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2016北京市通州区高三(一模)数学(文)含答案

2016北京市通州区高三（一模）

数学（文）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数()34i i +的虚部为（） A ．3

B ．3i

C ．4

C ．4i

2．设向量()()4,,2,1x ==-a b ，且⊥a b ，则x 的值是（） A ．2

B ．2-

C ．8

C ．8-

3．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．48

B ．80

C ．112

D ．144

4．若非空集合,A B 满足A B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．如图所示的程序框图表示求算式“235917????”的值，则判断框内应填入（） A ．10k ≥

B ．16k ≥

C ．17k ≤

D ．33k ≤

6．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知点()3,0A ，过抛物线2

4y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，若PB PA =，则P 的横坐标为（） A ．1

B ．

C ．2

D ．

8．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,,E F G 分别是线段1,DC D D 和1D B 上的动点，给出下列结论：

①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1AF A E ⊥； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得1AF A E ⊥； ③对于任意给定的点G ，存在点F ，使得1AF B G ⊥； ④对于任意给定的点F ，存在点G ，使得1AF B G ⊥。其中正确结论的个数是（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）

9．若数列{}n a 满足()

*111,2n n a a a n N +==∈，则4a =______；前8项的和8S =______．（用数字作答）

10．已知,x y 满足约束条件2,

2,1,x y x y x +≤??

-≤??≥?

那么2z x y =+的最小值是______．

11．在ABC ?中，已知22,

7,3

BC AC B π

===

，那么ABC ?的面积是______． 12．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为______．

甲 89 91 90 88 92 乙

9●

13．已知函数()()22,log 1,x x a

f x x x a

?≤?=?+>??在区间(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范

围是______．

14．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：

()()()111222666,,,,,,A x y A x y A x y ???的横、纵坐标分别对应数列{}()*n a n N ∈的前12项，（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），如下表所示：

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x

按如此规律下去，则15a =______，2016a =______．

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）

已知函数()2

sin 2sin cos cos f x x x x x =+-．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当0,2x π??

∈????

时，求函数()f x 的最大值和最小值．

16．（本小题13分）

已知数列{}n a 满足()

*112,2n n a a a n N +=-=∈，数列{}n b 满足134,14b b ==，且数列{}n n b a -是各项均为正数的等比数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）令2n n c b n =-，求数列1n c ??

????

的前n 项和n T ．

17．（本小题13分）

中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的从高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）估计在10:00时最高气温和最低气温的差；

（Ⅲ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）．

18．（本小题14分）

如图，在四棱锥ABCD P -，⊥PA 底面正方形ABCD ，E 为侧棱PD 的中点，F 为AB 的中点，

2==AB PA .

（Ⅰ）求四棱锥ABCD P -体积；（Ⅱ）证明：//AE 平面PFC ；（Ⅲ）证明：平面⊥PFC 平面PCD .

19．（本小题14分）

已知点21,2??

? ???

在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，椭圆离心率为22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ?为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（本小题13分）

已知函数()f x 和()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，且()()2x

f x

g x e +=，其中e 为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数()(),f x g x 的解析式；

（Ⅱ）当0x ≥时，分别求出曲线()y f x =和()y g x =切线斜率的最小值；

（Ⅲ）设0,1a b ≤≥，证明：当0x >时，曲线()

f x y x

=在曲线()()21y ag x a =+-和()()21y bg x b =+-之间，且相互之间没有公共点．

2016北京市通州区高三（一模）数学（文）

参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【答案】A 【解析】

试题分析：()34i i +i 34+-=，故虚部为3. 考点：复数概念． 2．【答案】C

考点：平面向量坐标运算． 3．【答案】D 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，故表面积为14488582

4=?+???. 考点：三视图． 4．【答案】A 【解析】

试题分析：由已知，当x A ∈时，x B ∈成立；反之，若x B ∈，x A ∈不成立，故选A. 考点：充要条件． 5．【答案】C

考点：程序框图．

【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给信息给循环结构中的判断框填加条件以使程序运行的结果是题目所给的结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看这是一个求几个数的乘积的问题，演算知235917????五个数的积程序只需运行5次，运行5次后，k 的值变为33，此时程序不再进入循环体，即为所求式子． 6．【答案】B

【解析】在⊙M 中，半径π2l r =

，圆心角l x r x PMO π2==∠，由)21sin(21PMO r y ∠=，可得x l

l y π

πsin =，

],0[l x ∈，故选B.

考点：函数图象．

【思路点睛】本题主要考查函数图象的识别与判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点，考查学生分析问题的能力．根据O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数图象，由图象可知函数值随自变量的变化成轴对称性并变化圆滑，由此即可排除A ，C ，D ．本题同时也可利用三角函数求出函数解析式，进而确认图象. 7．【答案】

考点：抛物线的定义．

【思路点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，属于容易题．由于过抛物线2

4y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，结合抛物线的定义，可得||||PF PB =，又PB PA

=，故||||PF PA =，可知PAF ?为等腰三角形，由点P 作AF 的垂直线，可知垂足为AF 的中点，进而求出点P 的坐标． 8．【答案】B

考点：空间中点线面的位置关系．

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．） 9．【答案】8 255

【解析】

试题分析：由()

*111,2n n a a a n N +==∈，可知数列{}n a 为等比数列，故48a =，8255S =. 考点：等比数列． 10．【答案】1

考点：简单线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等. 11．【答案】32

【解析】

试题分析：由余弦定理B ac c a b cos 22

22-+=，得1=c ，故ABC ?的面积2

3sin 21==

?B ac S ABC . 考点：余弦定理． 12．【答案】4

【解析】

试题分析：由表可知甲5次体育测试的总分为450，乙的总分为a +442（其中a 为污点处数字，且9,,2,1,0 =a ），可得当甲的平均成绩超过乙的平均成绩，7,2,1,0 =a ，故所求概率为45

. 考点：古典概型． 13．【答案】[]1,0-

考点：函数的性质．

14．【答案】4- 1008

考点：归纳推理．

【思路点睛】根据坐标纸所示的分形规律，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列

{}()*n a n N ∈的前12项，,3,2,2,1,1,1654321===-===a a a a a a 7892,4,3a a a =-==，

105a =，113a =-，126a =，

，进而可归纳,,,21434n a n a n a n n n =-==--．归纳推理的一般步骤是：（1）通过

观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．【答案】（Ⅰ）π；2，最小值1-. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）化简函数解析式，得)(x f 224x π??=

- ???，可得最小正周期为π；（Ⅱ）由0,2x π??

∈????

得

32,444x π

ππ??-

∈-????，可得()f x 在0,2π??

????

2和1-. 试题解析：（Ⅰ）()2

sin 2sin cos cos f x x x x x =+-

sin 2cos2x x =-…………………………………………………………………………………………………4分

224x π?

?=- ??

?。……………………………………………………………………………………………6分

所以()f x 的最小正周期22

T π

π=

=。………………………………………………………………………7分

考点：三角函数求值．

【思路点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，考查了)sin(?ω+=x A y 型函数的图象与性质，属中档题.通过展

开三角函数关系式，利用正弦二倍角公式和降幂公式，辅助角公式将函数化简为y 2sin 24x π?

- ??

?，由周期公

式可得22T ππ==，由x 的范围求得相位的范围，进一步得出32,444x πππ??-∈-????，进而求得)4

2sin(π

-x 的范围，得出答案.

16．【答案】（Ⅰ）()

*2,22n n n a n b n n N ==+∈；（Ⅱ）n n T 2

试题解析：（Ⅰ）因为()

*12n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 是公差2d =的等差数列，所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=。因为数列{}n n b a -是各项均为正数的等比数列，

11422b a -=-=， 2222224b a b b -=-?=-， 3314238b a -=-?=

所以()()()2

221133b a b a b a -=--，即()2

2416b -=。

所以244b -=或4-（舍去）。所以数列{}n n b a -的公比为22

2b a q b a -=

=-，

所以()1

112n n n n b a b a q --=-=，

所以222n n

n n b a n =+=+。

所以数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为()

*2,22n n n a n b n n N ==+∈

（Ⅱ）由（Ⅰ）得22222n n

n n c b n n n =-=+-=。

所以

112

n n c =，所以11

111

2,11222

n n n n c c c --===。

所以数列1n c ???

是首项为12，公比为1

2的等比数列。所以()*11122111212

n n

T n N ????

-?? ???????=

=-∈-。

考点：等差、等比数列．

17．【答案】（Ⅰ）正相关；（Ⅱ）C

4；（Ⅲ）最高气温方差小于最低气温方差.

试题解析：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高。……3分（Ⅱ）由图知，10:00时可能出现的最高气温为12C ?，可能出现的最低气温为8C ?。

所以10:00时最高气温与最低气温的差为1284C C C ?-?=?；……………………………………………8分（Ⅲ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差。………………13分考点：线性相关、样本特征数．

18．【答案】（Ⅰ）

8；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.

试题解析：（Ⅰ）设四棱锥P ABCD -体积为P ABCD V -，正方形ABCD 的面积为ABCD S ，则

2118

22333

P ABCD ABCD V S PA -=?=??=。……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）取PC 中点G ，连结,EG FG ，则因为E 、F 分别为PD 、AB 的中点，所以11,22

CD AF CD 。所以EG AF 。

所以四边形AEGF 为平行四边形，所以AE

FG 。

又AE ?平面PFC ，FG ?平面PFC ，所以AE

FG ?平面PFC 。…………………………………………………………………………………9分

考点：空间几何体求体积、位置关系证明．

19．【答案】（Ⅰ）2

212x y +=；（Ⅱ）存在点5,04M ?? ???

，使得MA MB ?为定值.

试题解析：（Ⅰ）由已知得2

2222222112

2a b c a a b c ??? ???+=???=???=+????

解得211a b c ?=?=??=?

所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=。……………………………………………………………………………3分（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，由（Ⅰ）知，点F 的坐标为()1,0。

①当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 斜率为k ，则直线l 方程为()1y k x =-。…………………………4分

于是由

() 2

1 2

y k x

?=-?

得()

2222

214220

k x k x k

+-+-=。…………………………………………………6分

所以

1212

422

2121

k k

x x x x

k k

+=+=

，

()2

1212122

y y k x x x x

?=-++=

??+。…………………………………………………………………9分

设点(),0

M m，则()()

1122

,,,

MA x m y MB x m y

=-=-。

所以()()

1122

MA MB x m y x m y

?=--

()2

121212

x x m x x m y y

=-+++

22222

2222

224(21)

21212121

k mk m k k

k k k k

=-+-

++++

()

222

2412

m m k m

-++-

。………………………………………………………………………………11分

若为定值，则()

24122

m m m

-+=-。

解得

m=。此时，

MA MB

?=-。………………………………………………………………………12分

考点：椭圆方程、直线与圆锥曲线的位置关系．

【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

20．（本小题13分）

【答案】（Ⅰ）()()

x x x x

f x e e

g x e e

=-=+；（Ⅱ）曲线()

y f x

=和()

y g x

=切线斜率的最小值分别为2和

0；（Ⅲ）证明见解析

试题解析：（Ⅰ）由已知得()()()()22x

f x

g x e

f x

g x e

-?+=??-+=??，所以()(),x

f x e e

g x e e --=-=+。………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）()()()1x

x x x

f x e e e e e

g x e --'??''=-=-=+= ??

， ()()()1x

x x x

g x e e e e e f x e --'?

?''=+=+=-= ??

，………………………………………………………5分当0x ≥时，1,01x x

e e

-≥<≤，………………………………………………………………………………6分

由基本不等式，有()22x

x x g x e e

e e --=+≥=，当且仅当0x =时等号成立。

故()f x 在[)0,+∞单调递增，即()()00f x f ≥=。

所以当0x ≥时，曲线()y f x =和()y g x =切线斜率的最小值分别为2和0.……………………………8分（Ⅲ）当0,1,0a b x ≤≥>时，

因为()()()()()()212120bg x b ag x a b a g x +--+-=-->????????????。所以只需证()()()

()()2121f x ag x a bg x b x

+-<

<+-。…………………………………………………9分

()

()()21f x ag x a x

>+-等价于()()()21f x axg x a x >+-， ()

()()21f x bg x b x

<+-等价于()()()21f x bxg x b x >+-。…………………………………………10分设函数()()()()21h x f x cxg x c x =---，

()()()()()()()()2112h x g x cg x cxf x c c g x cxf x '=----=---????。

考点：函数性质、导数几何意义、导数的应用．