小组的合作探究，找出知识的共同特征，从而初步形成了倍的概念。整节课对知识的传授非常流畅，重点突出、难点突破。 二、这是一节“有方法”的课 知识的重要性大家都知道，如何让学生愉快的学知识，这就得有方法，黄老师的这节课设计巧妙，很有方法，课前游戏环节轻松愉悦，巧妙渗透本课关键“标准量”,探究新知 二倍角的正弦、余弦、正切公式 【学习目标】: 1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、发现数学规律，激发学习兴趣，提高综合分析、应用数学的能力。 【学习重点与难点】: 重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导。 难点：二倍角公式的综合应用。 一、复习两角和的三角公式 二、二倍角公式的推导 利用公式 cos2α可变形为：1. ； 注： 2. 。 1.“二倍角” 是一种相对的数量关系。 如：２α是α的二倍角；α是 的二倍角。 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角 公式。 练习1: 练习2： 判断： 三、例题教学(公式正用) 思维小结： 公式正用技巧： 从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。 ()=+βαcos ()=+βαsin ()=+βαtan ？？，： ， ，：有什么发现你得到什么启示即到特殊的两个角相等由一般的问题αββα=+()？=+ααsin ()？=+ααcos ()？=+ααtan 1cos sin 22=+αα 2αcos__sin__24sin )1(=α__sin __cos 2 cos )2(22-=α_________(3)cos 213α=-22tan__(5)tan 31tan __α=-23cos 23sin 3sin )1(ααα=1sin 22cos )2(2-=αα232tan 3(3)tan 21tan 3ααα=-α的值.cos2α、tan2 .求α,135已知sinα例1.),2(ππ∈=sin2α、 (1) 本题求出cos α的值是关键,要注意象限定号； （2）在求tan2α时，直接用切化弦 也可先求出tan α＝sin αcos α，再求tan2α＝2tan α1－tan 2α 的值. 《二倍角的正弦、余弦、正切》说课稿 各位老师好： 今天我说课的课题是中职数学第二册第五章第8节第一课时的二倍角的正弦、余弦、正切，现我就从教材、教法、学法、教学过程、板书五个方面进行说明，请大家批评指正。 一、说教材： 1、本节课主要内容是二倍角公式的推导及应用，主要是运用这节知识进行三角的求值、化简，同时能理解由特殊到一般的化归数学思想方法。 2、地位作用： 这是三角函数这一章中的第8节第一课时的内容，它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切之后的又一重要公式，它为今后研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素，因此它起着承上启下的作用，同时，也是培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法。 3、教学目标： （1）知识目标：使学生能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简，同时使学生懂得这一公式在运用当中所起到的用途。 （2）能力目标：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊到化归的数学思想及问题转化的数学思想。 （3）德育目标：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。 4、重点与难点: 重点：记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简。 难点：在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式。 二、说教学方法： 教学方法是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我主要采用以下的教学方法： （1）引导发现法。这能充分调动学生的主动性和积极性。 （2）“从一般到特殊”的化归方法。这有利于学生对知识进行主动建构，也有利于发挥学生的创造性和发现数学规律。 （3）练习巩固法。这样更能突出重点、解决难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步提高。 （4）分析法。研究较难的问题，可以从结论出发分析化简，然后轩化到研究简单问题上来。 三、说学法指导： 教给学生方法比教给学生知识更重要。本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我主要从以下几个方面进行学法指导： 二倍角的正弦、余弦、正切公式说课稿 教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时 一、教材分析 (一)本节教材的地位和作用： 教材的地位主要体现在以下几点： 1、本节内容是三角函数中最基础的知识之一。它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。 2、本节在本章中处于承上启下的地位。 3、三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。 本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。 (二)、教学内容 本节课是在学生初步掌握了同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式及两角和与差的公式等内容的基础上而安排的，主要内容是二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用。 （三）、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特 征，我制定了如下教学目标： 1 1.知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。 2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。 3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。（四）、教学重点、难点 重点：理解并掌握二倍角公式；灵活运用二倍角公式解决有关问题。难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。 二、教法分析 在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学，逐步设疑、诱导、解疑，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。充分体现学生学习的主体地位。 教学手段：本节课使用了多媒体辅助教学，不仅可集中学生的注意力而且便于教学过程的调控与信息的及时反馈，提高了课堂的教学效率。 三、学法指导 学生的学是中心，会学、学活是目的，因而在教学中要特别重视学法 倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 倍角公式和半角公式一 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与， 与等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：． （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：． 2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在 于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴ ∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： （1）；（2）； （3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°； 解析：（1）=； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）cos20°cos40°cos80° = 注意：关注（5）的结构特点． 《倍的认识》评课稿 本节课是学生接触“倍”的概念的第一节课，目的是要求学生初步建立倍的概念，理解倍的概念，初步建立“求一个数的几倍是多少”的计算思路。吴老师在本课的设计以及执教上，有以下几个特点： 一、创设情境，激发学生学习兴趣。 在课的开始，根据学生的年龄特点，提供了多种素材让孩子圈一圈、说一说、从而引出课题“倍的认识”。这样既激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性又分散了本课的难点。再通过学生活动，摆圆片既让学生主动去设定一份数，还思考怎么摆能令人一目了然看出倍数关系，这就让学生时刻不忘一份数这个标准量，对倍概念的建立强化巩固了，也使新知识（倍）和旧知识（几个几）的联系更加地紧密，使学生的学习状态自然地从旧知识的巩固转移到新知识的学习中去。 二、引导学生主动探索，给予学生创新的时间和空间 教师转变观念，转换角色，把自己置于学生学习活动的组织者、引导者和合作者的地位，调动学生已有的经验去积极地思考，让他们通过自己的观察和比较去主动探索，尽量给学生多一点思考的时间，多一点自主活动的空间，多一点表现自己的机会，多一点探索成功的喜悦。在练习的设计中，教师请学生摆3倍关系，当学生汇报摆的结果时，引导学生说明为什么这样摆。通过学生动手操作，动口表述，使学生对“倍”的概念以及“一个数的几倍”有了深入的理解。 三、注重学生学习的主体地位。 学生是学习的主人，整个数学活动吴老师以学生为主体，教师只是引导者、合作者。本节课的教学，很好地体现了学生的主体地位，学生在学习的过程中，既能独立自主地学习数学知识，又能合理地引导学生进行合作探究。在初步形成“倍”的概念时，让学生学、说、圈，使学生的脑海里产生初步的表象，再引导学生通过小组的合作探究，找出知识的共同特征，从而初步形成了“倍”的概念。 《两角和与差的余弦》说课稿 一、教材分析： ㈠、地位和作用： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 ㈡、教学目标： 1、知识目标： （1）使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； （2）使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； （3）使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 （设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设计三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。）㈢、教学重、难点： 1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点； 2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节 的一个难点。 （设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是‘两角和余弦公式推导’的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。由于‘两角和与差的余弦公式的推导和应用’对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。） 二、教学方法： 1、创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 （设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。） 2、教具：多媒体投影系统。 本节课中‘平面内两点间距离公式’虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助学生认识、理解、加深印象。 （多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。） 三、学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别 是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序； 角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 四、教学过程： 教学程序 两倍角公式、半角公式、万能公式 ① sin( ) sin cos cos sin ; ② cos( ) cos cos sin sin ; ③ tan( ) tan tan 令1 tan tan 二倍角公式： ① sin 2 2sin cos ； ② cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2sin 2 ； ③ tan 2 2 tan 1 tan 2 两倍角公式中 sin 2 2 sin cos 是两个函数之积，可在(sincos ) 2 中产生。两倍角是“相对的” ，应该广义地理解。 如 cos4 cos2 2 sin 2 2 2 cos2 2 1 1 2 sin 2 2 tan( ) 2tan 2 等等tan 2 1 2 升次公式： sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 ； 2 2 见到平方就降次，降次角加倍 降次公式： 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 sin 2 2 见到 1 cos 、 1 cos 就升次，升次角减半并项公式 : 1 sin 2 = (sin cos ) 2 半角公式： sin =±1 cos , 2 2 cos =±1 cos , 2 2 1 tg =± 1 cos = sin = 1 cos . 2 1 cos 1 cos sin 半角公式中的正负号如何选取？依照左边的函数值而定。 2 如果给你象限角，如I ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你区间角，如 3 ,4 ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你三角比值，如sin cos 0 的终边在第几象限？公式前的号如何选取？tan cos ， 0 2 半角的正切公式中的后两个tg = sin =1 cos 前面没有正负号， 2 1 cos sin 万能公式：（并非万能，仅是用tan 可将 sin 、 cos 、 tan 都表示出来的含义） 2 sin α = 2 tan 2 ， 1 tan2 2 1 tan 2 cos α = 2 , 1 tan2 2 2 tan tan α = 2 1 tan2 2 题型一、求值问题 补充问题 已知 cos( ) 1 ， sin( ) 2 ，且 4 2 ， 4 2 9 2 3 4 求 cos( ) 的值 解：考虑目标角和已知角的关系：（）—（）= 22 2 再运用两倍角公式求值 题型二、化简问题 2 《§3二倍角的三角函数》教学设计 教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ - 二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -二倍角公式评课稿
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式-二倍角公式》说课稿
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