2020-2021学年贵州省凯里一中高二下入学考试文科数学卷

2020-2021学年贵州省凯里一中高二下入学考试文科数学卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合}4,3,2{=A ，}5,4,3{=B ,则B A ?=（ ）

A ．}3{

B ．}4,3{

C ．}4,3,2{

D ．}5,4,3,2{ 2． 18

cos 22

-π

=（ ）

A ．

21 B ．21- C ．22- D ．2

2 3．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）

B ．（-1,0）

C ．（0,1）

D ．（1,2）

4．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43 5．曲线x x y +=ln 在点（1,)1(f ）处的切线方程为（ ） A ．12-=x y B ．1y x =-+ C ．1y x =- D ．22y x =-+

6．双曲线

22

1916

x y -=的渐近线方程为（ ） A ．169y x =±

B ．916y x =±

C ．34y x =±

D ．43

y x =± 7．设a R ∈,则1a >是1

1a

<的（ ）

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 8．将函数)4

2sin()(π

-=x x f 图象上的所有点向左平移

4

π

个单位长度，则所得图象的函数解析式是（ ） A ．)4

sin(π

-

=x y

B ．)4

cos(π

+

=x y C

．)4

2sin(π

+=x y D ．)4

2cos(π

-

=x y

9．如图一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内

的概率是（ ）

A ．

8π B ．2π C ．4

π

D ．π 10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1

4

，则输出的y 的值为（ ）

是输入x y=log 2x y ＝2x

否

x≤2？结束

开始输出y 图(2)

A ．2

B ．-2

C ．

1

2

D ．42 11．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）则该几何体的表面积和体积分别为（ ）

A ．2

24cm π ，3

12cm

π

B ．215cm π，3

12cm π C ．224cm π，3

36cm

π

D ．（24+9π）cm 2

，36πcm 2

12．已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交

于M ，N 两点，O 为坐标原点，若ON OM ⊥,则双曲线的离心率为（ ） A

B

二、填空题 13．函数2

1

)(--=

x x x f 的定义域为 ． 14．已知抛物线方程为：2

4

1y x =

，其准线方程为 ． 15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.

16．在约束条件??

?

??≥-+≤≤0121y x y x 下，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则

ab 的最大值为 ．

三、解答题

17．△中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cosB 2cos b C c a B +=． （1）求角的大小；

（2）若4,13=+=c a b ,求△的面积．

18．在等差数列{}n a 中，11=a ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

1

+=

n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，

1===BC DC PD ，2=AB ，//AB CD ，090BCD ∠=．

（1）求证：BC ⊥平面PDC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离．

20．某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的学生人数为6．

（1）估计所抽取的数学成绩的众数；

（2）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率．

21．已知椭圆C:)0(122

22>>=+b a b y a x ,右焦点)0,3(F ,且离心率2

3=e ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过F 且倾斜角为?

45的直线l 与椭圆交于不同的两点M ,N ,求OMN ?（O 为坐标原点）的面积．

22．已知函数x x x f ln )(=． （1）求)(x f 的单调区间；

（2）若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：集合A ，B 中的共同元素是3和4，所以{}3,4A B =，故选B ．

考点：集合的交集运算． 2．D 【解析】

试题分析：由倍角公式2cos 22cos 1αα=-的运用可得：2

2cos 1cos

8

4

2

π

π

-==

．故选D ．

考点：1、二倍角公式；2、特殊角的三角函数值． 3．B 【解析】

试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=

15

3022

-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．

点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 4．B 【解析】

试题分析：根据等比数列的通项公式11n n a a q -=，可得41

412a a -=，显然12a =．故选B ．

考点：等比数列的通项公式． 5．A 【解析】

试题分析：先对函数求导'1

1y x

=

+，可得切线斜率2k =，由切线过点()1,1，从而得直线的点斜式为()121y x -=-，即21y x =-．故选A ． 考点：1、特殊函数的一阶导数；2、直线的点斜式方程． 6．D

【解析】

试题分析：令

220916x y -=，化简可得43

y x =±．故选D ． 考点：双曲线的渐近线． 7．A 【解析】

试题分析：首先a R ∈，由1a >则一定可以得到

1

1a

<，即p q ?；由1111100a a a a -或0a <，即不一定得到1a >；所以1a >是1

1a

<的充分不必要条件．故选A ． 考点：分式不等式；逻辑关系． 8．C 【解析】

试题分析：根据函数图像平移法则：左加右减，上加下减；可知

sin 2()sin 2444y x x πππ???

?=+-=+ ??????

?．故选C ．

考点：三角函数图象平移及其法则． 9．C 【解析】

试题分析：∵正方形的边长为4，∵正方形的面积2

4S =正方形；其内切圆半径为2，内切圆

面积2

2=4S ππ=?圆；故向正方形内撒一粒豆子，则豆子落在圆内的概率

4

S P S π

=

=

圆正方形

．故选C ．

考点：1、几何概型公式；2、正方形和圆的面积公式． 10．B 【解析】

试题分析：这是一道程序框图题，由于输入的x 值为

124≤，则把1

4

代入到对数函数2log y x =，可得2y =-．故选B ．

考点：对数函数与指数函数的概念． 11．A 【解析】

试题分析：从三视图观察，还原这个几何体，即是一个圆锥，底面半径是3，母线长是5，若要求圆锥的表面积，即2

231+=9+

5=2452S S S πππππ

?=??表底侧；其体积为

11

=91233

V S h ππ?=?=圆锥底．故选A ．

考点：1、三视图；2、圆锥的表面积和体积公式．

【思路点晴】本题一定要具有很强的立体感，从已知的图形中想象几何体的原型是圆锥，之后再根据公式求解相应的表面积和体积；在这个过程中，表面积的求解过程很重要，因为其中还涉及到扇形面积的求解，有很多学生在此处容易犯错，所以一定要仔细一些．另外，三视图的试题在近几年的高考中都会有一题，可能会更复杂一些（例如是复合几何体），所以要解决这样的试题关键还是要把几何体还原出来． 12．D 【解析】

试题分析：本题是圆锥曲线的求解离心率问题，由M ，N 两点关于x 轴对称且ON OM ⊥，则有OMN ?是等腰直角三角形；设直线MN 与x 轴的垂足为点P ，则有OP PM c ==，

即点(),M c c ，再把M 点坐标代入双曲线方程得22

221c c a b

-=，再结合222b c a =-，经过

化简可得42

310c c a a ????

-+= ? ?????

，

()2

22310e e -+=，根据求根公式可得

2

2e ==??

，即e =．故选D ． 考点：1、双曲线标准方程；2、离心率；3、勾股定理．

【方法点晴】建议同学们在做这类题型的时候要一边读题一边画图，当你把题目读完了，图象也画完了，实际上你的解题思路也就出来了．凡事要求圆锥曲线的离心率（范围），就要根据已知条件建立一个方程（不等式），而且这个方程一般都是四次方程（不等式），简单的说就是消去参数，从已知条件中消去附庸条件和b ，最后把,a c 也消掉，最后只要求解一个关于e 的方程（不等式）即可． 13．[1,2)

(2,)+∞

【解析】

试题分析：本题求解函数定义域就是求解函数解析式有意义时x 的取值范围；由已知函数解析式21

)(--=

x x x f ，可得101202

x x x x -≥≥?????-≠≠??，即[)()1,22,?+∞． 考点：1、函数定义域；2、一元一次不等式． 14．1x =- 【解析】

试题分析：由抛物线方程为：2

4

1y x =，化简得24y x =，则有242p p =?=，即对应抛物线的方程为12

p

x =-

=-． 考点：抛物线的准线方程． 15．14π 【解析】

长方体的体对角线长为球的直径，则2R =，2

R =

，则球的表面

积为2

4(142

ππ=. 16．

18

【解析】

试题分析：根据已知约束条件画出相对应的可行域，再化简目标函数得到1a y x z b b

=-+，画出直线a y x b =-

进行平移，即可发现1

z b

在点()1,2处取得最大值1，从而得到()210,0a b a b +=>>，利用均值不等式得()2

2111112224248

a b ab a b +=??≤?=?=，当

且仅当2a b =时等号成立．

考点：1、线性规划；2、均值不等式或二次函数．

【方法点晴】本题首先是利用线性规划的相关知识求出a 和b 的一个关系式，在此处学生容易找错点，易犯错!之后再根据均值不等式进行求解最值，但是一定要注意参数a 和b 的取值范围，尤其是以后碰到类似应用均值不等式的试题；若在此处不使用均值不等式，还可以利用二次函数相关知识解决：由()210,0a b a b +=>>，可得()120,0a b a b =->>，则有()2

112202ab b b b b b ??=-=-+<<

???，即已经转化到一个关于b 在区间10,2?? ???

上求最值的问题． 17．（1）

3

π

；（23

【解析】

试题分析：（1）求角B ，根据已知条件cos cosB 2cos b C c a B +=，利用余弦定理太复杂，所以选择使用正弦定理最好，再利用两角和正弦公式化简得到cos B 的值，再由角B 的取值范围确定其值；（2）在（1）中π

3

B =，利用余弦定理和已知条件可以求出的ac 值，进而再根据三角形的面积公式1

sin 2

ABC S ac B ?=

． 试题解析：（1）sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=

sin 2sin cos A A B =， sin 0A >，所以1

cos 2

B =

， ∵0πB <<，

π3

B =

； （2）2

2

2

2

2

2

2cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+- 即13163ac =-，1ac =，

所以1sin 24

S ac B =

= 考点：1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角和的正弦公式． 【方法点晴】本题是典型的三角函数和解三角形综合试题，对于这类型的试题请记住四字原则：边角互换．三角形的边化成角就要用正弦定理或余弦定理，本题显然使用正弦定理比较简单；但是在求取角的大小的过程中还要用到三角函数部分的两角和（差）公式以及特殊角的三角函数值，这些都要熟练掌握．第二问中余弦定理和三角形的面积公式的搭配使用时最常用的方法．

18．（1）21n a n =-；（2）21

n n

S n =+． 【解析】

试题分析：（1）先根据等比中项得到2

215a a a =，再等差数列的通项公式代入，可得到公差

d ，但是要有取舍最后写出的{}n a 通项公式；

（2）先由（1）中{}n a 通项公式代入到1

1

+=

n n n a a b 中，再利用裂项求和的方法进行求数列{}n b 的前n 项和n S ．

试题解析：（1）由已知有2

215a a a =

而11a =

∴2

(1)1(14)d d +=?+ 解得2d =或0d =（舍去） ∴12(1)21n a n n =+-=-． （2）由（1）知，21n a n =- ∴111

(21)(21)

n n n b a a n n +=

=

-+

=

11122121n n ??

- ?-+??

∴123n n S b b b b =++++ 1111

11(1)()(

)23352121n n ??

=

-+-++-??-+?

?

=

11(1)221n -+ 21

n

n =

+ 考点：1、等比中项；2、等差数列通项公式；3、裂项求和方法．

【方法点晴】本题是一道典型数列题，求数列{}n a 通项公式和数列{}n b 的前n 项和n S ．对于数列的问题就是已知()1,,,,n n a n d q a S 五个基本量的关系，简而言之：知三求二，即知道其中三个量求另外两个量．对于求数列前n 项和n S 的基本方法有四个：1、就是课本学习的公式求和；2、倒序相加求和法；3、错位相减求和法；4、裂项相消求和法。本题使用的就是第四种裂项相消求和法，以后我们还会遇到另外两种求和方法．

19．（1）证明见解析；（2． 【解析】

试题分析：（1）由⊥PD 平面ABCD 可知PD BC ⊥，另外090BCD ∠=可知BC CD ⊥，从而得BC ⊥平面PDC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．这里有两个思路：一是过点A 作BC 的平行线交CD 于E ，再过E 作PC 的垂线交PC 于F ，则EF 的长度就是点A 到平面PBC 的距离，求出EF 的长度即可；另外一个是等体关系，A PBC P ABC V V --=，求出点

A 到平面PBC 的距离．

试题解析：（1）证明：

PD ⊥平面ABCD

∴PD BC ⊥

又

090BCD ∠=

∴BC CD ⊥

而PD DC D ?=，

PD ?平面PDC ，

CD ?平面PDC

∴BC ⊥平面PDC ．

（2）解：连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． 由（1）有BC ⊥平面PDC

∴BC ⊥PC

在Rt PDC ?中，有1PD DC ==

∴2PC =

由A PBC P ABC V V --=，有11

33

PBC ABC S h S PD ????=

?? ∴1111

3232PC BC h AB BC PD ????=???? ∴1111

212113232h ????=???? ∴2h =

故所求距离为2．

考点：1、线面垂直判定定理；2、三角形面积公式；3、四棱锥的体积公式． 20．（1）75；（2）3

5

． 【解析】

试题分析：（1）估计所抽取的数学成绩的众数，从频率分布直方图中可以直观看出众数在[)70,80，再取其平均值即可；

（2）首先求出样本总数，可以分别得到成绩为[80,90)和[90,100]的频数，再根据分层抽样原则可以计算得到成绩为[80,90)和[90,100]，两组中分

别抽取的人数，之后根据古典概型求出分数在[90,100]恰有1人的概率． 试题解析：（1）由频率分布直方图可知：样本的众数为75．

（2）由频率分布直方图可得：第三组[50,60)的频率：0.012100.12?=，

所以60.1250n =÷=，

第四组[80,90)的频数：0.024105012??=； 第五组[90,100]的频数：0.01610508??=； 用分层抽样的方法抽取5份得： 第四组[80,90]抽取：

125320?=；第五组[90,100]抽取：8

5220

?=． 记抽到第四组[80,90)的三位同学为123,,A A A ，抽到第五组[90,100]的两位同学为12,B B 则从5个同学中任取2人的基本事件有：1213111223(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A A

2122(,),(,)A B A B ，313212(,),(,),(,)A B A B B B ，共10种．…

其中分数在[90,100]恰有1人有：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，共6种． 所求概率：63105

P =

= 考点：1、众数；2、频率分布直方图；3、分层抽样；4、排列组合和古典概型．

21．（1）2214

x y +=；（2

．

【解析】

试题分析：（1）已知右焦点坐标得到c 值，再由离心率的值可以求出a 的值，另外222a c b =+，得b 值，从而写出椭圆方程；（2）先设出直线MN 的方程和椭圆方程联立，得到一元二次方

程2

580x -+=，此方程两个解正好分别是,M N 的横坐标，即设

1122(,),(,)M x y N x y ，由韦达定理和两点之间距离公式可得MN 的值，再根据点到直线的

距离公式可得点O 到直线MN 的距离，最后由三角形面积公式即可．

试题解析：（1）由题意可知??

?

?

?

??+====222233c b a a c e c ,

解得 2,1a b ==

所以椭圆的方程为2

214

x y +=． （2）由已知可设直线MN

的方程为：y x = 联立方程组

?????=++=14

2

2

y x m kx y 消去y

得：2

580x -+= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则

1212585x x x x ?+=???

?=??

∴

MN =

==8

5

点O 到直线MN 的距离为：

2

d =

=

∴

11822525OMN

S

MN d =

?=??=

． 考点：1、椭圆标准方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、两点之间距离公式和点到直线的距离公式．

22．（1）函数()f x 的单调递增区间为1

(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e

；（2）(,1]-∞． 【解析】

试题分析：（1）对定义在(0,)+∞的函数x x x f ln )(=关于x 求导，再根据导数的相关知识

求取单调区间：单增区间'()0f x >，单间区间'()0f x <；（2）这是个恒成立问题，求参数

a 的取值范围，一般我们都是优先考虑参变互换进行转化，得到1

ln a x x

≤+在[1,)+∞上恒

成立，把问题成功转化为求取新的函数1

()ln (1)g x x x x

=+≥在[1,)+∞上最小值，之后利用导数的相关知识求最小值即可．

试题解析：（1）函数()y f x =的定义域为：(0,)+∞．

'()'ln (ln )'f x x x x x =+

=ln 1x +

令'()0f x >，有ln 10x +>，即1ln ln x e ->

∴ 1x e

>

∴ 函数()f x 的单调递增区间为：1(,)e +∞，单调递减区间为：1

(0,)e

．

（2）由（1）可知：ln 1x x ax ≥-在[1,)+∞上恒成立．

即 1

ln a x x

≤+

在[1,)+∞上恒成立． 记函数1

()ln (1)g x x x x

=+≥，则

22111

'()0x g x x x x

-=-=>

∴ 函数()g x 在[1,)+∞上单调递增．

∴ min ()(1)1g x g == ∴ 1a ≤

∴ 所求取值范围是：(,1]-∞．

考点：1、特殊函数求导；2、利用导数求解函数的单调性和最值；3、转化思想．