高中数学_生活中的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一.课前教学设计：

(一)提前一周学生活动：按照五个教学班把学生分成五组，以“生活中的三角函数”为课题查找材料，选出组长、确定主讲人，制作PPT 或视频、文件材料，做好课上交流的准备。

教师活动：及时监督、指导学生活动的进度、内容、分工和辅导学生发言和研究工作。

设计意图：前面对三角函数的定义、图象和性质的学习是纯数学知识，三角函数来源于生活、服务于生活的理念学生并不知晓，为了调动学生的学习兴趣和学习积极性，让学生自己发现、挖掘、猜想和应用生活中的三角函数，大大提高了学生的参与度和学习兴趣，为数学建模做好铺垫。

(二)上课前一晚的教学活动：给学生发自主学习任务单，学生独立完成，教师及时批阅。

1. 函数 f (x) Asin( x ) B(A 0, 0) 的图象与性质

(1) 图象的画法：“五点法”和图象变换法．

(2) 定义域： ____________ .

(3) 值域：_______________ ．当x _______ ( k Z)时，f (x)

取最大值 A B ；

当x _________ (k Z)时，f(x) 取最小值 A B.

思考：如何用 f(x)max和f(x)min求A和B的值？

(4) 周期：T ______ .

(5) 奇偶性：当且仅当k (k Z )时，函数f(x) Asin( x ) 是

换？ 设计意图： 复习并巩固函数 f(x) Asin( x ) B(A 0, 0)的图象与 性质，为本课做好知识储备。

二．课堂教学设计：

(一)复习反馈：

对自主学习任务单的内容进行总结性讲评， 学生的易错点是

函 数 f(x) Asin( x ) B(A 0, 0)的对称中心是 (k ,B)(k Z) , 教师强 调第 2 题图象变换的格式。

(二)新课引入： 学生朗读唐·白居易《琵琶行》片段并配有琵琶乐曲：“低眉 信手续续弹，说尽心中无限事．轻拢慢捻抹复挑， 初为《霓裳》后《六 幺》．大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语．嘈嘈切切错杂弹，大珠小 珠落玉盘．间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难．冰泉冷涩弦凝绝，凝 绝不通声暂歇． 别有幽愁暗恨生， 此时无声胜有声??座中泣下谁最 多？江州司马青衫湿． ”学生深情地朗读完后， 教师现场采访该学生， 师说：“你能从这首诗里感受到数学的韵律函数；

当且仅当 k (k Z )时，函数 f (x) Asin( x ) 是 _______ 函数．

2

(6) 单调性：单调递增区间是每一个

单调递减区间是每一个

(7) 对称性：函数图象与 x 轴的交点是对称中心，即对称中心是 ，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值 称轴是直线

2. f (x) Asin( x )(x R,A 0, 2)的图象如图所示.

1) 求 f(x) 的解析式；

2) 要得到 y sin x 的图象，只需将 f ( x)的图象进行怎样的图象变

吗？说得再贪婪些，这里有没有三角函数的味道？”生很严肃地答：“绝对有！琵琶旋律由舒缓到急促再到舒缓，音调由高到低再到高，在平面直角坐标系下描绘出的就是正弦型函数的图象。”由此引出本节课的课题《生活中的三角函数》。

设计意图：以诗的形式作为本节课的开篇之作，增强数学的人文素养，最出彩的是读诗后的师生对话，幽默而又切合主题，课堂气氛立刻调动起来！

（三）开启生活中的三角函数之旅：第一组：经济团队的《爱心曲线》学生活动：学生介绍了笛卡尔的生平简介和主要的思想成就、心形线背后凄美的爱情故事，由此引出极坐标系下的曲线和方程的关系，并让学生亲手绘制爱心曲线，巩固了极坐标系的相关内容。教师点评：从凄美的爱情故事中我们引出了与平面直角坐标系不同的极坐标系，它在生活实际中应用非常广泛，而且通过爱心曲线，我们发现极坐标系与三角函数有着非常密切的联系。对老师感触最深的是笛卡尔晚上睡不着，看到蜘蛛在棚顶织网，发明了直角坐标系，由此有了方程，然后所有的数学问题都可以归结为代数问题，用方程来解决。教师希望学生也要有这样的数学洞察力，把生活中的问题概括出数学模型，用数学知识得以解决。

设计意图：从凄美的爱情故事中让学生发现三角函数无处不在，极坐标系虽然还没学，但让学生利用所学知识自主探究完全可以胜任，从笛卡尔的发明创造开启了数学建模意识和思想，顺利地过渡到下一组的《声音与三角函数》模块。

第二组：数学微团2 班的《声音与正弦》

学生活动：学生发现正弦函数图象与声音的传播形式声波以及产生的

三要素高度一致，猜想物理中的声音与数学中的三角函数有高度的相关性，学生通过查找资料、在网上下载视频“声波形成的正弦曲

线” ，让学生高度感知到数理不分家，三角函数与物理中的简谐振动、声音的传播、交流电等都有非常密切的联系。

教师点评：这个团队的优点是发现案例后，学生敢大胆地猜想，并用实验和视频材料加以论证，最记忆犹新的事主持人告诉我他的猜想，过了几天后，他激动而又惊喜地告诉我，他找到了证明这个猜想的视频材料，随着声音要素的改变，手龙头下出来的水花形状就是正弦曲线！那孩子眼中的惊喜是我一辈子都不会忘记的，也更加坚定了我要把课堂还给学生，让学生做课堂的主人，学生的潜力无限，这样才能充分地施展他们的才华！

第三组：数学微团1 班的《潮汐》

学生活动：生活在大海边的孩子非常有必要了解一下潮汐的概念，这其中也蕴含着三角函数。数学微团1 班的主持人为学生们介绍了潮汐的概念和现象，并用上述知识解决了船舶进港和出港时间的数学应用问题。

教师点评：本小组的最大优点是利用潮汐的规律解决了船舶进港和出港时间问题，由一组数据拟合出三角函数模型，利用所学的三角函

数

知识解决生活实际问题，这正是数学建模和数学应用的步骤方法，

本节课的教学目标凸显出来。

第四组：数学微团4 班的《如何设计生活中的三角函数模型》学生

活动：本小组系统地概括了数学建模的方法和具体步骤，并以“关于日地之间距离的三角函数模型讨论”为具体事例加以说明，并让学生以“天安门广场国旗升降具体时间”为课题让学生进行数学建模，解决实际问题。

教师点评：作为展示的最后一组，不仅引出了数学建模的案例，还教会学生数学建模的方法和步骤、需要注意的问题，本节课达到了实施教学目标的高潮！

（四）课外延伸：

1. 自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33 天．每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5 天、14 天、16.5 天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力?

设计意图：在人的生理和心理领域也存在着三角函数，此案例实用性强，很受学生喜欢。

2. 请撰写一篇有关《生活中的三角函数》数学小论文.

设计意图：从发现、猜想、思考、论证、写作，让学生经历数学建模的全部过程，培养学生的数学核心素养，让学生终生受益。

（五）以诗结尾，首尾呼应

生活是正弦曲线有时波峰，有时波谷波峰时别得意忘形波谷时别灰心丧气没有波谷就没有波峰没有波峰亦没有波谷有波谷没有波峰人生不完美有波峰没有波谷人生不完整善待他人，理解命运得意时不以物喜，失意时不以己悲喜忧相伴，岁月飘香学生活动：学生朗读，意犹未尽，意味深长??设计意图：在正弦曲线中感悟人生，教给学生做人的道理，更紧扣主题：生活中的三角函数！

学情分析

一. 学生基础储备：

从学生知识储备和经验储备来看，学生已经学习了三角函数的定义、简单的三角恒等变换方法、三角函数的图象和性质，对三角函数有了系统的认识，了解了“统一”是解决三角函数问题的基本思想，化为一角一函数并与基本的正弦、余弦、正切函数相对照是解决y Af ( x ) B 型函数的基本方法。学生已经初步具有用数学知识解决实际问题的能力，已经初步形成对数学问题进行合作探究的意识和能力。

二. 难点分析：

本节课的难点是发现生活中的周期性的实例，并与三角函数建立联

系，

从而建立函数模型，并解决实际问题。教学中应突出三角函数的工具性，重点在引导学生建立三角函数模型。对于生活经验丰富、善于观察和思考的学生会学习比较主动，而对于不注重联系生活实际、学习上不善于融汇变通的学生，会以被动接受为主。因而，本节课要教会学生如何查阅学习资料、怎样进行数学建模、怎样拟合函数、如何利用已有数据预测未来发展趋势，体会数学的工具性和人文素养，为后面的数学建模课打好基础。

三. 课外准备：

提前一周把本班同学按照不同MT、不同的微团进行分组，让学生查找资料，发现“生活中的三角函数” ，并以PPT和小论文形式上交

给老师，由老师最终决定课堂讲解的内容

四．课前准备：

开课头一天晚自习下发自主学习任务单，复习f(x) ＝

A sin( ωx ＋φ)＋b(A>0，ω>0)的所有性质，并用以上性质进行自主检测和自主探究。自主学习任务单的内容如下：【自主学习】请阅读课本44—49 页，并完成下列问题

1．函数 f (x) Asin( x ) B(A 0, 0) 的图象与性质

(1) 图象的画法：“五点法”和图象变换法．

(2) 定义域：____________ .

(3) 值域：_______________ ．当x _________ (k Z)时，f (x) 取最大值 A B ；

当x __________ (k Z)时，f(x) 取最小值 A B.

思考：如何用 f(x)max和f(x)min求A和B的值？

(4) 周期：T _____ .

(5) 奇偶性：当且仅当k (k Z )时，函数f(x) Asin( x ) 是函数；

当且仅当k (k Z )时，函数 f (x) Asin( x ) 是__________ 函数．

2

(6) 单调性：单调递增区间是每一个__________________ ;

单调递减区间是每一个 ______________________________ .

(7) 对称性：函数图象与x 轴的交点是对称中心，即对称中心是

__________ ，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的

即对最值称轴是直线 ______ .

【自主检测】

) 的图象如图所示.

f(x) Asin( x )(x R,A 0,

2

(1)求f(x) 的解析式；

(2)要得到y sin x的图象，只需将 f ( x)的图象进行怎样的图象变换？

【自主探究】请你仔细寻找生活中的正弦型函数，并用所学的知识解决实际问题.

效果分析

在整个教学过程中，我一直遵照学生是课堂的主人这一原则进行教学设计。我没有通过例题的形式告诉学生生活中处处有三角函数，而是让学生以小组交流、共同探究的形式，让学生自己发现生活中的三角函数处处存在。还记得数学微团2 班的同学告诉我：他们猜想“声音与三角函数有密不可分的关系” ，我鼓励了他们的猜想，并让他们通过实验、查找材料进行论证，过几天孩子们找到我，激动地告诉我，他们在网上找到了一个视频，当声波变强或变弱时，水龙头流出来的水就是正弦函数图象，而且振幅也随之变大或变小！我永远记得那孩子惊奇AMAZING的眼神，让我更加坚信：把课堂放手给学生，让学生自己发现问题、解决问题的教学理念是对的！如果没有给学生设计这样的学习平台，你就不会发现学生的无限潜力，教学就失去了学生为主体的本真，又何谈乐趣？！

本节课采用各小组交流学习的模式，“爱心曲线” 让学生知道了凄美爱情故事背后的三角函数，同时学生也理解和掌握了极坐标系与三角函数的联系；“声音与正弦曲线” 鼓励学生大胆猜想，并合理验证，为后续的数学建模开启了研究的方向；生活在海边的孩子们一定要了解“潮汐”现象，微团1 班的同学把潮汐现象很自然地融入到数学问题中，通过数据拟合三角函数，并教会大家解决船舶入港和出港时间的问题，已经具备了数学建模的思想意识；最后一组学生系统地总结了数学建模的实施方法和步骤，为学生开启数学建模之旅提供了保障。

在本节课的开头和结尾，我以诗词的形式前后呼应，让学生体会数学的人文精神，增强学生的文化素养。最后，让学生通过本课的学

习，学会撰写数学论文，把自己的发现、证明、感悟及时地整理汇总，提升了学生的写作水平。

对《生活中的三角函数》的教材分析

一. 地位与作用：本节课是学生在学完三角函数的图象和性质后，

结合生活中声音、简

谐振动、潮汐等物理和自然现象，让学生发现三角函数模型，体验一

些具有周期性变化规律的实际问题的“数学建模”思想，从而提高学

生发现问题、解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。二. 重点与难点：重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律

的实际问题。难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型。

三. 教学目标分析：

1.知识目标：①会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函

数是描述周期变化现象的重要函数模型；②初步学会由图象求出解析式的方法；③体验实际问题抽象为数学问题的过程。

2.能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。

3.情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学来源于生活以及在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考、交流合作的精神。

四．课时安排：1 课时五．课型：新授课

学习方法：小组自主探究、合作交流式六．与原有教材的比较分析：

高中数学人教A版和B 版的《三角函数模型的简单应用》都是以例题的形式，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、顶测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。同时，也体现化归转化、方程与函数、数形结合等思想方法在研究解决问题中的作用．教师在教学中也经常是以例题的形式，层层引入，让学生发现三角函数模型来源于生活、为生活解决实际问题的工具性作用。但这种教学方式对于学生还是被动接受，主动探究的意识不强，对培养数学建模的思想不

够完善。

七．课程整合：

本节课的教学目标是要特別揭示三角函数作为刻画现实世界周期变

化现象的数学模型的思想；用已知的三角函数模型解决问题；将复杂的函数模型转化为基本初等函数解决问题；根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题；通过数学建模，利用数据建立拟合函数解决实际问题。

基于此，我的教学设计是变被动为主动，让学生提前一周，查阅资料、查找相关的资源，以小组自主探究、合作学习的模式发现生活中的三角函数，通过生活中周期性变化的事例大胆猜想其与三角函数的关系、建立三角函数模型、把求三角函数解析式的题型放在生活实例中、预测未来的发展趋势，并同时教给学生数学建模的方法。让学生做课堂的主人，提升学生的学科核心素养。

评测练习

【课前导入练习】

1．函数 f (x) Asin( x ) B(A 0, 0) 的图象与性质

(1) 图象的画法：“五点法”和图象变换法．

(2) 定义域：_____________ .

(3) 值域：______________ ．当x _________ (k Z)时，f (x) 取最大值 A B ；

当x __________ (k Z)时，f(x) 取最小值 A B.

思考：如何用 f(x)max和f(x)min求A和B的值？

(4) 周期：T _____ .

当且仅当 k (k Z )时，函数 f (x) Asin( x ) 是 _________ 函

数．

2

(6) 单调性：单调递增区间是每一个 _________________ ; 单调递减区间是每一个 ______________________________ .

(7) 对称性：函数图象与 x 轴的交点是对称中心，即对称中心是

换？

【课间导入练习】

1. 在极坐标系下作出下列方程对应的曲线：

(1)r 1 cos ;(2) r 1 cos ;(3) r 1 sin ;(4) r 1 sin .

2. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落 潮时返回海洋，下面是青岛港在某季节每天的时间与水深的关系表： 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻

水深/米

0:00

5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00

7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0

以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图

(5) 奇偶性：当且仅

当

___ 函数； k (k Z )时，函数 f (x) Asin( x )是 称轴是直线

2. f (x) 1) 2) ，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值 Asin( x )(x R,A 0, 求 f(x) 的解析式；

2)的图象如图所示.

， 即对

要得到 y sin x 的图象，只需将 f ( x)的图象进行怎样的图象变

请根据函数图象写出函数解析式f(x) Asin( x )(x R,A 0, )

2 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米，安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？(请在图象中表示出来)

3. 天安门广场国旗升降具体时间是由北京天文台的天文学家林亨专门计算的，是根据北京日出与日落时间进行确定的. 但随着太阳日出日落时间的变化，升旗的时间也随之改变. 请根据年鉴或其它的参考资料，统计过去一年中不同时期的日出和日落时间，找到相应的函数模型并猜想在五一长假时去看升旗，应当几点到达广场？

4.自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33 天．每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5 天、14 天、16.5 天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的

出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力? 【课后作业】请撰写一篇有关《生活中的三角函数》数学小论文. 课后反思

本节课首先突显学生的主体意识。在教学活动中充分发挥学生的主体作用，让学生亲自寻找生活中的三角函数，通过各小组的交流学习让学生深刻体会生活即数学的教育理念。

首先，学生从知识的被动接受转变为主动的参与者和积极的探索者，教师尊重学生个性，一切教学活动都应针对不同学生提供多种选择，为不同水平的学生设置不同层次的问题，打破“一把尺子量天下

的做法”。其次，培养学生数学建模的思想和能力，为后续数学建模

奠定了基础。数学建模是数学六大核心素养之一，如何在课堂上培养学生的数学建模能力，值得每一位教师反思。通过本课的学习，学生

掌握了数学建模的方法和步骤，数学论文的撰写方法，提升了学生的应用意识和创新素养。再者，营造开放、平等的课堂气氛。“开放” 就是实行民主教学，给学生思考的余地和交流的机会，让他们真正参与进来。“平等”就是师生间平等，学生间平等。让每一位学生都能

以积极的心态和舒畅的心情参与学习活动，使其个性得以张扬。可尝试“互换教学角色”的课堂模式。安排一定课时．让学生在课堂展示

和讲解其课外成果，教师只需现场提问或点评升华。这种形式的课堂将大大调动学生的参与积极性，增强学生的学习兴趣和学习乐趣。最后，在数学课堂渗透人文气息，加强多学科融合，对学生进行数学哲

理和价值观教育，让课堂真正地活起来，让学生热爱数学，才是教育

的真谛！

当然，本节课的教学也略有不足之处。教学时间紧张，还有好几

个小组没时间展示，学生略显失望；有时点评不够充分，没有很好地

调动学生参与的积极性；后面的总结略显仓促。还需要对本节课进行深刻打磨，使其更加完善。

对《生活中的三角函数》的课程标准分析

2011版《高中数学课程标准》中提出：“数学教学要体现课程改

革的基本理念，引导学生积极主动地学习，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。” 较于2011 版课程标准，2017 年课程标准首次提出了数学区别于其它学科的核心素养包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模、直观想象，数学运算，数据分析。并首次把数学建模活动与数学探究活动作为必修课程的五大模块之一。

对高中数学人教B 版必修四第一章《三角函数》最后一节“三角函数模型的简单应用” 的教学要求是：①会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；② 体验实际问题抽象为数学问题的过程。

基于此，本节课的课程价值定位是开启学生的数学建模之旅。让学生体会数学来源于生活，通过观察生活中周而复始的周期现象，猜

想它与三角函数的密切关系，根据数据分析，拟合建立三角函数模型，并利用所学的三角函数知识解决生活实际问题，让学生学会数学建模的步骤和方法，为其它章节的数学建模活动打下夯实的基础。同时，也可以向学生介绍三角函数周期性在社会生活中的广泛应用，鼓励学生注意数学应用的事例，开阔他们的视野。帮助学生认识到:数学与

我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。

高中数学公式三角函数公式大全

高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a

=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa

高中数学苏教版必修四学案：1.2.2 同角三角函数关系

第2课时三角函数线 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．

知识点一有向线段 思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？ 思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？ 梳理有向线段 (1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线． (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆． 知识点二三角函数线 思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？

思考2三角函数线的方向是如何规定的？ 思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？梳理

知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域 思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域

类型一 三角函数线 例1 作出－5π 8的正弦线、余弦线和正切线． 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT . 跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝1 2的角α的终边，并求角α的取值集合．

高中数学必修4三角函数教案

任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =

a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案

5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ； =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。当πα=时，点P 的坐标是什么？当

322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。 叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2 ,0(π ∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质

π??

据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0

三角函数公式大全关系

三角函数公式大全关系： 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

高中数学三角函数模型的简单应用学案苏教版必修

§1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标 细解考纲】 1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【知识梳理 双基再现】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）. A ．72cm B ．86cm C ．102cm 【小试身手 轻松过关】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系. 经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin ,[0,24]6t y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6 t y t ππ=++∈ C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D ．123sin(),[0,24]122 t y t ππ=++∈ 2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________. 3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 12 周期后，乙点的位置将移至（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

高中数学三角函数教案

高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业]

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=

高中数学学案：三角函数的最值问题

高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.

高一数学三角函数教案

高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知

解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期

三角函数公式大全

两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a -

高中数学三角函数

三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入

高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案（含解析）新人教A 版必修4 考试标准 课标要点学考要求高考要求 任意角的概念 a a 终边相同的角的表示 b b 象限角的概念 b b 注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”． 知识导图 学法指导 1.结合实例明确任意角的概念． 2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限. 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．

(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”． 3．角的分类 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 5．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．( ) (2)第一象限的角一定是锐角．( ) (3)终边相同的角是相等的角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B. 答案：B