向量的数量乘积

平面向量基本定理及坐标表示

【知识要点】

1.平面向量数量积的概念；

2.两向量夹角的概念及其取值范围

3.平面向量数量积的运算律

4.平面向量数量积的坐标表示

5.向量垂直的坐标表示的充要条件

【典型例题】

1.已知||3a =,||4b =,且()(3)33a b a b +?+=,则,a b 的夹角为____________

2. 已知(3,0)a =,(,5)b k =且a 与b 的夹角为34

π,则k 的值为________________ 3.已知向量 (6,2)a =,(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是_______________

4.有四个向量满足a y x =-,2b x y =-且a b ⊥,||||1a b ==,则,x y 的夹角余弦值为

5.已知||3a =,||2b =,,a b 的夹角为60,则|2|a b -=______________

6.已知两向量,a b ,||2a =,||2b =,,a b 的夹角为45,要使b a λ-与a 垂直,则λ=_________

7.已知1)a =-,(1,b =,则a 在b 方向上的投影等于 ( )

A B 1 C 2 D 4

8.给定两个向量(3,4)a =,(2,1)b =-且()(),a xb a b +⊥-则x = ( )

A 23

B 232

C 233

D 234

9.P 是ABC ?所在平面上一点,若PA PB PB PC PC PA ?=?=?,则P 是ABC ?的 ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

10.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,当k 为何值时,

(1) ka b +与3a b -平行 (2) ka b +与3a b -垂直

11.向量12,e e 是夹角为60的两个单位向量,求向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角.

12.非零向量,a b ,若()(2)a b a b +⊥-, (2)(2)a b a b -⊥+,试求,a b 的夹角的余弦值.

13.平面内有向量(1,7)OA =, (5,1)OB =, (2,1)OP =,点Q 为直线OP 上的一个动点(点O 为坐标原点).

(1) 当QA QB ?取最小值时,求OQ 的坐标.

(2) 当点Q 满足(1)的条件和结论时,求cos AQB ∠的值.

Q P A C B 14.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，

（Ⅰ）判断BP CQ AP CB ?-?的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；

（Ⅱ）求BP CQ ?的最大值

【课堂训练及作业】

1.与向量71(,)22a =，17(,)22b =-的夹角相等，且模为1的向量是（ ）

A 4

3(,)55- B 43(,)55-或43(,)55

-

C 1)3-

D 1)3-或 1()3

2.已知(2,3)a =,(4,7)b =-,则a 在b 方向的投影为( )

A B C D 3.设平面上有四个互异的点,,,A B C D .已知(2)()0DB DC DA AB AC +-?-=,则ABC ?的形状是

( )

A 直角三角形

B 等腰三角形

C 等腰直角三角形

D 等边三角形

4.与向量(1,2),a =(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标为 _

5.已知向量(2,2)OA =,(4,1)OB =,在x 轴上一点P ,则AP BP ?的最小值是_______________

6.已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，若||1ka b c ++>，()k R ∈，求k 的取值范围。

7.已知,m n 是夹角为60的单位向量,求2a m n =+,32b m n =-+的夹角

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

向量的数量积经典例题(含详细答案)

向量的数量积经典例题（含详细答案） 1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹角为120o . 求（1）a b r r g ，()() 22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r 2．已知向量a r 、b r 的夹角为2,||1,||23 a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值 （2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值. 3．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=r r （1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ； （2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹角的余弦值. 4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ， （1）求()a b c ?+r r r ； （2）若 ()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.

5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r . （1）求a b ?r r 的值； （2）求a r 与b r 所成角的大小. 6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r （1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ； （2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k . 7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹角为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r , (1)当c d v P v 时，求实数k 的值； (2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.

向量数量积的概念

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 【课程标准】 了解向量数量积的概念，了解与数量积有关的投影，夹角，模的几何意义并能进行简单运算。 【核心素养】 逻辑推理，数学运算。 【导学流程】 一、基础感知 1.两个向量的夹角 给定两个非零向量,a b r r ，在平面内任选一点O ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则称[0,] π内的AOB ∠为向量a r 与向量b r 的 ，记作 。如图8－1－2，向量a r 与b r 的夹角为4 π ，即,a b <>=r r ；向量a r 与c r 的夹角为2 π ，则,a c <>=r r ；向量a r 与d u r 的夹角为 ，即,a d <>=r u r ；向量a r 与e r 的 夹角为 ，即,a e <>=r r . 练一练：已知等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，求： ,,,,,,,AB AC BC AC BC CA DA BC <><><><>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 根据向量夹角的定义可知： ,a b ≤<>≤r r . ,a b <>=r r . 当,2 a b π <>=r r 时，称向量a r 与向量b r ，记作 . 规定：零向量与任意向量垂直.

2.向量数量积的定义 一般地，当a r 与b r 都是非零向量时，称||||cos ,a b a b <>r r r r 为向量a r 与b r 的 .（也称为 ），记作 ，即 .由定义可 知，两个非零向量a r 与b r 的数量积是一个 . 两个非零向量的数量积即可以是 ，也可以是 ，还可以是 . 向量的数量积有如下性质： （1） （2） 当a r 与b r 至少有一个是零向量时，称它们的数量积为 ，即 . a r 与 b r 垂直的充要条件是 ，即 . 练一练：（1）已知5,4,,120a b a b ===?r r r r ，求a b ?r r ； （2）已知3,2,3a b a b ==?=r r r r ，求,a b <>r r . 由（2）可看出，如果,a b r r 都是非零向量，则cos ,a b <>=r r . 3.向量的投影与向量数量积的几何意义. 如图8－1－4所示，设非零向量AB a =u u u r r ，过,A B 分别作直线l 的垂线，垂 足分别为,A B ''，则称向量A B ''u u u u r 为向量a r 在直线l 上的 或 .给 定平面上的一个非零向量b r ，设b r 所在的直线为l ，则a r 在直线l 上的投影称为a r 在向量b r 上的 .如图8－1－5中，向量a r 在b r 上的投影为 .

数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3 ★ 返回 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积（或称为内积、点积），记为b a ?，即 θcos ||||b a b a =?. 根据数量积的定义，可以推得： （1） b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?; （2） 2 ||a a a =?; （3） 设a 、b 为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a . 数量积满足下列运算规律： （1）交换律 ;a b b a ?=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 二、两向量的向量积 定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件： （1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图

8-3-4）； （2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b 的夹角)， 则称向量c 为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为 b a c ?=. 根据向量积的定义，即可推得 （1）0 =?a a ； （2）设a 、b 为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=?b a . 向量积满足下列运算规律: （1）;a b b a ?-=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求 (1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影. 解 (1) b a ?2)4()2(111?-+-?+?=.9-= (2) 222222cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++= θ,2 1- = ∴.4 3π θ= (3) ,Pr ||a j b b a b =?.3| |Pr -=?=∴a b a a j b 例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直. 证 c a c b b c a ??-?])()[(])()[(c a c b c b c a ??-??=])[(c a c a c b ?-??=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥?-?

空间向量的数量积(人教A版)(含答案)

空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )

平面向量数量积运算专题(附标准答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( )

A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________.

《空间向量的数量积运算》示范教案

3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？

第四章 第三节 平面向量的数量积(优秀经典课时作业练习及答案详解)

[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1 2，(a ＋2b )·a ＝2，下列说法正确的是( ) A ．a ⊥b B ．a 与b 同向 C ．a 与b 反向 D ．a 与b 夹角为60° 解析：(a ＋2b )·a ＝1＋2×1 2×1×cos θ＝2，得cos θ＝1，所以θ＝0°，则a ，b 同向，故 选B. 答案：B 2．(2020·吉林梅河月考)向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析：因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0，即a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0，所以b 2＝a 2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝12.因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉 ＝π3 . 答案：B 3．(2020·广东茂名联考)如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC →·BD → ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．12 解析：AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(AD →－AB →)＝(AB →＋BC →)·(2BC →－AB →)＝2|BC →|2＋BC →·AB →－|AB →|2＝8＋2×2×1 2 －4＝6. 答案：C 4．(2020·吉林长春一模)已知在边长为4的正方形ABCD 中，AE →＝12AB →，AF →＝14 AD → ，则

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题 意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

空间向量的数量积运算练习题

课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →

【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2 ，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．

向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b ) ２ ＝a ２＋２a 2b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a 2b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２ －b ２ 这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a 2b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a 2b ＋b ２＝２２＋２3（－３）＋５２ ＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２ ＝（a －b ）２ ＝a ２ －2a 2b ＋b ２ ＝2２ －23（－3） 3５２ ＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a 2b ＋b ２＝｜a ｜２ ＋2｜a ｜2｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２3８3１０ｃｏｓθ＋１０２ ， ∴ｃｏｓθ＝ 40 23 ，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )2a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２ ＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２ ＝１ ② 由①②有24xy +25y ２ ＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =± 7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==7535 24753524y x y x 和

数量积与向量积

数量积与向量积 一、两向量的数量积 1、数量积的物理背景:设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2.以s 表示位移→ 21M M .由物理学知道,力F 所作的功为 W = |F | |s | cos q , 其中q 为F 与s 的夹角. 2、数量积:对于两个向量a 和b ,它们的模|a |、|b |及它们的夹角q 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积,记作a ×b ,即 a · b =|a | |b | cos q . 3、数量积与投影: 由于|b | cos q =|b |cos(a ,^ b ),当a 10时,|b | cos(a ,^ b )是向量 b 在向量a 的方向上的投影,于是a ·b =|a | Prj a b . 同理,当b 10时,a·b = |b | Prj b a . 4、数量积的性质: (1) a·a =|a | 2. (2) 对于两个非零向量 a 、b ,如果 a·b =0,则 a ^b ; 反之,如果a ^b ,则a·b =0. 如果认为零向量与任何向量都垂直,则a ^b ?a ·b =0. 5、数量积的运算律: (1)交换律: a·b = b·a ; (2)分配律:(a +b )×c =a ×c +b ×c . (3)(l a )·b = a·(l b )= l(a·b ), (l a )·(m b )= lm(a·b ),l 、m 为数. 例1 试用向量证明三角形的余弦定理. 6、数量积的坐标表示: 设a =(a x , a y , a z ),b =(b x , b y , b z ), 则a·b =a x b x +a y b y +a z b z . 7、两向量夹角的余弦的坐标表示: 设q =(a , ^ b ), 则当a 10、b 10时,有 222222||||cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=?=b a b a θ. 例2 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求DAMB . 解 从M 到A 的向量记为a , 从M 到B 的向量记为b , 则DAMB 就是向量a 与b 的夹角. a ={1,1,0},b ={1,0,1}. 因为 a × b =1′1+1′0+0′1=1, 2011||222=++=a , 2101||222=++=b .

《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排： 2课时 五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景 平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ ? F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个 =s cos ? 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a?b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）

(完整版)第二节数量积向量积教案

重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室班级：编写时间： 1

2 课题： 第二节 数量积 向量积 教学目的及要求： 让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础 教学重点： 1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点： 1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学步骤及内容 ： 一、两向量的数量积： １．定义：θcos b a b a =?，式中θ为向量a 与b 的夹角。 ２．物理上：物体在常力F 作用下沿直线位移s ，力F 所作的功为 θcos s F =W 其中θ为F 与s 的夹角。 ３．性质：１） 2 a a a =? ２） 两个非零向量a 与b 垂直b a ⊥的充分必要条件为：0=?b a ３） a b b a ?=? ４） c b c a c b a ?+?=?+)( ５） )()(c a c a ?=?λλ λ为数 ４．几个等价公式： 旁批栏：

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4 １） 坐标表示式：设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 则 z z y y x x b a b a b a ++=?b a ２） 投影表示式：a b b a b a b a j j Pr Pr ==? ３） 两向量夹角可以由b a b a ?= θcos 式求解． ５．举例：已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2)，求AMB ∠． 提示：先求出向量MA u u u r 及MB u u u r ，应用上述求夹角的公式。 二、两向量的向量积： １．概念：设向量c 是由向量a 与b 按下列方式定义： c 的模θsin b a c =，式中θ为向量a 与b 的夹角。 c 的方向垂直于a 与b 的平面，指向按右手规则从a 转向b 。 注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 ２．公式：b a c ?= ３．性质：１） 0a a =? ２） 两个非零向量a 与b 平行a ∥b 的充分必要条件为：0b a =? 旁批栏：

向量的数量积和应用

1 向量的数量积 题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )·(a －2b )． (2)设正三角形ABC 的边长为2，AB u u u r ＝c ，BC u u u r ＝a ，CA u u u r ＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a . 例2 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)，求：①2a ·(b －a )；②(a ＋2b )·c . [题型练透] 1.已知正方形ABCD 的边长为2，分别求： (1)AB u u u r ·CD u u u r ；(2)AB u u u r ·AD u u u r ；(3)DA u u u r ·AC u u u r . 2.已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a . 题型二 与向量的模有关的问题 例3 (1)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. (2)已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3 ，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度． 例4 若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，则|a －b |的最小值为________． [题型练透] 1.已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |.

2 2.设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 题型三 两个向量的夹角问题 例5 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 例6 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ； (2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． [题型练透] 1.已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角为________． 2.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 题型四 两个向量的垂直问题 例7 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？ 例8 已知向量OA u u u r ＝(3，－4)，OB u u u r ＝(6，－3)，OC u u u r ＝(5－m ，－(3＋m ))．若△ABC 为 直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值． [题型练透]

2021高一数学【新教材】第二册教学设计 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积

6.2.4 向量的数量积 第2课时向量的向量积 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。 向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。 A.掌握数量积的运算律； B.利用数量积的运算律进行化简、求值； 1.教学重点：数量积的运算律； 2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。多媒体

一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律 【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有： （1） a a )()(λμμλ= （2）a a a μλμλ +=+)( （3）b a b a λλλ+=+)( 2.平面向量的数量积定义： θcos ||||b a b a =? 平面向量的数量积的结果是数量。 二、探索新知 1.平面向量数量积的运算律 探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 平面向量数量积的运算律

证明：（1）因为θcos ||||b a b a =?，θcos ||||a b a b =? 所以，a b b a ?=?。 （2）当的夹角与的夹角、 与时，b a b a λλ0>一样。 因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ?===?λθλθλλ， )(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ?===?λθλθλλ 同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ?=?=?<时，成立。 所以，)()()(b a b a b a λλλ?=?=?。 （3）

高二数学空间向量教案(一_两个向量的数量积)

空间向量教案 一:两个向量的数量积(关键要设基底,把要求的量用基底表示) 考点一：空间向量数量积的定义、运算律及性质 例1：已知向量,,,,,3 6 a b a c b c π π ⊥<>= <>= 且||1,||2,||3a b c ===，求向量a b c ++的模 解：依题意22||()17a b c a b c ++=++=+，所以||176a b c ++=+。 考点二：垂直问题 例1：已知空间四边形OABC 中，M 、N 、P 、Q 分别为BC 、AC 、OA 、OB 的中点,若AB=OC,求证: .PM QN ⊥ 证明:如图,设,,,OA a OB b OC c ===又P 、M 分别为OA 、BC 的中点， 221 [()]. 21 [()].21 [||||] 4 PM OM OP b a c QN b a c PM QN b a c ∴=-=-+=---∴?=---同理， 又AB=OC ，即||||,b a c -= 0,,.PM QN PM QN PM QN ∴?=∴⊥⊥即 考点三：夹角问题 例1：如图，已知E 是正方体111111ABCD A B C D C D -的棱的中点，试求向量11AC 与DE 所成的角。 解:设正方体的棱长为m, 1,,,AB a AD b AA c === ||||||,0a b c m a b b c a c ===?=?=?=则 又111111111 ,2AC A B B C a b DE DD D E C a =+=+=+=+ 221111 115 ,||2,||22AC DE a m AC m DE m ∴?====又 1111111110cos ,10|||| cos 10 AC DE AC DE AC DE AC DE arc ?∴<>= = ?∴与所成的角为 考点四：长度问题 例1：如图（1），在60ABC C CD C ? ?∠∠中，＝，为的平分线，AC=4，BC ＝２.过B 点作,BN CD ⊥ 垂足为N ，BN 的延长线交CA 于点E,将图形沿CD 折起，使120,BNE ? ∠=求折后所得线段AB 的长度。 解：如图（2），s i n 302A A M C D M A M A C ? ⊥= ?=过点作，垂足为，则 4cos302cos302sin301MN MC CN NB ???=-=-=== O P A M B N Q C A B D C A 1 E C 1 B 1 D 1

向量的数量积

课题：_向量的数量积一 教学任务 教学流程说明 教学过程设计

⑷?向量的数量积的运算律 力做的功：W = | F||s|cos^ 二是F与s的夹角 活动2概念性质 (1)?两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为二，则a ? b= I a b I cos v . 其中丨b I cosr称为向量b在a方向上的投影. (2).向量的数量积的性质： —— * 右a = (X i, y i) , b= ( X2, y2 )贝"e ? a = a ? e= I a I cos v ( e为单位向量); a 丄a ? b=0：= y』2 =0 ( a , b 为非 零向量)；I a I = a ?a = x2y/ ； cos「=d=—X1X2 y _________________________________________________________ a l*I N J x,2+y；厶2+y?2 (3).向量的数量积的运算律： f * Y —1 a ? b= b ? a; (，a) ? b=，( a ? b)= a ?( b);( a + 活动3提高探究 资源1、 判断正误，并简要说明理由 ① a ? 0= 0 :② 0?a = 0;③ 0- AB = BA ; ④|a?b| = | a||b|;⑤若a 0,则对任 一非零b有a ? b^O;⑥a ? b = 0,贝U a与b 中至少有一个为0;⑦对任意向量a , b , c都有 (a ? b ) c = a ( b ? c );⑧a与b是两个单位 ③⑧(12)正确; 培 学 用 己 语 来 、 解 关 念 。 意 义 的 、 。 *> 式 点 心 养 生 自 的 言 描 理 有 概 公 注 定 中 电 核 概 辨 念 析 “投影”的概念：作图 定义：|b|cosr叫做向量 b在a方向上的投影?