完全平方公式导学案

完全平方公式

【学习目标】

会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

【学习重点】

运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

【学习难点】

灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

【学习过程】

一、预习准备

1．利用完全平方公式计算

（1） （2） （3） （4）2．计算：

（1） （2）平方差公式和完全平方公式的逆运用

由 反之 反之 二、课堂练习

1．填空：

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）若 ，则k =

（8）若是完全平方式，则k =

298220321022

19722(3)x x +-22

(1)(1)ab ab +--()()22b a b a b a -=-+()()

b a b a b a -+=-22()2222b ab a b a +±=±()2

222b a b ab a ±=+±24(2)()a a -=+225(5)()x x -=-22()(

)

m n -=264()()x -=2449(27)()

m m -=-442222()()()()()

a m a m a m -=+=+22)2(4+=++x k x x 92++kx x

例1． 计算：1． 2．现在我们从几何角度去解释完全平方公式：从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b ，它是由两个小正方形和两个矩形组成， 所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。则S ＝ ＝ 即：

如图（2）中，大正方形的边长是a ，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它的面积是 。从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积。 也就是：（a-b ）2= 。这也正好符合完全平方公式。

例2．计算：

（1）

（2）三、变式训练：

（1） （2）()()42122+--+a a a ()()2

21212+--xy xy 2(3)x y --2

()a b c ++2)3(-+b a )

2)(2(-++-y x y

x

（3） （4）（x+5）2–（x-2）（x-3）

（5）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3） （6）（2x-y ）2-4（x-y ）（x+2y ）

【学习拓展】

1．（1）已知，则=

（2）已知，求________，________

（3）不论为任意有理数，的值总是（ ）

A ．负数

B ．零

C ．正数

D ．不小于2

2．（1）已知，求和的值。（2）已知，求的值。

（3）已知，求的值

【学习小结】

1． 完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a 、b 表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号。

2． 解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。

)3)(3(+---b a b a 2,4==+xy y x 2)(y x -3)(,7)(22=-=+b a b a =+22b a =ab b a 、72422++-+b a b a 0132=+-x x 221x x +

441x x +1,3-=-=-c b b a ca bc ab c b a ---++2220966222=++--+y x xy y x y x -

完全平方公式教案

完全平方公式（1） 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出准确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践水平等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则的准确应用。 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能准确的应用公式。

三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。 2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。 3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。 （二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下坚实的基础。 （三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断 或大胆的猜测； （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同 角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和使用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，理解到数学是解决实际问题和实行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断能够获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的

【学案】初中数学《完全平方公式》导学案

初中数学 完全平方公式（学案） 一、学习目标 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 2．了解完全平方公式的几何背景 二、学习重点：会用完全平方公式进行运算 三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算 四、学习设计 （一）预习准备 （1）预习书p47-49 （2）思考：和的平方等于平方的和吗？ （3）预习作业： （1）(32)(32)a b a b -+= （2）(32)(32)a b a b --=＝ （3）2(1)(1)(1)p p p +=++= （4）2(2)m += （5）2(1)(1)(1)p p p -=--= （6）2(2)m -= （7）2()a b += （8）2()a b -= （二）学习过程 观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而 221,422p p m m ==，恰好是两个数乘积的二倍． （3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用． 因此我们得到完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍． 公式表示为：2()a b += 2()a b -= 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减） 例1．应用完全平方公式计算： （1）2(4)m n + （2）21()2 y - （3）2()a b -- （4）2(2)x y -+

变式训练1： 1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正： （1）22(21)221a a a -=-+ （2）22(21)41a a +=+ （3）22(1)21a a a --=--- 2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 分析：完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同： 222()2a b a ab b ±=±+ 22()()a b a b a b +-=- 结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项 3．计算： （1）2(12)x -- （2）2(21)x -+ （3）()()n m n m +--22 （4）??? ??-??? ??+b a b a 2131213 1 例2．计算： （1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）22)32 1()321(b a b a +-； （3）)432)(432(-++-y x y x . 方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合

完全平方公式教学设计

《完全平方公式》教学设计 淮南实验中学卞贤磊

公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 文字叙述： 两数和（或差）的平方等于它们平方的和，加上（或减去）它们乘积的两倍． 记忆口诀： 完全平方有三项 首尾符号是同样 首平方，尾平方 首尾二倍放中央 中央符号随尾项 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 练习1 练习2 课 后 反 思 1、这堂课我通过复习平方差公式，然后利用练习引出问题．学生通过多项式乘以多项式的方法得到了结论，并有同学指出))((b a b a ++的结果是有规律的．接着我通过让学生尝试用他们认为的规律直接说出2)(n m +及2)32(y x +的答案，再用多项式乘以多项式的方法验证规律的正确性．在这个环节中学生得到的规律是正确的，但在用规律直接说出2)32(y x +的答案时，却得到了 223244y xy x ++这个错误结论．事实上，学生的错误是将首末两项积的两倍错 误的做成的了每一项都乘2 ，但在处理这个问题时，我过于急躁，直接让学生用多项式乘以多项式的方法得到结果后，就总结了规律，而未能让说错的同学自己找出错误的原因，我想这在今后的教学中是要注意的，因为，学生自己找出错误的原因永远比老师直接告诉他原因记得更牢． 2、在得到两数和的完全平方公式后，我让学生尝试说出公式的的特征，再用面积的方法说明完全平方公式．然后，让学生自己猜测2)(b a -的结论，并模仿第一环节，分别用多项式乘以多项式以及面积的方法说明结论的正确性，再归纳公式的结构特征，然后，利用两数和的完全平方公式说明两数差的完全平方公式，揭示出两个公式间的关系．这一环节都是按照预想的进行，效果不错，只是未能点一下为何要学公式．（方便计算） 3、公式引出后，就进入了这节课的另一个重要环节，即运用公式进行计算．运

完全平方公式导学案

完全平方公式导学案 学习目标：1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用 公式进行简单计算。 2、会用几何拼图方式验证平方差公式 教学过程： 一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题： （1）2)32(-x =91249664)32)(32(22 +-=+--=--x x x x x x x （2）2 )32(+x = ; （3）2 )2(y x += ; （4）2 )2(y x -= ; （5）2 )5(+a = ; （6）2)5(-a = ; 二、探究新知： 活动1：观察上面6道题中等式左边的形式和最终计算出的结果，发现其中的规律： 1、左边都是 形式，右边都是 次 项式 2、左边第一项和右边第一项有什么关系？ 3、左边第二项与右边最后一项是什么关系？ 4、右边中间一项与左边两项的关系是什么？ 归纳：完全平方公式：（a+b ）2 = （a-b ）2 = 语言叙述： 三、新知应用（参考P41例1格式步骤．．．． ，完成下列各题） 计算：（1）2)2(b a + （2）2)43(y x -（3）2 )2(a xy - （4）2 )4(y x +-（5）2 )2 1 (-a （6）2)3 13(b ab - 四、拼图游戏 活动2：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式， 你能通过下面的拼图游戏说明完全平方公式吗？ 问题1你能根据图1谈一谈 （a + b ）2=a 2 + 2ab+b 2 吗？ 问题2你能根据图2,谈一谈 （a －b ）2=a 2－2ab+b 2吗？ 五、课堂练习 （1）2 )32(+x （2）2 )32(--x （3）2 )32(-x （4）2 )32(+-x 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项的符号 的， 如果两个数具有不同的符号，? 则 ； 六、教学反思 你发现了吗？

完全平方公式导学案

14.2.2 完全平方公式导学案姓名： 一自主学习 1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=( p+1) ( p+1）= ; (2) (m+2)2= ; (3) (p-1)2 =( p–1) ( p–1）= ; (4) (m-2)2= . 猜测：(a+b)2 = (a-b)2 = 2.你能通过计算验证你的猜想吗？试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。 3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗？ （1）(a+b)2 =a2+2ab+b2 探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加 b， 形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。 ①整体看： 是边长为的大正方形，面积= ； ②部分看：（用分割法）四块面积分别为， 四块面积的和= 。 所以= （2）(a–b)2 =a2–2ab+b2 探究2.如图一块边长为a的正方形，现将其边长减少 b， 形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。（试着画一画图） ①整体看： 是边长为的正方形，面积= ； ②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积？ 所以= 4.试着用文字来描述这两个公式： 5.判断计算结果正误，错误的请写出正确答案 （1）(a+1)2=a2+1 （2）(a-2)2=a2-4 （3）(a-2b)2=a2-2ab+2b2

二. 新知讲授 例1．运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2 (2) 992 练习运用完全平方公式计算 （1）(2x+1)2 （2）2)32 43(y x - （3）1022 (4) (- x -2y )2 例2. 若 求a 2 + b 2的值。 小测 1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a +b )2=a 2+b 2；（ ） (2)(a -b )2=a 2-b 2；（ ） (3)(a +b )2=(-a -b )2；（ ） (4)(a -b )2=(b -a )2（ ） 2、计算(1)（x –2y ）2 (2)（- x - y ）2 3、已知 x – y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值 ,6,5-==+ab b a

初中数学课程教学设计案例(完全平方公式)

初中数学课程教学设计案例 学科：数学年级：九年级 课题名称：完全平方公式（1） 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 关键信息： 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。 三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。 （二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、方程、不等式、函数等进行描述。 （三）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （四）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。 四、教育理念和教学方式： 1.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。 2.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。 3.教学评价方式：（1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。（2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。 五、教学媒体：多媒体 六、教学和活动过程： 〈一〉、提出问题

完全平方公式导学案

完全平方公式导学案 姓名： 一自主学习 1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律 (1)(p+1)2=(p+1)(p+1）=; (2)(m+2)2=; (3)(p-1)2=(p–1)(p–1）=; (4)(m-2)2=. 猜测：(a+b)2= (a-b)2= 2.你能通过计算验证你的猜想吗试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。 3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗 （1）(a+b)2=a2+2ab+b2 探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加b， 形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。 ①整体看： 是边长为的大正方形，面积=； ②部分看：（用分割法）四块面积分别为， 四块面积的和=。 所以= （2）(a–b)2=a2–2ab+b2 探究2.如图一块边长为a的正方形，现将其边长减少b， 形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。（试着画一画图） ①整体看： 是边长为的正方形，面积=； ②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积 所以= 4.试着用文字来描述这两个公式： 5.判断计算结果正误，错误的请写出正确答案 （1）(a+1)2=a2+1 （2）(a-2)2=a2-4 （3）(a-2b)2=a2-2ab+2b2

二.新知讲授 例1．运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2(2)992练习运用完全平方公式计算 （1）(2x+1)23 （2）(x- 42 3 y)2 （3）1022(4)(-x-2y)2 例2.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值。 小测 1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a+b)2=a2+b2；（）(2)(a-b)2=a2-b2；（） (3)(a+b)2=(-a-b)2；（）(4)(a-b)2=(b-a)2（）2、计算(1)（x–2y）2(2)（-x-y）2 3、已知x–y=8，xy=12，求x2+y2的值

《完全平方公式》学案

完全平方公式（第二课时） 学习目标：掌握添括号应用乘法公式 一、预习案 一、复习巩固： 平方差： 完全平方公式： )3)(3(n m n m -+ 2)34(y x - 二、课前预习 （阅读课本P155-156） 1、完成下列去括号： =-+)(c b a =--)(c b a 2、添加括号使得下列等式成立： =-+c b a =--c b a 3、添括号时，如果括号前面是正号，括号里面的各项 ，如果括号前面是负号，括号里面的各项 。 4、在等号右边的括号内填空。 （1）a c b a =-++（ ） （2）-=+-a c b a （ ） （3）-=--a c b a （ ） （4）-=++a c b a （ ） 5、应用乘法公式计算： （1）])][()[(c b a c b a -+++ 分析：把)(b a +看作一个整体。 （2）2])[(c b a +- 分析：把)(b a -看作一个整体。 6、尝试添加括号再应用乘法公式计算： （1）)1)(1(-+++y x y x （2）2)12(-+b a （3）2)1(+-y x 二、学习案 1、平方差公式 完全平法公式 2、添加括号的法则 3、训练题 （1）、)52)(52(-+++y x y x （2）、))((c b a c b a +--+

（3）、2) 2(z y x- - 三、小测 1、下列成立的等式有（填序号）： ①) (b a b a+ - = + -②) (a b b a+ - = + - ③)2 3( 3 2- - = -x x④) 6(5 30x x- = - 2、填空 （1）- = - -x x x1（）（2）- = + -a c b a（）（3）- = - -a c b a（）（4）- = + +a c b a（）3、添括号应用公式计算（1）、)2 3 )( 2 3(- + - +y x y x （2）、) 2 )( 2 (c b a c b a+ + - - （3）、2)1 2 (- +b a （4）、2)1 3 2(+ -b a

八年级数学下册 完全平方公式学案

4.3 公式法 第2课时 完全平方公式 学习目标： 1.了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用完全平方公式进行因式分解； 3.清楚优先提取公因式，然后考虑用公式 本节重难点： 1、 用完全平方公式进行因式分解 2、 综合应用提公因式法和公式法分解因式 中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。 预习作业： 请同学们预习作业教材P57~P58的内容： 1. 完全平方公式字母表示: . 2、形如222a ab b ++或222a ab b -+的式子称为 3. 结构特征：项数、次数、系数、符号 填空： （1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ； （3）（a –b ）2= ； 根据上面式子填空： （1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ； （3）a 2+2ab +b 2= ； 结 论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式． a 2–2ab+ b 2=（a –b ）2 a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。 例1： 把下列各式因式分解： （1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2 （3）m 2– 9 132+m （4）()()1682++++n m n m 例2、将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy

注：优先提取公因式，然后考虑用公式 例3： 分解因式 （1） （2） （3） （4） 点拨：把 分解因式时： 1、如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P 的符号相同 2、如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P 的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P 变式练习： （1） （2） （3） 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相乘法 口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。 拓展训练： 1、 若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m,k 为常数，求m+k 的值 2、 已知22 46130x y x y +-++=，求x,y 的值 3、 当x 为何值时，多项式221x x ++取得最小值，其最小值为多少？ 4、 5、 6、 7、 232++x x 6 72+-x x 2142--x x 15 22-+x x q px x ++28 624++x x 2 223y xy x +-2 34283x x x --

《完全平方公式》教学设计 (2)

§14.2.2 完全平方公式(1) 学习目标 1.会推导完全平方公式，会用几何图形解释完全平方公式； 2.记住完全平方公式的结构特征； 3.会用完全平方公式进行计算. 学习重点 完全平方公式()2222b ab a b a +±=±的推导及运用． 学习难点 理解完全平方公式的几何意义． 一、复习旧知 1.请说出多项式乘以多项式的法则. 2.计算下列各式，你能发现什么规律？ ⑴()()()=++= +1p 1p 1p 2___________________________ ⑵()()()=++=+b a b a b a 2 ____________________________ ⑶()()()=--=-b a b a b a 2______________________________ 二、合作探究 活动一： 老李有一块边长为a 米的正方形试验田.因需要将边长增加b 米，使其变成一个大的正方形试验田. 1.请用手中的卡片拼出变化后的试验田. 2.请用不同的方法表示变化后的试验田总面积, 并进行比较, 你能得到什么结论？ 活动二： 老王有一块边长为a 米的正方形试验田.因需要将边长减少b 米，使其变成一个小的正

方形试验田. 1.请用手中的卡片拼出变化后的试验田. 2.请用不同的方法表示变化后的试验田总面积, 并进行比较, 你能得到什么结论？ 三、课堂练习 运用完全平方公式计算： （1）2102 （2）()26+x （3）()2 52+-x （4）23243??? ??-y x （5）()22y x -- （6）()225-y 四、课堂小结 1.本节课你的收获是______________________ ________________________ 2.本节课你的疑惑是________________________________________ ______ 五、达标检测 1.下列各式计算正确的是 ( ) A.222)(b a b a +=+ B.22224)2(b ab a b a +-=- C.2224)2(b a b a +=+ D.96)3(22++=+a a a 2.运用完全平方公式计算: (1) ()212-m (2) 2 32??? ??+y x (3) 1032

完全平方公式导学案

完全平方公式 【学习目标】 会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 【学习重点】 运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 【学习难点】 灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 【学习过程】 一、预习准备 1．利用完全平方公式计算 （1） （2） （3） （4）2．计算： （1） （2）平方差公式和完全平方公式的逆运用 由 反之 反之 二、课堂练习 1．填空： （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）若 ，则k = （8）若是完全平方式，则k = 298220321022 19722(3)x x +-22 (1)(1)ab ab +--()()22b a b a b a -=-+()() b a b a b a -+=-22()2222b ab a b a +±=±()2 222b a b ab a ±=+±24(2)()a a -=+225(5)()x x -=-22()( ) m n -=264()()x -=2449(27)() m m -=-442222()()()()() a m a m a m -=+=+22)2(4+=++x k x x 92++kx x

例1． 计算：1． 2．现在我们从几何角度去解释完全平方公式：从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b ，它是由两个小正方形和两个矩形组成， 所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。则S ＝ ＝ 即： 如图（2）中，大正方形的边长是a ，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它的面积是 。从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积。 也就是：（a-b ）2= 。这也正好符合完全平方公式。 例2．计算： （1） （2）三、变式训练： （1） （2）()()42122+--+a a a ()()2 21212+--xy xy 2(3)x y --2 ()a b c ++2)3(-+b a ) 2)(2(-++-y x y x

完全平方公式(一)教学案例

完全平方公式（—）教学案例 一、教学内容 本节课是完全平方公式（—） 二、教学目标 1.知识目标：了解完全平方公式 2.教学思考：探索某些特殊形式的多项式相乘。引入完全平方公式（a±b） 2=a2±2ab+b2让学生体会教学中从一般到特殊的认识过程。 3.解决方法：利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义推导出完全平方公 式，掌握完全平方公式的计算方法。 4.情感态度目标：通过学生观察、类比、发现等活动，感受数学活动。充 满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习热情。 三、教学重、难点 1.重点：完全平方公式的推导和应用 2.难点：完全平方公式的应用 3.关键：从多项式与多项式相乘入手，推导出完全平方公式，利用几何模 式和割补面积的方法来验证公式的正确性 四、教具准备 制作边行为a和b的正方形以及边长为（a+b）的正方形和长为a,宽为b的纸板 五、教学方法 采用”探究——交流——合作“的教学方法 六、教学过程 （一）创设情境导入新课 师：出示边长为a、为b、为（a+b）的三个正方形，请问它们的面积各为多少 生1：a2、、 b2、、（a+b）2 师：请问边长（a+b）正方形的面积与边长为a,b的两个正方形的面积之和，哪个大，大多少？ 生2，边长为（a+b）的正方形的面积大， 生3：（a+b）2-(a2+b2) 师：请同学们带着这样问题一起来学习15.2.2完全平方公式（一） （二）出示学习目标 师生一起齐读学习目标：1:、会推导完全平方公式 2、会应用完全平方公式 （三）探究：完全平方公式 1:、计算下列各式，你能发现什么规律？ （2x-3）2 (x+y)2 (m+2n) 2 (2x-y)2 师：好，咱们就6人一组（每组中有上中下三个层次的学生）组长给组 员分题，并检查组员，统一答案后，有各组代表板演到黑板上。 解：（2x-3）2=4x2-12x+9 (x+y)2=x2+2xy+y2 (m+2n)2=m2+4mn+4n2 (2x-y)2=4x2-4xy+y2

平方差公式完全平方公式导学案

寒假第七次课 平方差公式、完全平方公式 姓名： 一、平方差公式 1、引入 计算：（a-3）（a+3） （x+y ）（y-x ） （mn-1）（1+mn ） 观察：这两个因式有什么特征？ 2、下列运算中，正确的是（ ）A ．（a+3）（a-3）=a 2-3 B ．（3b+2）（3b-2）=3b 2-4 C ．（3m-2n ）（-2n-3m ）=4n 2-9m 2 D ．（x+2）（x-3）=x 2-6 3、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（x+1）（1+x ） B ．（ 12a+b ）（b -12 a ） C ．（-a+ b ）（a-b ） D ．（x 2-y ）（x+y 2） 4、计算：（2a-3b ）（2a+3b ）； （-p 2+q ）（-p 2-q ）； （13a+b ）（b －1 3 a ） （－2x+y ）（－2x －y ） ()()22b a b a -+ 例1：（2a-b ）（2a+b ）（4a 2+b 2）； （a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）． ()()()22492323y x y x y x +-+ )12()12)(12)(12(42++++n Λ 2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++ 2481511111 (1)(1)(1)(1)22222 +++++ 例2：（x-y+z ）（x+y+z ） （x+y-z ）（x-y+z ） （x+y+z ）（x-y-z ）． （a+b －1）（a －b+1） 例3：若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－5 例4：利用平方差公式计算：20 23×211 3 ． 803×797 2003×2001－20022 例5：2 2 )()(n m n m --+ （ 12x+3）2 -（1 2 x -3）2 a(a －5)－(a+6)(a －6) )17)(17()2)(2(3)12)(12(+-=-+++-x x x x x x 二、完全平方公式 1、引入：（a-b ）2 （x+y ）2 （3-m ）2 （x-x 1）2 观察：这两个因式有什么特征？ 2、 计算2 )23(y x - 2)2 1 (b a + 2 )12(--t 2)2 332(y x - （x+3)2-(x-1)(x-2) ,其中x=-1 (a+b)2-(a+b)(a-b)-2b 2其中a=3，b=-1/3 （３x －y ）2 －（２x ＋y ）2 ＋５x （y －x ） ()()()()212152323-----+x x x x x ，其中3 1 -=x ． 例1：1972 299 2 298 例2：若x 2 ＋mx ＋４是一个完全平方公式，则m 的值为 已知2 14 x mx -+ 是一完全平方式，化简求值：22 (1)(21)(1)(21)m m m m m m -++-+-+ 例3：2 )74(-+y x 2 )132(+-b a 2 )7(+-n m 2 )(z y x ++

完全平方公式 导学案

§12-8 乘法公式（2） 完全平方公式 【学习目标】 1.经历探索完全平方公式的过程，掌握两个公式的结构特征，并熟练运用公式进行计算。 2.综合运用乘法公式进行计算。 【学习过程】 一、知识链接 1．根据条件列式： （1）,a b 两数和的平方可以表示为 ； （2）,a b 两数平方的和可以表示为 。 2.去括号法则是什么？ 3．多项式乘以多项式怎样进行？其法则是什么？ ●投石问路 1.你能用简便方法计算下列各题吗？ （1）2102 （2）299 2.计算多项式()()22a b a b +-、的积，你能有简便的方法吗？ 二、自学探究 ●问题指导 完全平方公式 1.探究：计算下列各式，你能发现什么规律？ ()()()()21.111_______;p p p +=++= ()()22.2_________;m += ()()()()23.111_______.p p p -=--= ()()24.2___________.m -= 观察上述等式（1）、（2）左边的算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？那么（3）、（4）呢？

2.验证：计算 ()2__________________;a b +=== () 2____________________.a b -=== 3.归纳：（乘法的）完全平方公式 ()()22_______,_______.a b a b +=-= 文字语言： 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加(或 )它们的积的 倍。 说明公式的结构特征： ①公式中等号的左边是 ，等号的右边是 。 ②公式中的a b 、可以表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式． 4.思考：你能根据p33图12.3-2和图12.3-3中的面积说明平方差公式吗？ ●问题检测 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ ()()22 2222(1);(2).a b a b a b a b +=+-=- 2.下面等式成立的是 （ ） ()222.24;A a b a b -=- ()2 22.244;B a b a ab b -=++ ()222.242;C a b a ab b -=-+ ()222.244;D a b a ab b -=-+ ３．运用完全平方公式计算： 2101__________________.= 4．在下列（ ）里填上适当的项，使其符合()()x y x y +-的形式。

完全平方公式教案

完全平方公式 教学目的： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 3、了解完全平方和公式的几何背景 教学重点：完全平方公式的形成过程 教学难点：掌握公式字母表达式的意义及灵活运用公式进行运算 教学过程: 一、问题感知，情景切入 1、引导学生用多项式的乘法法则来说明它成立， (a+b)2 = (a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 2.验证公式 （1）、一块边长为a米的正方形试验田，因需要将其边长增加b米， 形成四块试验田，以种植不同的新品种．现在实验田的总面积是多少? 利用面积公式表示：①（a+b）2 ②a2+ab +ab +b2= a2+2ab+b2 （2）、计算试验田的面积,你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 让学生体会到完全平方公式是乘法公式的特例，因应用广泛，计算简捷，故作为公式学习。 4、分析公式的结构特征： 左边：两数和的平方。 右边：是一个三项式，两数的平方和加上它们积的2倍. 用文字语言叙述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的2倍. 简记：首平方,尾平方, 积的2倍中间放. 5、猜想(a-b)2= ？ 你是怎样推导的呢？ (a-b)2 =(a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 继续让学生体会到完全平方公式是乘法公式的特例 6还有其他证明方法吗？ ( a – b ) 2 = [a +(-b) ] 2 =a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2 化未学为已知，体会数学中的化归思想。 7、(a-b)2 =a 2-2ab+b2 左边：两数差的平方。 右边：是一个三项式，两数的平方和减去它们积的2倍. 用文字语言叙述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的2倍.

七年级数学下册 1.6完全平方公式学案(无答案) 新版北师大版

1.6 完全平方公式（1） 一、学习目标 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 2．了解完全平方公式的几何背景 二、学习重点：会用完全平方公式进行运算 三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算 四、学习设计 （一）预习准备 （1）预习书p23-26 （2）思考：和的平方等于平方的和吗？ （3）预习作业： （1）(32)(32)a b a b -+= （2）(32)(32)a b a b --=＝ （3）2(1)(1)(1)p p p +=++= （4）2(2)m += （5）2(1)(1)(1)p p p -=--= （6）2(2)m -= 28）2()a b -= 观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而221,422p p m m == ， 恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用． 因此我们得到完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍． 公式表示为：2()a b += 2()a b -= 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减） 例1．应用完全平方公式计算： （1）2(4)m n + （2）21 ()2y - （3）2()a b -- （4）2(2)x y -+ 变式训练： 1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正： （1）22(21)221a a a -=-+ （2）22(21)41a a +=+ （3）22(1)21a a a --=--- 2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 分析：完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同：222()2a b a ab b ±=±+ 22()()a b a b a b +-=- 结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项

完全平方公式教学案例

14.2.2完全平方公式（一） 教学目标： 知识与能力： 1、通过运算多项式乘法，来推导完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则 的能力。 2、初步学会运用完全平方公式进行计算。 过程与方法：通过亲自动手、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。 情感、态度与价值观：体会科学的思想方法，接收数学文化熏陶，激发学生的探求精神。教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点，灵活应用． 教学难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算． 教学方法：师友探究、教师点拨 教学用具：课件 教学课型：新授课 教学课时：一课时 教学过程： 一、回顾旧知 1、平方差公式 2、练习 二、交流预习 师友交流预习结果，互相补充，指定一组师友回答，其他师友补充。 三、互助探究 1、（1）探究 由学生独自完成计算后，找其规律，同时师友之间相互合作，交流得出完全平方公式。 即：文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2 （2）观察完全平方式的结构特征 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 巧记为：首平方，末平方，首末两倍在中央 （3）思考：你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？ 师友合作完成，利用数形结合得出上述公式的正确性。 2、典例

出示例3、例4 （学生试着独立完成，检查对公式的掌握情况，不会做的，师友讨论完成后，集体对症。）四、拓广探索 出示P110思考题 （师友或小组互相讨论后发言，这是一个难点，适当时间教师要给予指导。） 五、分层提高 P110练习题 六、小结 谈谈你的收获？还有什么疑惑？ 七、布置作业 习题14.2 2题及相关习题 板书设计： 课后反思：

完全平方公式因式分解导学案

课题：14.3因式分解---公式法（2） 课型：_________授课时间_____________序号_____ 学习目标：1、探索并运用完全平方公式进行因式分解，体会转化思想。 2、会综合运用完全平方公式和提公因式法对多项式进行因式分解。 一、知识回顾 1、判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？如果是，运用了哪种方法？ 9)3)(3)(1(2-=-+a a a )1()2(2+=+x x x x )32)(32(94)3(2-+=-x x x 22)2(44)4(+=++x x x 2、完全平方公式：______________)(2=+b a ______________))(2(2=-b a 二、自主学习、探究新知 1、我们把形如222b ab a ++和222b ab a +-这样是两个数的___________加上或减去 _____________________的式子叫做__________________。 2、可以利用_____________________把形如__________________的多项式因式分解。 3、自学成果分享，下列多项式是不是完全平方式？ 44)1(2+-a a 241)2(a + 144)3(2-+b b 22)4(b ab a ++ 4、尝试分解，用完全平方公式因式分解 ___________12)1(2=++a a ____________168)2(2=++a a 三、例题精讲 运用完全平方公式进行因式分解 1、92416)1(2++x x 练 1442+-x x 2244)2(y xy x -+- 练222y x xy --- 2、22363)1(ay axy ax ++ 练3222a x a ax ++

完全平方公式学案(二)

15.2.2完全平方公式（2）导学案 一、学习目标 1．利用添括号法则灵活应用完全平方公式． 2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．3．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义 二、重点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用． 难点：在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的． 三、学法指导 知识链接 去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合． 也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变． （1）4+5+2 = 4+（5+2）（2）4-5-2 = 4 -（5+2） 添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；?如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 也是：遇“加”不变，遇“减”都变． 1．在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b-c = a+（） （2）a-b+c = a-（） （3）a-b-c = a-（） （4）a+b+c = a-（） 2．判断下列运算是否正确． （1）2a -b- 2 c = 2a-（b- 2 c）（） （2）m-3n+2a-b = m+（3n+2a-b）（） （3）2x-3y+2 = -（2x+3y-2）（） （4）a-2b-4c+5 =（a-2b）-（4c+5）（） 自主探究 有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵．完成下列计算．例：运用乘法公式计算 （1）（x+2y-3）（x-2y+3） （2）（a+b+c）2 （3）（x+3）2 - x2 （4）（x+5）2 - （x-2）（x-3） 分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，?我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，?以便利用乘法公式，达到简化运算的目的． （2）是一个完全平方的形式，只须将a+b+c中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算． （3）是完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算． （4）完全平方公式计算与多项式乘法计算，但要注意运算顺序，?减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再用去括号法则进行计算，这样就可以避免符号上出现错误． 解：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）