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高二数学上学期期末考试试卷

高二数学（文）

时间：120分钟

分值：150分

一. 选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 若a b c R 、、∈，||||a c b -<，则下列不等式成立的是（） A. ||||||a b c >+

B. ||||||a b c <+

C. a b c <+

D. a c b >-

2. 圆心在y 轴上，半径为5，且与直线y =6相切的圆的方程为（） A. x y 2

125+-=() B. x y 2

1125+-=()

C. x y 2

125+-=()或x y 2

1125+-=() D. ()x y -+=1252

或()x y -+=11252

3.已知圆x 2+y 2=4关于直线l 对称的圆的方程为(x +3)2+(y –3)2=4，则直线l 的方程为( ) A 、y = x +2 B y = x +3 C 、 y = –x +3 D 、y = –x –3

4. 若椭圆

x y b 22

161+=过点()-23，，则其焦距为（） A. 23

B. 25

C. 43

D. 45

5. 已知直线l 的倾斜角α满足sin α=

，则l 的斜率为（） A.

33或-33

3或-3

6. 若抛物线的顶点在原点，焦点是双曲线x y 22

1-=的顶点，则抛物线的方程是（） A. y x y x 2

44==-，

B. y x y x 22

66==-，

C. y x y x 22

1010==-，

D. y x y x 22

1212==-，

7. 若不等式1224≤-≤≤+≤a b a b ，，则42a b -的取值范围是（） A. [5]，10 B. ()510，

C. []312，

D. ()312，

8. 已知直线l x y l x y 12370240：，：-+=++=，下列说法正确的是（）

A. l 2到l 1的角是

34π B. l 1到l 2的角是π4 C. l 1到l 2的角是34π D. l 1与l 2的夹角是34

9. 已知双曲线M x y ：9161442

-=，若椭圆N 以M 的焦点为顶点，以M 的顶点为焦点，则椭圆N 的准线方程是（） A. x =±

165

B. x =±

254

C. x =±

163

D. x =±

253

10我国发射的“神舟六号” 宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )

A 、))((r n r m ++2 千米

B 、))((r n r m ++千米

C 、mn 2千米

D 、mn 千米

二. 填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 直线2x －4y +5=0与5x +3y +7=0的夹角的正切值为 .

12．设PQ 是抛物线 y 2 = 2px (p >0)上过焦点F 的一条弦，l 是抛物线的准线，则以PQ 为直径的圆与准线的位置关系是 . 13．已知C ：(x +1)2+( y +a )2=4及直线l ：3x －4y +3=0，当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a = .

14．已知椭圆x 2a 2 + y 2b 2 = 1 (a >b >0)与双曲线x 2m 2 －

y 2

n 2 = 1 (m >0，n >0)有相同的焦点(－c ，0)

和(c ，0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .

15、已知21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 是为双曲线122

22=-b

y a x 左支上的一点，若

a PF PF 81

2=，则双曲线的离心率的取值范围是

三. 解答题（本题共75分）

16．（本题12分）已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝3，求

12x ＋1＋1y ＋2

的最小值．

17.．（本小题满分12分）某运输公司接受了向地区每天至少运送180吨物资的任务，该公

司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低.

18.（本题满分12分）

如图所示，圆心P 在直线y x =上，且与直线210x y +-=相切的圆，截y 轴的上半．．

轴．所得的弦AB 长为2，求此圆的方程．

19. 已知双曲线 x 2a 2 - y 2

b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，

且|PF 1|=3|PF 2|.

(1)求离心率的取值范围，并写出此时双曲线的渐近线方程. (2)若点P 的坐标为(4105，310

5)时，21PF PF ?=0，求双曲线方程.

20. （本题满分13分）已知抛物线y 2=2px ，在x 轴上是否存在一点M ，使过M 的任意直线l （x 轴除外），与抛物线交于A,B 两点，且总有∠AOB=900（O 为坐标原点）。若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

21.．（本题14分）如图，1F 、2F 为椭圆

)0( 12

2>>=+b a b y a x 的左右焦点，P 为椭圆上

一点，且位于x 轴上方，过点P 作x 轴的平行线交椭圆右准线于点M ，连接2MF ，（1）若存在点P ，使M F PF 21为平行四边形，求椭圆的离心率e 的取值范围；

（2）若存在点P ，使M F PF 21为菱形；

①求椭圆的离心率； ②设)0,(a A 、),0(b B ，

求证：以A F 1为直径的圆经过点B ．

F x

B 2

第一学期期末试卷

高二数学（文科）答案

一. 选择题（本题共50分，每小题5分） 1. B 2. c 3.B 4. C

5. D

6. D

7. A

8. C

9. B 10. A

二. 填空题（本题共25分，每小题5分）

11. 13 12．相切 13．±54 14． 3

3 15. (]3,1

三. 解答题（本题共75分，） 16..（本题满分12分）

解：12x ＋1＋1y ＋1＝2x ＋1＋y ＋2( 2x ＋1)( y ＋2)＝6( 4－y )( y ＋2)≥6( 4－y ＋y ＋22)

2＝2

，……10分

当且仅当4－y ＝y ＋2时，即y ＝1时取等号．……12分

17．设每天调出A 型卡车x 辆,B 型卡车y 辆,公司所花成本为z 元,则据题设可得如下约

束条件:

???????≥?+?≤+≤≤≤≤t t y t x y x y x 18010364104080即????

?≥+≤+≤≤≤≤30

54104080y x y x y x 目标函数为y x z 504320+=（x 和y 均为整数),作出可行域如下图中的阴影部分,作直线0504320:=+y x l ,把直线l 向右上方作平行移动,经过点)0,215(

A 时z 取最小值,但215不是整数,所以(2

,0)不是最优解.继续平移直线l ,直线3054=+y x 上的整点(5,2)应是首先经过的,使y x z 504320+=取最小值,260825045320min =?+?=z .

答:每天调出A 型卡车5辆,B 型卡车2辆,公司所花成本最低.

18. （本题满分12分）

解：∵圆心P 在直线y = x 上，∴可设P 的坐标为（k ，k ），（k>0）……１分作PQ⊥AB 于Q ，连接AP ，在Rt△APQ 中，AQ=1，AP=r ，PQ=k

∴r=2k 1+ …………………………３分

又r=点P 到直线x + 2y-1= 0的距离

∴

1k 211k 2k 22

2+=+-+ ………………………６分

整理，得02k 3k 22=--…………………………………………７分解得，k=2或2

k -

=（舍去） ………………………９分 ∵所求圆的半径为1k r 2+==5 ………………………１１分 ∴所求圆的方程为：5)2y ()2x (22=-+- …………………１２分

19. (1)∵|PF 1|－|PF 2|=2a ，又|PF 1|=3|PF 2|，∴|PF 1|=3a ，|PF 2|=a . 设F 1(－c ，0) ，F 2(c ，0) ， P (x 0，y 0). 由|PF 1|x 0+

a 2c

=e ，得3a =ex 0+a ，则x 0= 2a 2c .

∵P 在双曲线的右支上，∴x 0≥a ，即2a 2c ≥a ,解得1

=4，

b=3a ,∴渐近线方程为y =±3x .

（2）设22

a b =+00(,)p x y ，2PF =(－c －x 0，－y 0)， 2PF =(c －x 0，－y 0)，又12,PF PF ⊥

∴21PF PF ?=0，∴－(c 2

－x 02

)+y 02

=0，∴c 2

=x 02

+y 02

=1022

a b =+.

① 又P 点在双曲线上， ∴

23218

155a b

-=，

②

∴联立①②解得2

46a ==且b . ∴双曲线方程为

x 24

y 2

=1.

20.. （本题满分13分）解：存在满足条件的点M ……2分

设点M x x ()0000，，>

（1）当斜率k 不存在时，则x x x 012==，由∠=AOB π

，知y y x x 1212

……4分

y px y px y y p x x 12

122

212

12224==∴=，，

……5分

∴==∴=∴=y y x x p x x x x p x p 12

12122

444，，

x x p 0002>∴=，，即M （2p ，0）

……7分

（2）当斜率k 存在时，则L 的方程为y k x x k =-≠()00，

由y k x x y px

=-=?????()022得k x x px 202

2()-=

即k x k x p x k x 2

220-++=() ∴=x x x 1202

……9分

又由∠=

AOB π

2，知y y x x 1212=- ……11分

y px y px y y x x p x x x x p x p 12122212221222

212

122022

22444==∴==∴=∴=，，

x x p 0002>∴=，，即M （2p ，0）

……13分

由（1）（2）可知满足条件的点M 的坐标为（2p ，0） ……14分

21．（14分）

（1）设),(00y x P ，则),(02

y c

a M ，∵c F F PM 221==，

∴c c

a x c x c a 222002-=?=-，

由12

1220<

（2）①c

a F F F F a F F PF a PM PF e 2222221212112-=-=-==

， 2

111±-=

?-=

?e e e ，∵10<

∵012=-+e e ，∴022=-+a ac c ，∴222b c a ac =-=，∴（＊）成立， ∴以A F 1为直径的圆经过点B ．