第七章多元函数微积分

第七章多元函数微积分

没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别

的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何

其他的概念能向无穷那样需要加以阐明.

——希尔伯特(Hilbert)

在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.

第一节空间解析几何简介

一、空间直角坐标系

众所周知，实数x与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x,y)与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x,y,z)建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.

1.空间直角坐标系的建立

过空间定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x轴、y轴、z轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正向以π/2的角度转向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7.1.1)．这样就组成了空间直角坐标系．O称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面．类似地有yOz坐标面、zOx坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7.1.2)．x、y、z轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.

图7.1.1图7.1.2

2.空间中点的直角坐标

设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7.1.3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．

显然，原点O 的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x 轴上的点，均有y ＝z ＝０；在xOy 坐标面上的点，均有z ＝０．

图7.1.3 图7.1.4

二、空间两点间的距离公式

设空间两点M １(x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2),求它们之间的距离d =12M M ．

过点M 1,M 2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7.1.4所示的长方体．易知

2

22

2121212()d M M M Q QM M QM ==+?是直角三角形

2

2

2

121()M P PQ QM M PQ =++?是直角三角形 2

2

2

122M P P M QM ''''=++ ()()()2

2

2

212121x x y y z z =-+-+-

所以

d =

（7.1.1 ）

特别地，点M(x ，y ，z )与原点O (0，0，0)的距离

d OM ==

例7.1.1 自点(,,)M x y z 分别作各坐标面和坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标. 解 自(,,)M x y z 分别作,,xoy xoz yoz 面的垂线,垂足分别为,,P Q R ,则

)0,,(y x P ,),0,(z x Q ,),,0(z y R .

自(,,)M x y z 分别作x 轴,y 轴,z 轴的垂线,垂足分别为C B A ,,,则

)0,0,(x A ,)0,,0(y B ,),0,0(z C .

例7.1.2 求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 ,14)12()31()47(2222

2

1=-+-+-=M M

,6)23()12()75(2222

32=-+-+-=M M ,6)31()23()54(2222

13=-+-+-=M M

,1332M M =M M ∴

从而原结论成立.

习题7.1

1． 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A (1，3，2)，

B (1，2，-1)，

C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．

2． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．

第二节 空间曲面及空间曲线

一、 空间曲面及曲面方程的概念

在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面，足球的外表面等．和在平面解析几何中将平面曲线作为动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面都可看作动点的轨迹．因此，若曲面S 上的点M (x ,y ,z )的坐标满足某一个三元方程F (x ,y ,z )=0，反过来，坐标满足这个方程的点M (x ,y ,z )都在曲面S 上，则称方程F (x ,y ,z )=0为曲面S 的方程，而曲面S 称为该方程的图形(图7.2.1)．

图7.2.1 图7.2.2

例7.2.1求球心在0M ),,(000z y x ，半径R 的球面方程.

解 设球面上任一点M 的坐标为),,(z y x ,根据球面上点的特征即球面上任一点M 到球心0M 的距离等于半径R .有0M M R =,如图7.2.2， 根据两点间距离公式,球面上任一点的坐标满足：

R z z y y x x =-+-+-202020)()()(

显然,球面上点的坐标满足方程(1),同时,满足方程(1)的z y x ,,形成的点),,(z y x 在球面上. 因此所求的球面方程为: 2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-.

例7.2.2求方程01232222=+---++z y x z y x 所表示的曲面. 解 先将方程变形为:4

13)1()2

3()1(2

22

=-+-+-z y x 设),,(z y x 为动点P 的坐标,)1,2

3

,

1(为点0P 的坐标,由上式可知动点P 与定点0P 的距离恒为

213,动点P ),,(z y x 的运动轨迹为以0P )1,23,1(为球心,以2

13

为半径的球面,也就是方

程012322

2

2

=+---++z y x z y x 所表示的曲面.

我们不仅要根据曲面上点的运动轨迹，研究曲面上的点的特征性质，建立曲面的方程；

而且也要根据曲面的方程，通过研究这个方程，得到这个曲面的几何形状.

下面介绍两类特殊的空间曲面： 1． 柱面

与一定直线L 1平行的直线L ，沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面．定曲线C 称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线(图7.2.3)．

图7.2.3 图7.2.4

现在来建立以xOy 坐标面上的曲线C ：F (x ,y )=0为准线，平行于z 轴的直线L 为母线的柱面方程(图7.2.4)．

这个柱面的特点是过柱面上任一点作xoy 平面的垂线，与xoy 平面的交点一定在准线

C 上.因此，过柱面上任一点(,,)M x y z 作这样的垂线，与xoy 平面的交点为(,,0)M x y '，M '在准线C 上，则M '的坐标满足准线C 的方程),(y x f y =，也就是柱面上任一点的坐

标都满足方程),(y x f y =；同样，满足方程),(y x f y =的y x ,所形成的点M ')0,,(y x 在准线C 上，而点(,,)M x y z 在过点M '且平行于z 轴的直线上，也就是在这个柱面上. 注意：（1）母线平行于z 轴的柱面方程的特点是方程中缺z .

（2）柱面方程与准线方程形式上都是),(y x f y =，但一个是曲面，一个是xoy 平面上的曲线.比如方程122=+y x ，在平面解析几何中表示xoy 平面上的以原点为圆心、以1为半径的圆.而在空间解析几何中表示以xoy 平面上的圆122=+y x 为准线，以平行于z 轴的直线为母线的柱面.

类似地，准线C 为xoz 平面上的定曲线0),(=z x f ，母线为平行于y 轴的直线的柱面方程为：0),(=z x f ；

准线C 为yoz 平面上的定曲线0),(=z y f ，母线为平行于x 轴的直线的柱面方程为：

0),(=z y f .

总之，在空间直角坐标系xyz O -下，只有两个坐标变量的方程一定是柱面方程，而且该柱面的母线就平行于另一个坐标轴.

例如方程2

2

2

x y R +=,在xOy 面上表示一个圆，但在空间表示一个柱面，称为圆柱面［图7.2.5(a ）］．

又如z =x 2

, x -y =0都表示柱面［图7.2.5 (b),(c)］．

图7.2.5

2． 旋转面

平面曲线C 绕同一平面上的定直线L 旋转所形成的图形称为旋转面，定直线L 称为旋转轴．

设在yoz 平面上有一已知曲线C ，它的方程为0),(=z y f ，求此曲线绕z 轴旋转一周

所得的旋转曲面的方程.如图7.2.5

图7.2.5

这个旋转曲面的特点是过这个曲面上的任一点作垂直于z 轴的平面，该平面与这个旋转曲面的交线为一个圆，与曲线C 交于一点.；

在旋转曲面上任取一点(,,)M x y z ，过M 作垂直于z 轴的平面，设这个平面与这个旋转曲

面的交线为圆'

O ，与曲线C 交于0M ，可知0M 的坐标为),,0(11z y ，由于0M 在曲线C 上， 因而有0),(11=z y f ， （1）

由于点M 与0M 都在圆'

O 上，于是有221y x y +=，

即2

21y x y +±=， （2）

又点P 与0P 都在垂直于z 轴的平面上，有1z z = （3）

将（2）、（3）式代入（1）式，得0),(2

2=+±z y x f

也就是这个旋转曲面上任一点的坐标满足方程0),(2

2=+±z y x f .

显然，满足方程0),(2

2=+±z y x f 的z y x ,,所形成的点在这人个旋转曲面上.所以，

yoz 平面上的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为

0),(22=+±z y x f .

可见,在这个曲线C 的方程0),(=z y f 中旋转轴的坐标变量z 不变,而将非旋转轴的坐标变量y 改为22y x +±

,便得到曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程.

同理，yoz 平面上的曲线0),(=z y f 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为

0),(22=+±z x y f .

对于其他坐标面上的曲线,,绕这个坐标面上的一条坐标轴旋转的旋转曲面的方程可类似

得到.

注意：方程0),(22=+±z x y f 中,2

x 与2

z 成对出现,这是这种旋转曲面的方程的显著特点.一般地,若一个方程中至少有两个坐标变量的平方项系数相同,且这两个坐标变量没有其他项,则这个方程就表示这种类型的旋转曲面.如方程04422=-+z y x ,先对方程变形,用x (用y 也可)替换方程中的22y x +±

,得042=-z x ;则方程04422=-+z y x 表示xoz 平面上

抛物线042

=-z x 绕z 轴旋转一周所成的曲面.但0222=-+y y x 表示绕直线???==1

y x 的

的旋转面,而不是绕坐标轴的旋转面.

例7.2.3 求下列平面曲线绕指定坐标轴旋转所得的旋转曲面的方程：

(1) yOz 平面上的曲线z = y 2

绕z 轴旋转；

(2) yOz 平面上的曲线z = ay (a ＞0)绕y 轴旋转．

解 (1) 因z = y 2

绕z 轴旋转，故将方程中的y 用方程为

22z x y =+．

该曲面称为旋转抛物面［图7.2.6(a)］．

(2) 因z = ay (a ＞0)绕y 轴旋转，故将方程中的z 用即得所求旋转曲面的方程为

ay =

或

2222

x z a y +=． 该曲面称为圆锥面［图7.2.6 (b)］．

图7.2.6

三、 二次曲面

称三元二次方程所表示的曲面为二次曲面．下面我们利用截痕法来介绍几个常见二次曲

面的方程和形状．所谓截痕法就是用一些平行于坐标平面的平面与曲面相截，考察其交线的

形状，然后加以综合，进而了解曲面的全貌的一种方法．

1． 方程

222

222

1x y z a b c ++= 它所表示的曲面称为椭球面，a ,b ,c 均大于0．

易知，x ≤a ,y ≤b ,z ≤c ,为了解曲面形状，先以平行于xOy 面的平面z = z 0(0z ≤c )截曲面，得到截线方程为

22222201,

.x y z a b

c z z ?+=-???=?

因2

210z c

-≥，从而当0z ＜c 时，截线是平面z = z 0上一椭圆，而当z =c 时，截线退缩成

一点(0，0，0z )．

图7.2.7

同理，以平面x =x 0(0x ≤a )和平面y =y 0(0y ≤b )截椭球面所得截线与上述情况类似，因此 椭球面的形状如图7.2.7所示．

若a =b ，方程变为222

2221x y z a a c

++=，由旋转曲面的知识知，这个方程表示xOz 面上的

椭圆22

221x z a c

+=绕z 轴旋转而成的旋转椭球面．

若a =b =c ，方程变为2

2

2

2

x y z a ++=,它表示一个球心在原点，半径为a 的球面． 2． 方程

22

22x z z p q

+= (p ,q 同号) 它所表示的曲面称为椭圆抛物面．

不妨设p ,q 均大于0，我们用截痕法考察它的形状．

以平行于xOy 面的平面z = z 0 (z 0＞0)截椭圆抛物面，所得截线方程为

22

00,22.x z z p q z z ?+=?

?

?=?

它表示平面z = z 0上一椭圆．以z = 0截曲面，截得一点为原点．

图7.2.8

以平行于xOz 面的平面y = y 0截曲面，截线方程为

220

0,22.

y x z p q y y ?=-??

?=?

这是平面y =y 0上一条抛物线．

同理，以平行于yOz 面的平面x =x 0截曲面所得截线是平面x =x 0上的一条抛物线． 综上所述，椭圆抛物面的形状如图7.2.8所示． 若p ,q 均小于0，则椭圆抛物面的开口朝下．

若p = q ，方程变为2222x y z p p +=，它是由xOz 面上曲线z =

2

2x p

绕z 轴旋转而成的旋转抛物面．

3． 方程

2222x y z p q

-+= (p , q 同号) 所表示的曲面称为双曲抛物面(鞍形曲面)．

用截痕法进行讨论可知双曲抛物面的形状如图7.2.9所示．

图7.2.9

4． 方程

222

222

1x y z a b c +-=

所表示的曲面称为单叶双曲面，其中a , b , c 均大于0．

我们用截痕法讨论这一曲面的形状．

以平行于xOy 面的平面z = z 0截曲面，所得截线方程为

2

22022201,

.z x y a b

c z z ?+=+???=?

这是平面z = z 0上一椭圆．

以平行于xOz 面的平面y = y 0截曲面，所得截线方程为

2

22022201,

.y x z a c

b y y ?-=-???=?

这是平面y = y 0上一双曲线( y 0 ≠±b ),且易见，当2

021y b -＞0，即2

20y b <时，虚轴平行于

z 轴，当2021y b

-＜0，即2

20y b >时，虚轴平行于x 轴．

当y 0 = ±b 时，截线为一对相交直线． 因此，单叶双曲面的形状如图7.2.10所示．

图7.2.10

5． 方程

222

2

221x y z a b c

-+=- 所表示的曲面称为双叶双曲面，用截痕法讨论可知其形状如图7.2.11所示．

图7.2.11

习题7.2

1.给定两点:),0,3,2(),1,0,2(N M - 在Ox 轴上有一点A , 满足|,|||AN AM =求点A 的坐标.

2.指出方程组2,

1.x y z y ++=??

=?

表示什么曲线?

3． 求下列旋转曲面的方程：

(1) 22

1,34

0x y z ?+

=???=?

绕x 轴及y 轴旋转； (2) 221,0x z y ?-=?=?

绕x 轴及z 轴旋转．

4． 说出下面各方222

1334

x y z ++=所表示的曲面的名称： 5． 分别求母线平行于x 轴和y 轴且过曲线222222

216,

0x y z x y z ?++=?-+=?

的柱面方程．

第三节 多元函数的概念

从这章开始介绍多元函数的微积分的概念及应用.并且主要是讨论二元函数的微积分，

在此要特别提出的是：从一元函数到二元函数不仅是变量增多的改变，它有其实质上的不同；另一方面它们从形式上、研究方法上有许多相似之处，也可以看作是一元函数的推广.但是从二元函数到三元函数甚至到n 元函数，它仅仅是技术层面的问题，不存在性质和方法上的改变；所以说，在多元函数的微积分里主要是从二元函数来展开. 一、基本概念

定义7.3.1 平面点集：在xoy 平面上满足某些条件的一切点所组成的集合E 称为平面点集.简称点集.

定义7.3.2 邻域：设),( y x P 是xoy 平面上的点，δ是某一正数，满足：

,)()(22δ<-+- y y x x 或 δδ<-<- y y x x ,

的所有点),(y x P 的全体集合称为点),( y x P 的δ邻域；记为),(δ P U .

{}

{} P y y x x y x -<+-δ22)-()(

|),(称为点),( y x P 的δ去心邻域,

记为：),(δ P U .

定义7.3.3 内点：设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一点，若,0>?δ使得

E P U ?),(δ，则称P 是平面点集E 的内点.

例如：{}

21 |),(221<+<=y x y x E 中的每个点都是的E 内点.

所有的内点组成的集合称为开集.

定义7.3.4 边界点：设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一点；若对0>?δ，使得邻域),(δP U 中既含有E 内无穷多个点，又含有不属于E 的点，则称P 是E 的边界点（P 本身可以属于E ，也可以不属于E ）.

平面点集E 所有边界点组成的集合称为它的边界.如以上例题中的1E 的边界就是

122=+y x 和222=+y x .

定义7.3.5 开区域：设D 是平面点集， 若满足以下条件：

（1）D 是开集，

（2）对D 内任意两点，都可以用属于D 内的有限条折线把它们连结起来，我们称D 具有连通性；

则开集D 称为开区域（有时称为区域）.

例如：{}0 |),(>+y x y x ，{}

21 |),(2

2

1<+<=y x y x E 都是开区域.

开区域连同它的边界一起，称为闭区域. 如：

{}0 |),(≥+y x y x ，{}21 |),(221≤+≤=y x y x E 都是闭区域，以后在不再区分时，

统称为区域.

定义7.3.6 设E 是平面一点集，若0>?M ，使得{}

M y x y x E ≤+?22 |),(，则称E

是有界的，否则称为无界.

如：{

}

20 |),(2

2<+

{}0 |),(≥+y x y x 是无界的.

二、多元函数的定义

在自然科学与工程技术问题中，往往会遇到一个变量会依赖于两个或更多的变量，就是我们通常称的所谓的多元函数.

例如：直圆锥的体积V ,底面的半经r ,高h 有如下关系式:

h r V 2

3

1π=

r ，h 是两个独立的自变量，当它们取值时，V 有个相应确定的值与之对应；就称V 是r ，

h 的二元函数.

定义7.3.7 设D 是平面点集，若对D y x P ∈?),(，通过某一对应法则（或对应关系）f ，在实数域R 内总可以找到一个实数z 与之对应，则称f 确定了从平面点集D 到实数域R 上的一个二元函数.记为：

: D| R

(,)| z

f x y →→ 简记为：),(y x f z =

称y x ,为自变量，z 为因变量（有时称为函数）

自变量y x ,所能取的每对值的全体称为函数的定义域，在此D 就是该函数定义的定义域.

当自变量y x ,分别取 y x ,时，相应的因变量z 的对应值 z 记作),( y x f z =，称为二元函数),(y x f z =在点),( y x P 的函数值；当动点),(y x P 在定义域D 内取遍时，所有对应函数值的全体称为函数的值域，通常记为：)(D f .

类似地，可以给出三元以及三元以上函数的定义，二元及二元以上的函数统称为多元数. 注意：（1）确定二元函数两个要素是：一是定义域，二是对应法则；

（2）在求函数的定义域时，如果函数是由解析式表出，应根据解析式本身求出自变量的取值范围；如果是由实际问题给出的，还应该考虑实际问题的意义.

例7.3.1 在生产中，设产量Y 与投入资金K 和劳动力L 之间的关系为

Ｙ＝ＡＫαＬβ（其中A ，α，β是正的常数)．

这是以K ，L 为自变量的二元函数，在西方经济学中称为Cobb -D ouglas 生产函数．该函数的定义域为｛(K ,L )｜Ｋ＞０，Ｌ＞0｝．

例7.3.2

求函数ln(z y x =-的定义域D ，并画出D 的图形．

解 要使函数的解析式有意义，必须满足

220,

0,10,y x x x y ->??

≥?

?-->?

即D ={(,),x y ｜x ≥0,x ＜y , 2

2

x y +＜1},如图7.3.1阴影部分所示．

图7.3.1

例7.3.3已知函数22

22

(,),x y f x y x y x y

-+-=+ 求(,)f x y . 解 设,u x y =+,v x y =-则

,2u v x +=

,2

u v

y -= 故得 (,)f u v 2

2

22

2222u v u v u v u v +-????- ? ?????=+-????

+ ? ?

????

222,uv u v =+ 即有 22

2(,).xy

f x y x y

=

+

习题7.3

１．求下列函数的定义域，并画出其示意图：

(1)z = (2)1ln()z x y =-；

２．设函数32(,)2f x y x xy y =-+，求 (1) (2,3)f -; (2) 12,

f x y ??

???

. 第四节 二元函数的极限与连续性

一、 二元函数的极限

与一元函数一样，我们要研究二元函数在动点趋近于某定点时的极限情况；对一元函数

)(x f y =而言，考虑函数在 x 点的变化趋势时，只是在数轴上考虑自变量从 x 左右两边的

趋近情形，对二元函数),(y x f z =来说，由于定义域是平面点集，所以动点),(y x P 趋近于定点),( y x P 时，方式可以多种多样，故此研究要复杂得多，这也是与一元函数在质的方面的不同.

定义7.4.1 设二元函数),(y x f z =在点集D 上有定义，),( y x P 是平面上一定点（它

可以属于,D 也可以不属于D ），A 是常数，若0 ,0>?>?δε，对D y x P ∈?),(，当δ<

（或δ<-+-<22)()(0 y y x x ）时，有

ε<-A y x f ),(

成立，则称函数),(y x f z =当P 趋于 P 时有极限，并且A 是它的极限值.记为： A y x f y y x x =→→),(lim

或 A y x f p p =→),(lim

) ,( ),( y y x x A y x f →→→

为了区别一元函数与二元函数的极限，把二元函数的极限称为二重极限.

二元函数A y x f p p =→),(lim

的几何意义是：对任给的正数ε，总存在 P 点的一个δ

邻域，在此邻域内（除 P 点外）函数的图形总在平面ε+=A z 及ε-=A z 之间.

例7.4.1证明：0lim

2

2

20

0=+→→y

x x y x

证 分析：根据定义，对,0>?ε若能找到一个0>δ，当δ<+<220y x 时，有

ε<-+02

2

2y

x x 成立即可.

因

222

2222

222

220y x y x y x y x x y x x +≤++≤

+=-+

所以要使

ε<-+02

22

y

x x 成立，只要取εδ=就可以了.

用同样的方法可以证明0lim 2

2

2

20

0=+→→y x y x y x 值得说明的是：（1）此二元函数在)0 ,0(没有定义，但同样有极限，这和一

元函数有相似之处；但通常用定义来证明二元函数的极限往往比较困难.（2）对一元函数而

言，有极限存在的充要条件：,)(lim )(lim 0

a x f a x f x x x x =?=+→→

a x f x x =-

→)(lim 0

. 但对二元函数),(y x f z =而言要复杂得多，也就是说若动点),(y x P 以平行于x 轴或以平行于y 轴两条直线的方式趋于定点),( y x P 时有极限并且相等，即：

A y x f A y x f y y x x x x y y ==→=→=),(lim ,),(lim

时，也不能保证A y x f y y x x =→→),(lim

.就即使是动点

),(y x P 以无穷多种方式趋近于定点),( y x P 时有极限并且相等，也不能保证其有极限；

因为动点在平面区域上趋于定点的方式是可以是任意的.下面以例题加以说明.

例7.4.2 设2222

22,0,(,)0,0,xy

x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

判断极限0

0lim (,)x y f x y →→是否存在?

解 当(,)P x y 沿x 轴趋于(0，0)时，有y = 0，于是

22

lim (,)lim

00x x y f x y x →→→==+；

当Ｐ(x , y )沿y 轴趋于(0，0)时，有x = 0，于是

22

000

lim (,)lim

00x y y f x y y →→→==+．

但不能因为P (x , y )以上述两种特殊方式趋于(0，0)时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在．

因为当P (x , y )沿直线y =kx (k ≠0)趋于(0, 0)时，有

2222

00lim (,)lim (1)1x x y kx

kx k

f x y k x k →→===++， 这个极限值随k 不同而变化，故00

lim (,)x y f x y →→不存在．

例7.4.3 求下列函数的极限：

(1)00

x y →→；(2) 2

2200

lim x y xy x y →→+； (3)

10

ln 1x y xy →→+．

解

(1)

001

4x x x y y y →→→→→→==-=-．

(2)当x →０，y →０时，x ２+y ２≠0，有x ２+y ２

≥２｜xy ｜．

这时，函数2

22

xy x y

+有界，而y 是当x →0且y →0时的无穷小，根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，得

2

22

00

lim 0x y xy x y →→=+． (3)

1110

ln 11x x x y y y xy →→→→→→+===．

从例2可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同． 二、 二元函数的连续性

类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性． 定义7.4.2 设二元函数),(y x f z =在),( y x P 邻域内有定义，若

),(),(lim

y x f y x f y y x x =→→，

则称二元函数),(y x f z =在),( y x P 点连续.

由定义可知，二元函数),(y x f z =在),( y x P 点连续必须满足的三个条件： （1）在),( y x P 邻域内有定义； （2）有极限A y x f y y x x =→→),(lim

；

（3）),( y x f A =.

二元函数在一点的连续定义，可以用增量的形式来表示，若函数在),( y x P 的自变量

y x ,各有一个改变量y x ?? ,相应的函数就有一个改变量

),(),( y x f y y x x f f z -?+?+=?=?

称z ?为二元函数),(y x f z =在),( y x P 点的全增量.

三、 有界闭区域上二元连续函数的性质

特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.

定理7.4.1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.

定理7.4.2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.

定理7.4.3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.

定理7.4.4（四则运算性质）若二元函数),( ),,(y x g y x f 在点),( y x P 连续，则二元 函数

)0),(( )

,()

,(

, ),(),( ),,(),(≠?± y x g y x g y x f y x g y x f y x g y x f

在),( y x P 连续.

例7.4.4

求01

lim ln().x y y x →→??-+

?? 解

01

l i m l n

(l n (1x y y x →→?

?

?-+=-+???

?

.1=

例7.4.5 求01

lim

.x x y e y

x y

→→++ 解 因初等函数(,)x e y

f x y x y

+=+在(0,1)处连续，故001

1lim

2.01x x y e y e x y →→++==++

习题7.4

１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在： (1) z =

24xy x y +； (2) z =x y

x y

+-．

２．求下列极限： (1) 00

sin lim

x y xy x

→→； (2)2201

1lim x y xy

x y →→-+；

(3)0x y →→ (4)22

sin lim x y xy

x y →∞→∞

+．

3．讨论函数?????=+≠++=0,

00,),(22

2

242

2y x y x y x xy y x f 的连续性.

第五节 偏导数与全微分

一、 偏导数

１．偏导数的定义与计算

多元函数的偏导数是考虑函数对某一个自变量的变化率，而其它的自变量保持不变；以下我们以二元函数为例介绍偏导数的概念.

若二元函数),(y x f z =在),( y x P 点的邻域内有定义，（1）当自变量x 有一个改变量

x ?时，而y 保持不变；则相应的函数有一个改变量

),(),(000 y x f y x x f z x -?+=?

称为二元函数),(y x f 在),( y x P 点关于自变量x 的偏增量.

（2）当自变量y 有一个改变量y ?时，而x 保持不变；则相应的函数有一个改变量 ),(),(000 y x f y y x f z y -?+=?

称为二元函数),(y x f 在),( y x P 点关于自变量y 的偏增量.

定义7.5.1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ?时, 相应地函数有增量

),,(),(0000y x f y x x f -?+

如果x

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处

对x 的偏导数, 记为

).,(,,

000

00

00

0y x f z x

f x

z x y y x x x

y y x x y y x x 或

======????

例如，有

),(00y x f x x

y x f y x x f x ?-?+=→?)

,(),(lim

00000

.

类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为

y

y x f y y x f y ?-?+→?)

,(),(lim

00000

,

记为

).,(,,000

00

0y x f z y

f

y z y y y x x y y y x x y y x x 或

======????

上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.

三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了．

例7.5.1 求22(,)3z f x y x xy y ==++在点(1, 2)处的偏导数. 解 把y 看作常数,对x 求导得到

(,)23x f x y x y =+

把x 看作常数,对y 求导得到

(,)y f x y 32,x y =+

故所求偏导数

(1,2)x f 2132=?+?8,=

(1,2)y f 3122=?+?7.=

例7.5.2 已知关系式RT PV =（R 为常数）求证

1-=????????P T

T V V P 证 因,V RT P = 所以 2V RT V P -=?? ,P RT V = 所以 P R T V =?? R PV T =，所以

R

V

P T =?? 故

12-=-=??-=????????PV RT R V P R V

RT P T T V V P 特别注意的是：在前面已经说过，对偏导数而言，x

z

??是整体看作一个符号，不能看作两个变量微分之商，这是与一元函数的区别.

例7.5.3 求z

y

x u )(=的偏导数.

解 对x 求偏导数，把z y ,看作常量，得

11)(1)(--==??z z y

x y z y y x z x u

微积分第一章

高等数学教案 、

第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

(完整版)第7章多元函数微积分测试题讲义

第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学 ［单选题］ 1、 设积分域在 D由直线x+y二0所围成，则 | dxdy 如图: ［单选题］ 2、 A 9 B、4 C 3

【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ［单选题］ 3、 设H 二才，则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出-,J ' 二一；，然后求出 最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. ［单选题］ 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y

［% I 设Z = 则去九￡ |（） km ，（心+& J D ）L 『（也几） AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到 ［单选题］ 5、 设z=ln （x+弄），示=（） A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒 盂+沙 D X + 帘 一" 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0）—/（兀 几） Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y

|"S 1 I 对x求导，将y看做常数，小门?八 ［单选题］ 6、 设U 了：,；_丁；：￡=() 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］ 7、 设f(x r x+y) = ^ + x2t则￡0,卩)+ ￡(尽刃二() A丨； B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀 ￡(2)+另(“)=曲 ［单选题］ 8

第7章 多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

多元函数微积分复习题

多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

考研数学三-多元函数微积分学(一).doc

考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C.

《微积分(下)》第7章 多元函数微积分学--练习题

第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ；

10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y

第六章多元函数微分法及其应用试题答案

第六章 多元函数微分学 答案及评分标准 一、1、B 解：原式6)11(3lim )11(3lim 0 000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解：2R D =，当022≠+y x 时，),(y x f 连续；当022=+y x 时 22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解：)0,0()0(111222?>≥?≥++≥z z y x z 是最小值点，由于)0,0(为定义域内点，所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解：由方向导数的定义可得. 二、1、 2ln 2、xy xyz xyz yz -- 3、21f z f '+'，2212 2f xz f x f ''+''+' 解：21211f z f z f f x u '+'=?'+?'=??， 故22122222122f xz f x f x f z f x f z x u ''+''+'=?''+'+?''=???. 4、{2x －4,4y －6,6z －8} 解：grad f ={2x －4,4y －6,6z －8}；grad f |(2,1,2)={0,－2,4}， |grad f |(2,1,2)=，即f 在点(2，1，2)处方向导数 的最大值为. 5、 dy dx +2ln 2 三、解：1cos sin ?+?=????+????=??v e y v e x v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++?+= ……………5分 1cos sin ?+?=????+????=??v e x v e y v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++?+= ……………10分 四、解：xy x z 2=?? y x y z cos 2+=?? （4分） x y x z 22=??? （7分） y y z sin 22-=?? （10分）

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．

第六章多元函数微积分复习概要

第六章多元函数微积分复习要点 一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中 ， ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意 0(,)()P x y U P ∈，都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（或 0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. （1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导 数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?，记作 00 x x y y z x ==??，或 00 x x y y f x ==??， 或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. （2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导

自考高等数学第六章多元函数微积分试题

第六章 多元函数微积分 一、单项选择题 二、填空题 1.设z=22y x +，则)2,1(dz =___________. 2.设z =x y cos ，则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y x z ???2=______________________. 4．设z =(2x +y )2y ，则x z ??=________. 5.设z=y x 322e -,则y x z ???2=_______________. 6．设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ． 7.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题 1．设z=arctan x y ，求y x z 2???. 2．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求 x z ??. 3．计算二重积分I=??+D 22dxdy )y x (x ，其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求 x z ??,y z ??. 5.计算二重积分I = ??D y x xy x d d )cos(2，其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分??D y x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域. 7．计算二重积分??=D y x x I d d ，其中区域D 由曲线x y = ，直线x =2以及x 轴围成. 8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ????,.

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解

第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??

多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法

第六章 多元函数微积分课外习题

第六章 多元函数微积分 §6.1 空间解析几何简介 一、填空题 1. )12,4,3(-M 点到坐标轴的距离为_________； 2. 以点)3,2,1(--为球心过)0,2,1(--点的球面方程为_________； 3. 将xoy 坐标面上的圆2)1(2 2 =-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________； 4. 方程222 0223 x y z +-=表示旋转曲面.，它的旋转轴是_________； 5.方程z y =2 在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点)3,2,1(--到平面042=-+z y x 的距离为_________； 7. 过三点)2,0,1(1-M ，)0,0,1(2M ，)0,1,1(3M 的平面方程为_________； 8. 在空间直角坐标系中方程?? ???=-=- 0214 92 2x z x 表示_________； 9. 曲面z y x =-2 2 在xoz 坐标面上的截痕是_________； 10. 双曲抛物面z y x 23 2 2 =-与xoy 坐标面的交线是_________； 11. 由曲面22y x z += 与222y x R z --=所围成的有界区域用不等式组可表示为 _________； 12. 用平面h x =去截双叶双曲面122 2222-=+-c z b y a x ，所得截痕是__________；若用平 面)(2 2 b k k y >=截上述曲面所得截痕是_________ . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形 （1）x y =2

微积分第一章---函数--习题及答案

第一章 函数 一、填空 1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。 2、设()11 1>≤???=x x x x f ，则()()x e f x f +?1sin = 。 3、71 2arcsin 42-+-=x x y 的定义域为 。 4、()x x f x f 2 12=??? ??- ，则()x f = 。 5、()00 1<≥?????=x x x x x f ，则()[]=x f f 。 6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==?，则()x ?= 。 7、设函数()x f 满足关系式：()()x e x f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8、已知()[]()2sin ,cos 1x x x x f =+=??，则()x f = 。 9、已知()?????≤≤+<≤<≤-+=3 121030 31 32x x x x x x f x ，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。 二、选择 1、函数()x x f 3=，则()y x f +=（ ） A 、()()y f x f B 、()x f 2 C 、()x f D 、()y f 2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数() x x f 单调减少，则有（ ） A 、()()()b f a f b a f +<+ B 、()()() b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()() b a b f a f b a f ++>+