lab4_动态规划算法设计与应用
实验四动态规划算法设计与应用
一. 实验目的和要求
1.加深对动态规划算法的基本原理的理解，掌握用动态规划方法求解最优化问题的方法步骤及应用；
2.用动态规划设计整数序列的最长递增子序列问题的算法，分析其复杂性，并实现；
3.用动态规划设计求凸多边形的三角剖分问题的算法，分析其复杂性，并实现。
4.选做题：用动态规划设计求解0/1背包问题的算法，分析其复杂性，并实现。
二．基本原理
动态规划是一种非常重要的程序设计方法，常用于求解最优化问题。最优化问题：给定若干个约束条件和一个目标函数，在某指定集合中求满足所有约束条件的且使得目标函数值达最大或最小的元素和相应的目标函数值，即：问题的最优值和最优解。
适用动态规划求解的问题的基本要素：
(1)满足最优性原理：即一个最优化问题的最优解包含了其子问题的最优解。
(2)无后向性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也即，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关，这种特性也被称为无后效性。
(2)具有重叠的子问题：即问题被分解成的子问题存在互相重叠。动态规划方法对于这些重叠的子问题只求解一次，以提高算法的效率。
三．该类算法设计与实现的要点
动态规划算法求解最优化问题的步骤：
(1) 找出问题的最优子结构。分析问题的最优解（最优值）的结构特征。
(2) 递归地定义最优值。根据最优子结构，确定最优值所满足的递归公式。
(3) 计算最优值。根据最优值的递归公式，采用自底向上的迭代或自顶向下的递归，计算最优值。
(4) 构造最优解。在求解最优值的过程中要记录下得到最优值的相应最优解的信息，并根据该信息构造最优解。
注意：在计算最优值时应保存相应的信息：
(a) 已经求出的子问题的最优值（避免重复计算）。
(b) 最优解的有关信息。
动态规划算法求解其它问题的步骤：
(1) 根据最优化原理分析问题的解的结构。
(2) 递归地定义问题的解。
(3) 计算问题的解。根据解的递归公式，自底向上或自顶向下地计算解，计算过程中注意保存已经求出的子问题的解。
其中，自底向上方法通过迭代来实现，适用于所有的子问题都需要解的情况，实现时要注意根据递归公式正确确定子问题的求解顺序。自顶向下方法通过递归来实现，适用于不必解所有的子问题的情况，实现时要注意标记子问题是否计算过，同一个子问题只在第一次递归调用时计算并存储结果。
四．实验内容
(一) 最长递增子序列问题
1.问题描述
求一个由n个整数组成的整数序列的最长递增子序列。一个整数序列的递增子序列可以是序列中非连续的数按照原序列顺序排列而成的。最长递增子序列是其递增子序列中长度最长的。
2. 具体要求（若在ACM平台上提交程序，必须按此要求）――平台上1700题
输入：输入的第一行是一个正整数n，表示测试例个数。接下来几行是n个测试例的数据，每个测试例的数据由两行组成，其中第一行为一个正整数k (k<=500)，表示整数序列的长度，第二行给出整数序列，整数之间用一个空格隔开。（设给出的每个整数序列的最长递增子序列都是唯一的。）
输出：对于每个测试例输出两行，第一行为最长递增子序列的长度，第二行为最长递增子序列，整数之间用一个空格隔开。两个测试例的输出数据之间用一个空行隔开，最后一个测试例后无空行。
3代码如下：
#include
#define MAX 50
void bubble(int r[],int n,int B[])
{
int i,j,temp;
for(i=0;i { for(j=0;j if(r[j]>r[j+1]) { temp=r[j]; r[j]=r[j+1]; r[j+1]=temp; } } for(i=0;i { B[i]=r[i]; } } void Lcss(int H[MAX][MAX],int n,int A[MAX],int L,int B[MAX]) { int i=n,j=n,k=L,C[MAX]; while(i>0&&j>0) { if(H[i][j]==0) { C[k--]=A[i]; i=i-1; j=j-1; } else if(H[i][j]==1) i=i-1; else j=j-1; C[0]=B[0]; } for(i=0;i { printf("%4d",C[i]); } } void Lcs(int A[MAX],int B[MAX],int n,int num) { int i,j,length; int L[MAX][MAX],H[MAX][MAX]; for(i=0;i L[i][0]=0; for(j=0;j L[0][j]=0; for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) { if(A[i]==B[j]) { L[i][j]=L[i-1][j-1]+1; H[i][j]=0; } else if(L[i-1][j]>=L[i][j-1]) { L[i][j]=L[i-1][j]; H[i][j]=1; } else { L[i][j]=L[i][j-1]; H[i][j]=2; } } } printf(" %d",L[n][n]); length=L[n][n]; printf("\n"); printf("第%d个子序列元素：",num+1); Lcss(H,n,A,length,B); } void main() { int m,i,j,A[MAX],B[MAX],C[MAX],D[MAX]; printf("测试例的个数：\n"); scanf("%d",&m); for(i=0;i { printf("第%d个的长度及元素：\n",i+1); scanf("%d",&C[i]); for(j=0;j { scanf("%d",&A[j]); D[j]=A[j]; } bubble(A,C[i],B); printf("\n"); printf("第%d个子序列长度：",i+1); Lcs(D,B,C[i],i); printf("\n\n"); } } (二) 凸多边形的三角剖分 1. 问题描述 设P是一个有n个顶点的凸多边形，P中的弦是P中连接两个非相邻顶点的线段。用P 中的(n-3)条弦将P剖分成(n-2)个三角形（如下图所示）。使得(n-3)条弦的长度之和最小的三角形剖分称为最优三角剖分。 2. 具体要求（若在ACM平台上提交程序，必须按此要求）――平台上1701题 输入：输入的第一行是一个正整数m，表示测试例个数，接下来几行是m个测试例的数据，每个测试例的数据由两行组成，第一行含一个正整数n (n<=500)，表示凸多边形的顶点个数；第二行含2n个实数x1 , y1 , x2 , y2 , …xn , yn ，按顺时针方向依次给出n 个顶点的坐标值(xi, yi) i=1, 2, …, n，整数之间用一个空格隔开。 输出：对于每个测试例输出一行，含一个实数（精确到小数点后三位），表示最优三角剖分的n-3条弦的长度之和。两个测试例的输出数据之间用一个空行隔开，最后一个测试例后无空行。 3.代码如下： #include #include float distance[100][100]; #define MAX 100 void dis(int count,float x[MAX],float y[MAX]) { int i,j; for(i=0;i { for(j=0;j { distance[i][j]=0; } } for(i=0;i { for(j=0;j { distance[i][j]=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])); } } } float triangle(int zero,int num) { int k,m=0; float s=40000,a[MAX]; if(num-zero==2) { return 0; } else { for(k=zero+1;k { if(k==zero+1) { a[m]=triangle(k,num)+distance[zero+1][num]; } else if(k==num-1) { a[m]=triangle(zero,k)+distance[zero][num-1]; } else { a[m]=triangle(k,num)+distance[k][num]+triangle(zero,k)+distance[zero][k]; } m++; } for(m=0;m { if(s>a[m]) { s=a[m]; } } return s; } } void main() { int m,i,j,A[MAX]; float x[MAX],y[MAX],length[MAX]; printf("输入测例个数：\n"); scanf("%d",&m); for(i=0;i { printf("输入第%d测例数的顶点数为：\n\n",i+1); scanf("%d",&A[i]); for(j=0;j { scanf("%f",&x[j]); scanf("%f",&y[j]); } dis(A[i],x,y); length[i]=triangle(0,A[i]-1); printf("\n\n"); } printf("结果如下：\n\n"); for(i=0;i { printf("%.3f",length[i]); printf("\n\n"); } } 动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日 摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数 算法分析课程设计题目及评分标准（） 任选题目 任选题目 优：1至少一个三星，1个二星 2 至少完成5个题目 3 必须主动申请，制作PPT，面向全班讲自已的思想，演示程序。 4 文档符合规范 良： 1 题目包含至少1个二星以上题目 2 至少完成4个题目 3 文档符合规范 中： 1 至少完成4个题目 2 文档符合规范 及格： 1 至少完成3个题目 3 文档符合规范 凡发现抄袭或不能正确理解自已编写程序，该题目分数取消。 根据文档、程序、考勤，降低等级。 题目： 1 一次大型的party最后节目是选取一位幸运人士，该人将获得组织者准备的一个钻石戒指。选择办法是让所有人一字排列，然后从左至右点数，凡是奇数号的全部删除。对剩下的人，同样从左至右点数，逢奇数号就删除。如此不断循环，直到只剩1人为止。此即为幸运之人。（☆） 3 假设你在餐馆吃饭花了不到100元，结账时你给服务员一张百元钞票，而服务员希望用最少的纸币给你找钱。请设计算法帮助服务员（☆）。 4假定你开去香格里拉。出发前油箱是满的，可以行驶D公里。路上一共有n个加油站，A[i]表示从第i-1加油站到第i个的距离。最后一个加油站在香格里拉。请设计算法帮助驾驶员选择加油站使加油的次数最少（☆）。 5计算一元钱硬币有多少种表达方式。例如，可以使用1元钱完成，也可以使用两个5角完成。这里可供选择的货币单位从1分到1元。编写程序计算出每一种组合方式。（☆）6完成一维的最接近点对问题（p121）（☆） 7 分别用动态规划、贪心法、回溯法实现背包问题，并比较它们的结果，算法的效率（☆）。 8给定线性序集中n 个元素和一个整数k ，1≤k ≤n ，要求找出这n 个元素中第k 小的元素（☆） 9 分别实现选择排序，插入排序，归并排序，快速排序，分析他们的时间复杂度，并用程序统计他们实际运行的时间（随机产生100000个），要求有良好界面。（☆） 2 你走大街上上需要从左边马路走到右边马路，而一路上十字路口有n 个，你可以在绿灯亮时任意的一个十字路口穿越马路，遇红灯则需要等待绿灯，或继续向前走，从以后的十字路口穿过。每次绿灯亮1分钟,红灯亮h i 分钟，i 表示第i 个路口。从第i 个路口到i+1路口需要bi 时间，请用用动态规划设计算法求从哪个路口穿过，等待的时间最少。（用动态规划）（☆☆☆)。 注：假定地图如下图所示。你还需要假定出发时候所有红绿灯的状态。 （用动态规划）（☆☆☆)。 10．24点游戏软件设计（☆☆☆):24点游戏为随机产生的四个数，通过四则计算（每个数只能使用一次），使其结果为24.本游戏对培养人们的注意力、计算力（尤其是心算能力），开阔人们的思路，大有益处。游戏规则为： 每次由计算机随机给出1至10四个数字，使用这些数字计算，使结果等于24。要求： （1）只能使用加、减、乘、除四种运算； （2）每一数字必须且只能使用一次。 h 0 h 1 h 2 h 0 h 1 h 2 动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6 实验报告 （2009/2010学年第一学期） 课程名称算法分析与设计A 实验名称动态规划法 实验时间2009 年11 月20 日指导单位计算机学院软件工程系 指导教师张怡婷 学生姓名丁力琪班级学号B07030907 学院(系) 计算机学院专业软件工程 实验报告 实验名称动态规划法指导教师张怡婷实验类型验证实验学时2×2实验时间2009-11-20一、实验目的和任务 目的：加深对动态规划法的算法原理及实现过程的理解，学习用动态规划法解决实际应用中的最长公共子序列问题。 任务：用动态规划法实现求两序列的最长公共子序列，其比较结果可用于基因比较、文章比较等多个领域。 要求：掌握动态规划法的思想，及动态规划法在实际中的应用；分析最长公共子序列的问题特征，选择算法策略并设计具体算法，编程实现两输入序列的比较，并输出它们的最长公共子序列。 二、实验环境(实验设备) 硬件：计算机 软件：Visual C++ 三、实验原理及内容（包括操作过程、结果分析等） 1、最长公共子序列（LCS）问题是：给定两个字符序列X={x1,x2,……,x m}和Y={y1,y2,……,y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。 例如：X={a,b,c,b,d,a,b},Y={b,d,c,a,b,a}。它们的最长公共子序列LSC={b,c,d,a}。 通过“穷举法”列出所有X的所有子序列，检查其是否为Y的子序列并记录最长公共子序列并记录最长公共子序列的长度这种方法，求解时间为指数级别的，因此不可取。 2、分析LCS问题特征可知，如果Z={z1,z2,……，z k}为它们的最长公共子序列，则它们一定具有以下性质： （1）若x m=y n，则z k=x m=y n，且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列； （2）若x m≠y n且x m≠z k，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列； （3）若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y的最长公共子序列。 这样就将求X和Y的最长公共子序列问题，分解为求解较小规模的问题： 若x m=y m，则进一步分解为求解两个（前缀）子字符序列X m-1和Y n-1的最长公共子序列问题； 如果x m≠y n，则原问题转化为求解两个子问题，即找出X m-1和Y的最长公共子序列与找出X 和Y n-1的最长公共子序列，取两者中较长者作为X和Y的最长公共子序列。 由此可见，两个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀的最长公共子序列，具有最优子结构性质。 3、令c[i][j]保存字符序列X i={x1,x2,……,x i}和Y j={y1,y2,……,y j}的最长公共子序列的长度，由上述分析可得如下递推式： 0 i=0或j=0 c[i][j]= c[i-1][j-1]+1 i,j>0且x i=y j max{c[i][j-1],c[i-1][j]} i,j>0且x i≠y j 由此可见，最长公共子序列的求解具有重叠子问题性质，如果采用递归算法实现，会得到一个指数时间算法，因此需要采用动态规划法自底向上求解，并保存子问题的解，这样可以避免重复计算子问题，在多项式时间内完成计算。 4、为了能由最优解值进一步得到最优解（即最长公共子序列），还需要一个二维数组s[][]，数组中的元素s[i][j]记录c[i][j]的值是由三个子问题c[i-1][j-1]+1,c[i][j-1]和c[i-1][j]中的哪一个计算得到，从而可以得到最优解的当前解分量（即最长公共子序列中的当前字符），最终构造出最长公共子序列自身。 关于求解0/1背包问题的动态规划算法 摘要：本文通过研究动态规划原理，提出了根据该原理解决０／１背包问题的方法与算法实现， 并对算法的正确性作了验证．观察程序运行结果，发现基于动态规划的算法能够得到正确的决策方案且比穷举法有效． 关键字：动态规划；０／１背包；约束条件；序偶；决策序列；支配规则 1、引 言 科学研究与工程实践中，常常会遇到许多优化问题，而有这么一类问题，它们的活动过程可以分为若干个阶段，但整个过程受到某一条件的限制。这若干个阶段的不同决策的组合就构成一个完整的决策。0/1背包问题就是一个典型的在资源有限的条件下，追求总的收益最大的资源有效分配的优化问题。 对于0/1背包问题，我们可以这样描述：设有一确定容量为C 的包及两个向量C ’=（S 1，S 2，……，S n ）和P=（P 1，P 2，……，P N ），再设X 为一整数集合，即X=1，2，3，……，N ，X 为SI 、PI 的下标集，T 为X 的子集，那么问题就是找出满足约束条件∑S i 〈=C ，使∑PI 获得最大的子集T 。在实际运用中，S 的元素可以是N 个经营项目各自所消耗的资源，C 可以是所能提供的资源总量，P 的元素可是人们从各项项目中得到的利润。 0/1背包问题是工程问题的典型概括，怎么样高效求出最优决策，是人们关心的问题。 2、求解问题的动态规划原理与算法 2．1动态规划原理的描述 求解问题的动态规划有向前处理法向后处理法两种，这里使用向前处理法求解0/1背包问题。对于0/1背包问题，可以通过作出变量X 1，X 2，……，X N 的一个决策序列来得到它的解。而对于变量X 的决策就是决定它是取0值还是取1值。假定决策这些X 的次序为X n ，X N-1，……，X 0。在对X 0做出决策之后，问题处于下列两种状态之一：包的剩余容量是M ，没任何效益；剩余容量是M-w ，效益值增长了P 。显然，之后对X n-1，Xn-2，……，X 1的决策相对于决策X 所产生的问题状态应该是最优的，否则X n ，……，X 1就不可能是最优决策序列。如果设F j （X ）是KNAP （1，j ，X ）最优解的值，那么F n （M ）就可表示为 F N （M ）=max(f n (M),f n-1(M-w n )+p n )} （1） 对于任意的f i (X),这里i>0，则有 f i (X)=max{f i-1(X),f i-1(X-w i )+p i } （2） 为了能由前向后推而最后求解出F N （M ），需从F 0（X ）开始。对于所有的X>=0,有F 0（X ）=0，当X<0时，有F 0（X ）等于负无穷。根据（2），可求出0〈X 〈W 1和X 〉=W 1情况下F 1（X ）的值。接着由（2）不断求出F 2，F 3，……，F N 在X 相应取值范围内的值。 2．2 0/1背包问题算法的抽象描述 (1)初始化各个元素的重量W[i]、效益值P[i]、包的最大容量M ； (2)初始化Ｓ0； (3)生成S i ； 动态规划程序设计 实验目的：掌握并实现动态规划算法。 实验内容：对维数为序列（5，10，3，12，5，50，6）的各矩阵。找出其矩阵链乘的一个最优加全括号。实验要求：利用动态规划思想写出算法的伪代码和C程序代码 (一)算法思想 穷举所有的计算次序，且对每一计算次序确定其乘法次数。由此可找出n个矩阵进行连乘积A1A2…An的最小乘法次数。 将矩阵链乘积简记为A[i:j] ，这里i≤j 考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k 一、选择题 1、二分搜索算法是利用 （A）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（A）。 A、找出最优解的性 质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解3、最大效益优先是 （ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、在下列算法中有时找不到问题解的是（B）。 A、蒙特卡罗算 法B、拉斯维加斯算法C、舍伍德算法D、数值概率算法5.回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树 6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的 是（B）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（C）。 A运行速度快B 占用空间少C时间复杂度低D代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是 （ D ）。 A棋盘覆盖问题 B 选择问题C归并排序D0/1背包问题 9.实现循环赛日程表利用的算法是（A）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、下列随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（C） A数值概率算法B舍伍德算法C拉斯维加斯算法D蒙特卡罗算法 11．下面不是分支界限法搜索方式的是（D）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13.备忘录方法是那种算法的变形。（B） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为 （B）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n）15．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（B）。 A、最小堆 B、最大堆 C、栈 D、数组16．最长公共子序列算法利用的算法是 （B）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 18.下面是贪心算法的基本要素的是（C）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解 19.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素 （D） A.满足显约束的值的个 数 B. 计算约束函数的时间C.计算限界函数的时间 D. 确定解空间的时间 动态规划算法研究与应用 1.引言 动态规划被认为是组成运筹学其中的一部分，也被当成为进行运算决定时最好的一种数学方式。在1950年左右，美国相关方面的几位数学家，对阶段决策期间关于优化的问题做了大量的研究，并发布著名的最优化理论，将众多的阶段变成了一个一个单一的问题，并分别进行解答，最后，发明了能够处理这种相关优化方面事情新的解决措施——动态规划。到了1957年，创造出了Dynamic Programming这一名著，被称为该领域创作第一人[1]。 在数学和计算机科学领域，动态规划算法对于求解最优解的问题方便快捷。动态规划方法经常用来解决生活中的实际问题，这些问题往往可以分解为很多个子问题，每个子问题都有一个对应解，其中的临界值就是我们所要求得的最优解。动态规划并非一种数学算法，而是用于最优化解题的一种技巧和方法。它非但不具有一个标准的数学方程式，不能够推导出清晰明确的解题步骤，更不具备万能性。对于要解决的若干问题，一定要建立在正确理解的基础上具体问题具体分析，用我们现有的数学知识和丰富的想象力创建模型，结合日常的技巧分析求解。客观人为的介入时间和空间因素，只要可以分为若干子问题的多状态过程，就可以用此方法快速求解。 2.动态规划算法简介 动态规划诞生之后，很快就在在工业生产、金融管理、工程技术、和资源最大化利用等领域得到了好评。在处理路线规划、物品进出库管理、资源最优化利用、更换设备、顺序、装载等问题，动态规划算法相比于其他算法更有优势而且更加便捷。 2.1基本原理 其主要的理论可以被理解成是将求解的划分成若干个子问题，并将其称作为N，然后这些子问题又有N个解的情况，其中这些可行解之中一定会有一个最优解，研究动态规划也就是希望能够找到最优解[2]。 如何能够合理的推导出基本的最优化方程式和找出唯一的临界值是研究动 摘要 建模、控制与优化是控制理论要解决的主要问题。在这些问题中，广泛采用了现代数学方法，使得控制理论的研究不断深入，取得了丰硕的成果。建模是控制理论中所要解决的第一个问题。控制理论中的建模方法主要有两种，一是经验建模，二是根据物理规律建模。所研究的对象主要是动态模型，一般用微分方程或差分方程来描述。设计控制系统是控制理论的核心内容。在线性系统中，我们所用到的数学工具是拓扑、线性群。在非线性系统中，我们用到了微分几何。可以说微分几何是非线性控制理论的数学基础。优化是控制的一个基本目的，而最优控制则是现代控制理论的一个重要组成部分。例如庞特里亚金的极大值原理、贝尔曼的动态规划，都是关于优化和最优控制问题的。 本报告是对连续系统性能分析及闭环调节器设计，对系统的脉冲响应、能控性、能观测性、稳定性进行分析，然后通过状态反馈对系统进行极点配置，最后进行系统的仿真验证。复习、巩固和加深所学专业基础课和专业课的理论知识，综合运用经典控制理论与现代控制理论的知识，弄清楚其相互关系，使理论知识系统化、实用化；掌握基于状态空间分析法进行控制系统分析与综合的方法；训练利用计算机进行控制系统辅助分析与仿真的能力；掌握参数变化对系统性能影响的规律，培养灵活运用所学理论解决控制系统中各种实际问题的能力；培养分析问题、解决问题的独立工作能力，学习实验数据的分析与处理方法。最终达到增强我们的工程意识、联系实际问题设计、使理论与实践相结合的目的。 关键词：建模控制理论控制系统性能分析状态反馈仿真 目录 1 课题分析 (1) 2 MATLAB应用与系统模型建立 (2) 2.1MATLAB应用 (2) 2.1.1MATLAB 环境及基本命令 (2) 2.1.2 M 文件的编写 (3) 2.1.3图形处理 (3) 2.2系统模型建立 (4) 3 系统定量、定性分析 (6) 3.1能控性、能观性分析 (6) 3.1.1能观性、能观测性概念 (6) 3.1.2系统的能控性、能观测性分析 (7) 3.2系统稳定性分析 (8) 3.2.1系统稳定性概念 (8) 3.2.2系统稳定性分析 (8) 4输出反馈分析 (10) 4.1 输出反馈 (10) 4.2通过u Fy 给予反馈分析 (11) 5状态反馈与极点配置 (13) 5.1状态反馈 (13) 5.2极点配置 (14) 5.3闭环系统的状态反馈设计与极点配置 (14) 5.4已知输出求给定 (18) 6设计总结 (20) 参考文献 (21) 《算法设计与分析》课程报告 课题名称：动态规划——编辑距离问题 课题负责人名（学号）： 同组成员名单（角色）：无 指导教师：左劼 评阅成绩： 评阅意见： 提交报告时间：2010年 6 月 23 日 动态规划——编辑距离问题 计算机科学与技术专业 学生指导老师左劼 [摘要]动态规划的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解成若干份的子问题，先分别解决好子问题，然后从子问题中得到最终解。但动态规划中的子问题往往不是相互独立的，而是彼此之间有影响，因为有些子问题可能要重复计算多次，所以利用动态规划使这些子问题只计算一次。将字符串A变换为字符串所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离。 关键词：动态规划矩阵字符串操作数编辑距离 一、问题描述 1、基本概念：设A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。字符串操作包括： (1) 删除一个字符； (2) 插入一个字符； (3) 将一个字符改为另一个字符。 将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A 到B的编辑距离，记为d(A,B)。 2、算法设计：设计一个有效算法，对于给定的任意两个字符串A 和B，计算其编辑距离d(A,B)。 3、数据输入：输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。文件的第1行为字符串A，第二行为字符串B。 4、结果输出：将编辑距离d(A,B)输出到文件ouput.txt的第一行。 输入文件示例输出文件示例 input.txt output.txt fxpimu 5 xwrs 二、分析 对于本问题，大体思路为：把求解编辑距离分为字符串A从0个字符逐渐增加到全部字符分别想要变为字符串B该如何变化以及变化的最短距离。 具体来说，首先选用数组a1存储字符串A(设长度为n)，a2存储字符串B(设长度为m)，d矩阵来进行具体的运算；这里有两个特殊情况比较简单可以单独考虑，即A的长度为0而B不为0还有A不为0B为0，这两种情况最后的编辑距离分别为m和n；讨论一般情况，d矩阵为d[n][m]，假定我们从d[0][0]开始一直进行以下操作到了d[i][j]的位置，其中删除操作肯定是A比B长，同理，插入字符操作一定是A比B短，更改字符操作说明一样长，我们所要做的是对d[i][j-1] 动态规划的原理及应用 班级：计科1302班 小组成员：王海涛蔡佳韦舒 蒋宪豪尹卓 完成时间：2015年5月26日 动态规划的原理及应用 学生：算法设计第5组，计算机系 指导教师：甘靖，计算机系 摘要：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。特点是把多阶段决策问题变换为一系列相互联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。其基本思想就是把全局的问题化为局部的问题，为了全局最优必须局部最优，适用于在解决问题过程中需要多次重复解决子问题的问题。其应用领域广泛，涉及到管理学、经济学、交通、军事和计算机等多个领域，将动态规划思想正确地应用于实践，将对我们的生活带来便利，甚至带给我们的社会和国家以保障。 关键词：动态规划；最优决策；应用；领域 The Principle and Application of Dynamic Programing The dynamic programing is a way to solve optimization problem in the process of multi-stage decision,whose feature is alter the multi-stage decision problems to single phase problems which are connected with each other,and then solve them one by one.The basic idea is to change the overall problem into partcial problem.And the partcial one must keep the best in order to promise the quality of overall one,which splies to repeatedly solving subproblem throughout the whole process.It is spreading to many fields,like management,economics,traffic,military and computer. Put the idea of dynamic programing correctly into practice will bring a lot of convenience to our daily life,our society as well as our country. 算法与分析课程设计报告 题目：最短路径 专业：网络工程 班级：1020552 学号：08 姓名：牛慧敏 太原工业学院计算机工程系2012年11 月15 日 一、算法问题描述 给定一个m*n的矩形网络，设其左上角为起点S。一辆汽车从起点S出发驶向右下角终点T。网格边上的数字表示距离。在若干个网格点处设置了障碍，表示该网格点不可到达。试设计一个算法，求出汽车从起点S出发到达终点T的一条行驶路程最短的路线。 二、算法问题形式化表示 在给定的m x n矩形网格中，得出任意可行的两点之间的距离，再从其中抽取最短路径。但，必须从顶点开始，终点结束。 三、期望输入与输出 顺序得出任意可行的两点之间的距离 四、算法分析与步骤描述 1. 用一个集合R放置最短路径的所有网格点共m*n个。 2. 点集合中的点有其对应坐标原点（0,0）的横纵坐标x,y属性。 3. 用一个集合T记录所有边，边集合中的边有其边长和所连接的两点， 4. 对于m*n的矩行网络，有横向边(m+1)*n条，纵向边m*(n+1)条，。将所有边放入T集合，然后遍历去掉所有直接链接不可达点的边。剩下的就是一张可达的网格图，对于起点S和终点T，从S开始，可以采用图论的Dijkstra算法更新S到每个点的距离d。（用距离记录集合M记录S到每个点的距离。） d（u）=min(d(u),d(v k+1)+w(v k+1->u)). (u与v k+1相邻) 也可以直接将不可达点的连接边长设置为无穷大，然后代入Dijkstra算法 五、问题实例及算法运算步骤 循环将各行加入,即计算将k作为最大通过节点之后的最短路径,如果这个节点连通了其他节点,则察看是否将影响到当前的最短路径,如果加入当前节点和加入的节点之间是相通的, 则执行。以下为源代码: public static String[][] getShortestPath(int data[][]) { int length = data.length; String pathShow[][] = new String[length][length]; for (int i = 0; i < data.length; i++) for (int j = 0; j < data[i].length; j++) { if (data[i][j] > 0) pathShow[i][j] = (i + 1) + "-->" + (j + 1); else pathShow[i][j] = "不通"; } int k = 0; while (k < length) { for (int i = 0; i < length; i++) { if (data[k][i] > 0) { for (int m = 0; m < length; m++) { int temp[] = data[m]; 贪心算法与动态规划的比较 【摘要】介绍了计算机算法设计的两种常用算法思想：贪心算法与动态规划算法。通过介绍两种算法思想的基本原理，比较两种算法的联系和区别。通过背包问题对比了两种算法的使用特点和使用范围。 【关键字】动态规划；贪心算法；背包问题 1、引言 为了满足人们对大数据量信息处理的渴望，为解决各种实际问题，计算机算法学得到了飞速的发展，线性规划、动态规划、贪心策略等一系列运筹学模型纷纷运用到计算机算法学中，产生了解决各种现实问题的有效算法。虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的、能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。本文针对部分背包问题和0/ 1 背包问题进行分析，介绍贪心算法和动态规划算法的区别。 2、背包问题的提出 给定n种物品( 每种物品仅有一件) 和一个背包。物品i的重量是w i，其价值为p i，背包的容量为M。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大,每件物品i的装入情况为x i，得到的效益是p i*x i。 ⑴部分背包问题。在选择物品时，可以将物品分割为部分装入背包，即0≤x i≤1 ( 贪心算法)。 ⑵0/ 1背包问题。和部分背包问题相似，但是在选择物品装入时要么不装，要么全装入，即x i = 1或0。( 动态规划算法) 。 3、贪心算法 3.1 贪心算法的基本要素 能够使用贪心算法的许多例子都是最优化问题，每个最优化问题都包含一组限制条件和一个优化函数，符合限制条件的问题求解方案称为可行解；使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解。此类所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到(这是贪心算法与动态规划的主要区别) 。 3.2贪心策略的定义 贪心策略是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优值( 或较优解) 的一种解题方法。贪心策略总是做出在当前看来是最优的选择，也就是说贪心策略并不是从整体上加以考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而许多问题自身的特性决定了该问题运用贪心策略可以得到最优解或较优解。(注：贪心算法不是对所有问题都能 动态规划算法的优化技巧 福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文 [正文] 一、引言 动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。 使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。 本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。 二、动态规划时间复杂度的分析 使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。 但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。 三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数 我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。 湖南农业大学 综合设计报告 综合设计五 动态规划算法 学生姓名：曾俊扬 学号：200840204219 年级专业：2008级信息与计算科学2班 指导老师：王明春老师 学院：理学院 评阅成绩： 评阅意见： 成绩评定教师签名：时间： 湖南·长沙 提交日期：2011年6月 动态规划之最短线路问题 1设计目的、要求 熟悉动态规划的相关概念，掌握使用动态规划的基本方法求解生活实际问题。本设计主要研究最短路问题，利用JAVA 实现最短路算法。 2设计原理 在求解的各个阶段，利用了k 阶段与k+1阶段之间的递推关系： {}11()55444()min (,())()4,3,2,1 ()0(()(,)) k k k k k k k k k k u D s f s d s u s f s k f s f s d s E ++∈?=+=??==??或 3采用软件、设备 微型电子计算机、MyEclipse 6.5 4设计内容 1.动态规划基本认识： 动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。该方法是由美国数学家贝尔曼(R ．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。 动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。 本设计从实际问题展开对动态规划算法最短路问题的实现。 2.实际问题：某工厂需要把一批货物从城市A 运到城市E ，中间可经过B 1 、 B 2、B 3、 C 1、C 2、C 3、 D 1、D 2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A 到 E 的距离最短？ 2设计动态规划算法的主要步骤为： （1）找出最优解的性质，并刻划其结构特征。（2）递归地定义最优值。（3）以自底向上的方式计算出最优值。（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 3. 分治法与动态规划法的相同点是：将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 两者的不同点是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。而用分治法求解的问题，经分解得到的子问题往往是互相独立的。 贪心选择算法与动态规划算法的异同点：同：都要求问题具有最优子结构性质；异：动态规划算法为自底向上的方式解各子问题，贪心算法为自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每做一次贪心选择问题就转换为规模更小的字问题。 6. 分治法所能解决的问题一般具有的几个特征是：（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质; （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； （4）原问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 P：也即是多项式复杂程度的问题。 NP就是多项式复杂程度的非确定性问题。 NPC(NP Complete)问题 ADT 抽象数据类型 分析问题→设计算法→编写程序→上机运行和测试 算法特性1. 确定性、可实现性、输入、输出、有穷性 算法分析目的2. 分析算法占用计算机资源的 情况，对算法做出比较和评价，设计出额更好 的算法。 3. 算法的时间复杂性与问题的规模相关，是 问题大小n的函数。 算法的渐进时间复杂性的含义：当问题的规模 n趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是 T(n)的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度 相差常数倍，因此可以用T(n)的数量级(阶) 评价算法。时间复杂度T(n)的数量级(阶)称为 渐进时间复杂性。 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？ 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性 考察的是n固定时，不同输入实例下的算法所 耗时间。最坏情况下的时间复杂性取的输入实 例中最大的时间复杂度： W(n) = max{ T(n，I) } , I∈Dn 平均时间复杂性是所有输入实例的处理时间 与各自概率的乘积和： A(n) =∑P(I)T(n，I) I∈Dn 为什么要分析最坏情况下的算法时间复杂 性？最坏情况下的时间复杂性决定算法的优 劣，并且最坏情况下的时间复杂性较平均时间 复杂性游可操作性。 1.贪心算法的基本思想？ 是一种依据最优化量度依次选择输入的分级处理方法。基本思路是：首先根据题意，选取一种量度标准；然后按这种量度标准对这n个输入排序，依次选择输入量加入部分解中。如果当前这个输入量的加入，不满足约束条件，则不把此输入加到这部分解中。 贪心选择算法与动态规划算法的异同点：同：都要求问题具有最优子结构性质；异：动态规划算法为自底向上的方式解各子问题，贪心算法为自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每做一次贪心选择问题就转换为规模更小的字问题。 实验四动态规划算法设计与应用 一. 实验目的和要求 1.加深对动态规划算法的基本原理的理解，掌握用动态规划方法求解最优化问题的方法步骤及应用； 2.用动态规划设计整数序列的最长递增子序列问题的算法，分析其复杂性，并实现； 3.用动态规划设计求凸多边形的三角剖分问题的算法，分析其复杂性，并实现。 4.选做题：用动态规划设计求解0/1背包问题的算法，分析其复杂性，并实现。 二．基本原理 动态规划是一种非常重要的程序设计方法，常用于求解最优化问题。最优化问题：给定若干个约束条件和一个目标函数，在某指定集合中求满足所有约束条件的且使得目标函数值达最大或最小的元素和相应的目标函数值，即：问题的最优值和最优解。 适用动态规划求解的问题的基本要素： (1)满足最优性原理：即一个最优化问题的最优解包含了其子问题的最优解。 (2)无后向性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也即，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关，这种特性也被称为无后效性。 (2)具有重叠的子问题：即问题被分解成的子问题存在互相重叠。动态规划方法对于这些重叠的子问题只求解一次，以提高算法的效率。 三．该类算法设计与实现的要点 动态规划算法求解最优化问题的步骤： (1) 找出问题的最优子结构。分析问题的最优解（最优值）的结构特征。 (2) 递归地定义最优值。根据最优子结构，确定最优值所满足的递归公式。 (3) 计算最优值。根据最优值的递归公式，采用自底向上的迭代或自顶向下的递归，计算最优值。 (4) 构造最优解。在求解最优值的过程中要记录下得到最优值的相应最优解的信息，并根据该信息构造最优解。 注意：在计算最优值时应保存相应的信息： (a) 已经求出的子问题的最优值（避免重复计算）。 (b) 最优解的有关信息。 动态规划算法求解其它问题的步骤： (1) 根据最优化原理分析问题的解的结构。 (2) 递归地定义问题的解。 (3) 计算问题的解。根据解的递归公式，自底向上或自顶向下地计算解，计算过程中注意保存已经求出的子问题的解。 其中，自底向上方法通过迭代来实现，适用于所有的子问题都需要解的情况，实现时要注意根据递归公式正确确定子问题的求解顺序。自顶向下方法通过递归来实现，适用于不必解所有的子问题的情况，实现时要注意标记子问题是否计算过，同一个子问题只在第一次递归调用时计算并存储结果。 四．实验内容 (一) 最长递增子序列问题动态规划算法原理与的应用
算法课程设计题目(3版)
经典算法——动态规划教程
南京邮电大学算法设计实验报告——动态规划法
解0-1背包问题的动态规划算法
动态规划课程设计(矩阵链乘问题)
算法分析复习题目及答案
浅谈我国动态规划算法研究与应用
课程设计最终版
算法设计动态规划(编辑距离)
动态规划的原理及应用
动态规划 报告
贪心算法与动态规划的比较
算法合集之《动态规划算法的优化技巧》
动态规划--运筹学课程设计
2设计动态规划算法的主要步骤为
lab4_动态规划算法设计与应用