上海市曹杨二中2019-2020学年上学期高二期末考试数学试题(简答)
曹杨二中高二期末数学试卷 2020.01 一. 填空题 1. 三个平面最多把空间分成 个部分
2. 若线性方程组的增广矩阵是121234c c ?? ??
?，解为02x y =??=?，则12c c += 3. 若行列式312
27314k
--中元素1-的代数余子式的值为5，则k =
4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为
5. 已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3AB =，则外接球面上 两点A 、B 间的球面距离是
6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为
7. 若正四棱锥的地面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为
8. 已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为
9. 若数列{}n a 满足112a =，212323n n a a a na n a +++???+=，*n ∈N ，则20a =
10. 某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1、2、3，则这条棱的长为
11. 对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若12{}33n
n n a =?， *n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为
12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为
10公里，侧棱长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公
里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B
的观光铁路，这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则
下坡段铁路的长度为 公里
二. 选择题
13. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，???，得到等差 数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ）
A. 不完全归纳法
B. 完全归纳法
C. 数学归纳法
D. 分析法
14. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）
A. S
B. 6
C. 14
D. 18
15. 已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，
P 是棱SA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角
为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --
的平面角为γ，则（ ）
A. βγ<，αγ<
B. βα<，βγ<
C. βα<，γα<
D. αβ<，γβ<
16. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是
平面α、β上的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，
则m 与n 的位置关系是（ ）
A. 可能垂直，但不可能平行
B. 可能平行，但不可能垂直
C. 可能垂直，也可能平行
D. 既不可能垂直，也不可能平行
三. 解答题
17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.
（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；
（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用.
（结果精确到1元）
18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3AD =，3PA =，AD ∥BC ，AB BC ⊥，45ADC ∠=?.
（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小；
（2）求点A 到平面PCD 的距离.
19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，*n ∈N .
（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由.
20. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D 、E 分别是AC 、11B C 的中点.
（1）求证：11AC B C ⊥；
（2）求证：DE ∥平面11AA B B ；
（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小.
21. 对于给定的正整数n （4n ≥），设集合12{,,,}n A a a a =???，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.
（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；
（2）若12,,,n a a a ???是以1a 为首项，d （0d >）为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；
（3）若12,,,n a a a ???是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和.
参考答案
一. 填空题
1. 8
2. 12
3. 4-
4. 3π
5.
23π 6. 7. 24 8. 2
9.
35 10. 11. 724 12. 18
二. 选择题
13. A 14. B 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）32.1m ；（2）220元.
18.（1）arccos
4；（2）5. 19.（1）45
q =；（2）12.
20.（1）证明略；（2）证明略；（3. 21.（1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）元数个数为2n 个，和为29(31)4
n -.