量子力学复习
一、填空
1、19世纪末，物理学理论在当时看来已发展到相当完善的阶段，那时，一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明，但依然有一些物理现象，是当时的经典物理理论所无法解释的，比如黑体辐射问题、光电效应、氢原子光谱等（举出三种现象即可）
2、微观粒子具有波粒二象性。
3、按照波函数的统计解释，描述单粒子量子体系的波函数()x ψ常称为概率波，2
()x ψ表示概率密度，
其意义是2
()x x y z ψ???表示在r 处的体积元x y z ???中找到粒子的几率，2
()1x d ψτ∞-∞
=?称
为波函数的归一化条件，其物理意义是在全空间找到粒子的几率为1。 4、如果波函数1ψ和2ψ式体系的可能状态，那么，它们的线性叠加12ψψψ=+也是这个体系的一个可
能状态，这就是量子力学中的态叠加原理。
5、波函数的标准条件为：单值性，有限性，连续性。
6、如果已知氢原子的电子能量为
eV n
E n 26
.13-
= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能
量为： —0.306eV ，光的波长为。 7、如果已知初始三维波函数
)0,(r →
ψ ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 )(p ?=
Aexp(i ·p ·r/h) ，任意时刻的波函数为
),(t r →
ψ ∑c(p)ψp(r ，t) 。
8、在一维势阱（或势垒） 中，在x=x 0 点波函数
ψ
连续 （连续或不连续），它的导数
'ψ 不连续 （连续或不连续）。
9、如果选用的函数空间基矢为n
，则某波函数
ψ
处于
n
态的几率用 Dirac 符号表示为，某算符
∧
A
在
ψ
态中的平均值的表示为。
10、力学量A 的本征态n ψ，相应的本征值为n a ，n=1,2,3…。如果体系处于状态1122n c c ψψψ=+，则
测量A 所得的结果为1a 或2a ，其出现的概率分别为和。
11、量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
12、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 简并 。
13、若|5i A i ?? ??= ? ?-??，|3i B i -?? ?
?= ? ???，则|B A ??= 2i/3+5 。
14、在量子力学中，波函数
ψ 在算符∧
Ω操作下具有对称性，含义是，与
∧Ω对应的守恒量 ∧
F 一定是算
符。
15、金属钠光谱的双线结构是 光谱线的精细结构 ，产生的原因是 电子的自旋 。
二、简答
1、什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与经典物理中的声波和光波的主要区别是什么？
2、扫描隧道显微镜的工作原理是隧道效应，简述什么是隧道效应。
3、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符 4、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
答：全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q S ????φ+=
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 和能量 的测不准关系。
答：设F
?和G ?的对易关系k
?i F ?G ?G ?
F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、
G 和k 依次表示F
?、G
?和k 在态ψ中的平均值，令F F
?F
?-=?，G G ?G ?-=?， 则有
42
2
2
k )G ?()F
?(≥???，这个关系式称为测不准关系。
时间t 和能量E 之间的测不准关系为：2
≥
???E t
三、证明题
1、证明矩阵
3
3
i
F
i
??
= ?
-
??
为厄密矩阵。
2、在定态下
(,)()
i
Et
r t r e
ψ-
ψ=
，几率流密度与时间无关。
四、计算题
1、一粒子在一维势场
,0,
()0, 0,
,
x
U x x a
x a
∞<
?
?
=≤≤
?
?∞>
?
中运动，求粒子的能级和对应的波函数
2、设已知在 2L 和 z L 的共同表象中，算符 x L
的矩阵为010101010x L ?
?=? ?
??
；求它的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵x L 对角化。
3、在某一选定的一组正交基矢下哈密顿算符由下列矩阵给出
10
20
3000000
0000
00E a H E a E a ????
????=+????????????
，其中a 为常数且为小量，利用微扰理论求体系能量至二级修
正。
（已知微扰体系能级修正公式为2'(0)'
(0)
(0)nm
n nn m
n
m
H E
E H E
E
=+++-∑
…）
四、当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
???
?
?
??++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。
解：将矩阵改写成：
='+=H H H ???0????
? ??+????? ??λλ
λλ
λ
λ
23032020300020001
能量的零级近似为：1)0(1=E ，2)
0(2=E ，3)0(3=E 能量的一级修正为：0)1(1=E ，λ=)
1(2E ，λ2)1(3
=E 能量的二级修正为：
2
)
0(3
)0(1213
)
0(2
)0(1212
)
2(1
4λ-=-'+
-'=
E E H E E H E
，
2
22)
0(3
)0(2223
)
0(1)
0(2221
)
2(2594λλλ-=-=-'+
-'=
E E H E E H E ，
2
)
0(2
)0(3232
)
0(1)
0(3231
)
2(39λ=-'+
-'=
E E H E E H E
所以体系近似到二级的能量为：2141λ-≈E ，2
252λλ-+≈E ，23923λλ++≈E
先求出
0?H 属于本征值1、2和3的本征函数分别为：
????? ??=001)
0(1?，????? ??=010)0(2?，?????
??=100)0(3?，
利用波函数的一级修正公式
)
0()0()0()1(i i
k ik
k
i k E E H ??-'=∑
≠，可求出波函数的一级修正为：
????? ??-=0102)
1(1λ?，????? ??-=302)
1(2
λ?，????? ??=0103)1(3λ?
近似到一级的波函数为：
??
??
? ??-≈0211λ?，????? ??-≈λλ?3122，
??
???
??≈1303λ?
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p = =v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(2 2=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应 该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附 件出现概率的描述是相同的。 表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值 2|(,,)|x y z ψ2 |(,,)|x y z x y z ψ???x y z τ?=?? ?2 |(,,)|1 x y z dxdydz ψ∞=? (,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ 练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1） ) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 一、填空 1．量子力学中，描写微观粒子状态的波函数随时间的变化规律由 (薛定谔方程)给出． 2．一维线性谐振子的波函数n ψ的宇称为 ． 3．在z σ表象中，z σ的矩阵表示为 ． 4．泡利不相容原理指出不容许有两个全同的 处于同一个单粒子态． 5．高能粒子散射宜采用 方法处理，低能粒子散射宜采用 处理． 6．微观体系的状态由 完全描述，由此可以得出体系的所有性质．它一般应满足 、 、 三个条件． 1．几率守恒定律的微分表达式 ． 2．描述微观粒子的动量算符为?p = ． 3．两个厄密算符之和 （一定，不一定）为厄密算符． 4．原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为 ． 5．体系的 具有确定值的状态称为定态． 体系处于定态时， 和 都与时间无关． 1．不能有两个或两个以上的 处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理． 2．算符在其自身表象中是一个 矩阵． 3．量子力学中，体系的任意态()x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态()n x φ展开： ()()n n n x c x ψφ=∑，展开式系数n c = ． 4．用球坐标表示，粒子波函数表为(,,)r ψθ?，粒子在立体角d Ω中被测到的几率为 ． 5．如果一个力学量在经典力学中有对应的量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将动量p 用算符 代换得出． 6．满足 式的矩阵S 称为幺正矩阵，由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换．幺正变换 （改变、不改变）算符的本征值． 7．波函数应满足三个基本条件 、 、 ． 1．量子力学描述方式的特点是微观系统的运动状态用 完全描写． 2． 是指质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子． 3．粒子波函数为(,,)r ψθ?，则粒子在球壳d r r r →+中被测到的几率为 ． 4．一维无限深势阱中粒子的波函数n ψ的节点数为 ． 5．占有数表象中，产生算符? ?a 和湮灭算符?a 的对易关系为 ，一维线性谐振子的哈密顿算符?H 用? ?a ，?a 表示为 ． 6．量子力学中表示力学量的算符都是 算符，它们的本征函数组成 ．力 学量F 对应的算符?F 的本征方程为?n n n F φλφ=．当体系处于波函数()()n n n x c x ψφ= ∑所描写 的状态时，测量力学量F 所得的数值必定是算符?F 的 之一，测得n λ的几率是 ． 简答 第一章 绪论 什么是光电效应爱因斯坦解释光电效应的公式。 答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。 这些逸出的电子被称为光电子 用来解释光电效应的爱因斯坦公式：22 1 mv A h +=ν 第二章 波函数和薛定谔方程 1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加： 2211ψψψc c +=（1c ， 2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。 答，由态叠加原理知此判断正确 4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗为什么 答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态 1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别 答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的 几率分布； （2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观 粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变； 6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1) ()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数 是否描述同一态分别写出它们的位置几率密度公式。 上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 1. 粒子的双缝实验的结论是什么？ 答：粒子具有波动性 2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？ 答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(2 2t r r V m t r t i →→→+?- =??ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是： )()](2[)(2 2→→→ +?-=r r V m r E ψψ 3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？ 答：单值、连续、有限。 4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。 答： 5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。 答： 6. 什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。 答：当粒子射入势阱时，将发生反射和折射，当粒子的能量满足一定的条件时会使透 2 ,1n n a μ={} 2 2 22222 21 ()2?,()()()(),0,1,2, ?11 (),0,1,2,2 ?22 n n n x n n n n x U x x H x E x x P H x N H x e n E n n α μωψμωψψ ωμα-= ====+ ==+ 射系数T=1，这种现象就叫做共振穿透。如上图所示，粒子在有限深势阱中，我们设 22222 1 ) (2,2 o V E k E k -==μμ则透射系数l k k k k k k k T 22 2222122212 221sin )(44-+= 当πn L k =2即02 2)(2V L n E n += πμ 时，1=T ，产生共振穿透。 7. 什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。 答：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。金属电子冷发射和ɑ衰变等现象等都是隧道效应产生的，还有基于两字隧道效应的扫描隧道显微镜。 8. 粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？ 答：共振穿透的物理意义是，入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射和透 射，如粒子能量合适，使它在阱内波长'λ满足a n 2' =λ（a 为阱的宽度），则经过各次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使透射波波幅大增，从而出现共振透射。而遂穿效应其实是粒子具有波动性的表现。 9. 什么叫做厄米算符？它有什么性质？ 答：如果算符∧F 满足??()F dv F dv ψ?ψ?* *=??，则称算符∧ F 为厄米算符。厄米算符 有三点性质，一是体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；二是厄米算符 的本征值必为实数；三是厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 10. 量子力学中两个基本力学量是什么？在坐标表象中，用什么算符表示？ 答： 量子力学中两个基本力学量是坐标→r 和动量→p ，在坐标表象中，坐标→r 用坐标算符∧ r 表示，动量用动量算符?-=∧ 2 p 表示。 11. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？ 答：动量算符的本征函数是：)ex p( ) 2(1)(2 3r p i r p ?= πψ ，其本征值为p 。其只能归以为函数δ函数，即 )()()('*' p p d r r p p -=?∞ δτ??。 12. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和 本征值是什么？ 答：???????????????x z y y x z z y x L yp zp i y z z y L zp xp i z x x z L xp yp i x y y x ????=-=-- ? ????????=-=-- ?????????=-=-- ? ???? h h h 《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题 一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 量子力学主要知识点复习资料 全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p ==v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(2 2=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示 波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点 (x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附 件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。 表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 2|(,,)|x y z ψ(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψα i e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ 1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -. 量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 第六章 散射 1．粒子受到势能为 2)(r a r U = 的场的散射，求S 分波的微分散射截面。 [解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在 ∞→r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。 矢径的波动方程是： 0))1()((12 2 22 =+--+??? ??l l R r l l r V k dr dR r dr d r 其中l R 是波函数的径向部分，而 E k r U r V 2222),(2)(ηη μμ = = 令 r r x R l l ) (= ，不难把矢径波动方程化为 02)1(222 2=??? ?? -+-+''l l x r r l l k x ημα 再作变换 )(r f r x l = ，得 0)(221)(1)(2 2 2 2=???? ??? ? ?+??? ? ?+-+'+''r f r e k r f r r f η μα 这是一个贝塞尔方程，它的解是 ) ()()(kr BN kr AJ r f p p += 其中 2 2 2 221ημα+??? ??+=l p 注意到 ) (kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数 ∞ →= r N R p l ，不符合波函数的标准条件。所以必须有0=B 故 )(1 kr J r A R p l = 现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求 得相角位移l δ，由于： ) 2sin(1)42sin(1)(l l kr r p kr r r R δπππ+-=+-→∞→ ??? ? ????????? ??+-+??? ?? +-=++-=∴21221224222 l d l l p l ημππ ππδ 当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到 ???? ? ?????+-=2122l l ημαπδ 又因 l i i e l δδ212=- 故 ∑∞=-+=0 2)(cos )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ ∑∞ =?????? ?? +-+=02)(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπη ∑∞ =- =0 2 ) (cos l l P k θπμα η 注意到 ???????≤???? ??≥???? ??=-+=∑∑∞=∞=02121202112121222 112)(cos 1)(cos 1cos 21 1l l l l l l r r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθρ 如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有 ∑∞ == =-0 2sin 21 )(cos )cos 1(21l l P θθθ 故 2sin 21 )(2 θ πμα θηk f - = 微分散射截面为量子力学期末考试题解答题
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