13、分式总复习
【知识精要】
分式定义:(、为整式,中含有字母)性质通分:约分:分式方程定义:分母含有未知数的方程。如解法思想:把分式方程转化为整式方程方法:两边同乘以最简公分母依据:等式的基本性质
注意:必须验根应用:列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113
【分类解析】
1. 分式有意义的应用
例1. 若ab a b +--=10,试判断
1111a b -+,是否有意义。 分析:要判断1111
a b -+,是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11,与零的关系。
解: ab a b +--=10
∴+-+=a b b ()()110
即()()b a +-=110
∴+=b 10或a -=10
∴-+1111
a b ,中至少有一个无意义。
2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。
例2. 计算:a a a a a a 2211313
+-+--+- 分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分
离分式法”简化计算。
解:原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313
=-+-+-=-+--=--+++-=-
-+-a a a a a a a a a a a a a 1113
1113
311322
13()()()
()()
()()
例3. 解方程:11765556
222-++=-+-+x x x x x x 分析:因为x x x x 27616++=++()(),x x x x 25623-+=--()(),所以最简公分母为:()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156
-+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解: x x x x x x 222561561156
-+--+=--+ 原方程变为11761156
22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156
76560
2222x x x x x x x x x
经检验,x =0是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用
例4. 已知a a 2
69-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab
b a -++-÷+-++的值。 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值,又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、b的值。
解:由已知得a b -=-=3010,,解得a b ==31,
原式=+-++-÷+-++[()()()]()42222a b a b a b ab b a a ab b ab a b b a
=---+÷-+-++=---+?+-++=-++[()()()]()()()()()()()a b ab a b a b a b ab b ab a b b a
a b ab a b a b ab a b a b a b b a
a b a b
222222221 把a b ==31,代入得:原式=
112
4. 用方程解决实际问题
例5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 解:设这列火车的速度为x 千米/时
根据题意,得
450312450312x x x
=+-. 方程两边都乘以12x,得540042450030=+-x x
解得x =75
经检验,x =75是原方程的根 答:这列火车原来的速度为75千米/时。
5. 在数学、物理、化学等学科的学习中,都会遇到有关公式的推导,公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。
例6. 已知x y y =+-2332
,试用含x 的代数式表示y,并证明()()323213x y --=。 解:由x y y =+-2332
,得3223xy x y -=+ ∴-=+∴-=+∴=+-3223
322323
32
xy y x x y x y x x ()
()()()()323233226964321332323213
x y y y y y y x y -=+--=+-+-=-∴--=
6、中考原题:
例1.已知M x y xy y x y x y x y 222222-=--+-+,则M=__________。 分析:通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M 。
解: 2222
xy y x y x y x y --+-+ =-+-+-=-=-22222
22
2
22
22
xy y x xy y x y x x y M
x y ∴=M x 2
例2.已知x x 2
320--=,那么代数式()x x x --+-11132的值是_________。 分析:先化简所求分式,发现把x x 23-看成整体代入即可求的结果。
解:原式=--+=-+--=-()()x x x x x x x 112113222
x x x x 22320
32--=∴-=
∴=-=原式x x 232
例3(2013?重庆?B卷?21)先化简,再求值:
,其中x 是不等式考点: 分式的化简求值;一元一次不等式的整数解
分析: 首先把分式进行化简,再解出不等式,确定出x 的值,然后再代入化简后的分式即可. 解答:
解:原式=[﹣]×, =×=×,=,
3x+7>1,3x >﹣6,x>﹣2,∵x是不等式3x+7>1的负整数解,∴x=﹣1,
把x=﹣1代入中得:=3.
点评: 此题主要考查了分式的化简求值,以及不等式的整数解,关键是正确把分式进行化简. 例4(2014?重庆?A卷?21)先化简,再求值:÷(﹣)+,其中x 的值为方程2x=5x ﹣1的解.
考点:分式的化简求值;解一元一次方程.
专题:计算题.
分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果,求出方程的解得到x 的值,代入计算即可求出值.
解答:解:原式=÷+
=?+
=+
=,
解方程2x=5x ﹣1,得:x=,
当x=时,原式=﹣.
点评:此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7、题型展示:
例1. 当x 取何值时,式子
||x x x -++2322有意义?当x 取什么数时,该式子值为零? 解:由x x x x 232120++=++=()()
得x =-1或-2
所以,当x ≠-1和x ≠-2时,原分式有意义
由分子||x -=20得x =±2
当x =2时,分母x x 2
320++≠
当x =-2时,分母x x 2320++=,原分式无意义。 所以当x =2时,式子||x x x -++232
2的值为零
例2. 求x m n x mn x m n x mn x m x n 2222
22---+--?--()()的值,其中x m n ===-231
2。
分析:先化简,再求值。
解:原式=-++-?+-+-()()()()()()
()()x m x n x m x n x m x m x n x n
=--()()x m x n 2
2
x m n x m x n m n ===-∴===-=-231
223141
6
,,,
∴=--=--原式()()()()x m x n m m n n 222
223
==-?-=
m n 222
2414416
9
16()()
【实战模拟】
1. 当x 取何值时,分式2111
x x
+-有意义?
1解:由题意得x
x ≠-≠?????0
11
解得x ≠0且x ≠1
∴当x ≠0且x ≠1时,原式有意义
2. 有一根烧红的铁钉,质量是m ,温度是t 0,它放出热量Q 后,温度降为多少?(铁的比热为c)
解:设温度降为t ,由已知得:
Q mc t t t t Q
mc t t Q
mc
=--==-()000
答:温度降为()t Q mc
0-。 3. 计算:x y y x y x y y x
++-+-242442222 分析:此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便,它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。
解:原式=+-+-++-()()()()
x y x y y x y x y y x y x 224242222 =--+-=+-+-=-+-=+x x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y
2232222
242224222222()()
()()
()
()()
4. 解方程:
x x x x x x x x ++-++=++-++21436587
解:原方程化为111113115117
++--+=++--+x x x x ∴+-+=+-+11131517x x x x 方程两边通分,得213257()()()()
x x x x ++=++ ∴++=++()()()()x x x x 5713
化简得832x =-
解得x =-4
经检验:x =-4是原方程的根。
说明:解分式方程时,在掌握一般方法的基础上,要注意根据题目的特点,选用简便的方法,减少繁琐计算。
5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天?
分析:设规定日期是x天,则甲的工作效率为
1x ,乙的工作效率为13x +,工作总量为1 解:设规定日期为x 天
根据题意,得211323
1(
)x x x x +++-+= 解得x =6
经检验x =6是原方程的根
答:规定日期是6天。
6. 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠,,,求x y z x y z +--+2的值。 解: 436012702x y z x y z --=++=()(),
由(1)(2)解得x z
y z ==???32 ∴+--+=+--+=x y z x y z z z z z z z 23232243
7. (2014?重庆?B 卷?21)先化简,再求值:2344(1)11
x x x x x ++--÷++,其中x 是方程12025
x x ---=的解。 解:原式22411(2)x x x x -+=++2(2)(2)(2)x x x +-=+22
x x -=+
?解方程
12025x x ---=得:13x = ?当13x =时,原式2527x x -=-+ 8.(2013?重庆?A 卷?21)先化简,再求值:
÷(﹣a ﹣2b)﹣,其中a ,b 满足.
考点: 分式的化简求值;解二元一次方程组.
专题: 探究型.
分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出a 、b 的值代入进行计算即可. 解答:
解:原式=
÷﹣=×﹣ =
﹣=﹣, ∵,∴,∴原式=﹣
=﹣. 点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
分式的化简与求值 1 已知2 310a a -+=,则代数式3 61 a a +的值为 . (“希望杯”邀请赛试题) 2 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =, 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( ) A .648 B .832 C .1168 D .1944 (五城市联赛试题) 3 3(0)x y z a a ++=≠.求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-. (宣州竞赛试题) 4 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值. (上海市竞赛试题) 5若 a b c d b c d a ===,则a b c d a b c d -+-+-+的值是 . (“希望杯”邀请赛试题) 6 若222 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111 c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 .
(“缙云杯”竞赛试题) 7 已知232325 x xy y x xy y +-=--,则11 x y -= . 8 如果111,1a b b c + =+=,那么1 c a +=( ) . A .1 B .2 C .12 D .1 4 (“新世纪杯”竞赛试题) 9 设有理数,,a b c 都不为0,且0a b c ++=,则 222222222 111 b c a c a b a b c +++-+-+-的 值为( ). A .正数 B .负数 C .零 D .不能确定 10.已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠,则222 222 23657x y z x y z ++++的值为( ). A .0 B .1 C .2 D .不能确定 11.已知211 x x mx =-+,则36 33 1x x m x -+的值为( ) A .1 B . 313m + C .2132m - D .2131 m + 12.设0a b c ++=,求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值. 13.已知1ax by cz ===,求 444444 111111 111111a b c x y z +++++++++++的值. (“华杯赛”试题)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ; 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 (n为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1:计算的结果是() A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。 分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式 例3:已知:,求下式的值: 分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解:
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2)2=4 D ()-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( ) A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是
1. 若,试判断是否有意义。 2. 计算: 3、解方程: 4. 已知与互为相反数,求代数式 的值。 5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 6. 已知,试用含x的代数式表示y,并证明。 6、中考原题: 例1.已知,则M=__________。 例2.已知,那么代数式的值是_________。 1. 当x取何值时,分式有意义?
3. 计算: 4. 解方程: 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天? 6. 已知 ,求的值。 9、(6分)已知02 =-a a ,求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值. 21、(6分)设23111 x A B x x ==+--,,当x 为何值时,A 与B 的值相等? 3、计算(1)?? ? ??--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310 A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+,求?? ? ??++??? ??++??? ??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12 --x x =0,则5412x x x ++= 18、设1=abc ,则=++++++++1 11c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ,20042=+x b ,20052=+x c ,且6012=abc ,求 c b a ab c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+c a ac ,求ac bc ab abc ++的值