概率论与数理统计答案(1)

概率论与数理统计习题及答案

习题一

1． 略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C不发生；

（3）A，B，C都发生；

（4）A，B，C至少有一个发生；

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C不都发生；

（7）A，B，C至多有2个发生；

（8）A，B，C至少有2个发生.

【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC

（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC

(5) ABC=A B C

(6) ABC

(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC

3. 略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.

【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]

=1-[0.7-0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？

（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，

求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

=1

4

+

1

4

+

1

3

-

1

12

=

3

4

7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=533213

1313131352

C C C C/C

8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=

517=（17

）5

（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P （A 2）=5567

=(67)5

(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}

P （A 3）=1-P (A 1)=1-(

17

)5

9. 略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n

（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.

【解】（1） P （A ）=C C /C m n m n

M N M N --

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n

N 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合

数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m

M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m N M --种，故

P （A ）=C P P P m m n m

n M N M

n

N

-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P （A ）=C C C m n m

M N M

n

N

-- 可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n 次抽取中有m

次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故

()C ()

/m m n m

n n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M

N

，则取得m 件正品的概率为

()C 1m n m

m

n

M M P A N N -????

=- ? ?

???

?

11. 略.见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强

度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}

133

103501

()C C /C 1960

P A ==

13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两

个是白球的概率.

【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

21

343

4

233377C C C 184(),

()C 35

C 35

P A P A ====

故 232322()()()35

P A A P A P A =+=

14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）

(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-?= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?=

15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325

p =

= 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.

【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则

3

331212

3330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+ 222233

33C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)?

=0.32076

17． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

【解】 41111522224

10C C C C C 131C 21

p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.

（1） ()0.1

()0.2()0.5

P AB p B A P A =

== （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=

19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

()6/86

()()7/87

P AB P B A P A =

==

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

6()7

P B A =

20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假

设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.50.0520

0.50.050.50.002521

?=

=?+?

21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影

部分所示.

22301604

P ==

22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：

（1） 两个数之和小于6

5的概率； （2） 两个数之积小于1

4

的概率.

【解】 设两数为x ,y ，则0

65

. 1144

17

25510.68125

p =-==

(2) xy =<1

4

.

111124411

1d d ln 242

x p x y ??=-=+ ?????

23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()

()()()()()

P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==

+- 0.70.51

0.70.60.54

-=

=+-

24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒

中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}

由全概率公式，有

3

()()()i i i P B P B A P A ==∑

3312321

3336996896796

33333333

1515151515151515

C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089= 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可

能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P

（A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知

（1）()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==

+

0.20.11

0.027020.80.90.20.137

?=

==?+?

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%

(2) ()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==

+ 0.80.14

0.30770.80.10.20.913

?=

==?+?

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A

的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？

【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }

C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得

()()

()()()()()

P A P C A P A C P A P C A P A P C A =

+

2/30.98

0.994922/30.981/30.01

?=

=?+?

27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球

的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=

1

3

,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知

11112

()()()

()()

()()

i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ==

=∑ 2/31/31

1/31/32/31/311/33

?=

=?+?+?

28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次

品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.960.98

0.9980.960.980.040.05

?=

=?+?

29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一

年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，

C ={该客户是“冒失的”}，

D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)

P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=

++ 0.20.05

0.0570.20.050.50.150.30.3

?=

=?+?+?

30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假

定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.

4

12341

()1()i i P A P A A A A ==-

12341()()()()P A P A P A P A =-

10.980.970.950.970.124=-???=

31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.

1(0.8)0.9n -≥

即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.

32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.

【证】 (|)(|)

P A B P A B =即()()

()()

P AB P AB P B P B =

亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =

()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-

因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.

33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，1

4

，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则

3

1231231

()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-

423

10.6534

=-

??= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机

被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

3

()(|)()i i i P A P A B P B ==∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

35. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10

个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3

10110

C

(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -==

=∑

(2) 10

10210

4

C

(0.25)(0.75)0.2241k

k k k p -==

=∑

36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1） 2466

C 9

()10P A =，也可由6重贝努里模型：

224

619()C ()()1010

P A =

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

610

6P ()10

P B =

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人

在该层离开，有2

6C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故

12131146

10694899()C C (C C C C P )/10P C =++

（4） D=B .故

6

10

6P ()1()110

P D P B =-=-

37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111

p n =

- (2) 23!(3)!

,3(1)!

n p n n -=>-

(3) 12(1)!13!(2)!

;,3!!

n n p p n n n n --''=

==≥ 38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率

【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由

0

()()x y a x y x a x y y y a x y x

+>--??+-->??+-->? 构成的图形，即

02022a x a y a

x y a ?<

?<

如图阴影部分所示，故所求概率为14

p =

. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次

（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.

【证】 11P 1

,1,2,,

P k n k n p k n n

--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有

i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8

个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

01512384

()0.512,()0.38410001000P A P A =

===, 24968

()0.096,()0.00810001000P A P A ====.

41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证

P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ).

【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥= ()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-

42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

3413C 3!3

()48

P A ==

而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

14

33C 1()416

P A ==

因此 213319

()1()()181616

P A P A P A =--=-

-= 或 121433

23

C C C 9()416

P A == 43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次

数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以

1()

()2

P C P A -=

由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为

211()()()22

n n n

n P C C =

故 2211()[1C ]22

n

n n P A =-

44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）

（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5 (2) 当n 为偶数时，由上题知

2

11()[1C ()]22

n

n n P A =-

45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

>正正（甲乙）

=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=

12

46. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ). 【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得

()()

,()()

P AC P BC P C P C ≥

即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥

故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=

47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的

概率.

【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则

121(1)1()(1)

2

()(1)1()(1)

n k k

i k k

i j k

i i i n P A n n

P A A n

n P A A A n

--==-=--=-

其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是

21121111

2

211

1111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0

()(1)n n n

k k

i n

i k

i j n i j n n k

n i i i n i i i n

n n

n i n

i S P A n n n S P A A n n S P A A A n

S P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-

==-+-+-∑∑∑

1

2

1

121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n k

n n n n n

n

n

--=---++-- 故所求概率为

121121()1C (1)C (1)n

k i i n n i P A n n =-=--+--+ 11

1(1)C (1)n n k n

n n

+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此

试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为

1(1)1()n n ε--→→∞

49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r

次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}

B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m n

P B P B m n m n

=

=++ 1

(|),(|)12

r P A B P A B ==

则由贝叶斯公式知

()()(|)

(|)()()(|)()(|)

P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =

=

+ 121212r

r

r m m m n m n

m n m n m n

+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两

盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121

()()2

P B P B ==

.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。把取2n -r 次火柴视作2n -r 重贝努里试验，则所求概率为

12211112C ()()C 2222n n n r n

n r n r

r r

p ----== 式中2反映B 1与B 2盒的对称性（即也可以是B 2盒先取空）.

（2） 前2n -r -1次取火柴，有n -1次取自B 1盒，n -r 次取自B 2盒，第2n -r 次取自B 1盒，故概率为

111

2122121

11112C ()()C ()2222

n n n r n n r n r n r p ----------== 51. 求n 重贝努里试验中A 出现奇数次的概率.

【解】 设在一次试验中A 出现的概率为p .则由

00112220

()C C C C 1n n n n n n n n n n q p p q pq p q p q --+=++++= 0011222n 0()C C C (1)C n n n n n n n n n

n q p p q pq p q p q ---=++-+-

以上两式相减得所求概率为

11333

1C C n n n n p pq p q

--=++ 1

[1()]2n q p =-- 1

[1(12)]2

n p =-- 若要求在n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

21

[1(12)]2

n p p =+-.

52.设A ，B 是任意两个随机事件，求P {（A +B ）（A +B ）（A +B ）（A +B ）}的值. 【解】因为（A ∪B ）∩（∪）=A ∪B

（A ∪B ）∩（A ∪B ）=AB ∪AB

所求 ()()()()A B A B A B A B ++++ [()()]AB AB AB AB =+ =?

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A ，B 和C 满足条件：

ABC =Φ，P (A )=P (B )=P (C )< 1/2，且P （A ∪B ∪C ）=9/16，求P （A ）.

【解】由()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 2

93()3[()]16

P A P A =-=

故1()4P A =

或34,按题设P （A ）<12,故P （A ）=14

. 54.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率

相等，求P （A ）.

【解】 1

()()1()9

P A B P A B P A

B ==-= ① ()()P AB P AB = ②

故 ()()()()P A P AB P B P AB -=-

故 ()()P A P B = ③ 由A ,B 的独立性，及①、③式有

1

1()()()()9

P A P B P A P B =--+ 2

12()[()]P A P A =-+

2[1()]P A =-

故 11()3

P A -=± 故 2()3P A =或4

()3

P A =（舍去） 即P （A ）=

2

3

. 55.随机地向半圆0

22x ax - (a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成

正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1

2

πa 2.阴影部分面积为 22π142

a a + 故所求概率为

222π1114

212ππ2

a a

p a +==+ 56. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件

也是不合格品的概率.

【解】 设A ={两件中至少有一件是不合格品}，B ={另一件也是不合格品}

242102

62

10

C C ()1

(|)C ()51C P AB P B A P A ===- 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.

随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p ；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . 【解】设A i ={报名表是取自第i 区的考生}，i =1,2,3.

B j ={第j 次取出的是女生表}，j =1,2.

则 1

(),1,2,33i P A i =

= 111213375

(|),(|),(|)101525

P B A P B A P B A ===

(1) 3

111

137529

()(|)()310152590i

i p P B P B A ===

=++=∑ (2) 21212()(|)()

P B B q P B B P B ==

而 3

22

1

()(|)()i i i P B P B

A P A ==

∑

1782061()310152590

=

++= 3

21211

()(|)()i i i P B B P B B A P A ==∑

137785202()3109151425249

=

?+?+?= 故 2122

()20

9()6190

P B B q P B ===

58. 设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0,P (A |B )=1,试比较P (A ∪B )与P (A )的大小. (2006研考)

解：因为 ()()()()P A B P A P B P AB =+-

()()()()P AB P B P A B P B =?=

所以 ()()()()()P A B P A P B P B P A =+-= .