3.2.1几类不同增长的函数模型(2)
3.2.1几类不同增长的函数模型（2）
教学目标：
知识与技能：通过特例探究使学生了解“指数爆炸”和“对数增长”的特点 过程与方法：通过特例推广使学生体会从特殊到一般的数学方法 情感态度价值观：通过探究养成学生
教学重点：了解指数函数、对数函数、幂函数等增函数的增长差异 教学难点：对一般结果的探索 教学方法：引导式 课时安排：1课时 教学用具：PPT 投影 教学过程：
一、复习回顾，引入课题:
上节课的例2中我们比较了三个函数y=0.25x ，1x log y 7+=，x 1.002y =的图像，初步认识了“指数爆炸”和“对数增长”的特点，那么对于一般的指数函数、对数函数以及幂函数的增长情况是怎样的？我们今天来对这个问题进行一下深入研究。
二、问题探究：
根据由特殊到一般的研究思路，我们先对函数x y x y y x 22log ,,2===在增区间（0，+∞）上的增长速度情况进行探究。
引导：可借助计算器或计算机计算描点连线，然后观察总结结果。 列表：
描点连线可以看出，x y 2log =的增长速度好像要比其它两个函数缓慢得多，而
x y 2=与2x y =交替上升，不易看出区别。在这里我们可以用二分法求出两个函数的某些
交点坐标。
下面我们在更大的范围内研究x y 2=与2x y =的增长情况。
描点连线可以看出两个函数有两个交点，这说明在不同区间上两个函数有不同的大小关系。
在交点（4，16）右侧我们看到x y 2=较大，那么后面会不会还有其它交点？
下面我们再把范围扩大
描点连线我们发现，当自变量越来越大时x y 2=的图像就像与x 轴垂直一样迅速增长，比较而言2
x y =的增长就微不足道了。
同理也可研究x y x y 22
log ==与的增长关系，当自变量越来越大时x y 2log =的图像就像与x 轴平行一样增长极缓，比较而言2
x y =的增长就相当快了。
指数函数x y a =当a>1时为增函数，且其增长速度当自变量越来越大时可超过任何幂函数，我们称其为“指数爆炸”；同理当0
课本P101页练习 四、推广结论：（小结）
指数函数x y a =当a>1时为增函数，且其增长速度当自变量越来越大时可超过任何幂函数，我们称其为“指数爆炸”；同理当0
六、板书设计：几类不同增长的函数模型（2）
指数函数 对数函数 幂函数
课后反思：
几类不同增长的函数模型教学设计范文整理
几类不同增长的函数模型教学设计 教学设计 2.1 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 ．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． ．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题． ．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣． 重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模 型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 课时 教学过程 第1课时 林大华 导入新 思路1． 一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？ 解：纸对折n次的厚度：f＝0.01?2n，n块砖的厚度：g ＝10n，f≈105，g＝2. 也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2． 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新
新知探究 提出问题 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数． 正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数． 某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数． 分别用表格、图象表示上述函数． 指出它们属于哪种函数模型． 讨论它们的单调性． 比较它们的增长差异． 另外还有哪种函数模型与对数函数相关． 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 总价等于单价与数量的积． 面积等于边长的平方． 由特殊到一般，先求出经过1年、2年… 列表画出函数图象． 引导学生回忆学过的函数模型． 结合函数表格与图象讨论它们的单调性．
几种不同类型的函数模型知 识点
几种不同类型的函数模型 一 函数模型及数学建模 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题． 那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成． (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题． 建模过程示意图： 二 几种常见的函数模型 1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)； 2．反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)； 4．指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0， b≠1)； 5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x＋n(m、n、a为常数，a>0， a≠1)； 6．幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；
7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较 正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异． 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一 个“档次”上. 随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x
几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 2．若()0,1x ∈，则下列结论正确的是( ) A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 3．四人赛跑，假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =，()22f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A ．()12f x x = B ．()22f x x = C ．()32log f x x = D ．()42x f x = 4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%，若按此规律，设2016 年的森林面积为m ，从2016年起，经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A ． 1.0520mx y = B ．0.05120x y m ??=- ??? C ．()2015%x y m =+ D ．()15%x y m ??=+?? 5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x ，y 之间的函数关系为( ) A ．1000.9576x y = B.1000.9576 x y = C ．0.9576100x y ??= ??? D ．10010.042x y =- 6．下列函数中在某个区间()0,x +∞内随x 增大而增大速度最快的是（ ） A.100ln y x = B.100y x = C.1e 100 x y = D.1002x y =? 7．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
高考中常用函数模型归纳及应用
高考中常用函数模型．．．． 归纳及应用 一． 常数函数y=a 判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。 例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+ 3 π )=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[ 3,2] C.( 3,2] D.( 3,2) 解析；令y=2sin(x+3π ), y=a 画出函数y=2sin(x+3 π )，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点， 由图象知( 3,2)，选D 二． 一次函数y=kx+b (k ≠0) 函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归 为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。 例2．不等式2x 2 +1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ） A ．-2≤x ≤2 B. 4 31- ≤x ≤0 C.0≤x ≤ 47 1+ D. 4 7 1-≤x ≤ 4 1 3- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2 +1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2 +1 若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需? ? ?≥-≥0)2(0 )2(f f ，解之可得答案D 三． 二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。 例3．（1）.若关于x 的方程x 2 +ax+a 2 -1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2 +ax+a 2 -1由题意得f(0)= a 2 -1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。 一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法 对于形如 u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验： 一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验 在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0 H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对 被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j β?才敢使 用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显 著的线性影响，估计值j β?对我们就没有意义。具体检验 方法如下： （1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；
（2） 计算统计量 )?(?)?()(?j j j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11?)?(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ （3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ； （4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝 0H ；反之，无法拒绝0H 。 t 检验方法的关键是统计量 )?(?j j j Se t βββ-=必须服从已 知的t 分布函数。什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）： （1） 随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，
FIR滤波器的窗函数法模型选择与设计
武汉工程大学 电气信息学院 《信号与系统分析处理（基于Matlab）》实验报告[ 4 ] 专业班级实验时间2010 年 12月 3 日学生学号实验地点 学生姓名指导教师 实验项目FIR滤波器的窗函数法模型选择与设计 实验类别设计实验实验学时3学时 实验目的及要求1.掌握用窗函数法、频率采样法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响 应的计算机编程； 2.熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性； 3.了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。 成绩评定表 类别评分标准分值得分合计 上机表现 按时出勤、遵守纪律 认真完成各项实验内容 30分 报告质量程序代码规范、功能正确 填写内容完整、体现收获70分 说明： 评阅教师：
日期： 2010年 11 月 3 日 实验内容 一、实验内容 1．熟悉FIR滤波器的理论知识，掌握Simulink工具包中FIR滤波器设计工具的不同窗函数类型。 2．选择矩形窗、汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗、凯撒窗等，设计采样频率为48KHz，通带截止频率为20KHz 的FIR滤波器，观察不同窗函数的频谱图及滤波器特征。 3．设计仿真模型，加载语音范围的频率激励信号，通过上述窗函数模型，对比分析仿真结果。 二、实验方法与步骤 1. 窗口法 窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤 ?确定数字滤波器的性能要求：临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度N； ?根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应H d(e jω)的幅频特性和相频特性； ?求理想单位脉冲响应h d(n)，在实际计算中，可对H d(e jω)按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得h M(n)，用h M(n)代替h d(n)； ?选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)= h d(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应； ?求H(e jω)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。 窗函数的傅式变换W(e jω)的主瓣决定了H(e jω)过渡带宽。W(e jω)的旁瓣大小和多少决定了H(e jω)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有： ?矩形窗w(n)=R N(n)； ?Hanning窗； ?Hamming窗 ； ?Blackmen窗 ； ?Kaiser窗 。 式中I o(x)为零阶贝塞尔函数。 2. 频率采样法 频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(e jω)加以等间隔采样 然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),即令 由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n) 将上式代入到Z变换中去可得
几类不同增长的函数模型(1)
几类不同增长的函数模型（1） 一、教学目标 （一）知识目标： 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义. 3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题. （二）能力目标：初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。（三）情感目标：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情. 二、教学重难点 （一）重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. （二）难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、活动设计 1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型. 2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势. 四、教学过程 一、创设情景，引入新课 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子? 指数函数、对数函数、幂函数等等. 当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课 例题剖析 【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
建立函数模型的常用方法
建立函数模型的常用方法 函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋势进行预测，下面对建立函数模型解决实际问题常用的方法举例说明。 一、列表法 例1、某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元， 可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元；已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？（天数为整数），并求出最大利润。 分析：通过阅读、审题找出此问题的主要关系（目标与条件的关系），即“生产童装与西服的天数”决定了“利润”，所以将生产童装的参数变量设为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，于是每项利润即可表示了。在把“问题情景”译为“数学语言”时，为便于数据处理，运用表格或图形处理数据，有利于寻找数量关系。 解：设生产童装的天数为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，从而建立总利润模型为：y ＝22×200x ＋80×50（30－x ），化简得有＝400x ＋120000，同时注意到每月成本支出不超过23万元，据此可得40×200x ＋150×50（30－x ）≤230000，从中求出x 的取值范围为100≤≤x ，且x 为正整数，显然当x ＝10时赢利最大，最大利润124000max =y 元。 点评：现实生活中很多事例可以用一次函数知识和方法建模解决，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时，为减函数。 二、拟合法 例2、某地西红柿从2月1日起上市，通过市场调查得到西红柿种植成本Q （单位：元/2 10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表： 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关 系：（1）b at Q +=；（2）c bt at Q ++=2；（3）t b a Q ?=；（4）t a Q b log ?= 利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。 解：（1）由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可 能是常数函数，从而用函数b at Q +=； t b a Q ?=； t a Q b log ?=中的任意一个进行描 述时都应有0a ≠，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所
《几类不同增长的函数模型》教案
《几类不同增长的函数模型》教案 教学目标 使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识. 通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义. 体验由具体到抽象及数形结合的思维方法. 教学重难点 重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义. 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学过程 背景:(1)圆的周长随着圆的半径的增大而增大： L=2πR (一次函数) (2)圆的面积随着圆的半径的增大而增大： S=πR2(二次函数) （3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细 胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是y = 2x(指数型函数) . 2、例题 例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案呢？ 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优 (1)比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案. x/天方案一方案二方案三 y/ 元 增长量/ 元 y/ 元 增长量/ 元 y/元增长量/元 1 40 0 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12. 8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 … … … … … … … 30 40 300 10 214748364.8 107374182.4 根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 解：设第x 天所得回报为y 元，则 方案一：每天回报40元； y=40 (x ∈N*) 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x ∈N*) 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. Y=0.4×2x-1(x * N ) 图112-1
几种不同类型的函数模型题型及解析
几种不同类型的函数模型题型及解析 1.在定义域（0，+∞）内随着x的增大，增长速度最快的是（）A．y=100 B．y=10x C．y=lgx D．y=e x 分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，直接根据常数函数、正比例函数、指数函数、对数函数的增长差异，得出结论 解：由于函数y=100是常数函数，函数y=2x是正比咧函数，函数y=e x是指数函数，函数y=lgx是对数函数， 由于指数函数的增长速度最快，所以选D 2.在区间（3，+∞）上，随着x的增大，增长速度最快的函数（）A y=x2 B y=2x C y=2x D y=log2x 分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，在同一坐标系画出四个函数的图象，比较图象上升的平缓程度，可得答案． 解：在区间（3，+∞）上，①y=x2，②y=2x，③y=2x，④y=log2x的 图象如右图所示，由图可知y=2x的函数值随着x的增大增长速度最 快，所以选B 3.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（） A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x 分析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底 数大于1的指数函数增长最快． 解：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数 y=100x增长速度最快．所以选D 4.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（） A．y=0.2x B．C．D．y=0.2+log16x 分析：利用所给函数，分别令x=1，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论． 解：对于A，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.6，与0.76相差0.16；对于B，x=1时，y=0.3；x=2时，y=0.8；x=3时，y=1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x=1时，y=0.2；x=2时，y=0.45；x=3时，y＜0.7，相差较大，不符合题意；故选C 5.假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？ 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进行描述. 三个函数，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．作出三个函数的图象如图所示．由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四
控制系统的数学模型及传递函数
控制系统的数学模型及传递函数 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当时，，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：
所以， 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式=
几类不同增长的函数模型的教学设计与反思.doc
“几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思 台州市第一中学蒋茵 一、教学内容与内容解析 几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容 .它比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差 异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（y = x：y = 2、，y=log X）的增长差异；（3）将结2 论推广到一般的指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异 其中（1）为第一课时的内容，（2）、（ 3）为第二课时的内容. 学生在本节内容学习之前，己经有了指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，在这里进一步 研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幕函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异，同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中 二、教学目标与目标解析 1.教学目标： （1）借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异. （2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 （3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格），并借助信息技术解决一些实际问题. （4）在实际问题解决过程中，体会数学的作用与价值，形成分析问题、解决问题的能力. 2.教学目标解析： 目标（1）、（2）是教学的重点，落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.
落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景，并通过层层递进的问题串，让学生在不断观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题、解决问题的能力，实现目标（4）. 目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标，教学时通过学生自主探究，相互 交流，教师适时提问引导，合作完成.另外利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幕函数的增长差异.还使学生接触到更多的数学知识和思想方法 三、教学问题诊断分析
函数模型及其应用 知识点与题型归纳
●高考明方向 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. ★备考知考情 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点． 2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力． 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主. 一、知识梳理《名师一号》P35 感谢下载载
知识点一几类函数模型 知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较 1.指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)： 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n. 感谢下载载
2．对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有log a x＜x n 由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n＞log a x. 注意：《名师一号》P36 问题探究问题1、2 问题1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？ (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转 化为符号语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； 感谢下载载
由传递函数转换成状态空间模型
由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ? ??+=+=du cx y bu Ax x & 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()()()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++L L ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则 ? ??++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x Λ&，于是有
?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 221Λ&M && 写成矩阵形式 式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程 121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--Λ 写成矩阵形式 ??????? ? ????????=--n n m m x x x x b b b b y 12101 1][M Λ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。 在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。 例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。 4 2383)()(2 3++++=s s s s s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即
几类不同增长的函数模型教案
3.2.2 几类不同增长的函数模型 （一）教学目标 1．知识与技能 利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识. 2．进程与方法 在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力. 3．情感、态度与价值观 在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣. （二）教学重点与难点 重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养. （三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策. （四）教学过程 回顾复习 择，这三种方案的回报如下： 元； 元； . 三种方案所得回报的增长情况
再作三个函数的图象 在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二
观察图象发现，在区间[10，1000] 上，模型y=0.25x，y=1.002x的图 象都有一部分在直线y=5的上方， 只有模型y=log7x+1的图象始终 y=5的下方，这说明只有按模 . 所以该模型不符合要求； 时，是否有 2 变化的数据如下表
．中学数学建模的主要步骤
例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小. 【解析】设单位购买x 台影碟机， 在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用 280020,(118)440,(18)x x x y x x ?-≤≤=?>? 在乙商场购买，费用y = 600x . （1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买. 【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a 2 1x + b ，y = ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ 【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型. 由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有?? ?=+=+2.123.13b a b a ，解得? ??==11 .0b a 所以得y =0.1x +1. 因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
第八章--统计回归模型
第八章 统计回归模型 回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归. 一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10. 如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y . [Y ,DELTA]=polyval(p,X,S) p ，S 为polyfit 的输出，DELTA 为误差估计.在线性回归模型中，Y ±DELTA 以50%的概率包含函数在X 处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf 实现，其具体调用格式如下： [Y ,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA ，alpha 缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool ，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s . 解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据
二用MATLAB建立传递函数模型
《自动控制原理》实验指导书 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 2013年4月
目录 实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 (1) 实验二用MATLAB建立传递函数模型 (5) 实验三利用MATLAB进行时域分析 (13) 实验四线性定常控制系统的稳定分析 (25) 实验五利用MATLAB绘制系统根轨迹 (29) 实验六线性系统的频域分析 (37) 实验七基于MATLAB控制系统频域法串联校正设计 (51) 附录1 MATLAB简介 (58) 附录2 SIMULINK简介 (67)
实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 一、实验目的 1．研究二阶系统的特征参量(ξ、ωn) 对过渡过程的影响。 2．研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。 3．熟悉Routh判据，用Routh判据对三阶系统进行稳定性分析。 二、实验设备 PC机一台，TD-ACC+教学实验系统一套。 三、实验原理及内容 1．典型的二阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-1所示。 图1-1 (2) 对应的模拟电路图：如图1-2所示。 图1-2 (3) 理论分析 系统开环传递函数为：G(s)=? 开环增益：K=? 先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电阻R的理论值，再将理论值应用于模拟
电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性，应与理论分析基本吻合。在此实验中由图1-2，可以确地1-1中的参数。 0?T =， 1?T =，1?K = ?K ?= 系统闭环传递函数为：()?W s = 其中自然振荡角频率：?n ω=；阻尼比：?ζ=。 2．典型的三阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-3所示。 图1-3 (2) 模拟电路图：如图1-4所示。 图1-4 (3) 理论分析 系统的开环传函为:()()?G s H s = 系统的特征方程为:1()()0G s H s +=。 (4) 实验内容 实验前由Routh 判断得Routh 行列式为： S 3 S 2 S 1 S 0 为了保证系统稳定，第一列各值应为正数，因此可以确定
几种不同类型的函数模型知识点
几种不同类型的函数模型 一 函数模型及数学建模 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题． 那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成． (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题． 建模过程示意图： 二 几种常见的函数模型 1．一次函数模型：f(x)＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 2．反比例函数模型：f(x)＝k x ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)； 4．指数函数模型：f(x)＝ab x ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0，b>0，b ≠1)； 5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x ＋n(m 、n 、a 为常数，a>0，a ≠1)； 6．幂函数模型：f(x)＝ax n ＋b(a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)； 7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较 正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异． 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞) 上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上. 随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1) 的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有log a x